Dowód przeprowadzimy, wprowadzając podobną notację dla liczb całkowitych. Jeśli uda nam się zdefiniować funkcję moduł w ten sposób, że \( \displaystyle | n+k | \leq | n | + | k | \), \( \displaystyle | nk | = | n | | k | \), \( \displaystyle | n | \geq 0 \), dla dowolnych liczb całkowitych oraz \( \displaystyle | \frac{a}{b} | =\frac{ | a | }{ | b | } \), to:
\( \displaystyle | \frac{a}{b}+\frac{c}{d} | = | \frac{ad+bc}{bd} | = \frac{ | ad+bc | }{ | bd | } \)
oraz:
\( \displaystyle | \frac{a}{b} | + | \frac{c}{d} | = \frac{ | a | }{ | b | }+\frac{ | c | }{ | d | } = \frac{ | a | | d | + | b | | c | }{ | b | | d | }. \)
Żądana nierówność będzie prawdą, jeśli uda nam się wykazać, że: <
div class="center">\( \displaystyle [( | a | | d | + | b | | c | ) | bd | - | ad+bc | | b | | d | ] | b | | d | | bd | \geq 0, \)
ale korzystając z właściwości modułu dla liczb całkowitych (które wkrótce wykażemy), przekształcamy wzór do:
\( \displaystyle [( | ad | + | bc | - | ad+bc | ] | b | | c | | b | | d | | b | | d | \geq 0 \)
i ponieważ \( \displaystyle | b | \) i \( \displaystyle | d | \) są stale większe od zera, a \( \displaystyle | ad | + | bc | \geq | ad+bc | \) w liczbach całkowitych, nierówność jest dowiedziona.
Pozostaje zdefiniować funkcję moduł w liczbach całkowitych. Definiujemy ją jako: \( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} | = [(l,0)]_{\approx} \), gdzie \( \displaystyle l \) jest unikalną liczbą naturalną taką, że \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx}=[(l,0)]_{\approx} \) lub \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx}=[(0,l)]_{\approx} \). Liczba taka istnieje na podstawie Ćwiczenia 1.3 i jest unikalna, ponieważ \( \displaystyle [(l,0)]_{\approx}=[(0,p)]_{\approx} \) implikuje \( \displaystyle p=l=0 \), a \( \displaystyle [(l,0)]_{\approx}=[(p,0)]_{\approx} \) implikuje \( \displaystyle p=l \). Pozostaje wykazać wymagane fakty o funkcji moduł.
Ustalmy dwie liczby całkowite \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx} \) i \( \displaystyle [(l,m)]_{\approx} \) - wykażemy, że \( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} +[(l,m)]_{\approx} | \leq | [(n,k)]_{\approx} | + | [(l,m)]_{\approx} | \). Ponieważ zarówno dodawanie, jak i porządek nie zależą od wyboru reprezentantów dla klas równoważności, możemy założyć, że \( \displaystyle n=0 \) lub \( \displaystyle k=0 \) (i równocześnie \( \displaystyle l=0 \) lub \( \displaystyle m=0 \)). Jeśli \( \displaystyle k=0 \) oraz \( \displaystyle m=0 \), to mamy \( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} | = [(n,k)]_{\approx} \) oraz \( \displaystyle | [(l,m)]_{\approx} | =[(l,m)]_{\approx} \) i nierówność jest prawdziwa. Jeśli z kolei \( \displaystyle n=0 \) i \( \displaystyle l=0 \), to:
\( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} +[(l,m)]_{\approx} | = | [(0,k+m)]_{\approx} | = [(k+m,0)]_{\approx} =[(k,0)]_{\approx}+[(m,0)]_{\approx} = | [(0,k)]_{\approx} | + | [(0,m)]_{\approx} | \)
i nierówność znowu jest spełniona. Pozostają dwa symetryczne przypadki. Bez straty ogólności możemy założyć, że \( \displaystyle n=0 \) i \( \displaystyle m=0 \). Wtedy \( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} +[(l,m)]_\approx} | = | [(l,k)]_{\approx} | \) jest niewątpliwie mniejszy od \( \displaystyle | [(k,n)]_{\approx} | + | [(l,m)]_{\approx} | = [(l+k,0)]_{\approx} \), ponieważ zgodnie z definicją modułu pierwsza współrzędna \( \displaystyle | [(l,k)]_{\approx} | \) jest mniejsza lub równa większej z liczb \( \displaystyle k \), \( \displaystyle l \), która jest z kolei mniejsza lub równa \( \displaystyle l+k \).
Aby dowieść, że w liczbach całkowitych moduł jest rozdzielny względem mnożenia, ustalmy dwie liczby \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx} \) i \( \displaystyle [(l,m)]_{\approx} \) i, podobnie jak poprzednio, załóżmy, że że \( \displaystyle n=0 \) lub \( \displaystyle k=0 \) (i równocześnie \( \displaystyle l=0 \) lub \( \displaystyle m=0 \)). Wtedy \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx}\cdot[(l,m)]_{\approx} = [(nl+km,lk+mn)]_{\approx} \), gdzie co najwyżej jeden z czterech sumandów jest niezerowy. Moduł otrzymanej liczby będzie liczbą całkowitą posiadającą na pierwszej współrzędnej ten właśnie sumand, a na drugiej zero. Równocześnie \( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} | \cdot | [(l,m)]_{\approx} | \) będzie posiadał na pierwszej współrzędnej dokładnie ten sumand, a na drugiej zero, co dowodzi żądanej równości.
Aby dowieść, że \( \displaystyle | [(n,k)]_{\approx} | \geq 0 \), wystarczy zauważyć, że druga współrzędna pary reprezentującej liczbę jest równa zero i w związku z tym warunek nierówności jest zawsze spełniony.
Pozostaje wykazać, że \( \displaystyle | \frac{a}{b} | =\frac{ | a | }{ | b | } \). Rozważmy dwa przypadki: jeśli \( \displaystyle \frac{a}{b}\geq 0 \), to \( \displaystyle | \frac{a}{b} | = \frac{a}{b} \). W tym przypadku nierówność implikuje, że \( \displaystyle (a1-b0)b1\geq 0 \), czyli że \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) są liczbami całkowitymi tego samego znaku. To znaczy, że posiadają reprezentacje postaci \( \displaystyle [(n,0)]_{\approx} \) i \( \displaystyle [(k,0)]_{\approx} \) (lub \( \displaystyle [(0,n)]_{\approx} \) i \( \displaystyle [(0,k)]_{\approx} \)). Wnioskujemy, że \( \displaystyle a\cdot | b | = b\cdot | a | \), czyli \( \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{ | a | }{ | b | } \), co należało wykazać. W drugim przypadku mamy \( \displaystyle \frac{a}{b} < 0 \), czyli \( \displaystyle (a1-b0)b1 < 0 \), więc znaki \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) są przeciwne (posiadają reprezentacje \( \displaystyle [(n,0)]_{\approx} \) i \( \displaystyle [(0,k)]_{\approx} \) lub na odwrót). Wtedy mamy \( \displaystyle | \frac{a}{b} | = \frac{-a}{b} \) i znowu \( \displaystyle -a\cdot | b | = b\cdot | a | \) jest prawdą. Wykazaliśmy, że moduł zdefiniowany w liczbach wymiernych jest zgodny z modułem dla liczb całkowitych, co było ostatnim brakującym faktem w dowodzie.