Definicja dobrego porządku nie zależy od aksjomatu wyboru. W aksjomatyce ZF istnieje wiele zbiorów dobrze uporządkowanych. Jednak w obecności aksjomatu wyboru zbiory dobrze uporządkowane nabierają zupełnie nowego znaczenia.
Definicja 2.1.
Częściowy porządek \( (A,\sqsubseteq) \) jest dobrym porządkiem, jeśli
Mówimy wtedy, że zbiór \( A \) jest dobrze uporządkowany przez \( \sqsubseteq \).
Istnienie zbiorów dobrze uporządkowanych nie jest nowością. Zdefiniowany w wykładzie 7 "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje" zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany na mocy dowiedzionych tam twierdzeń. Łatwo zauważyć, że również każda liczba naturalna \( n \) wraz z relacją inkluzji jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Ogólnie, następujący fakt jest prawdziwy
Fakt 2.2.
Dla dowolnego dobrego porządku \( (A,\sqsubseteq) \) i dla dowolnego zbioru \( B\subset A \) zbiór ten jest dobrze uporządkowany przez relację \( \sqsubseteq\cap B\times B \).
Dowód
Relacja \( \sqsubseteq\cap B\times B \) to relacja \( \sqsubseteq \) zawężona do elementów zbioru \( B \). Mamy dla każdego \( a,b\in B \)
\( a\sqsubseteq b \iff a (\sqsubseteq\cap B\times B) b. \)
Oczywistym wnioskiem jest, że zbiór \( B \) jest uporządkowany liniowo przez \( \sqsubseteq\cap B\times B \). Pozostaje wykazać, że każdy podzbiór zbioru \( B \) ma element najmniejszy. Ustalmy dowolne \( C\subset B \), ponieważ \( B\subset A \) zbiór \( C \) jest również podzbiorem \( A \) i z definicji zbioru dobrze uporządkowanego wynika, że \( C \) posiada element najmniejszy względem \( \sqsubseteq \). Ponieważ \( C\subset B \), to ten sam element jest elementem najmniejszym w \( C \) względem \( \sqsubseteq\cap B\times B \), co kończy dowód faktu.
Dokładnej analizie własności zbiorów dobrze uporządkowanych jest poświęcony wykład 12 "Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną". W dalszej części wykładu ograniczamy się do własności tych porządków bezpośrednio powiązanych z aksjomatem wyboru.