W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których wyrazy zmieniają znak.
Twierdzenie 7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]
Jeśli \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) jest szeregiem, którego ciąg sum częściowych jest ograniczony, \( \displaystyle \{\lambda_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy \( \displaystyle\lambda_n\searrow 0 \)), to szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n a_n \) jest zbieżny.
Dowód 7.12.
Oznaczmy przez \( \displaystyle\{S_n\} \) ciąg sum częściowych szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \) to znaczy
\( S_n \ =\ \sum_{i=1}^{\infty} a_i. \)
Z założenia wiemy, że ciąg \( \displaystyle\{S_n\} \) jest ograniczony, to znaczy
\( \exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |S_n|\le M. \)
Ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Ponieważ \( \displaystyle\lambda_n\searrow 0, \) więc
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \lambda_{n+1} < \frac{\varepsilon}{2M} \)
Dla \( m>n\ge N, \) mamy
\( \begin{array}{ll} & \lambda_{n+1}a_{n+1} +\ldots+ \lambda_{m}a_{m} \\ = & \lambda_{n+1}(S_{n+1}-S_n) +\lambda_{n+2}(S_{n+2}-S_{n+1}) +\ldots +\lambda_{m-1}(S_{m-1}-S_{m-2}) +\lambda_m(S_m-S_{m-1}) \\ = & -\lambda_{n+1}S_n +(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})S_{n+1} +\ldots +(\lambda_{m-1}-\lambda_m)S_{m-1} +\lambda_mS_m. \end{array} \)
Zatem
\( \begin{array}{ll} & \big|\lambda_{n+1}a_{n+1} +\ldots+ \lambda_{m}a_{m}\big| \\ \le & \lambda_{n+1}|S_n| +(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2})|S_{n+1}| +\ldots +(\lambda_{m-1}-\lambda_m)|S_{m-1}| +\lambda_m|S_m| \\ \le & M \big[ \lambda_{n+1} +(\lambda_{n+1}-\lambda_{n+2}) +(\lambda_{n+2}-\lambda_{n+3}) +\ldots +(\lambda_{m-1}-\lambda_m) +\lambda_m \big] \\ = & 2\lambda_{n+1}M \ < \ 2M\frac{\varepsilon}{2M} \ =\ \varepsilon. \end{array} \)
Zatem pokazaliśmy, że szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lambda_na_n \) spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (patrz twierdzenie 6.7.).
Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.
Wniosek 7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]
Jeśli \( \displaystyle \{\lambda_n\}\subseteq \mathbb{R} \) jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy \( \displaystyle\lambda_n\searrow 0 \)), to szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\lambda_n \) jest zbieżny.
Dowód 7.13.
Wystarczy przyjąć \( \displaystyle a_n=(-1)^n. \) Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \) jest postaci
\( -1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots, \)
a więc jest ograniczony, zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \) jest zbieżny.
Przykład 7.14.
Następujący szereg zwany szeregiem anharmonicznym:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \ =\ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots \)
jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium Leibniza.
Założenie, że zbieżność ciągu \( \displaystyle\{\lambda_n\} \) do zera jest monotoniczna (w kryteriach Dirichleta i Leibniza) jest istotne. Pokazuje to poniższy przykład.
Przykład 7.15.
Zbadać zbieżność szeregu \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2-(-1)^n}{n}. \)
Rozwiązanie
Pokażemy, że szereg jest rozbieżny. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że szereg jest zbieżny. Weźmy szereg \( \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}. \) Jest on zbieżny (z kryterium Leibniza; patrz wniosek 7.13.). Zatem suma obu szeregów jest szeregiem zbieżnym. Ale suma ta wynosi
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2-(-1)^n}{n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2}{n} \ =\ -\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{(-1)^n}{n} \ =\ -\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
i jest szeregiem rozbieżnym
(gdyż jest to szereg harmoniczny), sprzeczność.
Zauważmy, że chociaż \( \displaystyle\lambda_n=\frac{2-(-1)^n}{n}\longrightarrow 0, \) to jednak zbieżność ta nie jest monotoniczna. Zatem nie mogliśmy tu stosować kryterium Leibniza.