W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje prowadzące z \( \mathbb{R} \) w \( \mathbb{R} \). Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie. Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny), wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11. Przypomnijmy, że w \( \mathbb{R} \) z metryką euklidesową, kula \( K(x_0,r) \) jest przedziałem \( \displaystyle (x_0-r,x_0+r). \)
Twierdzenie 8.1.
Niech \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}. \)
Punkt \( x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( A \) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\} \) taki, że
\( \lim\limits_{n \to +\infty} x_n \ =\ x_0. \)
Dowód 8.1. [nadobowiązkowy]
"\( \displaystyle\Longrightarrow \)"
Niech \( x_0 \) będzie punktem skupienia zbioru \( A \). Dla dowolnego \( n\in\mathbb{N} \) rozważmy kulę \( \displaystyle \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg). \) Z definicji punktu skupienia wiemy, że istnieje punkt \( \displaystyle x_n\in A\cap \bigg(x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}\bigg)\setminus\{x_0\} \) dla \( n\in\mathbb{N}. \) W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A. \) Zauważmy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0. \)
"\( \displaystyle\Longleftarrow \)"
Przypuśćmy, że \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\} \) jest ciągiem takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0. \) Należy pokazać, że \( x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( A. \) W tym celu weźmy dowolną kulę \( \displaystyle (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \) Z definicji granicy ciągu wiemy, że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego miejsca, czyli
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in (x_0-r,x_0+r). \)
To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w \( x_0 \) są wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) (czyli elementy zbioru \( A\setminus\{x_0\} \)), czyli \( x_0 \) jest punktem skupienia zbioru \( A. \)
Wprowadzimy teraz pojęcie granicy funkcji \( f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) w punkcie \( x_0\in \mathbb{R}. \) Można to zrobić na dwa równoważne sposoby.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Definicja 8.2. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( A \) będzie podzbiorem \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in \mathbb{R} \) będzie punktem skupienia zbioru \( A. \)
Mówimy, że funkcja \( f \) ma granicę (właściwą) \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \)
\( \bigg[ |x_0-x| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-g| < \varepsilon\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x) \longrightarrow [x \to x_0]{} g. \)
Definicja 8.3. [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech \( A \) będzie podzbiorem \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in \mathbb{R} \) będzie punktem skupienia zbioru \( A. \)
Mówimy, że funkcja \( f \) ma granicę (właściwą) \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0\in \mathbb{R}, \) jeśli
\( \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g\bigg]. \)
Piszemy wówczas
\( \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x)\x rightarrow [x \to x_0]{} g. \)
Wykażemy teraz, że dwie powyższe definicje są równoważne.
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji w punkcie są równoważne.
Dowód 8.4. [nadobowiązkowy]
Niech \( A \) będzie podzbiorem \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in \mathbb{R} \) będzie punktem skupienia zbioru \( A. \)
(1) Załóżmy, że funkcja \( f \) ma granicę \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Cauchy'ego. Pokażemy, że \( g \) jest także granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego. W tym celu niech \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\} \) będzie ciągiem takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0. \) Należy pokazać, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g. \)
Ustalmy dowolne \( \displaystyle\varepsilon>0. \) Z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wiemy, że
\( \exists \delta>0\ \forall x\in A\cap \big((x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ f(x)\in (g-\varepsilon,g+\varepsilon). \)
Ponieważ \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0, \) więc z definicji granicy, od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) są w kuli \( \displaystyle (x_0-\delta,x_0+\delta), \) czyli
\( \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |x_n-x_0| < \delta. \) Zatem z definicji Cauchy'ego wynika, że
\( \forall n\ge N:\ |f(x_n)-g| < \varepsilon. \) To oznacza, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g, \) czyli funkcja \( f \) ma granicę \( g \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego.
(2) Załóżmy, że funkcja \( f \) ma granicę \( g\in \mathbb{R} \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego. Pokażemy, że \( g \) jest także granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Cauchy'ego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że granica w sensie Cauchy'ego nie istnieje, to znaczy
\( \exists \varepsilon>0\ \forall \delta>0\ \exists x\in A:\ 0 < |x_0-x| < \delta\ \) oraz \( |f(x)-g|\ge\varepsilon, \) w szczególności biorąc \( \displaystyle\delta=\frac{1}{n}, \) dla powyższego \( \displaystyle\varepsilon>0, \) mamy
\( \forall n\in\mathbb{N}\ \exists x_n\in A:\ 0 < |x_0-x_n| < \frac{1}{n}\ \) oraz \( | |f(x_n)-g|\ge\varepsilon, \) Łatwo zauważyć, że dla skonstruowanego ciągu \( \displaystyle\{x_n\} \) mamy \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \) oraz nie jest prawdą, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=g, \) co jest sprzeczne z faktem, że \( g \) jest granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) w sensie definicji Heinego.
Kolejne definicje które będziemy wprowadzać, będą miały swoje wersje: Cauchy'ego i Heinego. W każdym przypadku będą one równoważne. Nie będziemy już jednak dowodzić tych równoważności (dowody są podobne do dowodu przedstawionego powyżej).
Zdefiniujemy teraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.
Definicja 8.5. [Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech \( A\subseteq \mathbb{R}, \) niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in A \) (\( x_0 \) nie musi być punktem skupienia zbioru \( A \)). Mówimy, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in \mathbb{R}, \) jeśli
\( \begin{align*} \textrm(Cauchy) & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\bigg]. \\ \textrm(Heine) & & \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*} \)
Mówimy, że funkcja \( f \) jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Zauważmy, że można mówić o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny. Z powyższej definicji wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie granicę równą wartości.
Uwaga 8.6.
Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.
Kolejne twierdzenie mówi, że ciągłość zachowuje się przy składaniu funkcji. Twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją definicji Heinego ciągłości funkcji w punkcie.
Twierdzenie 8.7. [Ciągłość złożenia]
Jeśli \( A,B\subseteq\mathbb{R} \) oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow B \) i \( \displaystyle g\colon B\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami, to
(1) jeśli \( f \) jest ciągła w \( x_0\in A \) oraz \( g \) jest ciągła w \( y_0=f(x_0)\in B, \) to \( g\circ f \) jest ciągła w \( x_0 \);
(2) jeśli \( f \) i \( g \) są funkcjami ciągłymi, to \( g\circ f \) jest także funkcją ciągła.
Dla funkcji o wartościach rzeczywistych możemy wykonywać działania na funkcjach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie). Naturalnym jest zatem pytanie o zachowanie się granic funkcji w punkcie po wykonaniu tych działań na funkcjach. Dowód poniższego twierdzenia jest prostą konsekwencją definicji Heinego granicy funkcji w punkcie oraz twierdzenia o arytmetyce granic (patrz twierdzenie 4.9.). Dowód pomijamy.
Twierdzenie 8.8. [O "arytmetyce" granic funkcji]
Jeśli \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R} \) jest punktem skupienia zbioru \( A, \)
\( f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami, \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f_1(x)=g_1 \) oraz \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f_2(x)=g_2, \) to
(1) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}|f_1|(x)=|g_1| \);
(2) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}(f_1\pm f_2)(x)=g_1\pm g_2 \);
(3) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}(f_1f_2)(x)=g_1g_2 \);
(4) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}(\frac{f_1}{f_2})(x)=\frac{g_1}{g_2}, \) o ile \( g_2\ne 0 \) oraz dla \( x\in A \) mamy \( f_2(x)\ne 0 \);
(5) \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}\big[f_1(x)\big]^{f_2(x)}=g_1^{g_2}, \) o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.
Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest kolejne twierdzenie mówiące, że ciągłość funkcji zachowuje się przy operacjach: wartości bezwzględnej, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Dowód pomijamy.
Twierdzenie 8.9.
Jeśli \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in A \) oraz \( f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami ciągłymi w punkcie \( x_0, \) to
(1) \( |f_1| \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \);
(2) \( f_1\pm f_2 \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \);
(3) \( f_1\cdot f_2 \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \);
(4) \( \displaystyle\frac{f_1}{f_2} \) jest funkcją ciągłą w \( x_0 \) (o ile \( f_2(x_0)\ne 0 \));
Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji możemy mówić o granicy niewłaściwej. Będziemy rozważać funkcje, których wartości zmierzają do \( +\infty \) (lub \( -\infty \)), gdy argumenty zmierzają do pewnego punktu skupienia dziedziny. Wprowadzimy następujące definicje.
Definicja 8.10. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech \( A\subseteq\mathbb{R} \) oraz \( x_0\in\mathbb{R} \) punktem skupienia zbioru \( A. \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) \( +\infty \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \ \exists\delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ f(x)>M. \bigg] \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) \( -\infty \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall M\in\mathbb{R}\ \ \exists\delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[|x-x_0| < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ f(x) < M. \bigg] \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego) \( +\infty \) w punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = x_0 \ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)= +\infty \bigg]. \)
Mówimy, że \( f \) ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego) \( -\infty \) punkcie \( x_0, \) jeśli
\( \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = x_0 \ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)= -\infty \bigg]. \)
W przypadku funkcji prowadzącej z podzbioru \( \displaystyle\mathbb{R} \) w \( \displaystyle\mathbb{R} \) oprócz wcześniej zdefiniowanych granic funkcji w punkcie oraz granic niewłaściwych można także rozważać tak zwane granice w "punktach niewłaściwych", to znaczy granice w \( +\infty \) lub \( -\infty \) (o ile \( +\infty \) lub \( -\infty \) są punktami skupienia dziedziny).
Podobnie jak na początku wykładu tak i tutaj wszystkie rodzaje definicji granic mają swoje odpowiedniki Cauchy'ego i Heinego. Podobnie jak miało to miejsce poprzednio obie wersje definicji są sobie równoważne.
Definicja 8.11. [Granica funkcji w punkcie niewłaściwym]
Niech \( g\in\mathbb{R} \) oraz niech \( \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją.
\( \begin{array} {rlclcl} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & g & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall \varepsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg], \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & g & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall \varepsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg], \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg], \end{array} \)
W końcu możemy także mówić o granicach niewłaściwych w punktach niewłaściwych. Odpowiednie definicje Cauchy'ego i Heinego (równoważne sobie) podane są poniżej.
Definicja 8.12. [Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym]
Niech \( \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją.
\( \begin{array} {rlclcl} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & +\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\ge N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow +\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & -\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\le N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow -\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & +\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\ge N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow +\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & -\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\le N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow -\infty\bigg] \end{array} \)
Dzięki liniowemu porządkowi jaki mamy w \( \displaystyle\mathbb{R}, \) dla funkcji prowadzących z podzbiorów \( \displaystyle\mathbb{R} \) możemy mówić o tak zwanych granicach jednostronnych w punkcie \( x_0. \) Mamy z nimi do czynienia w przypadku, gdy w definicji granicy ograniczymy się do ciągów leżących po jednej stronie punktu \( x_0 \) (w przypadku definicji Heinego) lub do części przedziału leżącej po jednej stronie punktu \( x_0 \) (w przypadku definicji Cauchy'ego).
Definicja 8.13. [Granice jednostronne funkcji]
Niech \( A\subseteq \mathbb{R}, \) niech \( x_0 \) będzie punktem skupienia zbioru \( A\cap (x_0,+\infty) \) oraz niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją. Granicę prawostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy \( \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}f(x) \) lub \( f(x_0^+) \) i definiujemy jako
\( \begin{array} {rclcl} \displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) & = & g & \ \ \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap(x_0,+\infty):\ \ \bigg[\big|x-x_0\big|\le \delta\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg] \\ & & & \ \ \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap(x_0,+\infty):\ \ \bigg[x_n\longrightarrow x_0\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg]. \end{array} \)
Niech \( A\subseteq \mathbb{R}, \) niech \( x_0 \) będzie punktem skupienia zbioru \( A\cap (-\infty,x_0) \) oraz niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją. Granicę lewostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy \( \displaystyle \lim_{x \to x_0^-}f(x) \) lub \( f(x_0^-) \) i definiujemy jako
\( \begin{array} {rclcl} \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x) & = & g & \ \ \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap(-\infty,x_0):\ \ \bigg[\big|x-x_0\big|\le \delta\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg] \\ & & & \ \ \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap(-\infty,x_0):\ \ \bigg[x_n\longrightarrow x_0\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg]. \end{array} \)
Jako ćwiczenie pozostawiamy samodzielnie zdefiniowanie granic jednostronnych niewłaściwych funkcji w punkcie.
Łatwo zaobserwować, że granica funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.
Dla funkcji określonej na podzbiorze liczb rzeczywistych możemy też mówić o ciągłości jednostronnej.
Definicja 8.15.
Niech \( A\subseteq \mathbb{R} \) oraz niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in A. \)
Mówimy, że funkcja \( f \) jest prawostronnie ciągła w punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \)
\( \begin{align*} \stackrel{\textrm{Cauchy}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[x\in[x_0,x_0+\delta) \ \Longrightarrow\ \big|f(x)-f(x_0)\big| < \varepsilon\bigg]; \\ \stackrel{\textrm{Heine}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap [x_0,+\infty):\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*} \)
Mówimy, że funkcja \( f \) jest lewostronnie ciągła w punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \)
\( \begin{align*} \stackrel{\textrm{Cauchy}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[x\in(x_0-\delta,x_0] \ \Longrightarrow\ \big|f(x)-f(x_0)\big| < \varepsilon\bigg]; \\ \stackrel{\textrm{Heine}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap (-\infty,x_0]:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*} \)
Przykład 8.16.
Rozważmy funkcję \( f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) daną wzorem
\( f(x) \ =\left \{ \begin{array} {lll} \displaystyle -x+1 & \textrm{dla} & \displaystyle x\le 0, \\ \displaystyle \mathrm{tg}\, x & \textrm{dla} & \displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \displaystyle x-\frac{\pi}{2} & \textrm{dla} & \displaystyle \frac{\pi}{2}\le x. \\ \end{array} \right . \)
Funkcja ta jest lewostronnie ciągła w punkcie \( x=0 \) oraz prawostronnie ciągła w punkcie \( \displaystyle x=\frac{\pi}{2}, \) ale nie jest prawostronnie ciągła w punkcie \( x=0 \) oraz nie jest lewostronnie ciągła w punkcie \( \displaystyle x=\frac{\pi}{2}. \) W pozostałych punktach \( x\in\mathbb{R} \) funkcja jest ciągła, a więc w szczególności lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
Kolejne twierdzenie podaje związek między ciągłością, a ciągłością lewostronną i prawostronną. Jest ono natychmiastową konsekwencją definicji.
Twierdzenie 8.17.
Funkcja \( f\colon\mathbb{R}\supseteq A\longrightarrow\mathbb{R} \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in A \) wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
Uwaga 8.18.
Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak i teraz w przypadku granic funkcji w punkcie można mówić o symbolach nieoznaczonych. Z symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia, gdy z istnienia granic dwóch funkcji w danym punkcie nie można określić jednoznacznie granicy funkcji, która powstanie z tych funkcji w wyniku wykonania danego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania).
Kolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji. Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi, dlatego nad znakiem "=" podajemy jaki symbol nieoznaczony tu występuje.
Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć w podręcznikach z analizy matematycznej. Pominiemy je w tym miejscu, gdyż będą one znacznie łatwiejsze, gdy zapoznamy się z rachunkiem różniczkowym i regułą de l'Hospitala.
Twierdzenie 8.19. [Granice specjalne]
(1) \( \displaystyle\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^{\alpha} \ =\left \{ \begin{array} {ll} +\infty & \quad\textrm{dla}\ \alpha>0, \\ 1 & \quad\textrm{dla}\ \alpha=0, \\ 0 & \quad\textrm{dla}\ \alpha < 0. \end{array} . \right. \)
(2) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to +\infty}a^xx^{\alpha} \ \stackrel{0\cdot\infty}{=}\ 0. \) dla \( a\in(0,1),\displaystyle\alpha\ge 0. \)
(3) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 \) oraz \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1. \)
(4) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \ \stackrel{1^{\infty}}{=}\ e,\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1+x)^{\frac{1}{x}} \ \stackrel{\infty^0}{=}\ 1. \)
(5) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \ln a, \) dla \( a>0, \) (w szczególności \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 \))
(6) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \frac{1}{\ln a}, \) dla \( a>0,a\ne 1, \) (w szczególności \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 \)).
(7) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} (1+\frac{a}{x})^x \ \stackrel{1^{\infty}}{=}\ e^a, \) dla \( a\in\mathbb{R}. \)
(8) \( \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ a, \) dla \( a\in\mathbb{R}. \)
Twierdzenie 8.20.
(1) Każdy wielomian \( w\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa \( \displaystyle (0,+\infty)\ni x\longmapsto x^{\alpha}\in\mathbb{R} \) (\( \displaystyle\alpha\in\mathbb{R} \)) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza \( \displaystyle (0,+\infty)\ni x\longmapsto a^x\in\mathbb{R} \) (\( a>0 \)) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne \( \displaystyle\sin,\displaystyle\cos,\displaystyle\mathrm{tg}\,,\displaystyle\mathrm{ctg}\, \) są ciągłe.
Dowód 8.20.
[Szkic] (Ad (1)) Łatwo pokazać (na przykład z definicji Heinego), iż funkcja stała \( f(x)=c \) (gdzie \( c\in\mathbb{R} \)) oraz funkcja identycznościowa \( g(x)=x \) są ciągłe w \( \displaystyle\mathbb{R}. \) Ponieważ każdy wielomian powstaje jako sumy i iloczyny tych dwóch funkcji, zatem korzystając z twierdzenia o "arytmetyce" granic funkcji (twierdzenie 8.8.) wnioskujemy, że dowolny wielomian jest ciągły.
(Ad (2)-(4)) Dowody tych punktów wykraczają poza materiał tego wykładu.
Jako wstęp do tej części wykładu proponujemy proste ćwiczenia z zakresu szkoły średniej.
(1) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale \( \displaystyle\bigg(0,\frac{\pi}{2}\bigg) \), która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(2) Narysować wykres funkcji ciągłej na \( \displaystyle\mathbb{R} \), która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(3) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale \( \displaystyle\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] \), która przyjmuje dowolnie duże wartości.
Odpowiedzi:
(Ad (1)) Przykładem takiej funkcji jest \( f(x)=\mathrm{tg}\, x. \)
(Ad (2)) Przykładem takiej funkcji jest \( f(x)=x^2. \)
(Ad (3)) Nie jest to możliwe!
Co zatem różni zbiory \( \displaystyle\bigg(0,\frac{\pi}{2}\bigg),\displaystyle\mathbb{R} \) od \( \displaystyle\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] \)? Otóż przedział \( \displaystyle\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] \) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym w \( \displaystyle\mathbb{R}, \) a zatem tak zwanym zbiorem zwartym, a to że nie mogliśmy narysować funkcji ciągłej na tym przedziale, która "ucieka do nieskończoności", to skutek faktu, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy (patrz poniższe twierdzenie Weierstrassa).
Zdefiniujemy teraz formalnie zbiory zwarte w \( \displaystyle\mathbb{R}. \)
Definicja 8.21.
Mówimy, że \( A\subseteq\mathbb{R}^N \) jest zbiorem zwartym, jeśli z każdego ciągu \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A \) można wybrać podciąg \( \displaystyle\{x_{n_k}\} \) zbieżny do granicy \( g\in A. \)
Zazwyczaj w matematyce wprowadza się bardziej ogólną definicję zwartości. Wówczas powyżej zdefiniowaną własność nazywa się ciągową zwartością. Jednak w \( \displaystyle\mathbb{R} \) obie definicje są równoważne, zatem zbiory ciągowo zwarte będziemy krótko nazywać zwartymi.
Przykład 8.22.
Zbiór \( A=(0,1)\subseteq\mathbb{R} \) nie jest zwarty. Faktycznie dla ciągu \( \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\} \) nie istnieje podciąg zbieżny do granicy w zbiorze \( A. \)
Poniższe twierdzenie mówi jakie zbiory w \( \displaystyle\mathbb{R}^N \) są zwarte (pozostawiamy je tutaj bez dowodu; będzie ono udowodnione na wykładzie z Analizy Matematycznej 2).
Twierdzenie 8.23.
Zbiór \( A\subseteq \mathbb{R}^N \) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Uwaga 8.24.
W tym miejscu dokończymy dowód twierdzenia o zbieżności ciągów Cauchy'ego w \( \mathbb{R}^N \) (patrz twierdzenie 3.30.).
Przypuśćmy, że ciąg \( \{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N \) spełnia warunek Cauchy'ego. Wtedy \( \{x_n\} \) jest ciągiem ograniczonym (patrz stwierdzenie 3.28.), a zatem zawiera się w pewnej kuli domkniętej \( \overline{K}(x,R) \). Ta kula jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zatem zwartym. W takim razie z ciągu \( \{x_n\} \) możemy wybrać podciąg zbieżny. Wobec stwierdzenie 3.29., ciąg \( \{x_n\} \) jest zbieżny.
Okazuje się, że jeśli weźmiemy obraz przez funkcję ciągłą zbioru zwartego, to otrzymamy także zbiór zwarty.
Twierdzenie 8.25.
Jeśli \( A \) jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle\mathbb{R} \) oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to \( f(A) \) jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle\mathbb{R}. \)
Dowód 8.25.
Aby pokazać zwartość zbioru \( f(A), \) weźmy dowolny ciąg \( \displaystyle\{y_n\}\subseteq f(A). \) Ponieważ każde \( y_n \) jest w obrazie zbioru \( A, \) więc dla każdego \( y_n \) istnieje \( x_n\in A \) takie, że \( f(x_n)=y_n. \) Ponieważ zbiór \( A \) jest zwarty (z założenia), zatem dla ciągu \( \displaystyle\{x_n\}\subseteq A \) istnieje podciąg \( \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\} \) zbieżny w \( A, \) to znaczy
\( \exists a\in A:\ \lim\limits_{k \to +\infty} x_{n_k} \ =\ a. \)
Z ciągłości funkcji \( f \) wynika, że
\( \lim\limits_{k \to +\infty} y_{n_k} \ =\ \lim\limits_{k \to +\infty} f(x_{n_k}) \ =\ f(a), \)
zatem pokazaliśmy, że ciąg \( \displaystyle\{y_{n}\} \) posiada podciąg zbieżny w \( f(A), \) co kończy dowód zwartości \( f(A). \)
Twierdzenie 8.26. [Weierstrassa]
Jeśli \( A\subseteq\mathbb{R} \) jest zbiorem zwartym oraz \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to funkcja \( f \) osiąga swoje kresy, to znaczy \( \exists x_1,x_2\in A\ \forall x\in A:\ f(x_1)\le f(x)\le f(x_2). \)
Dowód 8.26.
Ponieważ funkcja \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) jest ciągła, a zbiór \( A \) jest zwarty, więc z twierdzenie 8.25. wynika, że zbiór \( f(A) \) jest zwarty, a zatem także ograniczony (patrz twierdzenie 8.23.), to znaczy
\( \forall x\in A:\ -\infty < \inf f(A) \ \le\ f(x) \ \le\ \sup f(A) \ < \ +\infty. \)
Należy pokazać, że
\( \exists x_1,x_2\in A:\ f(x_1)=\inf f(A),\ f(x_2)=\sup f(A). \)
Pokażemy istnienie \( x_1 \) o powyższej własności (dowód istnienia \( x_2 \) jest analogiczny).
Niech \( m\ \stackrel{df}{=}\ \inf f(A) \) oraz dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że \( \displaystyle\inf f(A) \) nie jest realizowane, to znaczy
\( \forall x\in A:\ f(x)>m. \)
Zdefiniujmy nową funkcję \( \displaystyle g\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) w następujący sposób:
\( g(x) \ =\ \frac{1}{f(x)-m} \quad\textrm{dla}\ x\in A. \)
Definicja \( g \) jest poprawna (gdyż mianownik jest niezerowy) oraz funkcja \( g \) jest ciągła (porównaj twierdzenie 8.8.). Korzystając ponownie z twierdzenie 8.25. wiemy, że zbiór \( g(A) \) jest zwarty, a zatem także ograniczony, zatem jego supremum \( M\ \stackrel{df}{=}\ \sup g(A) \) jest skończone, czyli
\( 0 \ < \ M \ < \ +\infty. \) Oczywiście \( \forall x\in A: g(x)\le M. \)
Dla dowolnego \( x\in A, \) mamy
\( f(x) \ =\ \frac{1}{g(x)}+m \ \ge\ \frac{1}{M}+m, \)
w szczególności \( m < \inf f(A), \) sprzeczność.
Wykazaliśmy zatem, że funkcja \( f \) osiąga swój kres dolny, czyli
\( \exists x_1\in A:\ f(x_1)=\inf f(A). \)
Uwaga 8.27.
Założenie zwartości w twierdzeniu Weierstrassa jest niezbędne. Rozważmy funkcję \( f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) daną wzorem \( f(x)=\mathrm{arctg}\, x. \) Jest ona ciągła,
\( \sup_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\frac{\pi}{2},\quad \inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)=-\frac{\pi}{2}, \)
ale dla żadnego punktu \( x\in\mathbb{R} \) funkcja \( f \) nie przyjmuje wartości \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \) i \( \displaystyle -\frac{\pi}{2}. \)
Założenia twierdzenia Weierstrassa nie są tutaj spełnione gdyż zbiór \( \displaystyle\mathbb{R} \) nie jest zwarty.
Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiący, że jeśli funkcja ciągła jest dodatnia w pewnym punkcie, to jest także dodatnia w pewnym otoczeniu tego punktu.
Lemat 8.28.
Jeśli \( A\subseteq \mathbb{R},x_0\in A \) oraz funkcja \( f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) jest ciągła w punkcie \( x_0, \) to:
(1) jeśli \( f(x_0)>0, \) to
\( \exists \delta>0\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):\ f(x)>0 \) (2) jeśli \( f(x_0) < 0, \) to
\( \exists \delta>0\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta):\ f(x) < 0. \)
Dowód 8.28.
(1) Załóżmy, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in A \) oraz \( f(x_0)>0. \) Niech \( \displaystyle\varepsilon:=\frac{f(x_0)}{2}. \) Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie mamy, że
\( \exists \delta>0:\ \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta): \)
\( f(x)\in \bigg(f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2},f(x_0)+\frac{f(x_0)}{2}\bigg) \ =\ \bigg(\frac{f(x_0)}{2},\frac{3f(x_0)}{2}\bigg). \)
Zatem \( f(x)>0 \) dla \( x\in (x_0-\delta,x_0+\delta). \)
(2) Dowód jest analogiczny.
Kolejne twierdzenie to tak zwana własność Darboux dla funkcji ciągłych. Mówi ono, że funkcja ciągła na przedziale \( \displaystyle [a,b] \) i taka, że \( f(a) < 0 \) i \( f(b)>0 \) posiada pierwiastek w przedziale \( \displaystyle (a,b). \) Na tej własności opiera się, stosowana w metodach numerycznych, metoda bisekcji poszukiwania miejsc zerowych funkcji.
Twierdzenie 8.29. [Darboux]
Jeśli \( a < b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, \( f(a)\cdot f(b) < 0, \) to
\( \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=0. \)
Dowód 8.29.
[Szkic] Z warunku \( f(a)\cdot f(b) < 0 \) wynika, że funkcja \( f \) przyjmuje na końcach wartości różnych znaków, tzn \( f(a) < 0 < f(b) \) lub \( f(b) < 0 < f(a). \) Niech na przykład \( f(a) < 0 < f(b). \) Niech \( c:=\sup\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}. \) Zauważmy, że gdyby \( f(c) < 0 \) to istniałoby pewne \( \displaystyle\delta >0, \) takie, że dla wszystkich \( x\in (c-\delta, c+\delta) \) mielibyśmy \( f(x) < 0 \) (co wynika z lematu 8.28.). A zatem \( c \) nie byłoby supremum \( \displaystyle\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}, \) bo do tego zbioru należałby punkt \( c+\frac{\delta}{2}>c. \) Analogicznie, gdyby \( f(c)>0 \) to także dla \( x \) w pewnym przedziale \( \displaystyle (c-\delta', c+\delta') \) mielibyśmy \( f(x)>0, \) a zatem \( c \) nie byłoby supremum \( \displaystyle\{x\in[a,b] | f(x) < 0\}, \) bo na przykład punkt \( c-\frac{\delta'}{2} < c \) byłby mniejszym od \( c \) ograniczeniem górnym tego zbioru. A zatem jedyna możliwość to \( f(c)=0. \)
Wniosek 8.30
Jeśli \( a < b,\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, \( f(a) < f(b) \) (odpowiednio \( f(a)>f(b) \)), to
\( \forall w\in\big(f(a),f(b)\big)\ \ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=w \)
odpowiednio \( \forall w\in\big(f(b),f(a)\big)\ \ \exists c\in(a,b):\ \ f(c)=w). \)
Powyższe wyrażenia nazywamy własnością Darboux funkcji \( f. \)