Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona

W pierwszej części tego wykładu wprowadzamy pojęcia funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Podajemy całki pewnych funkcji elementarnych, jak również przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi. Dowodzimy wzorów na całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie.

Druga część wykładu jest przeglądem metod całkowania. Omawiamy kolejno metody całkowania wyrażeń wymiernych (rozkład na ułamki proste), metody całkowania pewnych wyrażeń niewymiernych (m.in. metodę współczynników nieoznaczonych, podstawienia Eulera) oraz metody całkowania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne.

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna


Definicja 13.1.

Niech \( \displaystyle D\subseteq \mathbb{R} \) będzie przedziałem oraz niech \( \displaystyle f\colon D\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją.

Funkcję \( \displaystyle F\colon D\longrightarrow\mathbb{R} \) nazywamy pierwotną funkcji \( \displaystyle f, \) jeśli \( \displaystyle F \) jest różniczkowalna i \( \displaystyle F'=f. \)

Twierdzenie 13.2.

Dwie dowolne pierwotne funkcji \( \displaystyle f\colon \mathbb{R}\supseteq D\longrightarrow\mathbb{R} \) różnią się o stałą, to znaczy

(1) Jeśli \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) są pierwotnymi funkcji \( \displaystyle f, \) to \( \displaystyle F-G=c \) dla pewnego \( \displaystyle c\in\mathbb{R}. \)

(2) Jeśli \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle F-G=c \) dla pewnego \( \displaystyle c\in\mathbb{R}, \) to \( \displaystyle G \) też jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f. \)

Dowód 13.2.

(Ad (1)) Jeśli \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) są pierwotnymi funkcji \( \displaystyle f, \) to mamy \( \displaystyle (F-G)'=F'-G'=f-f=0. \) Ponieważ pochodna różnicy \( \displaystyle F-G \) wynosi \( \displaystyle 0, \) więc różnica ta musi być stała. Zatem istnieje \( \displaystyle c\in\mathbb{R} \) takie, że \( \displaystyle F-G=c. \)

(Ad (2)) Załóżmy, że \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f \) oraz funkcje \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) różnią się o stałą, to znaczy \( \displaystyle G=F+c \) dla pewnej stałej \( \displaystyle c\in\mathbb{R}. \) Ponieważ \( \displaystyle F \) jest różniczkowalna (jako pierwotna) oraz funkcja stała jest różniczkowalna, więc także funkcja \( \displaystyle G \) jest różniczkowalna. Licząc pochodną sumy, dostajemy

\( \displaystyle G' \ =\ (F+c)'=F' \ =\ f, \)

zatem \( \displaystyle G \) jest także pierwotną funkcji \( \displaystyle f. \)

Definicja 13.3. [całka nieoznaczona, całkowanie]

Całką nieoznaczoną funkcji \( \displaystyle f \) nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy

\( \displaystyle \int f(x)\,dx \) lub \( int f\,dx. \)

Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.

Oczywiście, jeśli zmienna funkcji \( \displaystyle f \) nazywa się \( \displaystyle t, \) to piszemy \( \displaystyle \int f(t)\,dt \) lub \( \displaystyle \int f\,dt \), a jeśli zmienna funkcji \( \displaystyle f \) nazywa się na przykład \( \displaystyle \xi, \) to piszemy \( \displaystyle \int f(\xi)\,d\xi \) lub \( \displaystyle \int f\,d\xi \).

Wniosek 13.4.

Jeśli \( \displaystyle F \) jest pierwotną funkcji \( \displaystyle f, \) to

\( \displaystyle \int f(x)\,dx \ =\ F(x)+c. \)

Uwaga 13.5.

Jeśli \( \displaystyle F \) jest jedną z pierwotnych funkcji \( \displaystyle f \) oraz \( \displaystyle (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2, \) to pierwotna \( \displaystyle G \) funkcji \( \displaystyle f \) spełniająca \( \displaystyle G(x_0)=y_0 \) (to znaczy której wykres przechodzi przez punkt \( \displaystyle (x_0,y_0) \)) jest równa

\( \displaystyle G(x) \ =\ F(x)+c, \)

gdzie \( \displaystyle C=y_0-F(x_0). \)

Przykład 13.6.

Funkcja pierwotna nie zawsze istnieje.

Rozważmy następującą funkcję \( \displaystyle f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \)

\( \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \textrm{gdy} & x\ne 0, \\ 1 & \textrm{gdy} & x= 0. \end{array} . < br> \right. \)

Pokażemy, że \( \displaystyle f \) nie ma pierwotnej. Dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że funkcja ta posiada pierwotną \( \displaystyle F\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}. \) Wówczas \( \displaystyle F'=f. \) Na przedziale \( \displaystyle (-\infty,0), \) funkcja \( \displaystyle f \) jest tożsamościowo równa \( \displaystyle 0, \) zatem jej pierwotna jest stała, powiedzmy \( \displaystyle F|_{(-\infty,0)}\equiv a. \) Podobnie na przedziale \( \displaystyle (0,+\infty), \) powiedzmy \( \displaystyle F|_{(0,+\infty)}\equiv b. \) Ponieważ funkcja pierwotna jest ciągła (jako różniczkowalna), zatem

\( \displaystyle a \ =\ \lim_{x\to 0^-}F(x) \ =\ \lim_{x\to 0^+}F(x) \ =\ b \)

oraz \( \displaystyle a=F(0)=b. \) Zatem pokazaliśmy, że \( \displaystyle F\equiv a. \) Ale wówczas \( \displaystyle F'=0\ne f, \) sprzeczność. Zatem tak zdefiniowana funkcja \( \displaystyle f \) nie ma pierwotnej.

Zachodzi natomiast następujące twierdzenie (które podajemy tutaj bez dowodu).

Twierdzenie 13.7.

Każda funkcja ciągła ma pierwotną.

Całki pewnych funkcji elementarnych

Całki pewnych funkcji elementarnych


Poniższe twierdzenie podaje całki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych. Ponieważ wiemy już, ile wynoszą pochodne pewnych funkcji elementarnych, więc łatwo stąd odgadnąć pierwotne niżej podanych funkcji.

Twierdzenie 13.8. [Całki pewnych funkcji elementarnych]

(1) \( \displaystyle \int 0\,dx=c \);

(2) \( \displaystyle \int 1\,dx =x+c \);

(3) \( \displaystyle \int x^{\alpha}\,dx=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+c \) dla \( \displaystyle \alpha\ne -1 \);

(4) \( \displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx = \ln |x|+c \);

(5) \( \displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c, \) dla \( \displaystyle a>0,a\ne 1, \) (w szczególności \( \displaystyle \int e^x\,dx=e^x+c); \)

(6) \( \displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+c \);

(7) \( \displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+c \);

(8) \( \displaystyle \int\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\mathrm{tg}\, x+c \);

(9) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\mathrm{ctg}\, x+c \);

(10) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\arcsin x+c \);

(11) \( \displaystyle \int\frac{1}{1+x^2}\,dx =\mathrm{arctg}\, x+c \);

(12) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx ={\rm arsinh\, } x=\ln\big|x+\sqrt{x^2+1}\big| \);

(13) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx ={\rm arcosh\, } x=\ln\big|x+\sqrt{x^2-1}\big| \).

Poniższe twierdzenie pozwoli nam liczyć całkę z sumy i różnicy funkcji oraz z iloczynu funkcji przez stałą. Wynika ono natychmiast z twierdzenia o liniowości pochodnej.

Twierdzenie 13.9. [Liniowość całki]

Jeśli \( \displaystyle f,g\colon\mathbb{R}\supseteq D\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone, \( \displaystyle \lambda\in\mathbb{R}, \) to

(1) \( \displaystyle \int(f\pm g)(x)\,dx= \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx \);

(2) \( \displaystyle \int(\lambda f)(x)\,dx =\lambda\int f(x)\,dx. \)

W przypadku liczenia pochodnej funkcji mieliśmy także do dyspozycji wzór na pochodną iloczynu i ilorazu. Pozwalało to w praktyczny sposób policzyć pochodną dowolnej funkcji elementarnej.

W przypadku całki nieoznaczonej nie mamy do dyspozycji takiego narzędzia. Okazuje się nawet, że dla pewnych funkcji elementarnych nie istnieje funkcja pierwotna elementarna (mimo, że pierwotna na pewno istnieje, bo funkcja jest na przykład ciągła).

Uwaga 13.10. [o funkcjach elementarnych]

(1) Funkcje elementarne to funkcje, które można otrzymać z funkcji:

  • stałych,
  • potęgowych,
  • wykładniczych,
  • trygonometrycznych,

przez wykonywanie skończonej liczby operacji:

  • dodawania/odejmowania,
  • mnożenia/dzielenia,
  • złożenia,
  • odwracania.

(2) Pochodna funkcji elementarnej jest zawsze funkcją elementarną. Wynika to ze wzorów na pochodną funkcji stałej, potęgowej, wykładniczej, trygonometrycznej oraz wzorów na pochodne sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej.

(3) Całka nieoznaczona funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi, to między innymi

\( \displaystyle \int\sqrt[3]{1+x^2}\,dx,\quad \int e^{-x^2}\,dx,\quad \int \sin x^2\,dx,\quad \int \cos x^2\,dx,\quad \int\frac{e^x}{x}\,dx, \)

\( \displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \int\frac{\cos x}{x}\,dx\quad \int\frac{1}{\ln x}\,dx \)

oraz tak zwane całki eliptyczne:

\( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-kx^2)}},\quad \int\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-kx^2)}}\quad \) dla \( k\in(0,1). \)

Całkowanie przez częśc

Całkowanie przez części


Do liczenia całki nieoznaczonej z iloczynu przydatny jest następujący wzór, który w niektórych przypadkach sprowadza całkę z iloczynu (lub ilorazu) do postaci łatwiejszej do wyliczenia.

Twierdzenie 13.11. [Całkowanie przez części]

Jeśli \( \displaystyle I\subseteq \mathbb{R} \) jest przedziałem, \( \displaystyle f,g\colon I\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji \( \displaystyle f\cdot g', \) to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji \( \displaystyle f'\cdot g \) oraz

\( \displaystyle \int f'g\,dx \ =\ fg-\int fg'\,dx. \)

Dowód 13.11.

Ponieważ funkcje \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) są różniczkowalne, więc różniczkowalny jest także iloczyn \( \displaystyle f\cdot g \) oraz zachodzi wzór

\( \displaystyle (f\cdot g)' \ =\ f'\cdot g+f\cdot g', \)

zatem

\( \displaystyle f'\cdot g \ =\ (f\cdot g)' - f\cdot g'. \)

Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także jest całkowalna i mamy

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int f'\cdot g\,dx & = & \displaystyle \int\big[(f\cdot g)'\,dx - f\cdot g'\big] \\ & = & \displaystyle \int(f\cdot g)'\,dx - \int f\cdot g'\,dx = f\cdot g-\int f\cdot g'\,dx. \end{array} \)

Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie


Podobnie jak w przypadku iloczynu i ilorazu funkcji nie ma ogólnego wzoru na obliczanie pierwotnej, tak i w przypadku złożenia funkcji nie ma ogólnej metody wyznaczania pierwotnej (tak jak to miało miejsce w przypadku pochodnej). W przypadku złożenia pomocnym narzędziem może być następujący wzór na całkowanie przez podstawienie zwany także wzorem na zmianę zmiennych w całce. Pozwala ono w pewnych sytuacjach obliczyć całkę z funkcji zawierającej złożenie dwóch funkcji.

Twierdzenie 13.12. [Całkowanie przez podstawianie]

Jeśli \( \displaystyle I, J\subseteq\mathbb{R} \) są przedziałami, \( \displaystyle f\colon I\longrightarrow J \) jest funkcją różniczkowalną oraz \( \displaystyle g\colon J\longrightarrow\mathbb{R} \) jest funkcją, dla której istnieje pierwotna \( \displaystyle G\colon J\longrightarrow\mathbb{R}, \) to istnieje całka nieoznaczona dla funkcji \( \displaystyle (g\circ f)\cdot f' \) oraz

\( \displaystyle \int (g\circ f)\cdot f'\,dx \ =\ G\circ f. \)

Dowód 13.12.

Ponieważ funkcje \( \displaystyle G \) i \( \displaystyle f \) są różniczkowalne, więc ich złożenie także oraz mamy

\( \displaystyle (G\circ f)' \ =\ (G'\circ f)\cdot f' \ =\ (g\circ f)\cdot f'. \)

Całkując obie strony, dostajemy tezę naszego twierdzenia.

Uwaga 13.13.

Wzór całkowania przez podstawianie często zapisujemy jako:

\( \displaystyle \int g\big(f(x)\big)f'(x)\,dx \ =\ \int g(t)\,dt, \)

rozumiejąc, że należy "wrócić" do tej samej zmiennej po obu stronach (\( \displaystyle x \) po prawej lub \( \displaystyle t \) po lewej) przez złożenie "\( \displaystyle \circ f \)" po prawej stronie lub "\( \displaystyle \circ f^{-1} \)" po lewej stronie.

Przykład 13.14.

Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji \( \displaystyle f(x)=\sin x\cos x. \)

Całkowanie funkcji wymiernych

Całkowanie funkcji wymiernych


Zacznijmy od przypomnienia znanego ze szkoły twierdzenia.

Twierdzenie 13.15. [Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)]

Dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej \( \displaystyle 2, \) to znaczy

\( \begin{array}{lll} \displaystyle Q(x) & = & c(x-A_1)^{k_1}(x-A_2)^{k_2}\ldots \\ & \ldots & \displaystyle (x-A_r)^{k_r} (x^2+B_1x+C_1)^{l_1}(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}\ldots (x^2+B_sx+C_s)^{l_s}, \end{array} \)

gdzie stopień wielomianu \( \displaystyle Q \) wynosi

\( \displaystyle \deg Q\ =\ k_1+k_2+\ldots+k_r+2(l_1+l_2+\ldots+l_s) \)

oraz

\( B_i^2-4C_i < 0\ \) dla \( i=1,2,\ldots s. \)

Definicja 13.16. [ułamki proste]

Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:

\( \displaystyle \frac{a}{(x-A)^k} \) oraz \( \displaystyle \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^s}, \)

gdzie \( \displaystyle a,b,c,A,B,C\in\mathbb{R},k,s\in\mathbb{N},B^2-4C < 0. \)

Podamy twierdzenie, które pozwoli na obliczanie całki z dowolnej funkcji wymiernej. Ponieważ twierdzenie to "wygląda" dość formalnie, proponujemy przestudiować najpierw poniższy przykład.

Przykład 13.17.

Obliczyć całkę z następującej funkcji wymiernej \( \displaystyle \int\frac{3x+5}{2x^2-5x-3}\,dx. \)

To, że funkcję wymierną w powyższym przykładzie udało się rozłożyć na prostsze ułamki nie jest przypadkiem.

Okazuje się, że funkcję wymierną można zawsze przedstawić jako sumę ułamków prostych. Jeśli zatem będziemy umieli scałkować ułamki proste, to dzięki liniowości całki będziemy potrafili scałkować dowolną funkcję wymierną (o ile jej mianownik efektywnie rozłożymy na czynniki stopnia co najwyżej drugiego). Kolejne twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste będzie więc bardzo przydatne w rachunkach.

Twierdzenie 13.18. [O rozkładzie na ułamki proste]

Niech \( \displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \) będzie funkcją wymierną, gdzie \( \displaystyle \deg P=m < n=\deg Q. \) Wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji \( \displaystyle f \) na ułamki proste oraz jeśli

\( \displaystyle f(x) \ =\ \frac{P(x)}{(x-A_1)^{k_1}(x-A_2)^{k_2}\ldots (x-A_r)^{k_r} (x^2+B_1x+C_1)^{l_1}(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}\ldots (x^2+B_sx+C_s)^{l_s}}, \)

gdzie

\( \displaystyle B_i^2-4C_i < 0 \) dla \( i=1,2,\ldots s, \)

to

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} & = & \displaystyle \frac{a_1^1}{(x-A_1)}+ \frac{a_2^1}{(x-A_1)^2}+ \ldots + \frac{a_{k_1}^1}{(x-A_1)^{k_1}} \\ & + & \displaystyle \frac{a_1^2}{(x-A_2)}+ \frac{a_2^2}{(x-A_2)^2} + \ldots +\frac{a_{k_2}^2}{(x-A_2)^{k_2}} \\ & + & \displaystyle \ldots \\ & + & \displaystyle \frac{a_1^r}{(x-A_r)}+\frac{a_2^r}{(x-A_r)^2}+\ldots+\frac{a_{k_r}^r}{(x-A_r)^{k_r}} \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^1x+c_1^1}{(x^2+B_1x+C_1)}+\frac{b_2^1x+c_2^1}{(x^2+B_1x+C_1)^2}+\ldots + \frac{b_{l_1}^1x+c_{l_1}^1}{(x^2+B_1x+C_1)^{l_1}} \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^2x+c_1^2}{(x^2+B_2x+C_2)}+ \frac{b_2^2x+c_2^2}{(x^2+B_2x+C_2)^2}+\ldots + \frac{b_{l_2}^2x+c_{l_2}^2}{(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}} \\ & + & \displaystyle \ldots \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^sx+c_1^s}{(x^2+B_sx+C_s)}+\frac{b_2^sx+c_2^s}{(x^2+B_sx+C_s)^2}+\ldots+ \frac{b_{l_s}^sx+c_{l_s}^s}{(x^2+B_sx+C_s)^{l_s}} \\ & = & \displaystyle \sum_{i=1}^r\sum_{j_i=1}^{k_i}\frac{a^i_{j_i}}{(x-A_i)^{j_i}} +\sum_{i=1}^s\sum_{j_i=1}^{l_i}\frac{b^i_{j_i}x+c^i_{j_i}}{(x^2+B_ix+C_i)^{j_i}}. \end{array} \)

Przykład 13.19.

Rozłożyć funkcję wymierną \( \displaystyle f(x)= \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \) na ułamki proste.

Uwaga 13.20.

Korzystając z liniowości całki nieoznaczonej dla policzenia całki z funkcji wymiernej \( \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \), wystarczy umieć policzyć całki z ułamków prostych. Znamy już całki z ułamków:

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{A}{x-a}\,dx & = & \displaystyle A\ln (x-a)+c, \\ \int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx & = & \displaystyle -\frac{A}{k-1}\cdot\frac{1}{(x-a)^{k-1}}+c, \quad\textrm{dla}\ k\ge 2. \end{array} \)

Całki z ułamków prostych postaci \( \displaystyle \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^k} \) będą policzone na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 13.4.).

Całkowanie funkcji niewymiernych

Całkowanie funkcji niewymiernych


Zacznijmy od rozważenia następującej całki:

\( \displaystyle \int\frac{W_n(x)}{\sqrt{px^2+qx+r}}\,dx, \)

gdzie \( \displaystyle W_n \) jest dowolnym wielomianem (stopnia \( \displaystyle n \)). Okazuje się, że istnieje ogólna metoda obliczania tego typu całek. Opiera się ona na twierdzeniu, które mówi, iż mamy następującą równość

\( \displaystyle \int\frac{W_n(x)}{\sqrt{px^2+qx+r}}\,dx \ =\ Q_{n-1}(x)\sqrt{px^2+qx+r} +A\int\frac{dx}{\sqrt{px^2+qx+r}}, \)

gdzie \( \displaystyle Q_{n-1}(x) \) jest wielomianem stopnia \( \displaystyle n-1. \) Współczynniki wielomianu \( \displaystyle Q_{n-1} \) oraz stałą \( \displaystyle \lambda \) znajdujemy, licząc pochodną z obu stron powyższej równości (pamiętamy, że pochodna z całki to funkcja podcałkowa!) i mnożąc potem obie strony przez \( \displaystyle \sqrt{px^2+qx+r}. \) Dostaniemy wtedy:

\( \displaystyle W(x)=Q_{n-1}'(x)(px^2+qx+r)+Q_{n-1}(x)(px+\frac{q}{2})+\lambda, \)

skąd, porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \( \displaystyle x, \) znajdujemy współczynniki wielomianu \( \displaystyle Q_{n-1} \) oraz stałą \( \displaystyle \lambda. \)

Pozostaje jeszcze do obliczenia

\( \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{px^2+qx+r}}, \)

którą przez odpowiednie podstawienie sprowadzamy do jednej z całek

\( \displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \quad\ \) lub \( \quad \int\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \)

(patrz twierdzenie 13.8.).

Policzymy teraz pewną całkę, którą w przyszłości będziemy wielokrotnie wykorzystywać.

Przykład 13.21.

Policzyć

\( \displaystyle \int\sqrt{R^2-x^2}\,dx, \)

gdzie \( \displaystyle R \) jest stałą dodatnią. Aby użyć metody współczynników nieoznaczonych, zapiszmy

\( \displaystyle \int\frac{R^2-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx. \)

Wielomian \( \displaystyle R^2-x^2 \) jest stopnia \( \displaystyle 2 \), zatem

\( \displaystyle \int\frac{R^2-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx \ =\ (ax+b)\sqrt{R^2-x^2}+\lambda\int\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx. \)

Stąd

\( \displaystyle R^2-x^2 \ =\ a(R^2-x^2)-x(ax+b)+\lambda=-2ax^2-bx+aR^2+\lambda, \)

skąd dostajemy układ równań

\( \displaystyle -2a=-1,\quad b=0, \quad aR^2+\lambda=R^2, \)

zatem

\( \displaystyle a=\frac{1}{2},\quad b=0, \quad \lambda=\frac{1}{2}R^2. \)

Pozostaje do policzenia \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx. \) Podstawiając \( \displaystyle \frac{x}{R}=t \) (zatem \( \displaystyle \frac{dx}{R}=dt \)), mamy

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx & = & \displaystyle \int\frac{\frac{dx}{R}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}} \\ & = & \displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t+c=\arcsin \frac{x}{R} +c. \end{array} \)

Reasumując, mamy

\( \displaystyle \int\sqrt{R^2-x^2}\,dx \ =\ \frac{x}{2}\sqrt{R^2-x^2}+\frac{R^2}{2}\arcsin \frac{x}{R} +c. \)

Kolejne twierdzenie zawiera warunek konieczny i wystarczający istnienia pierwotnej elementarnej dla funkcji postaci \( \displaystyle f(x)=x^r(a+bx^s)^p \) oraz podaje sposób policzenia całki nieoznaczonej, jeśli pierwotna jest funkcją elementarną. Dowód twierdzenia pomijamy.

Twierdzenie 13.22.

Funkcja

\( \displaystyle f(x) \ =\ x^r(a+bx^s)^p, \quad \ \) gdzie \( \ a,b\in\mathbb{R},\ p,r,s\in\mathbb{Q}, \)

ma pierwotną elementarną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z przypadków:
(1) \( \displaystyle p\in\mathbb{Z} \) (robimy podstawienie \( \displaystyle x=z^N, \) gdzie \( \displaystyle N \) jest wspólnym mianownikiem ułamków \( \displaystyle r \) i \( \displaystyle s \));
(2) \( \displaystyle \frac{r+1}{s}\in\mathbb{Z} \) (robimy podstawienie \( \displaystyle a+bx^s=z^N, \) gdzie \( \displaystyle N \) jest mianownikiem ułamka \( \displaystyle p \));
(3) \( \displaystyle \frac{r+1}{s}+p\in\mathbb{Z} \) (robimy podstawienie \( \displaystyle ax^{-s}+b=z^N, \) gdzie \( \displaystyle N \) jest mianownikiem ułamka \( \displaystyle p \)).

Przykład 13.23.

Które z funkcji mają pierwotną elementarną? Sprowadzić całki z funkcji, które mają pierwotną elementarną do całek z funkcji wymiernych.
(1) \( \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}. \)
(2) \( \displaystyle f(x)=\sqrt[4]{1+x^2}. \)
(3) \( \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{1+\sqrt{x^3}}. \)

Uwaga 13.24. [Podstawienia Eulera]

Do policzenia całki postaci

\( \displaystyle \int R\big(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\big)\,dx, \) gdzie \( \displaystyle R=R(x,\xi) \) jest funkcją wymierną, \( \displaystyle a,b,c\in\mathbb{R},a\ne 0 \) można zastosować następujące podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):

  • Niech \( \displaystyle a>0. \) Podstawiamy

\( \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x. \)

  • Niech \( \displaystyle c>0. \) Podstawiamy

\( \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}. \)

  • Niech trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki \( \displaystyle \mu,\lambda, \) to znaczy \( \displaystyle ax^2+bx+c=a(x-\lambda)(x-\mu). \) Podstawiamy

\( \displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\lambda). \)

Przykład 13.25.

Całkę

\( \displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}} \)

sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, stosując pierwsze podstawienie Eulera. Podstawiamy

\( \displaystyle \sqrt{x^2-x+1}=t-x, \)

skąd

\( \displaystyle x \ =\ \frac{t^2-1}{2t-1} \)

oraz

\( \displaystyle dx \ =\ \frac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2}\,dt. \) Podstawiając, dostajemy

\( \displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}=2\int\frac{t^2-t+1}{t(2t-1)^2}\,dt, \)

czyli całkę z funkcji wymiernej, którą już umiemy policzyć.

Teraz tę samą całkę \( \displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}} \) sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, używając drugiego podstawienia Eulera. Podstawiamy

\( \displaystyle \sqrt{x^2-x+1}=tx-1, \)

skąd

\( \displaystyle x \ =\ \frac{1-2t}{1-t^2} \quad dx=-2\frac{t^2-t+1}{(1-t^2)^2}\,dt. \)

Podstawiając, dostajemy

\( \displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}} \ =\ -2\int\frac{t^2-t+1}{t(t-1)(t+1)^2}\,dt, \)

czyli też całkę z funkcji wymiernej - co prawda nieco bardziej skomplikowaną niż poprzednia.

Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne


Uwaga 13.26.

Aby policzyć całkę

\( \displaystyle \int R(\sin x,\cos x,\mathrm{tg}\, x)\,dx, \)

stosujemy podstawienie

\( \displaystyle \mathrm{tg}\,\frac{x}{2}=t \)

i mamy

\( \begin{array}{rllll} \displaystyle \sin x & = & \displaystyle\frac{2\mathrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\,^2\frac{x}{2}} & = & \displaystyle\frac{2t}{1+t^2}, \\ \\ \ \cos x & = & \displaystyle\frac{1-\mathrm{tg}\,^2\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}\,^2\frac{x}{2}} & = & \displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}, \\ \\ \mathrm{tg}\, x & = & \displaystyle\frac{2\mathrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1-\mathrm{tg}\,^2\frac{x}{2}} & = & \displaystyle\frac{2t}{1-t^2} \end{array} \)

oraz

\( \displaystyle x \ =\ 2\mathrm{arctg}\, t, \quad\ \) zatem \( \quad \,dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}. \) Po podstawieniu dostajemy całkę

\( \displaystyle \int R\bigg(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1-t^2} \bigg)\frac{2dt}{1+t^2}. \)

Przykład 13.27.

Obliczyć całkę \( \displaystyle \int\frac{dx}{2+\cos x}. \) W całce tej stosujemy podstawienie \( \displaystyle \mathrm{tg}\, \frac{x}{2}=t, \) wówczas \( \displaystyle x=2\mathrm{arctg}\, t \) i \( \displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}. \) Zatem

\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{dx}{2+\cos x} & = & \int\frac{\displaystyle\frac{2\,dt}{1+t^2}}{\displaystyle 2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \ =\ 2\int \frac{dt}{t^2+3} \ =\ \frac{2}{3}\int\frac{dt}{\displaystyle\bigg(\frac{t}{\sqrt{3}}\bigg)^2+1} \ =\ \bigg| \begin{array} {rcl} \displaystyle\frac{t}{\sqrt{3}} & = & s \\ dt & = & \displaystyle\sqrt{3}\,ds \end{array} \bigg| \\ & = & \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\int\frac{\displaystyle\sqrt{3}\,ds}{s^2+1} \ =\ 2\mathrm{arctg}\, s+c \ =\ 2\mathrm{arctg}\,\bigg(\displaystyle\frac{\mathrm{tg}\,\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\bigg)+c. \end{array} \)

Uwaga 13.28.

Aby policzyć całkę

\( \displaystyle \int R(\sin^2x,\cos^2x,\sin x\cos x)\,dx, \)

stosujemy podstawienie

\( \displaystyle \mathrm{tg}\, x=t \)

i mamy

\( \begin{array}{rllll} \displaystyle \sin^2x & = & \displaystyle\frac{\mathrm{tg}\,^2x}{1+\mathrm{tg}\,^2x} & = & \displaystyle\frac{t^2}{1+t^2}, \\ \\ \cos^2x & = & \displaystyle\frac{1}{1+\mathrm{tg}\,^2x} & = & \displaystyle\frac{1}{1+t^2}, \\ \\ \sin x\cos x & = & \displaystyle\frac{\mathrm{tg}\, x}{1+\mathrm{tg}\,^2x} & = & \displaystyle\frac{t}{1+t^2} \end{array} \)

oraz

\( \displaystyle x \ =\ \mathrm{arctg}\, t,\quad \,dx=\frac{\,dt}{1+t^2}. \)

Zatem po podstawieniu dostajemy całkę

\( \displaystyle \int R\bigg(\frac{t^2}{1+t^2}, \frac{1}{1+t^2}, \frac{t}{1+t^2} \bigg)\frac{dt}{1+t^2}. \)

Przykład 13.29.

Obliczyć całkę \( \displaystyle \int\frac{dx}{1+2\cos^2x}\,dx. \)

W całce tej stosujemy podstawienie \( \displaystyle \mathrm{tg}\, x=t, \) wówczas \( \displaystyle \cos^2x=\frac{1}{1+t^2} \) i \( \displaystyle dx=\frac{\,dt}{1+t^2}. \) Zatem

\( \displaystyle \int\frac{dx}{1+2\cos^2x}\,dx \ =\ \int\frac{\displaystyle\frac{1}{1+t^2}}{\displaystyle 1+\frac{2}{1+t^2}}\,dt \ =\ \int\frac{dt}{t^2+3}. \)

Zauważmy, że całkę tę liczyliśmy w przykładzie 13.27. Zatem

\( \displaystyle \int\frac{dx}{1+2\cos^2x}\,dx \ =\ \mathrm{arctg}\,\bigg(\frac{\mathrm{tg}\, x}{\sqrt{3}}\bigg)+c. \)