Pojęcie wypukłości jest nam znane z geometrii. Mówimy, że podzbiór \( \displaystyle A \) przestrzeni wektorowej \( \displaystyle X \) jest wypukły, jeśli dowolny odcinek o końcach należących do zbioru \( \displaystyle A \) jest zawarty w tym zbiorze. Innymi słowy:
\( \displaystyle \forall x, y\in A \ \forall t\in [0,1] \ : \ (1-t)x+ty\in A. \)
Zbiór
\( \displaystyle \{(1-t)x+ty, \ 0\leq t\leq 1\} \)
jest odcinkiem o końcach \( \displaystyle x \), \( \displaystyle y \). Punkty \( \displaystyle x \), \( \displaystyle y \) uzyskamy, gdy w kombinacji liniowej \( \displaystyle (1-y)x+ty \) parametr \( \displaystyle t \) przyjmie odpowiednio wartość \( \displaystyle 0 \) lub \( \displaystyle 1 \). Gdy \( \displaystyle t=\frac{1}{2} \), otrzymujemy punkt \( \displaystyle \frac{1}{2}(x+y) \), który jest środkiem odcinka łączącego punkty \( \displaystyle x \) oraz \( \displaystyle y \). Zauważmy też, że zbiory
\( \displaystyle \{(1-t)x+ty, \ t\leq 1\} \)
oraz
\( \displaystyle\{(1-t)x+ty, \ 0\leq t\} \)
to - odpowiednio - półprosta o początku \( \displaystyle x \) przechodząca przez punkt \( \displaystyle y \) oraz półprosta o początku \( \displaystyle y \) przechodząca przez punkt \( \displaystyle x. \)
Definicję funkcji wypukłej opieramy na intuicji geometrycznej.
Definicja 12.1.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:(a,b)\mapsto \mathbb{R} \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jeśli jej nadwykres
\( \displaystyle \{(x, y) : a < x < b, \ y\geq f(x)\} \)
jest zbiorem wypukłym, to znaczy
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in [0,1] \ f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y). \)
Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka \( \displaystyle 0 < t < 1 \)), tzn.
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in (0,1) \ f((1-t)x+ty) < (1-t)f(x)+tf(y), \)
to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
Z kolei, jeśli zachodzą nierówności przeciwne, tj.
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in [0,1] : \ f((1-t)x+ty)\geq (1-t)f(x)+tf(y) \)
oraz odpowiednio
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in (0,1) : \ f((1-t)x+ty)> (1-t)f(x)+tf(y), \)
to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest wklęsła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) oraz - odpowiednio - ściśle wklęsła.
Zwróćmy uwagę, że jeśli funkcja nie jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), to nie oznacza to, że jest wklęsła w tym przedziale. Na przykład funkcja Dirichleta
\( \displaystyle D(x)=\left\{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } & x\in [0,1]\cap\mathbb{Q} \\ & 1, & \text{ dla } & x\in [0,1]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{align*} \right. \)
nie jest wypukła w żadnym przedziale \( \displaystyle (a,b)\subset [0,1] \), ale nie jest też wklęsła.
Zauważmy, że jeśli \( \displaystyle x=(1-t)a+tb \), to nierówność
\( \displaystyle f\big((1-t)a+tb\big)\leq (1-t)f(a)+tf(b), \)
za pomocą której określiliśmy wypukłość funkcji w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jest równoważna nierówności
\( \displaystyle f(x)\leq\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b) \)
lub
\( \displaystyle 0\leq (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b), \)
którą możemy również zapisać w postaci łatwej do zapamiętania za pomocą wyznacznika
\( \displaystyle w_f(x):=\det [1 & a & f(a) \\ 1 & x & f(x) \\ 1 & b & f(b)] \geq 0. \)
Uwaga 12.2.
Funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła, wklęsła, ściśle wklęsła) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby \( \displaystyle x\in(a,b) \) wyznacznik \( \displaystyle w_f(x)\geq 0 \) (odpowiednio: \( \displaystyle w_f(x)> 0 \), \( \displaystyle w_f(x)\leq 0 \), \( \displaystyle w_f(x) < 0 \)).
Sformułujmy parę uwag, które wynikają bezpośrednio z definicji wypukłości funkcji.
Uwaga 12.3.
a) Jeśli \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale \( \displaystyle (a_1, b_1) \) zawartym w \( \displaystyle (a,b). \)
b) Funkcja \( \displaystyle x\mapsto f(x) \) jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja \( \displaystyle x\mapsto -f(x) \) jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym przedziale.
c) Jeśli \( \displaystyle C>0 \) jest stałą dodatnią, to funkcja \( \displaystyle x\mapsto C f(x) \) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle f \) jest wypukła.
d) Jeśli \( \displaystyle C \) jest dowolną stałą, to funkcja \( \displaystyle x\mapsto C+ f(x) \) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle f \) jest wypukła.
e) Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.
Kolejne elementarne własności funkcji wypukłych podaje
Twierdzenie 12.4.
a) Złożenie \( \displaystyle g\circ f \) funkcji wypukłych \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) jest funkcją wypukłą, jeśli \( \displaystyle g \) jest funkcją rosnącą.
b) Funkcja \( \displaystyle g \) odwrotna do funkcji \( \displaystyle f \) wypukłej rosnącej jest wklęsła rosnąca.
c) Funkcja ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) nie osiąga maksimum w żadnym punkcie tego przedziału.
d) Funkcja ściśle wklęsła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) nie osiąga minimum w żadnym punkcie tego przedziału.
Dowód 12.4.
a) Funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w \( \displaystyle (a,b) \), więc
\( \displaystyle f\big((1-t)x+ty\big)\leq (1-t)f(x)+tf(y) \)
dla dowolnych \( \displaystyle x,y\in (a,b) \), \( \displaystyle t\in [0,1] \). Mamy następnie nierówność
\( \displaystyle g\bigg(f\big((1-t)x+ty\big)\bigg)\leq g\big((1-t)f(x)+tf(y)\big), \)
ponieważ funkcja \( \displaystyle g \) jest rosnąca. Zuwagi na wypukłość \( \displaystyle g \) mamy
\( \displaystyle g\big((1-t)f(x)+tf(y)\big)\leq (1-t)g(f(x))+tg(f(y)), \)
czyli
\( \displaystyle (g\circ f)\big((1-t)x+ty\big)\leq (1-t)(g\circ f )(x)+t(g\circ f )(y) \)
dla dowolnych \( \displaystyle x,y\in (a,b) \) i \( \displaystyle 0\leq t\leq 1 \). Stąd złożenie \( \displaystyle g\circ f \) jest funkcją wypukłą.
b) Niech \( \displaystyle a < x_1 < x_2 < b \) i niech \( \displaystyle y_1=f(x_1) \), \( \displaystyle y_2=f(x_2) \). Wówczas \( \displaystyle g(y_1)=x_1 \) oraz \( \displaystyle g(y_2)=x_2 \). Funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, gdyż
\( \displaystyle \begin{align*} x_1 & < x_2 & & \Leftrightarrow \ \ f(x_1) < f(x_2) \\ & & \Updownarrow & \\ g(y_1) & < g(y_2) & & \Leftrightarrow \ \ y_1 < y_2.\end{align*} \)
Z wypukłości funkcji \( \displaystyle f \) mamy
\( \displaystyle f\big((1-t)x_1 +t x_2\big) \leq (1-t)f(x_1)+tf(x_2) \ \ \text{ dla } t\in [0,1], \)
co jest równoważne nierównościom
\( \displaystyle \begin{align*} & g\bigg(f\big((1-t)x_1 +t x_2\big)\bigg) & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \\ & (1-t)x_1 +t x_2 & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \\ & (1-t)g(y_1) +t g(y_2) & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \text{ dla } t\in [0,1], \end{align*} \)
czyli \( \displaystyle g \) jest wklęsła.
c) Przypuśćmy wbrew tezie, że funkcja \( \displaystyle f \) osiąga maksimum w pewnym punkcie \( \displaystyle x_0\in(a,b) \). Funkcja \( \displaystyle f \) nie jest stała, istnieje więc liczba \( \displaystyle h>0 \) taka, że \( \displaystyle f(x_0-h) < f(x_0) \) oraz \( \displaystyle f(x_0+h) < f(x_0) \). Wobec tego
\( \displaystyle \frac{1}{2}f(x_0-h)+\frac{1}{2}f(x_0+h) < f(x_0)=f\big(\frac{1}{2}(x_0-h)+\frac{1}{2}(x_0+h)\big) \)
co oznacza, że funkcja \( \displaystyle f \) nie jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (x_0-h, x_0+h) \). Sprzeczność.
d) Dowód przebiega podobnie do dowodu własności c).
Definicja 12.5.
Jeśli dla pewnej liczby \( \displaystyle h>0 \) funkcja \( \displaystyle f \), określona w przedziale \( \displaystyle (a-h, a+h) \), jest
albo na odwrót:
to mówimy, że punkt \( \displaystyle a \) jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji \( \displaystyle f \).
Przykład 12.6.
a) Funkcja stała \( \displaystyle f(x)=C \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \); nie jest ściśle wypukła.
b) Funkcja \( \displaystyle f(x)=|x| \) jest wypukła w każdym przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \); nie jest ściśle wypukła.
c) Funkcja \( \displaystyle f(x)=x^{2n} \) jest ściśle wypukła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy wykładnik \( \displaystyle 2n \) jest dowolną parzystą liczbą dodatnią. Gdy \( \displaystyle 2n \) jest parzystą liczbą ujemną, to \( \displaystyle f \) jest ściśle wypukła w obu przedziałach \( \displaystyle (-\infty, 0) \) oraz \( \displaystyle (0, \infty) \).
d) Gdy wykładnik \( \displaystyle 2n+1 \) jest nieparzystą liczbą dodatnią lub ujemną, funkcja \( \displaystyle f(x)=x^{2n+1} \) jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (0,\infty) \) i jest ściśle wklęsła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, 0) \). Punkt \( \displaystyle 0 \) jest więc punktem przegięcia funkcji \( \displaystyle f(x)=x^{2n+1} \), gdy wykładnik jest dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Gdy wykładnik \( \displaystyle 2n+1 \) jest liczbą ujemną, liczba \( \displaystyle 0 \) nie należy do dziedziny funkcji \( \displaystyle f \), nie jest więc punktem przegięcia funkcji \( \displaystyle f \).
e) Funkcja \( \displaystyle f(x)=\sin x \) jest ściśle wypukła w każdym z przedziałów \( \displaystyle (-\pi+2k\pi, 0+2k\pi) \) i jest ściśle wklęsła w każdym z przedziałów \( \displaystyle (0+2k\pi, \pi+2k\pi) \), \( \displaystyle k\in\mathbb{Z} \). Stąd każdy punkt \( \displaystyle k \pi \), \( \displaystyle k\in\mathbb{Z} \), jest punktem przegięcia tej funkcji.
Badanie wypukłości funkcji różniczkowalnej można sprowadzić do badania monotoniczności jej pochodnej.
Twierdzenie 12.7
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna \( \displaystyle f' \) jest rosnąca.
Dowód 12.7.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \), to dla dowolnych liczb \( \displaystyle a,b\in (\alpha, \beta) \), \( \displaystyle a < b \) oraz dla dowolnego punktu \( \displaystyle x\in (a,b) \) zachodzi nierówność:
\( \displaystyle 0\leq (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b), \)
którą możemy zapisać w równoważnej postaci:
\( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}. \)
Gdy \( \displaystyle x\to a \) lub \( \displaystyle x\to b \), wobec różniczkowalności \( \displaystyle f \), otrzymamy
\( \displaystyle f'(a)\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
oraz
\( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'(b). \)
Stąd \( \displaystyle f'(a)\leq f'(b) \), a więc pochodna \( \displaystyle f' \) jest rosnąca w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \).
Załóżmy teraz z kolei, że pochodna \( \displaystyle f' \) jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej istnieją punkty \( \displaystyle \xi\in (a,x) \) oraz \( \displaystyle \eta\in (x,b) \) takie, że
\( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi) \)
oraz
\( \displaystyle \frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f'(\eta). \)
Pamiętamy, że \( \displaystyle a < \xi < x < \eta < b \). Skoro \( \displaystyle f' \) jest rosnąca w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \), więc \( \displaystyle f'(\xi)\leq f'(\eta) \), czyli
\( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}, \)
co wobec dowolności wyboru punktów \( \displaystyle a < x < b \) z przedziału \( \displaystyle (\alpha, \beta) \) oznacza, że funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła.
Pamiętamy, że monotoniczność funkcji różniczkowalnej jest ściśle związana ze znakiem jej pochodnej. Stąd monotoniczność pochodnej jest związana ze znakiem drugiej pochodnej funkcji.
Wniosek 12.8.
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją dwukrotnie
różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Jeśli w dowolnym punkcie \( \displaystyle x\in (a,b) \) druga pochodna \( \displaystyle f''(x)\geq 0 \) (odpowiednio: \( \displaystyle f''(x)\leq 0 \)), to funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła (odpowiednio: wklęsła) w tym przedziale.
Przykład 12.9.
a) Funkcja wykładnicza \( \displaystyle x\mapsto a^x \) jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \), gdy \( \displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty) \), ponieważ jej druga pochodna \( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}a^x=(\ln a)^2 a^x \) jest dodatnia w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \). W przypadku, gdy \( \displaystyle a=1 \), funkcja stała \( \displaystyle f(x)=1^x=1 \) jest także wypukła, ale nie jest ściśle wypukła.
b) Funkcja logarytmiczna \( \displaystyle x\mapsto -\ln |x| \) jest ściśle wypukła w przedziałach \( \displaystyle (-\infty, 0) \) oraz \( \displaystyle (0, \infty) \), gdyż jej druga pochodna
\( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(-\ln |x|)=\frac{1}{x^2} \)
jest dodatnia dla \( \displaystyle x\neq 0 \).
c) Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją wypukłą, to również \( \displaystyle \exp f: x\mapsto e^{f(x)} \) jest funkcją wypukłą, gdyż jest złożeniem funkcji wypukłej \( \displaystyle f: x\mapsto f(x) \) i rosnącej funkcji wypukłej \( \displaystyle \exp: u\mapsto \exp u \).
Z twierdzenia o monotoniczności pochodnej funkcji wypukłej wynika również warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
Wniosek 12.10.
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Jeśli \( \displaystyle x_0\in (a,b) \) jest punktem przegięcia funkcji \( \displaystyle f \), to \( \displaystyle f''(x_0)=0 \).
Zwróćmy uwagę, że zerowanie drugiej pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia.
Każda z funkcji \( \displaystyle f(x)=x^{2n} \), gdy \( \displaystyle n\geq 2 \), ma zerową drugą pochodną w punkcie \( \displaystyle x=0 \), jednak punkt ten nie jest dla żadnej z nich punktem przegięcia, gdyż każda z tych funkcji jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, +\infty) \).
Badając przebieg zmienności funkcji musimy również pamiętać, aby skontrolować, czy funkcja nie ma punktów przegięcia, w których nie istnieje druga pochodna.
Przykład 12.12.
Funkcja
\( \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \sqrt{x}, \text{ dla } x\geq 0 \\ -\sqrt{-x}, \text{ dla } x < 0 \end{array} \right. \)
jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, 0) \) i ściśle wklęsła w przedziale \( \displaystyle (0, \infty) \). Jest określona w punkcie \( \displaystyle x=0 \), ma więc punkt przegięcia \( \displaystyle x=0 \), który nie jest miejscem zerowym drugiej pochodnej
\( \displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4}\mathrm{sgn}\, x |x|^{-\frac{3}{2}}, \)
która jest różna od zera w dowolnym punkcie swojej dziedziny, tj. gdy \( \displaystyle x\neq 0 \).
Szereg ważnych nierówności, m.in. klasyczna nierówność między średnią arymetyczną, geometryczną a harmoniczną liczb
nieujemnych \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \):
\( \displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}(a+b) \)
jest konsekwencją wypukłości pewnych funkcji. Można je wyprowadzić z nierówności Jensena.
Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), to zachodzi nierówność:
\( \displaystyle f(t_1 x_1 +t_2 x_2 +\dots +t_n x_n)\leq t_1 f(x_1) +t_2 f(x_2)+\dots +t_n f(x_n), \)
dla dowolnych liczb nieujemnych \( \displaystyle t_1, t_2, \dots, t_n \) takich, że
\( \displaystyle t_1+t_2+\dots +t_n =1 \)
oraz dla dowolnych \( \displaystyle x_1, x_2, \dots , x_n \) z przedziału \( \displaystyle (a,b) \).
Dowód 12.13.
Gdy \( \displaystyle n=2 \) nierówność z tezy twierdzenia
\( \displaystyle f(t_1 x_1 +t_2 x_2)\leq t_1 f(x_1)+t_2 f(x_2), \)
gdy \( \displaystyle t_1 +t_2=1, \ t_1, t_2\geq 0 \), wynika z definicji wypukłości. Następnie dowodzimy dla \( \displaystyle k\geq 2 \) implikacji
\( \displaystyle \begin{align*} \forall t_1, t_2, \dots, t_k\geq 0, \ t_1+t_2+\dots +t_k=1 \ \forall x_1, x_2, \dots, x_k \in (a,b): \\ \ f(t_1 x_1 +t_2 x_2 +\dots +t_k x_k)\leq t_1 f(x_1) +t_2 f(x_2)+\dots +t_k f(x_k)\end{align*} \)
\( \displaystyle \Downarrow \)
\( \displaystyle \begin{align*} \forall s_1, s_2, \dots, s_{k+1}\geq 0, \ s_1+s_2+\dots +s_{k+1}=1 \ \forall y_1, y_2, \dots, y_{k+1} \in (a,b): \\ \ f(s_1 y_1 +s_2 y_2 +\dots +s_{k+1} y_{k+1})\leq s_1 f(y_1) +s_2 f(y_2)+\dots +s_{k+1} f(y_{k+1})\end{align*} \)
(szczegóły zawarte są w ćwiczeniach do tego modułu). Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość twierdzenia.
Warunek \( \displaystyle t_1+t_2+\dots+t_n=1 \) spełniają liczby postaci \( \displaystyle t_i=\frac{p_i}{p_1+p_2+\dots+p_n} \), gdzie \( \displaystyle p_1, p_2, \dots, p_n \) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Oznaczmy przez \( \displaystyle \sum p_i=p_1+p_2+\dots+p_n \) sumę liczb \( \displaystyle p_i \) i analogicznie przez \( \displaystyle \sum p_ix_i=p_1x_1+p_2x_2+\dots+p_nx_n \) sumę iloczynów \( \displaystyle p_i x_i \). Nierówność Jensena możemy również sformułować następująco:
Wniosek 12.14.
Jeśli \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), to zachodzi nierówność
\( \displaystyle f\bigg(\frac{\sum x_i p_i}{\sum p_i}\bigg)\leq \frac{\sum p_i f(x_i)}{\sum p_i}, \)
czyli
\( \displaystyle f\bigg(\frac{ x_1 p_1+x_2p_2+\dots +x_np_n}{p_1+p_2+\dots +p_n}\bigg)\leq \frac{ p_1 f(x_1)+p_2 f(x_2)+\dots+p_nf(x_n)}{p_1+p_2+\dots+p_n} \)
dla dowolnych liczb \( \displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n \) z przedziału \( \displaystyle (a,b) \) i dla dowolnych liczb dodatnich \( \displaystyle p_1, p_2, \dots, p_n \).
Przykład 12.15.
Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \exp x \) jest wypukła, więc podstawiając w nierówności Jensena \( \displaystyle t_i=\ln x_i \), gdzie \( \displaystyle x_i \) są dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz \( \displaystyle p_i=1 \) otrzymujemy
\( \displaystyle \exp\big(\frac{1}{n}(\ln x_1+\ln x_2 +\dots +\ln x_n)\big)\leq \frac{1}{n}\big(\exp \ln x_1+\exp \ln x_2+\dots+\exp \ln x_n\big) \)
\( \displaystyle \big(\exp(\ln x_1)\exp(\ln x_2)\dots \exp(\ln x_n)\big)^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\big(\exp \ln x_1+\exp \ln x_2+\dots+\exp \ln x_n\big) \)
\( \displaystyle (x_1 x_2 \dots x_n)^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n), \)
nierówność pomiędzy średnią geometryczną \( \displaystyle (x_1 x_2 \dots x_n)^\frac{1}{n} \) a średnią arytmetyczną \( \displaystyle \frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n) \) liczb dodatnich \( \displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n \).
Podstawiając z kolei w otrzymanej nierówności \( \displaystyle x_i=\frac{1}{y_i} \), otrzymamy
\( \displaystyle \bigg(\frac{1}{y_1} \frac{1}{y_2} \dots \frac{1}{y_n}\bigg)^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\dots+\frac{1}{y_n}) \)
czyli
\( \displaystyle (y_1 y_2 \dots y_n)^\frac{1}{n}\geq \frac{n}{y_1^{-1}+y_2^{-1}+\dots+y_n^{-1}} \)
nierówność między średnią geometryczną \( \displaystyle (y_1 y_2 \dots y_n)^\frac{1}{n} \) a średnią harmoniczną \( \displaystyle \displaystyle \frac{n}{y_1^{-1}+y_2^{-1}+\dots+y_n^{-1}} \) liczb dodatnich \( \displaystyle y_1, y_2, \dots, y_n \).
Wykazaliśmy w ten sposób nierówność pomiędzy średnią harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną.
Rysunek do uwagi 12.17.
Wniosek 12.16.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \( \displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n \) zachodzi nierówność
\( \displaystyle H(x_1, x_2, \dots, x_n)\leq G(x_1, x_2, \dots, x_n)\leq A(x_1, x_2, \dots, x_n), \)
gdzie
\( \displaystyle \begin{align*} H(x_1, x_2, \dots, x_n) & :=\frac{n}{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots+x_n^{-1}} \\ G(x_1, x_2, \dots, x_n) & :=(x_1 x_2 \dots x_n)^\frac{1}{n} \\ A(x_1, x_2, \dots, x_n) & :=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n) \end{align*} \)
są odpowiednio średnimi: harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną liczb dodatnich \( \displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n \).
Uwaga 12.17.
W przypadku dwóch liczb dodatnich \( \displaystyle 0 < a < b \) otrzymana nierówność ma klarowną interpretację geometryczną. Mając dane dwie proste prostopadłe \( \displaystyle k \), \( \displaystyle l \), przecinające się w punkcie \( \displaystyle O \), odkładamy na jednej z nich, np. na prostej \( \displaystyle l \) odcinki długości \( \displaystyle a \) oraz \( \displaystyle b \) tak, aby \( \displaystyle OA=a \), \( \displaystyle OB=b \) i \( \displaystyle A\in \overline{OB} \). Niech \( \displaystyle S \) będzie środkiem odcinka \( \displaystyle \overline{AB} \). Kreślimy okrąg o środku \( \displaystyle S \) i promieniu \( \displaystyle r=SA \). Niech \( \displaystyle P \) będzie punktem styczności stycznej poprowadzonej do okręgu z punktu \( \displaystyle O \). Łatwo spostrzec, że \( \displaystyle OS=\frac{1}{2}(a+b) \) jest średnią arytmetyczną odcinków \( \displaystyle OA=a \) i \( \displaystyle OB=b \). Nietrudno też dowieść (stosując twierdzenie Pitagorasa do boków trójkąta prostokątnego \( \displaystyle \triangle OSP \)), że odcinek stycznej \( \displaystyle OP=\sqrt{ab} \) jest średnią geometryczną danych odcinków. Warto też dostrzec podobieństwo trójkątów prostokątnych \( \displaystyle \triangle OSP \) i \( \displaystyle \triangle OPQ \), gdzie \( \displaystyle Q \) jest rzutem prostopadłym punktu \( \displaystyle P \) na prostą \( \displaystyle k \). Odcinek \( \displaystyle PQ=\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}} \) jest średnią harmoniczną danych odcinków \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \). Z interpretacji tej jasno wynika, że w przypadku, gdy \( \displaystyle 0 < a < b \) w nierówności między średnimi mamy zawsze nierówność ostrą:
\( \displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{1}{2}(a+b). \)
Gdy punkt \( \displaystyle A \) zmierza do \( \displaystyle B \) (czyli, gdy \( \displaystyle a \) zmierza do \( \displaystyle b \)), promień \( \displaystyle r\to 0 \) i punkt \( \displaystyle P \) zmierza do \( \displaystyle S \). W granicznym przypadku, gdy \( \displaystyle a=b \), mamy \( \displaystyle r=0 \) oraz \( \displaystyle P=S=A=B \) i rezultacie trzy średnie: harmoniczna, geometryczna i arytmetyczna są równe.
Jeśli ustalimy \( \displaystyle b \), natomiast punkt \( \displaystyle A \) zmierza do \( \displaystyle O \), to \( \displaystyle r\to\frac{b}{2} \), punkt \( \displaystyle P \) zmierza do \( \displaystyle O \) i w ten sposób średnia geometryczna i średnia harmoniczna liczb \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \) zmierzają do zera, a średnia arytmetyczna do \( \displaystyle \frac{b}{2} \).
Jeśli ustalimy punkt \( \displaystyle A \), a punkt \( \displaystyle B \) będzie oddalał się w prawo po prostej \( \displaystyle k \) do nieskończoności, to \( \displaystyle r\to\infty \), punkt \( \displaystyle P \) będzie również oddalał się nieograniczenie od punktu \( \displaystyle O \) i w rezultacie trzy średnie będą zmierzały do nieskończoności.
Jako wniosek z nierówności Jensena w ramach ćwiczeń dowodzimy nierówności Höldera i nierówności Minkowskiego.
Twierdzenie 12.18. [nierówność Höldera]
Jeśli \( \displaystyle p \), \( \displaystyle q \) są liczbami dodatnimi spełniającymi równość \( \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \), to dla dowolnych liczb rzeczywistych \( \displaystyle x_1,...,x_n,y_1,...,y_n \) zachodzi nierówność
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n|x_ky_k|\leq \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p \right)^\frac1p \left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q \right)^\frac1q, \)
gdzie \( \displaystyle n \) jest liczbą naturalną.
Twierdzenie 12.19. [nierówność Minkowskiego]
Jeśli \( \displaystyle p\geq 1 \) jest dowolną liczbą rzeczywistą, to dowolnych liczb rzeczywistych \( \displaystyle x_1,...,x_n,y_1,...,y_n \) zachodzi nierówność
\( \displaystyle \left( \sum_{k=1}^n |x_k+y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}\leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right )^{\frac{1}{p}}+ \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right )^{\frac{1}{p}}, \)
gdzie \( \displaystyle n \) jest liczbą naturalną.
Uwaga 12.20.
Klasyczny schemat badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej obejmuje:
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.
Powstaje oczywiste pytanie, na ile ten klasyczny schemat jest aktualny i potrzebny dziś, gdy dysponujemy komputerami z zainstalowanymi programami do obliczeń symbolicznych (np. MATHEMATICA, MAPLE) i zamiast wykonywać żmudne rachunki wymienione w punktach od (1) do (11) możemy od ręki obejrzeć wykres interesującej nas funkcji, czyli zacząć i skończyć badanie funkcji na punkcie (12).
Wszystkich, którzy podzielają pogląd, że klasyczny schemat badania funkcji jest przeżytkiem, prosimy o skonstruowanie wykresu funkcji
\( \displaystyle f(x)=\left\{\begin{align*} (x+3)\exp\frac{x+1}{x-1}, \text{ dla } x\neq 1 \\ 0, \text{ dla } x=1\end{align*} \right. \)
np. za pomocą programu MATHEMATICA przez wypisanie w tym programie poleceń
f = (x+3)Exp[(x+1)/(x-1)] oraz Plot[f, x, -5.0, 5.0]
a następnie prosimy o odczytanie z otrzymanego rysunku jakichkolwiek punktów charakterystycznych funkcji \( \displaystyle f \).
Wobec oczywistej porażki (z wykresu, który przedstawia fragment niemal pionowej linii w pobliżu punktu \( \displaystyle x=1 \) można jedynie odczytać, że w zaproponowanym przedziale \( \displaystyle [-5, \ 5] \) funkcja przyjmuje duże wartości) powstaje potrzeba co najmniej powierzchownej analizy, która pozwoliłaby oszacować przedział, w którym funkcja może osiągać ekstrema. Próba poszukiwania po omacku metodą wybierania przedziału argumentów na chybił trafił być może po wielu próbach przyniosłaby zadawalający wynik w postaci przybliżonej, jednak prosta analiza znaku pochodnej danej funkcji znacznie szybciej prowadzi do znalezienia wszystkich ekstremów i innych punktów charakterystycznych danej funkcji i to w postaci dokładnej. Prześledźmy więc następujący przykład:
Przykład 12.21.
Klasyczny schemat badania funkcji
\( \displaystyle f(x)=\left\{\begin{align*} (x+3)\exp\frac{x+1}{x-1}, \text{ dla } x\neq 1 \\ 0, \text{ dla } x=1\end{align*} \right. \)
Obliczenia możemy wykonać samodzielnie, bądź wykorzystać procedury, które oferuje program do obliczeń symbolicznych (MATHEMATICA, MAPLE lub inny).
(1) Dziedziną \( \displaystyle f \) jest zbiór liczb rzeczywistych, na który składa się suma przedziałów \( \displaystyle (-\infty, 1)\cup(1, +\infty) \), w których funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła (będąc złożeniem funkcji ciągłych w obu przedziałach) oraz punkt \( \displaystyle \{1\} \), w którym funkcja \( \displaystyle f \) może nie mieć granicy.
(2) Funkcja \( \displaystyle f \) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani okresowa.
(3) Wyznaczmy granice funkcji \( \displaystyle f \) na końcach przedziałów ciągłości
\( \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty, \\ \displaystyle \lim_{x\to 1-} f(x)=0, \\ \displaystyle \lim_{x\to 1+} f(x)=\infty, \\ \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty. \end{array} \)
Funkcja nie ma granicy w punkcie \( \displaystyle x=1 \), nie jest więc ciągła w tym punkcie.
(4) Z punktu 3. wynika, że funkcja ma asymptotę pionową prawostronną w punkcie \( \displaystyle x=1 \) i nie ma asymptot poziomych, co nie wyklucza istnienia asymptot ukośnych.
Sprawdzamy, czy istnieje granica ilorazu \( \displaystyle \frac{f(x)}{x} \) przy \( \displaystyle x\to \infty \) i przy \( \displaystyle x\to-\infty \):
\( \displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=e, \alpha=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=e. \)
Wobec istnienia tych granic wyznaczamy granice różnic (zob. przykład zastosowania reguły de l'Hospitala w poprzednim module): \( \displaystyle b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-ex)=5e,\beta=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-ex)=5e. \) Wynika stąd, że prosta \( \displaystyle y=ex+5e \) jest asymptotą ukośną wykresu funkcji \( \displaystyle f \) zarówno przy \( \displaystyle x\to\infty \) jak i przy \( \displaystyle x\to-\infty \). Funkcja \( \displaystyle x\mapsto ex+5e \) w przedziale \( \displaystyle [-5, 5] \) osiąga wartości w przedziale \( \displaystyle [0, 10e] \).
Stąd ograniczenie zbioru wartości na wykresie generowanym przez program MATHEMATICA do tego przedziału, nieco poprawia wygląd wykresu funkcji \( \displaystyle f \).
Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {0,10 Exp[1]}](5) Funkcja \( \displaystyle f \) ma dwa miejsca zerowe. Są to punkty \( \displaystyle x=-3 \) oraz \( \displaystyle x=1 \). Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc czynnik \( \displaystyle \exp\frac{x+1}{x-1} \) jest dodatni. Na znak funkcji \( \displaystyle f \) ma wpływ jedynie czynnik \( \displaystyle x-3 \). Wobec tego funkcja \( \displaystyle f \)
Ponadto \( \displaystyle f(0)=\frac{3}{e} \).
Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że funkcja \( \displaystyle f \) osiąga maksimum wewnątrz przedziału \( \displaystyle [-3,1] \). Ponieważ \( \displaystyle f \) jest ciągła w przedziale \( \displaystyle (0, \infty) \) i zmierza do nieskończoności, gdy \( \displaystyle x\to 0+ \) oraz \( \displaystyle x\to\infty \), więc \( \displaystyle f \) osiąga minimum lokalne w co najmniej jednym punkcie \( \displaystyle x_1>0 \).
(6) Badanie pierwszej pochodnej
\( \displaystyle f'(x)=\frac{x^2 -4x-5}{(x-1)^2}\exp\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-5)}{(x-1)^2}\exp\frac{x+1}{x-1}. \) >
Pochodna jest dodatnia w zbiorze
\( \displaystyle \{f'>0\}=(-\infty, -1)\cup (5, \infty) \)
i jest ujemna w zbiorze
\( \displaystyle \{f' < 0\}=(-1, 1)\cup (1,5). \)
(7) W oparciu o dane z punktu (6) wnioskujemy, że funkcja \( \displaystyle f \) rośnie w przedziałach
\( \displaystyle (-\infty, -1), \ \ (5,\infty) \)
i maleje w przedziałach
\( \displaystyle (-1, 1), \ \ (1,5). \)
(8) Zbiór punktów krytycznych funkcji \( \displaystyle f \) składa się z trzech elementów:
\( \displaystyle \{-1, \ 1, \ 5\}, \)
to jest miejsc zerowych pochodnej \( \displaystyle -1 \), \( \displaystyle 5 \) oraz punktu \( \displaystyle 1 \), który należy do dziedziny funkcji i nie należy do dziedziny pochodnej. Z punktu 7. wynika, że
Widzimy więc, że rysując wykres funkcji, musimy zadbać o to, aby zbiór wartości funkcji na wykresie zawierał co najmniej wartości \( \displaystyle f(1) \) oraz \( \displaystyle f(5) \).
Można np. przyjąć \( \displaystyle -6 < x < 8 \) oraz \( \displaystyle -10 < y < 50 \) i skorzystać z polecenia programu MATHEMATICA:
Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8}, PlotRange ->{-10, 50}]które wygeneruje wykres funkcji \( \displaystyle f \) i jej asymptoty ukośnej w zadanym obszarze płaszczyzny.
Dodatkowe polecenie
PlotPoints -> 1024
zwiększa rozdzielczość rysunku
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}}rysuje wykres funkcji \( \displaystyle f \) w kolorze zadanym przez Hue[0.95] o grubości Thickness[0.007] oraz asymptotę ukośną tej funkcji kolorem Hue[0.95] linią przerywaną zefiniowaną za pomocą Dashing[0.02,0.03] natomiast
AspectRatio -> 5/2
(stosunek wysokości do szerokości \( \displaystyle 5:2 \)) zmienia format rysunku. Ostatecznie:
Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8},
PlotRange -> {-10,50},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}},
AspectRatio -> 5/2](9) Druga pochodna funkcji
\( \displaystyle f''(x)=\frac{4(5x-1)}{(x-1)^4}\exp\frac{x+1}{x-1} \)
jest określona w zbiorze
\( \displaystyle (-\infty, 1)\cup (1, \infty). \)
Przyjmuje wartości dodatnie w zbiorze
\( \displaystyle \{f''>0\}=\big(\frac{1}{5}, 1\big)\cup (1, \infty), \)
a ujemne w zbiorze
\( \displaystyle \{f'' < 0\}=\big(-\infty, \frac{1}{5}\big). \)
Jedynym punktem, w którym zeruje się druga pochodna, jest \( \displaystyle x=\frac{1}{5} \).
(10) W oparciu o dane (z punktu (9)) o znaku drugiej pochodnej wnioskujemy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest (ściśle) wypukła w przedziałach
\( \displaystyle \big(\frac{1}{5}, 1\big), \ \ (1, \infty) \)
i jest (ściśle) wklęsła w przedziale
\( \displaystyle \big(-\infty, \frac{1}{5}\big). \)
Stąd punkt \( \displaystyle x=\frac{1}{5} \), w którym funkcja przyjmuje wartość
\( \displaystyle f\big(\frac{1}{5}\big)=\frac{16}{5}\exp\big(-\frac{3}{2}\big)=0,71\dots , \)
jest jedynym punktem przegięcia funkcji.
Program MATHEMATICA po wpisaniu polecenia
Plot[{f, y}, {x, -1, 1.5},
PlotRange -> {-1,3},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95],
Thickness[0.007]}, {Hue[0.5]}},
AspectRatio -> 1]kreśli w przedziale \( \displaystyle [-1, \frac{3}{2}] \) wykres funkcji \( \displaystyle f \) i stycznej do wykresu o równaniu \( \displaystyle y=f'(x_p)(x-x_p)+f(x_p) \) w punkcie przegięcia \( \displaystyle x_p=\frac{1}{5} \).
(11) Zebranie wszystkich punktów charakterystycznych funkcji \( \displaystyle f \) (miejsca punkty nieciągłości, miejsca zerowe funkcji, jej pierwszej i drugiej pochodnej, ekstrema, punkty przegięcia) w jednej tabeli usprawnia przygotowanie starannego wykresu.
(12) Na wykresie staramy się przedstawić wszystkie punkty
charakterystyczne funkcji \( \displaystyle f \) jak też jej asymptoty.