W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy \( \displaystyle C^1 \) jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.
Definicja 15.1.
Niech \( \displaystyle -\infty < a < b < +\infty. \) Krzywą nazywamy zbiór punktów
\( \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, \)
gdzie \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:
\( \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in[a,b]. \)
Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.
Przykład 15.2.
Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu \( \displaystyle R>0 \) w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2. \) Jeśli jako parametr \( \displaystyle t \) przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu \( \displaystyle \displaystyle (x,y) \) na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że \( \displaystyle x=\cos t \) i \( \displaystyle y=\sin t. \) Zatem następująca krzywa:
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=R\cos t \\ y=R\sin t \end{array} . \right. \qquad t\in[0,2\pi] \) opisuje okrąg.
Definicja 15.3.
Mówimy, że punkt \( \displaystyle \displaystyle (x,y)\in K \) jest punktem wielokrotnym krzywej \( \displaystyle K, \) jeśli
\( \displaystyle \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big). \)
Krzywą \( \displaystyle K \) nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy
\( \begin{array}{ll} \displaystyle & \bigg[ \big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big),\ t_1\le t_2 \bigg] \\ \\ \Longrightarrow & \bigg[ \big(t_1= t_2\big)\quad\lor\quad \big(t_1=a\ \land\ t_2=b\big) \bigg].\end{array} \)
Definicja 15.4.
Niech
\( \displaystyle a \ =\ t_0 \ < \ t_1 \ < \ \ldots \ < \ t_n \ =\ b \)
będzie podziałem przedziału \( \displaystyle \displaystyle [a,b]. \) Łamaną \( \displaystyle p \) łączącą punkty:
\( \displaystyle \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big) \)
nazywamy łamaną wpisaną w krzywą \( \displaystyle K \). Przez \( \displaystyle l(p) \) oznaczamy długość łamanej \( \displaystyle p \) (to znaczy sumę długości odcinków wchodzących w skład łamanej).
Definicja 15.5.
Długością krzywej \( \displaystyle K \) nazywamy liczbę:
\( \displaystyle l(K) \ =\ \sup_p l(p), \)
gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w \( \displaystyle K. \)
Definicja 15.6.
Jeśli \( \displaystyle l(K) < +\infty \), to mówimy, że krzywa \( \displaystyle K \) jest prostowalna. Twierdzenie 15.7.
Niech \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) będą klasy \( \displaystyle C^1 \) oraz niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa \( \displaystyle K \) jest prostowalna.
Łamana wpisana w krzywą
Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle p \) będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą \( \displaystyle K, \) to znaczy istnieje podział
\( \displaystyle a \ =\ t_0 \ < \ t_1 \ < \ \ldots \ < \ t_n \ =\ b \)
taki, że \( \displaystyle p \) jest łamaną o wierzchołkach \( \displaystyle \displaystyle (x_i,y_i) \) dla \( \displaystyle i=0,\ldots,n, \) gdzie
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x_i\ =\ \varphi(t_i) \\ y_i\ =\ \psi(t_i) \end{array} . \right. \ \qquad i\in\{0,\ldots,n\}. \)
Długość łamanej \( \displaystyle p \) wyraża się wzorem:
\( \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}. \)
Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\in C^1\big([a,b];\mathbb{R}\big), \) więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy
\( \displaystyle x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)(t_i-t_{i-1}), \)
\( \displaystyle y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)(t_i-t_{i-1}), \)
gdzie
\( \tau_i\in (t_{i-1},t_i),\quad i=1,\ldots n,\quad \tau^*_i\in (t_{i-1},t_i),\quad i=1,\ldots n. \)
Zatem
\( \displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot(t_i-t_{i-1}). \)
Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\varphi',\psi'\in C\big([a,b];\mathbb{R}\big) \) i przedział \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \) jest zwarty, więc funkcje \( \displaystyle \displaystyle\varphi',\psi' \) są ograniczone.
Definiujemy
\( \displaystyle M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t), \)
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t). \)
Zatem
\( \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a). \)
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej \( \displaystyle p \) wpisanej w krzywą \( \displaystyle K, \) więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy
\( \displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a), \)
a zatem krzywa \( \displaystyle K \) jest prostowalna.
Uwaga 15.8.
W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy \( \displaystyle C^1. \) (to znaczy \( \displaystyle \varphi,\psi \), są klasy \( C^1 \)) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy \( \displaystyle C^1, \) to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy \( \displaystyle C^1 \) (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy \( \displaystyle C^1 \) stosują się także do krzywych kawałkami klasy \( \displaystyle C^1. \)
Krzywa \( K(t) \)
Definicja 15.9.
Niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą. Zdefiniujmy:
\( \displaystyle K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\}, \)
oraz
\( \displaystyle s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad \) (długośćkrzywejK(t)) \( \displaystyle . \)
W szczególności \( \displaystyle s(b)=l(K). \)
Niech \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) będą klasy \( \displaystyle C^1 \) oraz niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas
\( \displaystyle s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\ t\in[a,b]. \)
Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle t_0,t_0+h\in[a,b]. \) Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:
\( \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h, \)
gdzie
\( \displaystyle M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t), \)
\( \displaystyle m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t). \)
Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez \( \displaystyle h, \) dostając:
\( \displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}. \)
Ponieważ funkcje \( \displaystyle \displaystyle\varphi' \) i \( \displaystyle \displaystyle\psi' \) są ciągłe, więc dostajemy
\( \displaystyle \begin{align*} M_h & \xrightarrow[h \to 0]{} & \varphi'(t_0), \\ m_h & \xrightarrow[h \to 0]{} & \varphi'(t_0), \\ M_h^* & \xrightarrow[h \to 0]{} & \psi'(t_0), \\ m_h^* & \xrightarrow[h \to 0]{} & \psi'(t_0). \end{align*} \)
Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:
\( \displaystyle s'(t_0) \ =\ \lim_{h \to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}. \)
Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]
Niech \( \displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R} \) będą klasy \( \displaystyle C^1 \) oraz niech \( \displaystyle K=K(\varphi,\psi) \) będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem
\( \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. \)
W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji \( \displaystyle y=f(x), \) dla \( \displaystyle x\in[a,b], \) to
\( \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt. \)
Dowód 15.11.
\( \displaystyle l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau. \)
W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję \( \displaystyle f \) możemy zapisać w postaci parametrycznej
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x(t)=t \\ y(t)=f(t) \end{array} ., \right. \ \qquad t\in[a,b] \)
i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.
Przykład 15.12.
Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:
\( \displaystyle r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta]. \)
Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x\ = \ r\cos\vartheta\ =\ g(\vartheta)\cos\vartheta \\ y\ = \ r\sin\vartheta\ =\ g(\vartheta)\sin\vartheta. \end{array} . \right. \)
Liczymy
\( \begin{array}{lll}\displaystyle \quad x'(\vartheta)^2+y'(\vartheta)^2 & = & \big[g'(\vartheta)\cos\vartheta-g(\vartheta)\sin(\vartheta)\big]^2 + \big[g'(\vartheta)\sin\vartheta+g(\vartheta)\cos(\vartheta)\big]^2 \\ \\ & = & g'(\vartheta)^2\cos^2\vartheta -2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\sin^2\vartheta \\ \\ & + & g'(\vartheta)^2\sin^2\vartheta +2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\cos^2\vartheta \\ \\ & = & g'(\vartheta)^2 +g(\vartheta)^2, \end{array} \)
Zatem
\( \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. \)
Definicja 15.13.
Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną
przez ustalony punkt \( \displaystyle 0 \) na okręgu toczącym się po prostej \( \displaystyle l. \)
Przykład 15.14.
Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.
Oznaczenia:
\( \displaystyle a \) - promień okręgu;
\( \displaystyle O \) - początkowy punkt styczności okręgu i prostej \( \displaystyle l \);
\( \displaystyle N \) - nowy punkt styczności;
\( \displaystyle M \) - nowe położenie punktu \( \displaystyle O \);
\( \displaystyle \displaystyle t=∢ NDM \) - parametr określający położenie punktu \( \displaystyle M. \)
Liczymy współrzędne punktu \( \displaystyle M(x,y) \):
\( \displaystyle x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t, \)
\( \displaystyle y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t. \)
Zatem
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi] \quad( \) lub \( \displaystyle \ t\in\mathbb{R}). \)
Przykład 15.15.
Obliczyć długość łuku cykloidy:
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi]. \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} & = & \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t} \\ & = & \displaystyle \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\bigg|\sin\frac{t}{2}\bigg|.\end{array} \)
Zatem
\( \displaystyle \begin{array}{lll}l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg|\sin\frac{t}{2}\,\bigg|dt \\ & = & 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\ a. \end{array} \)
Przykład 15.16.
Obliczyć długość łuku asteroidy:
\( \displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}}. \)
Równanie parametryczne asteroidy, to:
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a\cos^3 t \\ y=a\sin^3 t \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi]. \)
Liczymy
\( \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\ t\in[0,2\pi]. \)
Zatem
\( \displaystyle l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a. \)
Niech \( \displaystyle K \) będzie krzywą klasy \( \displaystyle C^1 \):
\( \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, \)
Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła \( \displaystyle f\colon K\ni M\longmapsto f(M)\in\mathbb{R}, \) to znaczy funkcja, która każdemu punktowi \( \displaystyle M \) krzywej \( \displaystyle K \) przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą \( \displaystyle f(M). \) Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji \( \displaystyle f \) po krzywej \( \displaystyle K. \)
Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. \)
Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).
Jeśli mamy daną krzywą (pręt) \( \displaystyle K \) zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie \( \displaystyle M(x,y) \) danej funkcją ciągłą \( \displaystyle \displaystyle\varrho(M), \) to masa tego pręta wyraża się wzorem
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds. \)
Współrzędne środka ciężkości pręta \( \displaystyle \displaystyle (x_0,y_0) \) możemy policzyć ze wzorów
\( \displaystyle \begin{align*} x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds, \\ x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds. \end{align*} \)
Przykład 15.17.
Obliczyć masę pręta półkolistego \( \displaystyle K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=R^2,\ y\ge 0\} \) o gęstości \( \displaystyle \displaystyle\varrho(x,y)=y^2. \)
Masa krzywej o gęstości \( \displaystyle \displaystyle\varrho \) dana jest wzorem
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds. \)
Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:
\( \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t \\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} . \right. \ \qquad t\in[0,\pi], \)
mamy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle m & = & \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt \\ & = & R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}.\end{array} \)
Odpowiedź:
Masa pręta wynosi \( \displaystyle \displaystyle \frac{R^3\pi}{2} \).
Przykład 15.18.
Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka \( \displaystyle K \) łączącego punkt \( \displaystyle \displaystyle (0,0) \) z punktem \( \displaystyle \displaystyle (1,1) \) o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej \( \displaystyle \displaystyle\sqrt{2} \) w punkcie \( \displaystyle \displaystyle (1,1). \)
Skoro gęstość \( \displaystyle \displaystyle\varrho \) jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi \( \displaystyle \displaystyle\sqrt{2} \) w punkcie \( \displaystyle \displaystyle (1,1), \) to
\( \displaystyle \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad \) oraz \( \displaystyle \quad \varrho(1,1)=c\sqrt{2}=\sqrt{2}, \)
stąd \( \displaystyle c=1. \) Parametryzacją odcinka jest na przykład
\( \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t \\ y=\psi(t)=t \end{array} . \right. \ \qquad t\in[0,1], \)
zatem masa wynosi
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1. \)
Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru
\( \displaystyle x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}. \)
Z symetrii zadania wynika, że \( \displaystyle y_0=\frac{2}{3}. \)
W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy \( \displaystyle C^1. \) Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).
Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.
Uwaga 15.19.
Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:
\( \displaystyle y=f_1(x) \quad \) i \( \displaystyle \quad y=f_2(x) \quad x\in[a,b], \)
to pole tego trapezu wynosi:
\( \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx \)
Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.
Twierdzenie 15.20.
Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} ., \right. \ \qquad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta], \)
wynosi
\( \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt. \)
Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.
Twierdzenie 15.21.
Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami \( \displaystyle OA \) i \( \displaystyle OB \) (gdzie \( \displaystyle O=(0,0) \)) oraz krzywą \( \displaystyle AB \) daną w postaci biegunowej
\( \displaystyle r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2], \)
to pole tego obszaru wynosi:
\( \displaystyle |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. \)
Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku
Oznaczając przez \( \displaystyle P_{ABC} \) pole trójkąta krzywoliniowego, mamy
\( \displaystyle P_{ABC} \approx \frac{1}{2}\cdot g(\vartheta)\cdot g(\vartheta)\cdot\sin\Delta\vartheta \approx \frac{1}{2} g(\vartheta)^2\Delta\vartheta \)
(dla małych kątów \( \displaystyle \displaystyle\Delta\vartheta \) zachodzi \( \displaystyle \displaystyle\Delta\sin\vartheta\approx\Delta\vartheta \)). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.
Twierdzenie 15.22.
(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej
\( \displaystyle K:\ y=f(x), \quad \) dla \( \displaystyle \ x\in[a,b] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. \)
Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.
(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. \)
Twierdzenie 15.23.
(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\ y=f(x), \quad \) dla \( \displaystyle \ x\in[a,b] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx. \)
Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \):
\( \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n \ =\ b \)
oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji \( \displaystyle y=f(x) \) dla \( \displaystyle x\in[x_{i-1},x_i]. \) Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy \( \displaystyle f(x_i) \) i wysokości \( \displaystyle \displaystyle\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \) czyli \( \displaystyle \displaystyle\pi f(x_i)^2\Delta x_i. \) Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.
(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt. \)
Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.
Twierdzenie 15.24.
(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\ y=f(x) \quad \) dla \( \displaystyle x\in[a,b] \)
wokół osi \( \displaystyle Oy \):
\( \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx. \)
Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \):
\( \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n \ =\ b \)
oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji \( \displaystyle y=f(x) \) dla \( \displaystyle x\in[x_{i-1},x_i] \) wokół osi \( \displaystyle Oy. \) Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa \( \displaystyle 2\pi x_i f(x_i)-2\pi x_{i-1}f(x_i)=2\pi\Delta x_i f(x_i). \) Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na \( \displaystyle |V_y|. \)
(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta] \)
wokół osi \( \displaystyle Oy \):
\( \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt. \)
Przykład 15.25.
Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła
\( \displaystyle x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0 < r < a) \)
wokół osi \( \displaystyle Ox. \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx \\ & \stackrel{(★)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array} \)
gdzie wykorzystano następującą całkę:
\( \displaystyle \begin{align*} (★)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \end{align*} \)
\( \displaystyle I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c. \)
Teraz liczymy całkę \( \displaystyle I \) inaczej:
\( \begin{array}{lll} \displaystyle I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części} \\ =\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx \\ & = & x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array} \)
Porównując to z \( \displaystyle \displaystyle (★), \) otrzymujemy:
\( \displaystyle r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2, \)
stąd
\( \displaystyle 2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2}, \)
zatem
\( \displaystyle I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}. \)
Wstawiając do \( \displaystyle \displaystyle (★), \) otrzymujemy:
\( \displaystyle \begin{align*} I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \end{align*} \)