Produkt uogólniony
W wykładzie "Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów" zdefiniowaliśmy iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów. Poniższa definicja uogólnia tamte rozważania, definiując produkt dowolnej (nawet nieskończonej) rodziny zbiorów.
Definicja 6.1.
Produktem uogólnionym zbioru \( X \) nazwiemy zbiór \( \mathbb{P} X \) zdefiniowany następująco:
\( \mathbb{P} X \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \{f \in \mathcal{P}(X \times \bigcup X): (f:X arrow \bigcup X) \wedge\forall_{x\in X} f(x) \in x\}. \)
Czyli zbiór \( \mathbb{P} X \) to zbiór wszystkich tych funkcji, które zbiorom z rodziny \( X \) przypisują ich elementy.
Zauważmy, że istnienie produktu uogólnionego dla każdego zbioru \( X \) wynika z aksjomatu wyróżniania. Znacznie ważniejszą własnością jednak jest niepustość produktu uogólnionego. Z aksjomatu wyboru w "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach" wynika, że produkt uogólniony dowolnej niepustej rodziny niepustych zbiorów jest zawsze niepusty. W konkretnych przypadkach można wykazać niepustość, nie odwołując się do aksjomatu wyboru (np. \( \{\{0\}\} \)).
W poniższym twierdzeniu pokazujemy, że produkt uogólniony jest w dużej mierze zgodny ze zdefiniowanym wcześniej iloczynem kartezjańskim. Jest to przy okazji pierwszy przykład konstrukcji funkcji bijektywnej, która pozwala "tłumaczyć" elementy jednego zbioru na drugi, co z kolei usprawiedliwia wymienne posługiwanie się nimi.
Twierdzenie 6.2.
Dla dowolnych różnych zbiorów \( A, B \) istnieje bijekcja pomiędzy zbiorami \( \mathbb{P} \{A,B\} \) a zbiorem \( A\times B \).
Dowód
Jeśli któryś ze zbiorów \( A, B \) jest pusty, to \( \mathbb{P} \{A,B\} = A\times B= \emptyset \), a więc istnieje pomiędzy nimi bijekcja (ćwiczenie: jaka?). Poniżej rozważamy przypadek, gdy oba zbiory są niepuste.
Zdefiniujemy funkcję \( F: \mathbb{P} \{A,B\} arrow A\times B \). Dla dowolnej funkcji \( h\in \mathbb{P} \{A,B\} \) niech \( F(h)=(h(A),h(B)) \). Zauważmy najpierw, że para \( (h(A),h(B)) \) jest rzeczywiście elementem zbioru \( A\times B \), ponieważ z definicji zbioru \( \mathbb{P} \{A,B\} \) mamy \( h(A)\in A \) oraz \( h(B) \in B \).
Pokażemy, że funkcja \( F \) jest iniekcją. Weźmy dowolne funkcje \( g,h \in \mathbb{P} \{A,B\} \), dla których \( F(g)=F(h) \). Z definicji funkcji \( F \) otrzymujemy \( (g(A),g(B))= (h(A),h(B)) \), a to jest spełnione tylko wtedy, gdy \( g(A)=h(A) \) i \( g(B)=h(B) \). Przypomnijmy, że dziedziną funkcji \( g \) i \( h \) jest zbiór \( \{A,B\} \). Skoro przyjmują te same wartości na elementach dziedziny, to są sobie równe, a to wobec dowolności wyboru \( g \) i \( h \) oznacza, że \( F \) jest iniekcją.
Pozostało pokazać, że \( F \) jest suriekcją. Weźmy dowolną parę \( (a,b) \in A \times B \) i rozważmy funkcję \( g=\{(A,a), (B,b)\} \). Ponieważ zbiory \( A \) i \( B \) są różne, to \( g \) jest funkcją określoną na zbiorze \( \{A,B\} \). Dodatkowo \( g \) spełnia warunek \( g(A)\in A \) i \( g(B)\in B \), a więc \( g\in \mathbb{P} \{A,B\} \). Zauważmy, że \( F(g)=(g(A),g(B))=(a,b) \). Wskazaliśmy więc element dziedziny funkcji \( F \), dla którego wartością jest właśnie \( (a,b) \). Wobec dowolności wyboru \( (a,b) \in A \times B \) dowiedliśmy, że \( F \) jest suriekcją.
Ćwiczenie 6.1
Udowodnij, że założenie o różności zbiorów \( A \) i \( B \) w powyższym twierdzeniu jest konieczne.