Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \), \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \) często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.
Niech \( \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} \) będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), przy czym \( \displaystyle -\infty\leq a < b\leq \infty \). Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \) i jest równa \( \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} \). Jeśli istnieją granice funkcji
\( \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0 \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=0, \)
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \( \displaystyle a \) i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c. \)
Dowód 11.1.
(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle c\in\mathbb{R} \) jest skończona. Załóżmy również dodatkowo (aby uprościć dowód), że \( \displaystyle f(a)=g(a)=0 \). Niech \( \displaystyle h>0 \) będzie dowolną liczbą taką, że \( \displaystyle a+h < b \). Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla pewnej liczby \( \displaystyle \xi \in (a, a+h) \) zachodzi równość:
\( \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{g(a+h)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \)
czyli
\( \displaystyle \frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \) gdyż \( f(a)=g(a)=0. \)
Wartość \( \displaystyle \xi \) zależy od wyboru \( \displaystyle h \). Jeśli punkt \( \displaystyle a+h \) zmierza do \( \displaystyle a \), punkt pośredni \( \displaystyle \xi \) również będzie zmierzał do \( \displaystyle a \). Wobec tego w granicy przy \( \displaystyle h\to 0 \) dostajemy równość:
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. \)
Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \lim_{\xi\to a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \) w punkcie \( \displaystyle a \), to istnieje również granica ilorazu funkcji \( \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \) w tym punkcie i są one równe.
Uwaga 11.2.
Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka \( \displaystyle x\mapsto\frac{f(x)}{g(x)} \) spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.
- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \),
- czy istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \frac{f'(x)}{g'(x)} \) w punkcie \( \displaystyle a \),
- czy obie funkcje \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle g \) zmierzają do zera w punkcie \( \displaystyle a \).
Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości zbiorów zadań i w podręcznikach)
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)
należy rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą ilorazu pochodnych.
W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie do badania istnienia granic ilorazu \( \displaystyle \frac{f}{g} \) w przypadku nieoznaczoności typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \). Prawdziwe jest również następujące twierdzenie
Twierdzenie 11.3.
Niech \( \displaystyle f,g: (a,b) \mapsto \mathbb{R} \) będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), przy czym \( \displaystyle -\infty\leq a < b\leq \infty \). Załóżmy, że istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \) i jest równa \( \displaystyle c\in \overline{\mathbb{R}} \). Jeśli istnieją granice funkcji
\( \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty \text{ oraz }\lim_{x\to a }g(x)=\infty, \)
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie \( \displaystyle a \) i jest równa granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=c. \)
Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji \( \displaystyle \frac{f}{g} \) w przypadku nieoznaczoności typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \), możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \). Wystarczy bowiem iloraz \( \displaystyle \frac{f}{g} \) zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji \( \displaystyle f \), \( \displaystyle g \), tj.
\( \displaystyle \frac{f}{g}=\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}}, \)
gdyż iloraz \( \displaystyle\frac{\frac{1}{g}}{\frac{1}{f}} \) jest symbolem typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \), gdy \( \displaystyle \frac{f}{g} \) jest symbolem nieoznaczonym typu \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \).
Przykład 11.4.
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \) istnieje granica
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0. \)
Niech \( \displaystyle n=1 \). Iloraz \( \displaystyle \frac{x}{\exp x} \) spełnia założenia reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w \( \displaystyle \mathbb{R} \), iloraz \( \displaystyle \frac{x}{\exp x} \) stanowi symbol nieoznaczony \( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) i istnieje granica ilorazu pochodnych
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x)'}{(\exp x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\exp x}=0. \)
Stąd istnieje
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0. \)
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle k\geq 1 \) prawdziwa jest implikacja
\( \displaystyle \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0\bigg]\Longrightarrow \bigg[\exists\lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0\bigg]. \)
Skoro istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{\exp x}=0 \), to istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji \( \displaystyle x\mapsto x^{k+1} \) i \( \displaystyle x\mapsto \exp x \), gdyż
\( \displaystyle \frac{(x^{k+1})'}{(\exp x)'}=(k+1)\frac{x^k}{\exp x}\to 0, \) gdy \( x\to\infty. \)
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{k+1}}{\exp x}=0. \) Na mocy zasady indukcji matematycznej granica \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\exp x}=0 \) istnieje dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \).
Wniosek 11.5.
Jeśli \( \displaystyle w \) jest dowolnym wielomianem, to \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 \). Innymi słowy: funkcja wykładnicza \( \displaystyle \exp \) zmierza do nieskończoności szybciej niż jakikolwiek wielomian.
Dowód 11.5.
Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów \( \displaystyle w(x)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n \). Skoro iloraz dowolnego jednomianu i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów
\( \displaystyle a_0 \frac{1}{\exp x}+a_1\frac{ x}{\exp x}+\dots +a_n \frac{x^n}{\exp x} \)
także zmierza do zera, gdy \( \displaystyle x\to \infty \).
Wniosek 11.6.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle a \) istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0 \).
Dowód 11.6.
Dla dowolnej liczby \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) potrafimy znaleźć liczbę naturalną \( \displaystyle n \) większą od \( \displaystyle |a| \). Wówczas dla \( \displaystyle x>1 \) mamy
\( \displaystyle 0\leq \frac{x^a}{\exp x} \leq \frac{x^n}{\exp x}. \)
Skoro \( \displaystyle \frac{x^n}{\exp x}\to 0 \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \), to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\exp x}=0 \).
W poprzednim module rozważaliśmy funkcję
\( \displaystyle f(t)=\left\{ \begin{align*} & \exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0 \end{align*} .\right. \)
i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że
Uwaga 11.7.
Funkcja \( \displaystyle f \) ma w punkcie \( \displaystyle t=0 \) pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.
Dowód 11.7.
Dla \( \displaystyle h < 0 \) iloraz różnicowy \( \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 \). Z kolei dla \( \displaystyle h>0 \) mamy
\( \displaystyle \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x}{\exp x} \),gdzie \( x=h^{-1} \).
Zauważmy, że \( \displaystyle x\to\infty \), gdy \( \displaystyle h\to 0^{+} \). Ponieważ istnieje granica \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{\exp x}=0 \), więc istnieje również granica \( \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-1}}{\exp(h^{-1})}=0. \) Stąd istnieje \( \displaystyle f'(0)=0 \). Dla \( \displaystyle x\neq 0 \) wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)
\( \displaystyle f'(t)=\{ \begin{align*} & t^{-2}\exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0 \end{align*} . \)
Rozważmy następnie iloraz różnicowy \( \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h} \). Dla \( \displaystyle h < 0 \) mamy \( \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0 \), natomiast gdy \( \displaystyle h>0 \) zachodzi równość
\( \displaystyle \frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\frac{h^{-2}\exp(-h^{-1})-0}{h}=\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=\frac{x^3}{\exp x} \) gdzie \( x=h^{-1}. \)
Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica \( \displaystyle \lim_{x \to\infty}\frac{x^3}{\exp x}=0 \), więc istnieje również granica
\( \displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{h^{-3}}{\exp(h^{-1})}=0. \)
Stąd istnieje \( \displaystyle f''(0)=0 \). Wobec tego, że dla \( \displaystyle t < 0 \) mamy \( \displaystyle f''(t)=0 \), a dla dodatnich \( \displaystyle t>0 \) - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość
\( \displaystyle \begin{align*} f''(t) & = \big(t^{-2}\exp(-t^{-1})\big)' \\ & =(t^{-2})'\exp(-t^{-1})+t^{-2}\big(\exp(-t^{-1})\big)' \\ & = -2t^{-3}\exp(-t^{-1})+t^{-2}(t^{-2})\exp(-t^{-1}) \\ & =(-2t^{-3}+t^{-4})\exp(-t^{-1}).\end{align*} \)
Wobec tego druga pochodna \( \displaystyle f'' \) istnieje w każdym punkcie \( \displaystyle t \) i wyraża się wzorem
\( \displaystyle f''(t)=\left\{ \begin{align*} & (t^{-4}-2t^{-3})\exp(-t^{-1}), & \text{ dla }& t>0 \\ & 0, & \text{ dla }& t\leq 0. \end{align*} \right. \)
Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle k \) pochodna rzędu \( \displaystyle k \) funkcji \( \displaystyle f \) wyraża się wzorem
\( \displaystyle f^{(k)}(t)=\left\{ \begin{align*} & v(t^{-1})\exp(-t^{-1}), & \text{ dla } t>0 \\ & 0, & \text{ dla } t\leq 0, \end{align*} \right. \)
gdzie \( \displaystyle x\mapsto v(x) \) jest pewnym wielomianem zmiennej \( \displaystyle x \) (podstawiamy \( \displaystyle x=t^{-1} \)). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu \( \displaystyle k \) funkcji \( \displaystyle f \) jest postaci
\( \displaystyle \frac{f^{(k)}(0+h)-f^{(k)}(0)}{h}=\left\{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } h < 0, \\ & \frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}, & \text{ dla } h>0,\end{align*} \right. \)
gdzie \( \displaystyle w: x\mapsto w(x) \) jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za \( \displaystyle t^{-1}=x \), wobec istnienia
granicy \( \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{w(x)}{\exp x}=0 \) wnioskujemy o istnieniu granicy \( \displaystyle\lim_{t\to 0+}\frac{w(t^{-1})}{\exp (t^{-1})}=0 \). W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy \( \displaystyle h\to 0^{-} \), więc istnieje \( \displaystyle f^{(k+1)}(0)=0 \). Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc \( \displaystyle f^{(n)}(0)=0 \) dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \).
Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności funkcji logarytmicznej i funkcji \( \displaystyle x\mapsto x^a \), gdy \( \displaystyle a>0 \). Wykażemy, że
Uwaga 11.8.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle a>0 \) istnieją granice
\( \displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0 \ \text{ oraz } \lim_{x\to \infty} \frac{ \ln x}{x^a}=0. \)
Dowód 11.8.
Obie funkcje \( \displaystyle x\mapsto \ln x \) oraz \( \displaystyle x\mapsto x^{-a} \) są różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją granice \( \displaystyle\lim_{x\to 0+} \ln x=-\infty \) oraz \( \displaystyle\lim_{x\to 0+} x^{-a}=\infty \). Ponadto iloraz pochodnych tych funkcji
\( \displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^{-a})'}=\frac{x^{-1}}{-ax^{-a-1}}=-a^{-1}x^{a} \)
zmierza do zera, gdy \( \displaystyle x\to 0+ \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle a>0 \). Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje
\( \displaystyle \lim_{x\to 0+} x^a \ln x=0. \)
Z kolei przy \( \displaystyle x\to\infty \) mamy \( \displaystyle \ln x\to \infty \), \( \displaystyle x^a\to\infty \) dla \( \displaystyle a>0 \). Iloraz pochodnych tych funkcji
\( \displaystyle \frac{(\ln x)'}{(x^a)'}=\frac{x^{-1}}{ax^{a-1}}=\frac{1}{ax^a} \)
zmierza do zera przy \( \displaystyle x\to \infty \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle a>0 \). Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także
\( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x^a}=0. \)
Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek potęga zmiennej \( \displaystyle x \) o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez jakąkolwiek potęgę zmiennej \( \displaystyle x \) o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.
Reguła de l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych granic.
Twierdzenie 11.9.
Istnieją granice
a) \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \),
b) \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \),
c) \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1 \),
d) \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp a \), dla dowolnej liczby \( \displaystyle a\in\mathbb{R} \).
Dowód 11.9.
a) Funkcje \( \displaystyle f(x)=\sin x \) i \( \displaystyle g(x)=x \) są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \( \displaystyle x \) zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \( \displaystyle\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\frac{\cos x}{1}\to 1 \), gdy \( \displaystyle x\to 0 \). Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \).
b) Funkcje \( \displaystyle f(x)=1- \cos x \) i \( \displaystyle g(x)=x^2 \) są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \( \displaystyle x \) zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \( \displaystyle\frac{(1-\cos x)'}{(x^2)'}=\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}\frac{\sin x}{x}\to \frac{1}{2} \) na mocy punktu a). Stąd istnieje także \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \).
c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach \( \displaystyle f(x)=\ln (1+x) \) i \( \displaystyle g(x)=x \) są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument \( \displaystyle x \) zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych \( \displaystyle\frac{(\ln (1+x))'}{(x)'}=\frac{1}{x+1}\to 1 \), gdy \( \displaystyle x\to 0 \). Stąd istnieje \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1 \).
d) Wyrażenie \( \displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x \) stanowi przy \( \displaystyle x\to \infty \) symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle 1^\infty \). Przekształćmy je
\( \displaystyle \big(1+\frac{a}{x}\big)^x=\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg). \)
Zauważmy, że wykładnik
\( \displaystyle x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)=a\cdot \frac{\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)}{\frac{a}{x}}\to a\cdot 1, \text{ gdy } x\to \infty, \)
gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz \( \displaystyle \frac{\ln(1+t)}{t} \) zmierza do jedynki, gdy \( \displaystyle t=\frac{a}{x} \) zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej istnieje granica
\( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\exp\bigg(x\ln\big(1+\frac{a}{x}\big)\bigg)=\exp a. \)
Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu \( \displaystyle a_n = (1+\frac{1}{n})^n \), nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji \( \displaystyle f(x)=\big(1+\frac{a}{x}\big)^x \) przy \( \displaystyle x\to \infty \), stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.
Niech \( \displaystyle a\in \bar{\mathbb{R}} \). Zauważmy, że istnienie skończonej granicy ilorazu \( \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=C \) oznacza, że w pewnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \) funkcje \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle C g \) są w przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w punkcie \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle \epsilon>0 \) istnieje
\( \displaystyle \delta >0 \) taka, że
\( \displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}-C\big| < \epsilon, \) o ile \( x\in (a-\delta, a+\delta), \)
co jest równoważne nierówności
\( \displaystyle C-\epsilon < \frac{f(x)}{g(x)} < C+\epsilon, \)
czy też
\( \displaystyle (C-\epsilon)g(x) < f(x) < (C+\epsilon)g(x) \)
w pobliżu punktu \( \displaystyle a \). Podobnie, gdy \( \displaystyle a=\infty \), istnienie skończonej granicy \( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=C \) oznacza, że dla dużych wartości argumentu \( \displaystyle x \) obie funkcje \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle C g \) są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla \( \displaystyle \epsilon>0 \) potrafimy wskazać taką liczbę \( \displaystyle M \), że na prawo od niej, tj. w przedziale \( \displaystyle (M, +\infty) \) iloraz \( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \) różni się od stałej \( \displaystyle C \) o nie więcej niż \( \displaystyle \epsilon \). Innymi słowy dla \( \displaystyle x>M \) mamy nierówność \( \displaystyle (C-\epsilon)g(x) < f(x) < (C+\epsilon)g(x) \).
Niech \( \displaystyle f, g \) będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \) (tj. w przedziale postaci \( \displaystyle (a, a+h) \) lub \( \displaystyle (a-h, a) \), dla pewnego \( \displaystyle h>0 \), gdy \( \displaystyle a \) jest liczbą skończoną, bądź też w przedziale postaci \( \displaystyle (M, \infty) \), \( \displaystyle (-\infty, M) \), gdy \( \displaystyle a=\infty \) lub \( \displaystyle a=-\infty \)).
Definicja 11.10.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest rzędu \( \displaystyle o(g(x)) \) w punkcie \( \displaystyle a \), jeśli istnieje granica (prawo- lub lewostronna) ilorazu \( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \) w punkcie \( \displaystyle a \) i jest równa zeru.
Jeśli iloraz \( \displaystyle \big|\frac{f(x)}{g(x)}\big| \) jest ograniczony w pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu \( \displaystyle a \), to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest rzędu \( \displaystyle O(g(x)) \) w punkcie \( \displaystyle a \).
Symbole \( \displaystyle o(g(x)) \) oraz \( \displaystyle O(g(x)) \) nazywamy symbolami Landaua. Czytamy je o małe oraz O duże od \( \displaystyle g(x) \).
Zauważmy, że jeśli \( \displaystyle f(x)=o(g(x)) \) w punkcie \( \displaystyle a \), to \( \displaystyle f(x)=O(g(x)) \) w tym punkcie, ale nie na odwrót.
Uwaga 11.11.
Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące arytmetykę symboli \( \displaystyle o \) małe i \( \displaystyle O \) duże.
\( \displaystyle \begin{align*} & o+o=o \ \ & \ & o\cdot o=o \\ & o+O=O \ \ & \ & o\cdot O=o \\ & O+O=O \ \ & \ & O\cdot O=O.\end{align*} \)
Często spotyka się symbole \( \displaystyle o \) małe i \( \displaystyle O \) duże w następujących przypadkach:
\( \displaystyle f(x)=g(x)+o(x^n), \ x\to a, \)
co oznacza, że iloraz \( \displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{x^n} \) zmierza do zera przy \( \displaystyle x\to a \)
lub
\( \displaystyle f(x)=g(x)+O(x^n), \ x\to a, \)
gdy iloraz \( \displaystyle \big|\frac{f(x)-g(x)}{x^n}\big| \) jest ograniczony przy \( \displaystyle x\to a \).
W szczególności zapis
\( \displaystyle f(x)=g(x)+o(1) \)
oznacza po prostu, że
\( \displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)-g(x)\big)=0, \)
zaś
\( \displaystyle f(x)=g(x)+O(1) \)
piszemy, gdy różnica
\( \displaystyle |f(x)-g(x)| \)
jest ograniczona przy \( \displaystyle x\to a \).
Definicja 11.12.
Jeśli istnieją stałe \( \displaystyle a, b \) takie, że \( \displaystyle f(x)=ax+b+o(1) \), przy \( \displaystyle x\to\infty \) (lub \( \displaystyle x\to-\infty \)), to prostą o równaniu \( \displaystyle y=ax+b \) nazywamy asymptotą ukośną funkcji \( \displaystyle f \) przy \( \displaystyle x \) zmierzających do \( \displaystyle \infty \) (lub \( \displaystyle -\infty \)). W szczególnym przypadku, gdy \( \displaystyle a=0 \) mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma asymptotę poziomą o równaniu \( \displaystyle y=b \).
Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie \( \displaystyle a\in \mathbb{R} \) istnieje granica nieskończona \( \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) \) (lub \( \displaystyle \lim_{x\to a-}f(x) \)), to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma w punkcie \( \displaystyle a \) asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) \( \displaystyle x=a \). Jeśli prosta \( \displaystyle x=a \) jest zarówno prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji \( \displaystyle f \) (czyli obie granice jednostronne \( \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) \) oraz \( \displaystyle \lim_{x\to a-}f(x) \) istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja \( \displaystyle f \) ma asymptotę pionową \( \displaystyle x=a \).
Uwaga 11.13.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) ma asymptotę ukośną \( \displaystyle y=ax+b \) w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną \( \displaystyle y=\alpha x+\beta \) w minus nieskończoności), to
\( \displaystyle a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz } b=\lim_{x\to\infty} (f(x)-ax) \)
i odpowiednio:
\( \displaystyle \alpha =\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x} \text{ oraz }\beta=\lim_{x\to -\infty} (f(x)-\alpha x) \)
Dowód 11.13.
Jeśli \( \displaystyle f(x)=ax+b+o(1) \), to \( \displaystyle \frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}\to 0 \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \). Stąd \( \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to a \).
Skoro \( \displaystyle f(x)-ax=b+o(1) \), to \( \displaystyle f(x)-ax\to b \), przy \( \displaystyle x\to \infty \). W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.
Przykład 11.14.
a) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\exp x \) ma asymptotę poziomą \( \displaystyle y=0 \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \), czyli \( \displaystyle \exp x=0+o(1) \), gdy \( \displaystyle x\to -\infty \). Nie ma asymptoty przy \( \displaystyle x\to \infty \).
b) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\mathrm{arctg}\, x \) ma przy \( \displaystyle x\to-\infty \) asymptotę poziomą \( \displaystyle y=-\frac{\pi}{2} \), a przy \( \displaystyle x\to \infty \) asymptotę poziomą \( \displaystyle y=\frac{\pi}{2} \). Możemy to też zapisać w postaci \( \displaystyle \mathrm{arctg}\, x=\frac{\pi}{2}+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \mathrm{arctg}\, x=-\frac{\pi}{2}+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
c) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sqrt{4x^2-1} \) ma przy \( \displaystyle x\to\infty \) asymptotę ukośną \( \displaystyle y=2x \), a przy \( \displaystyle x\to-\infty \) asymptotę ukośną \( \displaystyle y=-2x \), czyli \( \displaystyle \sqrt{4x^2-1}=2x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \sqrt{4x^2-1}=-2x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
d) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} \) ma przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz przy \( \displaystyle x\to-\infty \) asymptotę poziomą \( \displaystyle y=0 \), czyli \( \displaystyle \frac{\sin x}{x}=0+o(1) \) przy \( \displaystyle |x|\to \infty \).
e) Zauważmy także, że \( \displaystyle \sinh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \sinh x=-\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
f) Podobnie \( \displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp x+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to\infty \) oraz \( \displaystyle \cosh x=\frac{1}{2}\exp(- x)+o(1) \) przy \( \displaystyle x\to-\infty \).
Z powyższych przykładów wynika, że
Uwaga 11.15.
Funkcja \( \displaystyle f \) może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy ilorazu \( \displaystyle \frac{f(x)}{x} \) osobno przy \( \displaystyle x\to\infty \) i
\( \displaystyle x\to-\infty \).
Przykład 11.16.
Wykazaliśmy już, że \( \displaystyle \frac{\sin x}{x}=1+o(1) \), co można też zapisać \( \displaystyle \sin x=x+o(x) \), przy \( \displaystyle x\to 0 \). Można też wykazać, że
\( \displaystyle \begin{align*} \sin x & =1-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5) \\ & =1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+o(x^7)\end{align*} \)
Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim module) wynika, że
Uwaga 11.17.
Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją \( \displaystyle (n+1) \) razy różniczkowalną w otoczeniu punktu \( \displaystyle a \), to
\( \displaystyle \begin{align*} f(a+h) & =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n) \\ & =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+O(h^{n+1}), \text{ przy } h\to 0. \end{align*} \)
Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.
Rozważmy następujący
Przykład 11.18.
Sprawdźmy, czy istnieje granica
\( \displaystyle \lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}. \)
Zauważamy, że iloraz funkcji \( \displaystyle f(t)=8t-\sqrt{63+t} \) oraz \( \displaystyle g(t)=4-\root{3}\of{63+t} \) stanowi w punkcie \( \displaystyle t=1 \) symbol nieoznaczony \( \displaystyle \frac{0}{0} \). Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych \( \displaystyle \frac{f'(t)}{g'(t)} \) w punkcie \( \displaystyle t=1 \). Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie \( \displaystyle u:=\root{6}\of{63+t} \) sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica
\( \displaystyle \frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}=\frac{8(u^6-63)-u^3}{4(u^6-63)-u^2} \)
ilorazu dwóch wielomianów \( \displaystyle F(u)=8(u^6-63)-u^3 \) oraz \( \displaystyle G(u)=4(u^6-63)-u^2 \) w punkcie \( \displaystyle u=2 \), ponieważ \( \displaystyle u(t)=\root{6}\of{63+t}\to 2 \), gdy \( \displaystyle t\to 1 \). Iloraz \( \displaystyle \frac{F(u)}{G(u)} \) stanowi symbol nieoznaczony \( \displaystyle \frac{0}{0} \) w punkcie \( \displaystyle u=2 \). Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste
\( \displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{48u^5-3u^2}{24u^5-2u} =\frac{48u^4-3u}{24u^4-2}\to \frac{381}{191}, \) gdy \( u\to 2. \)
Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica \( \displaystyle\lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}} \) i jest równa \( \displaystyle \frac{381}{191} \).
Przykład 11.19.
Zbadajmy, czy funkcja \( \displaystyle f(x)=(x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big) \) ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz \( \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to e \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \). Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy \( \displaystyle f(x)-ex \) przy \( \displaystyle x\to \infty \). Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle \infty-\infty \). Przekształćmy je:
\( \displaystyle \begin{align*} f(x)-ex & = (x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-ex \\ & =x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg) \\ & =\frac{\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e}{\frac{1}{x}}. \end{align*} \)
Ułamek o liczniku \( \displaystyle \big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e \) oraz mianowniku \( \displaystyle \frac{1}{x} \) stanowi symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \) przy \( \displaystyle x\to \infty \). Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu \( \displaystyle (M, \infty) \), dla pewnego \( \displaystyle M \). Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za \( \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=:u \) nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem
\( \displaystyle \begin{align*} f(x)-ex & =x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg) \\ & =\frac{u+1}{u-1}\bigg[\big(1+2\frac{u-1}{u+1}\big)\exp u-e\bigg] \\ & =\frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1}. \end{align*} \)
Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu
\( \displaystyle \frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1} \) przy \( u\to 1 \)
(ponieważ \( \displaystyle u(x)=\frac{x+1}{x-1}\to 1 \), gdy \( \displaystyle x\to\infty \)) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji
\( \displaystyle F(u)=(3u-1)\exp u-(u+1)e \) oraz \( G(u)=u-1 \)
stanowi symbol nieoznaczony typu \( \displaystyle \frac{0}{0} \) w punkcie \( \displaystyle u=1 \); obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę
\( \displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{3\exp u+(3u-1)\exp u -e}{1}\to 4e, \) gdy \( u\to 1. \)
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu \( \displaystyle \lim_{u\to 1}\frac{F(u)}{G(u)} \) i jest równa \( \displaystyle 4e \). Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta \( \displaystyle y=ex+4e \) jest asymptotą ukośną funkcji \( \displaystyle f \) przy \( \displaystyle x\to \infty \). Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji \( \displaystyle f \) przy \( \displaystyle x\to -\infty \).