Grupy i ciała

Grupy

---

Przez strukturę algebraiczną rozumie się zbiór składający się ze skończonej liczby zbiorów i ze skończonej liczby odwzorowań iloczynów kartezjańskich tych zbiorów w te zbiory. Odwzorowania te nazywa się działaniami.

Zaczniemy od rozważenia najprostszych struktur.

Niech \(G\) będzie zbiorem niepustym. Działaniem wewnętrznym w zbiorze \(G\) nazywamy odwzorowanie \(d:G\times G\longrightarrow G\). Działanie \(d\) jest łączne, jeśli dla każdych \(a,b,c\in G\) zachodzi równość

Mówimy, że działanie \(d\) jest przemienne, jeśli dla każdych elementów \(a,b\in G\) zachodzi równość

Element \(e\in G\) nazywa się elementem neutralnym ze względu na działanie \(d\), jeśli dla każdego elementu \(a\in G\) mamy

Łatwo widać, że jeśli istnieje element neutralny, to element taki jest jedyny w \(G\). Istotnie, niech \(e\) i \(e'\) będą elementami neutralnymi ze względu na \(d\). Zachodzą następujące równości

Działania oznacza się najczęściej znakiem plus, tzn. \(+\), lub znakiem kropki, która zwykle jest w zapisie pomijana. Oczywiście są też inne sposoby oznaczania działań, np. kółkiem, gwiazdką, etc. Działanie oznaczane znakiem \(+\) nazywa się dodawaniem, działanie oznaczane kropką nazywa się mnożeniem. Jeśli działanie oznaczone jest plusem, to łączność oznacza, że dla każdych \(a,b,c\in G\) mamy \(a+(b+c)= (a+b) +c\). A zatem zapis \(a+b+c\) ma sens. Podobnie dla działania zapisywanego multyplikatywnie, czyli kropką, łączność oznacza, że \(a(bc)=(ab)c\) dla każdych \(a,b,c\in G\), a zapis \(abc\) ma sens. Oczywiście, łączność dodawania oznacza, że zapis \(a_1+...+a_n\) ma sens dla dowolnego \(n\in \mathbb N\), zaś w przypadku mnożenia, zapis \(a_1\cdot ...\cdot a_n\) ma sens dla dowolnego \(n\in \mathbb N\).

Jeśli działanie zapisywane jest w sposób addytywny, tzn. za pomocą znaku \(+\), to element neutralny (o ile istnieje) nazywany jest zerem i oznaczany przez \(0\). W przypadku zapisu multyplikatywnego, element neutralny nazywany jest często jedynką i oznaczany cyfrą \(1\).

Załóżmy, że działanie \(d\) w zbiorze \(G\) ma element neutralny \(e\). Załóżmy najpierw, że działanie to jest zapisywane addytywnie. Mówimy, że element \(a\in G\) ma element przeciwny, jeśli istnieje element \(a'\in G\) taki, że \(a+a'=a'+a=e\). Jeśli działanie zapisywane jest multyplikatywnie, to mówimy, że element \(a\in G\) ma element odwrotny w \(G\), jeśli istnieje element \(a'\in G\), taki że \(aa'=a'a=e\).

Zauważmy, że jeśli działanie jest łączne, ma element neutralny i element \(a\in G\) ma element odwrotny (przeciwny), to element taki jest jedyny. Mianowicie, jeśli \(a'\) i \(a''\) są elementami odwrotnymi do \(a\), to (stosując zapis multyplikatywny) mamy następujące równości

Jeżeli działanie zapisywane jest w sposób addytywny i element \(a\) ma dokładnie jeden element przeciwny, to element ten oznaczamy przez \(-a\). Ponadto, jeśli \(b\in G\), to przyjmujemy oznaczenie

Jeśli działanie zapisywane jest w sposób multyplikatywny i element \(a\) ma dokładnie jeden element odwrotny, to oznaczamy go przez \(a^{-1}\). Przyjmujemy także oznaczenie

Definicja 1.1 [Grupa]

Załóżmy, że \(G'\) jest niepustym podzbiorem grupy \(G\). Mówimy, że \(G'\) jest podgrupą grupy \(G\), jeśli działanie grupy \(G\) zawężone do \(G'\times G'\) ma wartości w \(G'\) oraz dla każdego elementu \(a\in G'\) jego element odwrotny \(a^{-1}\) również należy do \(G'\).

Łatwo można sprawdzić, że podgrupa z zawężonym działaniem jest grupą.

Ciała

---

Rozważymy teraz zbiory wyposażone w dwa działania - dodawanie i mnożenie. Przyjmiemy następującą definicję.

Definicja 2.1 [Ciało]

Udowodnimy najbardziej podstawowe własności ciał.

Twierdzenie 2.2 [Własności Ciała]

W ciele zachodzą następujące warunki:

1. \(1\ne 0\),
2. \(0\cdot a= a\cdot 0=0,\)
3. \((-1)\cdot a =-a,\)
4. jeżeli \(ab=0\), to \(a=0\) lub \(b=0\),
5. jeżeli \(a\ne 0\) i \(b\ne 0\), to \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)

dla każdych \(a,\, b \in \mathbb K\).

Dowód

Przestrzenie wektorowe

Definicja przestrzeni wektorowej

---

Na początku tego wykładu wprowadzimy pojęcie przestrzeni wektorowej - najważniejszej struktury, którą zajmuje się algebra liniowa.

Definicja 1.1 [Przestrzeń wektorowa]

Niech \(V\) będzie zbiorem niepustym wyposażonym w działanie wewnętrzne - dodawanie. Dane jest także ciało \(\mathbb K\) oraz działanie zewnętrzne, tak zwane mnożenie zewnętrzne z lewej strony, będące odwzorowaniem zbioru \(\mathbb K \times V\) w zbiór \(V\). Wartość tego odwzorowania na parze \((\lambda ,v)\in \mathbb K\times V\) oznaczamy przez \(\lambda\cdot v\). Występującą tu kropkę najczęściej pomijamy.

Mówimy, że struktura składająca się ze zbioru \(V\), ciała \(\mathbb K\) oraz dwóch powyższych działań jest przestrzenią wektorową, jeśli spełnionych jest pięć poniższych warunków, zwanych aksjomatami przestrzeni wektorowej:

V1) Zbiór \(V\) z dodawaniem jest grupą przemienną,

V2) Dla każdych \(\lambda\, \mu \in \mathbb K\) i dla każdego \(v\in V\) zachodzi równość \(\lambda(\mu v)=(\lambda\mu )v\).

V3) Dla każdych \(\lambda\, \mu \in \mathbb K\) i dla każdego \(v\in V\) zachodzi równość \((\lambda +\mu )v=\lambda v +\mu v\).

V4) Dla każdego \(\lambda \in \mathbb K\) i każdych \(v,w\in V\) zachodzi równość \(\lambda (v+w)= \alpha v +\alpha w\).

V5) Dla każdego \(v\in V\) zachodzi równość \(1\cdot v= v\).

W pierwszym aksjomacie najczęściej żąda się, tak jak to zrobiliśmy, aby grupa była przemienna, choć przemienność tej grupy jest konsekwencją pozostałych warunków. Proponujemy, aby czytelnik sam sprawdził ten fakt. Aksjomaty V2)- V5) są w definicji niezbędne. Proponujemy, aby czytelnik sprawdził to, znajdując przykład struktury, dla której spełnione są wszystkie warunki oprócz V2), następnie przykład struktury, dla której spełnione są wszystkie warunki oprócz warunku V3), etc. Własność V3) nazywa się łącznością mieszaną, własność V4) - rozdzielnością mnożenia zewnętrznego względem dodawania w ciele i wreszczcie własność V4) - rozdzielnością mnożenia zewnętrznego względem dodawania wewnętrznego.

Jeśli spełnione są wszystkie powyższe aksjomaty, to mówimy także, że \(V\) jest przestrzenią wektorową nad ciałem \(\mathbb K\). Elementy przestrzeni \(V\) nazywamy wektorami, zaś elementy ciała \(\mathbb K\) nazywamy skalarami.

Zauważmy najpierw pewne elementarne własności przestrzeni wektorowych.

Twierdzenie 1.2

Niech \(V\) będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \(\mathbb K\). Wtedy dla każdego \(v\in V\) i każdego \(\lambda \in \mathbb K\) zachodzą równości:

Uwaga 1.3

W pierwszej z powyższych równości \(0\) z lewej strony jest zerem w ciele, zaś \(0\) z prawej strony jest zerem w przestrzeni wektorowej. W drugiej równości oba \(0\) są zerami w przestrzeni wektorowej.

Dowód

Dowód trzech pierwszych z powyższych własności jest analogiczny do odpowiednich części dowodu Twierdzenia 2.2. z Wykładu 1. Dla dowodu czwartej własności załóżmy, że \(\lambda \ne 0\) i \(\lambda v=0\). Pomnóżmy obie strony przez \(\lambda ^{-1}\). Otrzymujemy stąd równość \(v=0\).

Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni wektorowych.

Przykład 1.4

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią wektorową nad dowolnym ciałem. Jedyny element takiego zbioru jest zerem w tej przestrzeni. Taką przestrzeń nazywamy przestrzenią zerową.

Przykład 1.5

Każde ciało jest przestrzenią wektorową nad samym sobą.

Ogólniej, jeśli \(\mathbb K\) jest ciałem, to iloczyn kartezjański \(\mathbb K ^n\), \(n\in \mathbb N\), ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem \(\mathbb K\). Dodawanie w \(\mathbb K ^n\) definiujemy następująco

zaś mnożenie zewnętrzne dane jest formułą

Bezpośrednim i łatwym rachunkiem można sprawdzić, że tak zdefiniowana struktura na \(\mathbb K ^n\) jest przestrzenią wektorową nad ciałem \(\mathbb K\).

W kolejnym przykładzie zdefiniujemy strukturę przestrzeni wektorowej na iloczynie kartezjańskim dowolnych przestrzeni wektorowych.

Przykład 1.6

Niech \(V\), \(W\) będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \(\mathbb K\). Wtedy iloczyn kartezjański \(V\times W\) ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem \(\mathbb K\). Istotnie, jeśli zdefiniujemy dodawanie formułą

dla \(v_1, v_2\in V\) i \(w_1, w_2\in W\), a mnożenie zewnętrzne formułą

dla \(\lambda \in\mathbb K\) i \(v\in V\), \(w\in W\), to otrzymujemy strukturę przestrzeni wektorowej (nad ciałem \(\mathbb K\)) na \(V\times W\).

Przykład 1.7

Innymi słowy, podprzestrzeń wektorowa \(W\) przestrzeni \(V\) jest niepustym podzbiorem przestrzeni \(V\) zamkniętym ze względu na działania w \(V\). Jest jasne, że jeśli \(W\) jest podprzestrzenią \(V\), to dla każdych \(\lambda _1,...,\lambda _k \in \mathbb K\) i dla każdych wektorów \(v_1,..., v_k \in W\) wektor równy \(\lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k\) należy do podprzestrzeni \(W\).

Jeżeli \(W\) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(V\) i \(v\in W\), to \(-v=(-1) v\) również należy do \(W\). A zatem \(0=v+(-1)v \in W\), czyli do każdej podprzestrzeni wektorowej \(W\) musi należeć zero przestrzeni \(V\).

Ponieważ własności działań przestrzeni wektorowej \(V\) zawarte w aksjomatach dziedziczą się łatwo na podzbiór zamknięty ze względu na te działania, więc podprzestrzeń wektorowa jest przestrzenią wektorową (nad tym samym ciałem co przestrzeń \(V\)).

Podamy kilka najważniejszych przykładów podprzestrzeni wektorowych. Oczywiście cała przestrzeń \(V\), a także podzbiór \(\{0\}\subset V\) są podprzestrzeniami wektorowymi \(V\). Są to tak zwane podprzestrzenie trywialne.

Kolejny przykład będzie odgrywać ważną rolę w naszym wykładzie

Przykład 2.2

Jeśli \(a_1,...a_n\) są ustalonymi elementami ciała \(\mathbb K\), to zbiór opisany równaniem liniowym \(a_1x_1+...+a_nx_n=0\), tzn. zbiór

jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\mathbb K ^n\). Uogólnimy teraz ten przykład. Jednorodnym układem równań liniowych nazywamy układ równań

gdzie \(a_{ij}\) dla \(i=1,...,m\), \(j=1,...,n\), są dowolnymi ustalonymi skalarami. Jest to układ \(m\) równań z \(n\) niewiadomymi \(x_1,...x_n\). Zbiór wszystkich rozwiązań tego układu, czyli zbiór wszystkich ciągów \((x_1,....,x_n)\in \mathbb K ^n\) spełniających (2.2), jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\mathbb K ^n\).}

Wróćmy teraz do Przykładu 1.7.

Przykład 2.3

Inny przykład wywodzący się z Przykładu 1.7 jest taki. Weźmy przestrzeń \(V=\mathbb R ^{\mathbb N}\) wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach rzeczywistych. Weźmy podzbiór składający się ze wszystkich ciągów zbieżnych do liczb rzeczywistych. Podzbiór ten jest podprzestrzenią \(V\).

Jeżeli \(W\) i \(U\) są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \(V\), to ich iloczyn mnogościowy jest też podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(V\). Istotnie, \(0\) należy do \(U\) i \(V\), a zatem \(U\cap W\) jest niepusty. Dalej, jeśli \(v, w\in U\cap W\), to obydwa te wektory należą do \(U\), a więc ich suma należy do \(U\), a także należą do \(W\), a więc ich suma należy do \(W\). Czyli \(v+w\in U\cap W\). Podobnie, jeśli \(\lambda \in\mathbb K\) i \(v\in U\cap W\), to \(\lambda v\) należy zarówno do \(U\) jak i do \(W\). Wobec tego \(\lambda v\in U\cap W\).

Równie łatwo można stwierdzić, że jeśli mamy dowolną niepustą rodzinę podprzestrzeni \({W_t}_{\{t\in T\}}\) przestrzeni \(V\), to ich iloczyn mnogościowy \(\bigcap _{t\in T} W_t\) jest podprzestrzenią wektorową.

Dodawanie mnogościowe podprzestrzeni wektorowych nie jest dobrą operacją, tzn. suma mnogościowa podprzestrzeni wektorowych na ogól nie jest podprzestrzenią wektorową. Zachodzi następujące twierdzenie, którego dowód proponujemy czytelnikowi

Twierdzenie 2.4

Suma mnogościowa dwóch podprzestrzeni wektorowych \(U\), \(W\) przestrzeni \(V\) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(V\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(U\subset W\) lub \(W\subset U\).

Zamiast sumy mnogościowej podprzestrzeni rozważa się sumę algebraiczną podprzestrzeni.

Mianowicie, niech \(U\), \(W\) będą podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \(V\). Definiujemy zbiór

Łatwo sprawdzić, że zbiór ten spełnia warunki podprzestrzeni wektorowej. Sumę tę można uogólnić na skończoną liczbę składników. Jeśli \(W_1,...,W_k\) są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \(V\), to

Zbiór ten jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(V\).

Suma algebraiczna podprzestrzeni wektorowych

Bardzo ważnym pojęciem dotyczącym sumy algebraicznej podprzestrzeni jest pojęcie sumy prostej podprzestrzeni.

Definicja 2.5 [Suma prosta]

Jednym z podstawowych powodów, dla których sumy proste są ważne, jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.6

Jeżeli \(V=U\oplus W\), to każdy wektor \(v\in V\) można jednoznacznie przedstawić jako sumę wektorów przestrzeni \(U\) i \(W\).

Suma prosta podprzestrzeni wektorowych

Dowód

Do pokazania jest jednoznaczność. Niech \(v=u+w\), gdzie \(u\in U\) i \(w\in W\) oraz \(v=u'+w'\), gdzie \(u'\in U\) i \(w'\in W\). Wtedy \(u'-u=w-w'\). Po lewej stronie równości mamy wektor z przestrzeni \(U\), po prawej - z przestrzeni \(W\). A zatem oba należą do \(U \cap W\), czyli muszą być równe zeru.

Mając sumę prostą \(V=U\oplus W\) możemy zdefiniować rzutowania. Mianowicie, niech \(v\in V\). Wtedy \(v\) rozkłada się jednoznacznie na sumę \(v=u+w\), gdzie \(u\in U\) i \(v\in V\). Odwzorowanie \(P_U: V\longrightarrow V\), które wektorowi \(v\) przyporządkowuje \(u\) z powyższego rozkładu, nazywamy rzutowaniem na podprzestrzeń \(U\) w kierunku podprzestrzeni \(W\) (lub rzutowaniem na \(U\) równoległym do \(W\)). Podobnie definiuje się rzutowanie \(P_W\) na \(W\) w kierunku \(U\).

Jeżeli \(V=U\oplus W\), to \(W\) nazywamy dopełnieniem algebraicznym do \(U\). Oczywiście \(U\) jest wtedy dopełnieniem algebraicznym do \(W\).

Układy liniowo niezależne, generatory, bazy

Kombinacje liniowe, układy i zbiory liniowo niezależne, układy i zbiory generujące.

---

Niech \(V\) będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \(\mathbb K\).

Kombinacją liniową wektorów \(v_1,..., v_n\in V\) nazywamy wyrażenie

\(\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n,\)      (1.1)

gdzie \(\lambda _1,...,\lambda _n\) są skalarami z ciała \(\mathbb K\). Wartością kombinacji liniowej (1.1) nazywamy wektor równy \(\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n\). Skalary \(\lambda _1,...,\lambda _n\) nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej (1.1). Kombinację liniową nazywamy trywialną, jeśli wszystkie jej współczynniki są zerami. Kombinację liniową nazywamy zerową, jeśli jej wartość jest wektorem zerowym. Każda kombinacja liniowa trywialna jest zerowa. Oczywiście nie każda kombinacja zerowa jest trywialna. Na przykład, kombinacja liniowa \(1\cdot v+(-1)\cdot v\) jest zerowa i nietrywialna.

W praktyce mówimy, że wektor \(v\) jest kombinacją liniową pewnych wektorów mając na myśli to, że jest wartością tej kombinacji.

Wprowadzimy teraz fundamentalne dla naszego wykładu pojęcie liniowej niezależności.

Definicja 1.1 [Liniowa niezależność]

Mówimy, że ciąg wektorów \(v_1,..., v_n\) przestrzeni wektorowej \(V\) jest liniowo niezależny, jeśli spełniona jest następująca implikacja:

Jeżeli \(\lambda _1v_1+...\lambda _nv_n =0\) dla pewnych skalarów \(\lambda _1,...,\lambda _n\), to wszystkie te skalary muszą być zerami.

Innymi słowy, ciąg \(v_1,...,v_n\) jest liniowo niezależny, jeżeli każda jego kombinacja liniowa, która jest zerowa, jest trywialna. Kolejność wektorów w ciągu \(v_1,..., v_n\) jest w tej definicji nieistotna. Zamiast mówić o ciągach liniowo niezależnych, mówimy o układach liniowo niezależnych. Słowo układ zawiera najczęściej w sobie informację, że kolejność jego elementów jest nieistotna. Mówimy też o zbiorach liniowo niezależnych. Jasne jest, co to znaczy, że skończony zbiór jest liniowo niezależny. Różnica między zbiorem skończonym a układem jest taka, że w układzie mogą się pojawić wektory jednakowe.

Zbiór pusty uznajemy za liniowo niezależny.

Mówimy, że dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) jest liniowo niezależny, jeśli każdy jego podzbiór skończony jest liniowo niezależny. Definicja taka nie prowadzi do żadnej sprzeczności z definicją liniowej niezależności w przypadku zbiorów skończonych, ponieważ zachodzi następujący lemat

Lemat 1.2 [Podukład]

Niech \(v_1,...v_n\) będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.

Dowód

Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów \(v_1,..., v_k\), gdzie \(k<n\). Niech \(\lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k=0\). Wtedy

Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów \(v_1,...,v_n\) dostajemy, że wszystkie współczynniki \(\lambda _1,...,\lambda _k\) są zerami.

Mówimy, że wektory \(v_1,...,v_n\) są liniowo zależne, jeśli nie są liniowo niezależne. A zatem, wektory \(v_1,...,v_n\) są liniowo zależne, jeśli istnieją skalary \(\lambda_1,...,\lambda _n\in \mathbb K\), nie wszystkie równe zeru takie, że \(\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n =0\). Wtedy pewien wektor wśród \(v_1,..., v_n\) mianowicie każdy, przy którym współczynnik w kombinacji \(\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n=0\) jest niezerowy) da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów. Przypuśćmy, że \(\lambda _1\ne 0\). Wtedy

Podkreślmy, że liniowa zależność wektorów \(v_1,...,v_n\) nie oznacza, że każdy wektor wśród \(v_1,...v_n\) jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.

Al-3-2 AL-3-3 AL-3-4 AL-3-5

Każdy układ zawierający \(0\) lub dwa jednakowe wektory jest liniowo zależny. Ponadto, układ dwóch wektorów \(u,v\in V\) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są proporcjonalne, tzn. \(v=\lambda u\) lub \(u=\gamma v\) dla pewnych \(\lambda, \gamma \in \mathbb K\). Sprawdzenie tych faktów pozostawiamy jako ćwiczenie.

Niech teraz \(A\) będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni \(V\). Bierzemy rodzinę wszystkich podprzestrzeni wektorowych zawierających podzbiór \(A\). Rodzina ta jest niepusta, bo cała przestrzeń \(V\) należy do tej rodziny. A zatem przecięcie wszystkich zbiorów tej rodziny jest podprzestrzenią wektorową zawierającą \(A\) (najmniejszą w sensie inkluzji). Oznaczmy tę podprzestrzeń symbolem \( lin A\). Jeżeli \(A\) jest zbiorem pustym, wtedy \( lin A=\{0\}\). Jeżeli \(W= lin A\), to mówimy, że \(A\) generuje (rozpina) podprzestrzeń \(W\). Oczywiście można też mówić o układzie \(A\) i podprzestrzeni generowanej przez ten układ. Jest oczywiste, że jeśli \(A\subset B\), to \( lin A\subset lin B\). Jeśli \(W\) jest podprzestrzenią wektorową, to \( lin\, W =W\), a zatem dla dowolnego podzbioru \(A\) mamy równość \( lin ( lin A)= lin A\).

Twierdzenie 1.3 [Span]

Niech \(A\) będzie niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej \(V\). Wtedy

Odwzorowania liniowe

Definicja odwzorowania liniowego

---

Definicja 1.1 [Odwzorowanie liniowe]

Niech \(V\), \(W\) będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \(\mathbb K\) i niech \(f: V\longrightarrow W\) będzie odwzorowaniem. Mówimy, że \(f\) jest liniowe, jeśli spełnione są następujące warunki

L 1) dla każdych wektorów \(u,v\in Vf(u+v)=f(u)+f(v)\),

L 2) dla każdych \(\lambda \in \mathbb K\) i \(v\in Vf(\lambda v)=\lambda f(v)\).

Własność pierwszą nazywamy addytywnością odwzorowania \(f\), drugą - jednorodnością \(f\).

Zespół warunków L 1) i L 2) można zastąpić jednym z następujących warunków L 3) lub L4).

L 3) Dla każdych \(\lambda ,\mu \in \mathbb K\) i dla każdych \(u,v\in V\) zachodzi równość \(f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u) +\mu f(v)\).

L 4) Dla każdych skalarów \(\lambda _1,...,\lambda _k\in \mathbb K\), wektorów \(v_1,...,v_k\in V\) i każdego \(k\in \mathbb N\), zachodzi równość

Dowód równoważności warunków L 3) i L 4) polega na zastosowaniu indukcji.

Zauważmy od razu, że \(f(0)=f(0\cdot v)= 0\cdot f(v)\), gdzie \(v\) jest dowolnym wektorem przestrzeni \(V\). A zatem, dla odwzorowania liniowego zawsze mamy \(f(0)=0\).

Przykład 1.2

Własności odwzorowań liniowych. Obraz i jądro.

---

Omówimy teraz podstawowe własności odwzorowań liniowych.

Twierdzenie 2.1

Złożenie odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Jeśli odwzorowanie liniowe jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest też liniowe.

Dowód

Tezy pierwszej dowodzi się bezpośrednim rachunkiem, co zostawiamy czytelnikowi. Dla sprawdzenia drugiej tezy ustalmy, że \(f:V\longrightarrow W\) jest liniową bijekcją. Niech \(w,w'\in W\). Wtedy istnieją jedne jedyne wektory \(v,v'\in V\) takie, że \(w=f(v)\) i \(w'=f(v')\). Zatem \(v=f^{-1}(w)\) i \(v' =f^{-1}(w')\). Niech \(\lambda, \mu\) będą dowolnymi skalarami. Zachodzą równości

Istotne cechy odwzorowań liniowych, często wykorzystywane w dalszej części wykładu, opisują następujące lematy

Lemat 2.2

Niech \(A\) będzie zbiorem generującym przestrzeń \(V\) i odwzorowania \(f, h: V\longrightarrow W\) będą liniowe. Jeśli \(f_{|A }=h_{|A}\), to \(f=h\).

Dowód

Niech \(v\in V\) będzie dowolnym wektorem. Istnieją wektory \(v_1,...,v_n\) ze zbioru \(A\) oraz skalary \(\lambda _1,...,\lambda _n\) takie, że \(v=\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n\). Ponieważ obydwa odwzorowania \(f\) i \(h\) są liniowe, więc \(f(v)=\lambda _1f(v_1)+...+\lambda _nf(v_n)= \lambda _1h(v_1)+...+\lambda _nh(v_n)=h(v)\).

Lemat 2.3

Niech \(B\) będzie bazą przestrzeni \(V\) i \(\tilde f: B\longrightarrow W\) będzie dowolnym odwzorowaniem.

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe \(f: V\longrightarrow W\) takie, że \(\tilde f =f_{| B}\)

Dowód

Dla dowolnego \(v\) istnieją wektory \(e_1,..., e_n\) należące do bazy i skalary \(\lambda _1,..., \lambda _n\) takie, że \(v=\lambda _1e_1+...+\lambda _ne_n\). Wybór wektorów z bazy i skalarów jest jednoznaczny. A zatem \(f\) zadane formułą

\(f(v)= \lambda _1\tilde f(e_1)+...+\lambda _n\tilde f(e_n)\)      (2.1)

jest dobrze określone. Łatwo sprawdzić, że jest liniowe. Jest też oczywiste, że \(f\) musi być zadane formułą (2.1). Stąd jedyność \(f\) (lub z poprzedniego lematu).

Ostatni lemat mówi, że odwzorowanie liniowe może być zadane na bazie. Lemat dotyczy także przestrzeni nieskończenie wymiarowych.

Twierdzenie 2.4

Niech \(f: V\longrightarrow W\) będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli \(U\) jest podprzestrzenią \(V\), to obraz podprzestrzeni \(U\) przez odwzorowanie f, czyli \(f(U)\), jest podprzestrzenią \(W\). Jeżeli \(U\) jest podprzestrzenią \(W\), to przeciwobraz podprzestrzeni \(U\) przez odwzorowanie \(f\), czyli \(f^{-1}(U)\), jest podprzestrzenią \(V\).

Dowód

Jeżeli \(w, z\in f(U)\), to \(w=f(v)\) i \(z=f(u)\) dla pewnych \(u, v\in U\). Zatem \(v+u\in U\) i \(w+z=f(v)+f(u)=f(v+u)\in f(U)\). Ponieważ \(\lambda u\in U\), więc \(\lambda z= \lambda f(u)=f(\lambda u)\in f(U)\) dla dowolnego skalara \(\lambda\).

Niech \(u,v\in f^{-1}(W)\). Wtedy \(f(u),f(v)\in W\) i, w konsekwencji, \(f(u)+f(v)\in W\). Zatem \(f(u+v)=f(u)+f(v)\in W\). Podobnie \(f(\lambda u)=\lambda f(u)\in W\) dla dowolnego \(\lambda\).

Dla odwzorowania liniowego definiuje się dwie ważne podprzestrzenie - obraz i jądro odwzorowania liniowego.

Definicja 2.5 [Jądro odwzorowania]

Macierze

Definicja macierzy, podstawowe pojęcia

---

Niech ustalone będzie ciało \(\mathbb K\) i dwie liczby naturalne \(m\), \(n\).

Macierzą o wyrazach z ciała \(\mathbb K\) i wymiarach \(m\) na \(n\) nazywamy każdą funkcję

Macierz taką zapisujemy w postaci tabelki

Macierz zapisujemy również na wiele innych sposobów, w zależności od tego jaką jej cechę chcemy wziąć pod uwagę lub podkreślić. I tak, możemy zapisać macierz jako \(A_{m\times n}\) (określono wymiary macierzy), \([a_{ij}]\) (oznaczono wyrazy macierzy), \(A=A=[a_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array}}\), (nazwano wyrazy, określono wymiary) lub po prostu \(A\) (dokładniejsze informacje są niepotrzebne lub wynikają z kontekstu).

Ciąg \(a_{i1},..., a_{in}\), \(i=1,...,m\) nazywamy \(i\)-tym wierszem macierzy (1.1). Ciąg \(a_{1j},...,a{mj}\), \(j=1,...,n\), nazywamy \(j\)-tą kolumną macierzy (1.1).

Niech \(A_1,...,A_n\) będą kolumnami macierzy \(A\). Jest to ciąg wektorów z \(\mathbb K ^m\). Rząd układu kolumn \(A_1,...,A_m\) nazywamy rzędem macierzy i oznaczamy \( rk A\).

Mamy następujący lemat przydatny w rachunku macierzy

Lemat 1.1

Dowód

Macierze a odwzorowania liniowe

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

---

Niech dane będą przestrzenie wektorowe \(V\) i \(W\) nad ciałem \(\mathbb K\) oraz odwzorowanie liniowe \(f:V\longrightarrow W\).

Niech \(e_1,...,e_n\) będzie bazą przestrzeni wektorowej \(V\), zaś \(e'_1,...,e'_m\) bazą przestrzeni \(W\). Dla odwzorowania liniowego \(f\) mamy

\(\begin{array} {rcl} &&f(e_1) =a_{11}e'_1+... +a_{m1}e'_m,\\ &&\ \ \ .\\ &&\ \ \ .\\ &&\ \ \ .\\ &&f(e_n)= a_{1n}e'_1+...+a_{mn}e'_m. \end{array}\)      (1.1)

dla pewnych skalarów \(a_{ij}\), \(i=1,...,m\), \(j=1,...,n\). Inaczej zapisując

dla każdego \(j=1,...,n\).

Otrzymaliśmy więc macierz \(A=[a_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} }\), która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe \(f\). Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania \(f\) przy bazach \(e_1,...,e_n\) i \(e'_1,...,e'_m\).

Jeśli mamy daną macierz \(A\), ustalone bazy w przestrzeniach \(V\), \(W\), to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego \(f:V\longrightarrow W\). Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz \(A=A_{m\times n}\) możemy traktować jako odwzorowanie liniowe \(f:\mathbb K ^n\longrightarrow \mathbb K^m\) dane przepisem (1.1), gdzie \(e_1,...,e_n\) jest bazą kanoniczną przestrzeni \(\mathbb K ^n\), zaś \(e'_1,...,e'_m\) jest bazą kanoniczną przestrzeni \(\mathbb K ^m\).

Jeśli \(A\) jest macierzą odwzorowania \(f:V\longrightarrow W\) i przez \(A_1,..., A_n\) oznaczymy kolumny macierzy \(A\), to każda kolumna \(A_j\) jest ciągiem współrzędnych wektora \(f(e_j)\) w bazie \(e'_1,..., e'_m\). Oznacza to, że układ kolumn macierzy \(A\) można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie \(e_1,...,e_n\)) \(f(e_1),...,f(e_n)\). Rząd odwzorowania \(f\) jest więc rzędem układu wektorów \(A_1,..., A_n\) macierzy \(A\).

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli \(A\) jest macierzą odwzorowania \(f:V\longrightarrow W\) przy pewnych bazach przestrzeni \(V\) i \(W\), to \( rk A= rk f\).

Niech \(f,h :V\longrightarrow W\) będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach \(e_1,...,e_n\), \(e'_1,...,e'_m\) przestrzeni \(V\) i \(W\) odpowiednio, macierz odwzorowania \(f+h\) jest sumą macierzy \(A_f+A_h\), gdzie \(A_f\) jest macierzą odwzorowania \(f\) a \(A_h\) macierzą odwzorowania \(h\). A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe \(V\), \(W\), \(U\). Załóżmy ponadto, że \(e_1,...,e_n\) jest bazą \(V\), \(e'_1,...,e'_k\) jest bazą \(W\) i \(e''_1,...,e''_m\) jest bazą \(U\). Niech \(f:V\longrightarrow W\) i \(h:W\longrightarrow U\) będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez

macierze odwzorowania \(f\), \(h\) i \(h\circ f\) odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości

Z drugiej strony

Zatem

Oznacza to, że

Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli \(h_1, h_2: W\longrightarrow U\), to \((h_1+h_2)\circ f= h_1\circ f +h_2\circ f\). Jeśli \(f_1, f_2:V\longrightarrow W\), to \(h\circ (f_1+f_2)=h\circ f_1 +h\circ f_2\). W języku macierzy oznacza to, że \((B_1 +B_2)A=B_1A+B_2A\) oraz \(B(A_1+A_2)=BA_1+BA_2\) (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

---

Niech \(e^*_1,..., e^*_n\) będzie bazą dualną do bazy \(e_1,...,e_n\) przestrzeni \(V\) i \(e'^*_1,...,e'^*_m\) bazą dualną do bazy \(e'_1,...,e'_m\) przestrzeni \(W\). Rozważmy odwzorowanie dualne \(f^*:W^* \longrightarrow V^*\). Chcemy znaleźć macierz \(f^*\) przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez \(B=[b_{ji}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le j\le n\\ 1\le i\le m \end{array} }\), czyli

Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z \(V^*\), czyli odwzorowania liniowe określone na \(V\) i o wartościach w \(\mathbb K\). Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy \(e_1,..., e_n\). Otrzymujemy

Z drugiej strony

A zatem \(a_{is}=b_{si}\), co oznacza, że macierz \(B\) jest macierzą dualna do macierzy \(A\).

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Stąd, że dla odwzorowań liniowych zachodzi formuła \((f \circ h)^* = h^* \circ f^*\), otrzymujemy analogiczną formułą dla macierzy.

Twierdzenie 2.1

Jeśli iloczyn \(AB\) jest wykonalny, to wykonalny jest iloczyn \(B^* A^*\) oraz

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Rząd odwzorowania dualnego do \(f\) jest równy rzędowi odwzorowania \(f\).

Dowód

Wiemy, że

\( rk f^*=\dim W^*-\dim ker f^*=\dim W-\dim\ker f^*.\)      (2.2)

Przyjrzyjmy się więc przestrzeni \(\ker f^*\). Mamy

Weźmy bazę \(w_1,...,w_k\) przestrzeni \( im f\). Jeśli \( im f= W\), to \( rk f=\dim W\) i \(\ker f^*= \{0\}\). Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli \( im f\ne W\), to układ \(w_1,...,w_k\) rozszerzmy do bazy

przestrzeni \(W\). Przestrzeń \(U\) rozpięta na wektorach \(w_{k+1},...,w_m\) jest dopełnienieniem algebraicznym do \( im f\) w \(W\), czyli \(W=U\oplus im f\). Zauważmy, że odwzorowanie

jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie \(\phi\) jest liniowe. Jeśli \(\phi(\beta)=0\), to \(\beta_{|U}\) i \(\beta _{| im f}\) są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, \(\beta\) jest odwzorowaniem zerowym na całym \(W\). Odwzorowanie \(\phi\) jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem \(\gamma :U\longrightarrow \mathbb K\) jest liniowe, to odwzorowanie liniowe \(\beta: W\longrightarrow \mathbb K\) zdefiniowane na bazie przestrzeni \(W\) następująco: \(\beta (w_i)=0\) dla \(i=1,...,k\),\(\beta (w_i)=\gamma (w _i)\) dla \(i=k+1,..., m\), jest takie, że \(\phi (\beta)=\gamma\).

Ponieważ \(\phi\) jest izomorfizmem, więc \(\dim\ker f^* = \dim U ^* =\dim U =m-k =\dim W- rk f\). Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.3

Dla dowolnej macierzy \(A\) zachodzi równość \( rk A= rk A^*\).

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości \({rk} A={rk} A^*\) dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy \(A\) kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.4 [Rząd macierzy]

Niech \(A\in M(m,n;\mathbb K)\).

1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy \(A\).
2. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy \(A\).

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

---

Załóżmy teraz, że \(V=W\) i \(f:V\longrightarrow V\) jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę \(e_1,...,e_n\) przestrzeni \(V\), i definiujemy macierz kwadratową \(A=[a_{ij}]_ {\small 1\le i,j\le n}\) formułą

Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy \(A\) jest równoważna izomorficzności odwzorowania \(f\). Ponadto macierz odwrotna \(A^{-1}\) do macierzy \(A\) jest macierzą odwzorowania odwrotnego \(f^{-1}\).

Ogólną grupę liniową \(GL(n;\mathbb K)\) możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych \(f:\mathbb K^n\longrightarrow\mathbb K^n\), z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla \(n>1\) jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa \(A\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe \(f:\mathbb K ^n\longrightarrow \mathbb K^n\) jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy \( rk f=n\). Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa \(A=A_{n\times n}\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy \( rk A=n\).

Macierz przejścia

---

Niech \(e_1,...,e_n\) będzie bazą przestrzeni \(V\) i niech \(e'_1,..., e'_n\) będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary \(p_{ij}\), \(1\le i,j\le n\), takie, że

\(\displaystyle e'_j=\sum _{i=1}^n p_{ij}e_i,\)      (4.4)

dla \(j=1,...n\). Macierz \(P=[p_{ij}]_{1\le i, j\le }\) nazywa się macierzą przejścia od bazy \(e_1,...,e_n\) do bazy \(e'_1,...,e'_n\). Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni \(V\), który przekształca bazę \(e_1,...,e_n\) na bazę \(e'_1,...,e'_n\) i macierz ta jest utworzona przy bazie \(e_1,...,e_n\). W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary \(q_{ij}\), \(1\le i,j\le n\), takie, że

Macierz \([q_{ij}]\) oznaczmy przez \(Q\).

Otrzymujemy więc następujące równości

dla każdego \(i=1,...,n\). Oznacza to, że \(\displaystyle \sum _{j=1}^n p_{lj}q_{ji}=\delta _{li}\) i, w konsekwencji, macierze \(P\) i \(Q\) są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz \(f:V\longrightarrow V\) będzie odwzorowaniem liniowym. Niech \(A\) będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie \(e_1,...,e_n\) i \(B\) będzie macierzą tego samego odwzorowania \(f\) przy bazie \(e'_1,...,e'_n\). Chcemy ustalić związek między macierzami \(A\) i \(B\).

Mamy następujące równości

Z drugiej strony

Otrzymaliśmy równość \(AP=PB\). A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli \(A\) jest macierzą endomorfizmu \(f\) przy bazie \(e_1,..., e_n\) i \(B\) jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie \(e'_1,..., e'_n\), to

gdzie \(P\) jest macierzą przejścia od bazy \(e_1,...,e_n\) do bazy \(e'_1,...,e'_n\).

Wyznacznik

Odwzorowania wieloliniowe

---

Niech \(V\) będzie \(n\)-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem \(\mathbb K\) o charakterystyce różnej od 2. Niech dane będzie odwzorowanie \(\phi :V^k\longrightarrow \mathbb K\). Mówimy, że odwzorowanie \(\phi\) jest k-liniowe, jeśli dla każdego \(i= 1,...,k\) oraz dla dowolnie ustalonych wektorów \(v_1,...,v_{i-1},v_{i+1},..., v_k\) odwzorowanie

\(V\ni v\longrightarrow \phi (v_1,...,v_{i-1},v,v_{i+1},..., v_k)\in \mathbb K\)

jest liniowe. Na przykład, odwzorowanie \(\mathbb R ^k\ni (a_1,...,a_k)\longrightarrow a_1...a_k\in \mathbb R\) jest \(k\)-liniowe.
Zbiór wszystkich odwzorowań \(k\)-liniowych \(\phi :V^k\longrightarrow \mathbb K\) oznaczmy przez \({\cal L} ^k(V)\). W naturalny sposób (tak jak w Przykładzie 7. Wykładu I) zbiór ten
jest wyposażony w strukturę przestrzeni wektorowej.
Mówimy, że odwzorowanie \(\phi\) jest antysymetryczne, jeśli dla
każdej permutacji \(\rho\) ciągu \(1,...,k\) zachodzi wzór

\(\phi (v_{\rho (1)}, ..., v_{\rho (k)}) = sgn \,\rho\ \phi (v_1,...,v_k),\)

gdzie \( sgn\ \rho\) oznacza znak permutacji \(\rho\). Podobnie definiuje się odwzorowanie symetryczne. Mianowicie, \(\phi\) jest symetryczne, jeśli dla każdej permutacji \(\rho\) zachodzi równość.

\(\phi (v_{\rho (1)}, ..., v_{\rho (k)}) = \phi (v_1,...,v_k).\)

Wyżej wspomniane mnożenie liczb rzeczywistych jest k-liniowe symetryczne.
W niniejszym wykładzie odwzorowania antysymetryczne będą odgrywać główną rolę. Zacznijmy od następującego lematu.

Lemat 1.1

Dla odwzorowania \(k\)-liniowego \(\phi\) następujace warunki są równoważne.

1. \(\phi\) jest antysymetryczne,
2. \(\phi (v_1,...,v_k)=0\) dla dowolnych wektorów \(v_1,...,v_k\in V\) takich, że dwa spośród \(v_1,...,v_k\) są jednakowe.
3. Jeśli \(v_1,...,v_k\) są liniowo zależne, to \(\phi (v_1,..., v_k)=0\).

Dowód

Załóżmy 1. Niech wektory \(v_iv_j\) będą jednakowe w ciągu wektorów \(v_1,...,v_k\). Niech \(\rho\) oznacza permutację, która
zamienia \(i\) na \(j\). Znak tej permutacji jest równy \(-1\). Po zastosowaniu tej permutacji ciąg wektorów \(v_1,...,v_k\) nie ulega zmianie. Wobec tego \(\phi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=\phi (v_1,...,v_k)\). Z drugiej strony

\(\phi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=- \phi (v_ 1,...,v_k).\)

Dodajmy do obu stron tej równości \(\phi (v_{\rho (1)},...,v_{\rho (k)})=\phi (v_1,...,v_k)\). Dostajemy równość

\((1+1) \phi (v_1,...,v_k)=0.\)

Wynika stąd, że \(\phi (v_1,...,v_k)=0\), bo ciało \(\mathbb K\) ma charakterystykę różną od 2.
Odwrotnie, jeśli \(\phi\) spełnia warunek 2), to dla każdych wektorów \(v_1,..., v_k\) i dla każdych \(i< j\), \(i,j=1,...,k\) mamy

\(0=\phi (v_1,...,v_{i-1},v_i +v_j, v_{i+1},..., v_{j-1}, v_{i}+v_{j}, v_{j+1},...,v_k).\)

Stąd, że \(\phi\) spełnia warunek 2. oraz z \(k\)-liniowości odwzorowania \(\phi\) dostajemy

\(\phi (v_1,...,v_{i-1}, v_j,v_{i+1},...,v_{j-1},v_i, v_{j+1},..., v_k)=-\phi (v_1,..., v_k).\)

Ponieważ każda permutacja jest złóżeniem pewnej liczby \(s\) transpozycji i znak permutacji jest równy \((-1)^s\), więc \(\phi\) jest antysymetryczne.
Załóżmy, że spełniony jest warunek 2. Jeśli ciąg \(v_1,..., v_k\)
jest liniowo zależny, to pewien wektor z tego ciągu jest kombinacją liniową pozostałych wektorów. Korzystając z \(k\)-liniowości \(\phi\) i z warunku 2. dostajemy natychmiast, że \(\phi (v_1,...,v_n )=0\). Na koniec, załóżmy 3). Jeśli, któreś wektory w ciągu \(v_1,..., v_n\) są równe, to ciąg \(v_1,..., v_n\) jest liniowo zależny , a zatem \(\phi (v_1,...,v_n)=0\). Dowód lematu jest zakończony.

Jest oczywiste, że suma odwzorowań \(k\)-liniowych antysymetrycznych
jest odwzorowaniem \(k\)-liniowym antysymetrycznym i odwzorowanie
\(k\)-liniowe antysymetryczne pomnożone przez skalar jest też antysymetryczne. A zatem ogół odwzorowań antysymetrycznych stanowi podprzestrzeń przestrzeni \({\cal L} ^k(V)\). Oznaczmy tę podprzestrzeń przez \({\cal L} ^k_a (V)\). Elementy przestrzeni
\({\cal L}^k_a(V)\) nazywamy też \(k\)-formami na przestrzeni \(V\). Choć teoria \(k\)-form jest ważna i interesująca, na potrzeby naszego wykładu zajmiemy się tylko szczególnymi przypadkami, tzn. szczególnymi przypadkami \(k\). Po pierwsze, znamy już przestrzeń 1-form. Przestrzenią tą jest przestrzeń dualna \(V^*\), 1-formami odwzorowania liniowe określone na \(V\) i o wartościach w ciele \(\mathbb K\).
Zajmiemy się teraz \(n\)-formami, gdzie \(n=\dim V\).
Niech \(e_1,...,e_n\) będzie bazą przestrzeni wektorowej \(V\) i \(\omega \in {\cal L}\). Niech \(v_1,..., v_n\in V\). Każdy z tych wektorów przedstawimy jako kombinację liniową wektorów bazy. A zatem \(\displaystyle v_j=\sum _{i=1}^n a_{ij}e_i\) dla każdego \(j=1,...,n\). Korzystając z Lematu 1.1 otrzymujemy następujące równości

\(\begin{aligned}\omega (v_1,...,v_n)&=\omega (\sum _{{i_1}=1}^n{a_{i_11}} {e_{i_1}},...,\sum _{{i_n}=1}^n{a_{i_nn}}e_{i_n}) \\ &= \sum _{{i_1},...,{i_n}=1}^n {a_{{i_11}}}\cdot\cdot\cdot {a_{{i_nn}}}\omega ({e_{i_1}},...,{e_{i_n}})\\ &= \sum _{\small{\begin{array} {l} \ \ \ \ {i_1},...,{i_n}\\ \ { i_a}\ne {i_b} \ {\rm dla}\ a\ne b \end{array} }} {a_{i_1 1}}\cdot\cdot\cdot{a_{i_n n}}\omega ({e_{i_1}},...,{e_{i_n}}) \end{aligned}\)

Ponieważ ciąg różnowartościowy \(i_1,...,i_n\) jest permutacją ciągu
\(1,...,n\), więc dostajemy

\(\begin{aligned}\omega (v_1,...,v_n)&=\sum _{\rho\in{\cal S}_n} {a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}} \omega (e_{\rho (1)},..., e_{\rho (n)})\\ &=\sum _{\rho\in{\cal S}_n} sgn\, \rho \,{a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}} \omega (e_1,..., e_n)\\ &= \omega (e_1,...,e_n) \left (\sum _{\rho\in{\cal S}_n} sgn\, \rho \, {a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}}\right ), \end{aligned}\)

gdzie \({\cal S} _n\) oznacza zbiór wszystkich permutacji ciągu \(1,...,n\). Ostatecznie, dla każdego \(\omega \in{\cal L}\), zachodzi wzór

\(\displaystyle \omega (v_1,...,v_n)=\omega (e_1,...,e_n) \left (\sum _{\rho\in{\cal S}_n} sgn\, \rho \ {a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}}\right )\)      (1.1)

Skalar

\(\displaystyle \sum _{\rho\in{\cal S}_n} sgn\, \rho \ {a_{\rho (1)1}}\cdot\cdot\cdot{a_{\rho (n)n}}\)

nie zależy od \(\omega\). A zatem przestrzeń \(\mathcal L_{a}^{n}\) jest 1-wymiarowa i każda \(n\)-forma jest wyznaczona jednoznacznie przez zdefiniowanie \(\omega (e_1,..., e_n)\) dla dowolnie wybranej bazy \(e_1,..., e_n\).

Wyznacznik macierzy. Podstawowe własnosci

---

W przypadku, gdy \(V=\mathbb K ^n\) mamy bazę kanoniczną \(e_1,...,e_n\) tej przestrzeni. Każda \(n\)-forma na \(\mathbb K^n\) może być zadana na bazie kanonicznej.
Rozważmy teraz przestrzeń \(M(n,n;\mathbb K)\). Przypomnijmy, że jest to przestrzeń wszystkich macierzy kwadratowych o wymiarach \(n\) na
\(n\) i o wyrazach w ciele \(\mathbb K\). Niech \(A\in M(n,n;\mathbb K)\). Niech \(A_1,..., A_n\) oznaczają kolumny macierzy. Kolumny są wektorami przestrzeni \(\mathbb K ^n\). Macierz możemy traktować jako ciąg kolumn \(A_1,...,A_n\). Na podstawie wyżej przeprowadzonych rozważań, możemy stwierdzić prawdziwość następującego twierdzenia

Twierdzenie 2.1

Istnieje dokładnie jedno odwzorowanie \(n\)-liniowe antysymetryczne

\(\omega _o:M(n,n;\mathbb K)\ni A\longrightarrow \omega_o (A_1,...,A_n)\in \mathbb K\)

takie, że \(\omega _o(e_1,...,e_n)=1\), gdzie \(e_1,...,e_n\) jest bazą kanoniczną przestrzeni \(\mathbb K ^n\).

Odwzorowanie \(\omega _o\) nazywa się wyznacznikiem i oznacza symbolem \(\det\).
Symbol \(\det A\) oznacza wartość odwzorowania \(\det\) na ciągu kolumn \(A_1,...,A_n\) macierzy \(A\).
Podkreślamy, że wyznacznik macierzy definiuje się tylko dla macierzy
kwadratowych. Na podstawie formuły (1.1) otrzymujemy natychmiast następujący wzór na wyznacznik macierzy \(A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K)\)

\(\displaystyle \det A= \sum _{\rho\in{\cal S}_n} sgn\, \rho \ {a_{\rho (1)1}}...{a_{\rho (n)n}}\)      (2.2)

Wzór Sarrusa

Przykład 2.2

Niech dana będzie baza \(v_1,...,v_n\) przestrzeni wektorowej \(V\). Niech \(P\) będzie macierzą przejścia od bazy \(v_1,..., v_n\) do bazy \(-v_1,v_2..,v_n\). Widać od razu, że \(\det A=1\).

Dowiedziemy teraz kilku podstawowych własności wyznacznika.

Twierdzenie 2.3

Dla dowolnych macierzy \(A,B\in M(n,n;\mathbb K)\) zachodzi wzór

\(\det AB=\det A\, \det B.\)      (2.3)

Dowód

Niech \(A=[a_{ij}]\) i \(B=[b_{ij}]\). Wiemy, że wyrazy \(c_{ij}\) macierzy \(C=AB\) wyrażają się wzorem

\(\displaystyle c_{ij}=\sum _{l=1}^n a_{il}b_{lj}.\)      (2.4)

Niech \(A_1,...,A_n\) oznaczają kolumny macierzy \(A\) zaś \(C_1,...,C_n\) - kolumny macierzy \(C\). Na podstawie formuły (2.4 ) mamy wzór

\(\displaystyle C_j=\sum _{l=1}^n b_{lj}A_l.\)      (2.5)

Otrzymujemy następujące równości

\(\begin{aligned}\det AB&=\det (C_1,...,C_n)\\ &=\det \left (\sum _{l_1=1}^nb_{l_11}{A_{l_1}},...,\sum _{l_n=1}^nb_{l_nn}{A_{l_n}}\right )\\ &= \sum _{{l_1},...,{l_n}=1}^n {b_{l_11}}...{b_{l_nn}}\, \det ({A_{l_1}},...,{A_{l_n}})\\ &=\sum _{\small{\begin{array} {l} \ \ \ \ \ \ \ l_1,...,l_n\\ \ {l_a}\ne {l_b}\ {\rm dla}\ a\ne b\end{array} }} {b_{l_11}}...{b_{l_nn}}\, \det ({A_{l_1}},...,{A_{l_n}})\\ &= \sum _{\rho \in {\cal S}_n}{b_{\rho (1)1}}...{b_{\rho (n)n}}\, \det ({A_{\rho (1)}},...,{A_{\rho (n)}})\\ &= \sum _{\small{\rho \in {\cal S}_n}} sgn\, \rho \ {b_{\rho (1)1}}...{b_{\rho (n)n}}\, \det\, A\\ &=\det A\, \det B \end{aligned}\)

Korzystając z definicji wyznacznika, łatwo widać, że wyznacznik macierzy jednostkowej \(I\) jest równy \(1\). A zatem, jeśli \(A\) jest macierzą odwracalną, to

\(1=\det I=\det (AA^{-1})=(\det A)(\det A^{-1}).\)

Oznacza to, że macierz odwracalna ma wyznacznik różny on zera, a wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy danej. Mamy więc wzór

\(\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}\)      (2.6)

dla macierzy odwracalnej \(A\). Macierz, której wyznacznik jest różny od zera nazywa się macierzą nieosobliwą.
Załóżmy teraz, że macierz \(A\) ma niezerowy wyznacznik. Wtedy kolumny macierzy \(A\), jako wektory przestrzeni \(\mathbb K ^n\) są liniowo niezależne (na podstawie (Lematu 1.1). Oznacza to, że, jeśli \(A\) potraktujemy jako odwzorowanie liniowe z \(\mathbb K ^n\) do \(\mathbb K ^n\), to \(A\) jest izomorfizmem. A zatem macierz \(A\) jest odwracalna. Mamy więc

Twierdzenie 2.4

Macierz \(A\) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

Twierdzenie 2.5

Jeżeli \(A\in M(n,n;\mathbb K)\), to \(\det A^*=\det A\).

Dowód

Oznaczmy przez \(B=[b_{ij}]\) macierz dualną do \(A=[a_{ij}]\). A zatem \(b_{ij}=a_{ji}\). Mamy

\(\displaystyle \det B=\sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn\rho\ b_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot b_{\rho (n)n}.\)

Dla każdej permutacji \(\rho \in{\cal S}\) weźmy \(\rho ^{-1}\). Jeśli \(\rho (i)=j\), to \(\rho ^{-1} (j)=i\). Zatem iloczyn \(b_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot b_{\rho (n)n}\) jest równy iloczynowi \(b_{1\rho ^{-1}(1)}\cdot\cdot\cdot b_{n\rho ^{-1}(n)}\) (po ewentualnym spermutowaniu czynników). Ponieważ odwzorowanie \({\cal S}_n\ni \rho \longrightarrow \rho ^{-1}\in {\cal S }_n\) jest bijekcją i dla każdej permutacji \(\rho\) zachodzi równość \( sgn \ \rho = sgn\ {\rho }^{-1}\), zatem

\(\begin{aligned}\det B&=\sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn\, \rho \, b_{1\rho (1)}\cdot\cdot\cdot n_{n\rho (n)}\\ &= \sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn \, \rho \, a_{\rho (1)1}\cdot\cdot\cdot a_{\rho (n)n}=\det A. \end{aligned}\)

Z powyższego twierdzenia dostajemy następujący wzór na wyznacznik macierzy \(A=[a_{ij}]\)

\(\displaystyle \det A= \sum _{\rho \in{\cal S}_n} sgn\, \rho \,\ a_{1\rho (1)}\cdot\cdot\cdot a_{n\rho (n)}.\)      (2.7)

Wyznacznik jest \(n\)-liniową antysymetryczną funkcją wierszy.
Zauważmy teraz, że jeśli w macierzy \(A\) do pewnej kolumny (lub
pewnego wiersza) dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn (lub pozostałych wierszy), to wyznacznik macierzy się nie zmieni. Wynika to z wieloliniowości wyznacznika i z warunku 2. Lematu 1.1. Jeśli zamienimy miejscami dwie kolumny (lub dwa wiersze), to wyznacznik zmieni swój znak. Jeśli pewną kolumnę macierzy \(A\) pomnożymy przez skalar \(\lambda\), to dla otrzymanej w ten sposób macierzy \(A'\) mamy wzór \(\det A'=\lambda \det A\). W szczególności, wymienione właśnie operacje na macierzach są takie, że, po ich zastosowaniu do danej macierzy, wyznacznik macierzy się nie zmieni lub łatwo kontrolujemy ewentualne zmiany wyznacznika tej macierzy. Mówimy, że są to operacje elementarne (lub dopuszczalne ze względu na wyznacznik). Oczywiście sensowne jest mnożenie wierszy lub kolumn przez skalary różne od \(0\).
Udowodnimy teraz pewną pożyteczną rachunkową własność wyznacznika.

Twierdzenie 2.6

Niech \(A\in (k,k;\mathbb K)\), \(B\in M(k,n-k;\mathbb K)\), \(C\in M(n-k,n-k;\mathbb K)\) zaś \(O\) oznacza zerową macierz z \(M(n-k,k;\mathbb K)\). Zachodzi wzór

\(\det\left [\begin{array} {lr} \ A \ B\\ \ O\ C \end{array} \right ]=\det A\ \det C\)      (2.8)

Dowód

Dla ustalonych macierzy \(A\) i \(B\) rozważmy następujące odwzorowanie

\(\phi :M( n-k,n-k;)\ni C\longrightarrow \phi (C)= \det\left [\begin{array} {lr} \ A \ B\\ \ O\ C. \end{array} \right ]\)

Odwzorowanie \(\phi\), jako odwzorowanie \(n-k\) rzędów macierzy \(C\) jest \((n-k)\)-liniowe i antysymetryczne. A zatem, na podstawie rozważań z początku tego wykładu, wiemy, że

\(\phi (C)= \phi (I) \ \det C,\)

gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową. Pokażemy, że \(\phi (I)=\det A\). Ustalmy macierz \(B\) i rozważmy odwzorowanie

\(\psi :M(k,k;\mathbb K)\ni A\longrightarrow \psi (A)=\det \left [\begin{array} {lr} \ A \ B\\ \ O\ I. \end{array} \right ]\)

Traktując to odwzorowanie jako odwzorowanie \(k\) kolumn macierzy \(A\), widzimy, że odwzorowanie to jest \(k\)-liniowe antysymetryczne. A zatem, tak jak wyżej, dostajemy

\(\psi (A)=\psi (I) \ \det A .\)

Wystarczy teraz udowodnić, że

\(\det \left [\begin{array} {lr} \ I \ B\\ \ O\ I \end{array} \right ]=1,\)

gdzie \(I\) w odpowiednim miejscu oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru. Ostatni wzór zostawiamy jako ćwiczenie.

W szczególności, zachodzi wzór

\(\det \left [ \begin{array} {lcccr} \ 1\ a_{12}\ .\ .\ .\ a_{1n}\\ \ 0\ \ \ \ \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ .\ \ \ \ \ \ \ B \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right ]= \det B,\)      (2.9)

gdzie \(B\in M(n-1,n-1;\mathbb K)\).
Udowodnimy teraz twierdzenie o tzw. rozwinięciu Laplace'a względem \(j\)-tej kolumny.

Twierdzenie 2.7

Niech \(A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K)\). Dla każdego ustalonego
wskaźnika \(j\) (\(j=1,...,n\)) zachodzi wzór

\(\det A = a_{1j}\Delta _{1j}+...+a_{nj}\Delta _{nj},\)      (2.10)

gdzie \(\Delta _{ij}\) oznacza wyznacznik macierzy otrzymanej z
macierzy \(A\) powstałej z macierzy \(A\) przez wykreślenie \(i\)-tego wiersza i \(j\)-tej kolumny, pomnożony przez \((-1) ^{i+j}\).

Rozwinięcie Laplace'a

Dowód

Niech \(A_1,...,A_n\) będą kolumnami macierzy \(A\). Macierz
\(A\) traktujemy jako ciąg kolumn, tzn. \(A= [A_1,...,A_n]\). Jeśli \(e_1,...,e_n\) jest bazą kanoniczną przestrzeni \(n\), to

\(\displaystyle A_j =\sum _{i=1}^n a_{ij} e_i.\)

Zatem, pamiętając o tym, że wyznacznik jest \(n\)-liniową antysymetryczną funkcją kolumn, dostajemy

\(\displaystyle \det A= \sum _{i=1}^n a_{ij}\det [ A_1,...,A_{j-1}, e_i, A_{j+1},...,A_n].\)

Wystarczy zauważyć, że

\(\displaystyle \det [A_1,..., A_{j-1}, e_i,A_{j+1},..., A_n] = \Delta _{ij}.\)

W tym celu przesuńmy \(j\)-tą kolumnę macierzy \([A_1,..., A_{j-1}, e_i,A_{j+1},..., A_n]\) w lewo na pierwsze miejsce. Wykonujemy
\(j-1\) transpozycji. W tak otrzymanej macierzy przesuńmy \(i\)-ty wiersz na pierwsze miejsce. W tym celu dokonujemy \(i-1\) transpozycji. Po tych operacjach dostajemy macierz postaci

\(\left [ \begin{array} {lcccr} \ 1\ a_{i2}\ .\ .\ .\ a_{in}\\ \ 0\ \ \ \ \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ .\ \ \ \ \ \ \ A_{ij} \ \\ \ . \ \ \ \ \ \ \\ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right ],\)

gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą otrzymaną z macierzy \(A\) przez wykreślenie \(i\)-tego wiersza i \(j\)-tej kolumny.
Korzystając ze wzoru (2.9) otrzymujemy

\(\det [A_1,..., A_{j-1}, e_i,A_{j+1},..., A_n] =(-1)^{j-1}(-1) ^{i-1}\det A_{ij}= \Delta _{ij}.\)

Na podstawie Twierdzenia 2.5 otrzymujemy wzory na rozwinięcie
Laplace'a względem \(i\)-tego wiersza.

Twierdzenie 2.8

Niech \(A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K)\). Dla każdego ustalonego wskaźnika \(i\) (\(i=1,...,n\)) zachodzi wzór

\(\det A = a_{i1}\Delta _{i1}+...+a_{in}\Delta _{in},\)      (2.11)

Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

Minory i rząd macierzy. Macierz odwrotna

---

Ponieważ w wykładzie tym intensywnie będziemy korzystać z poprzedniego wykładu, musimy dokonać tych samych wstępnych ustaleń, a mianowicie, zakładamy, że wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem \(\mathbb K\) o charakterystyce różnej od \(2\).

Niech dana będzie macierz \(A=[a_{ij}]\in M(m,n;\mathbb K )\). Wiemy, że rząd tej macierzy jest równy rzędowi układu kolumn \(A_1,..., A_n\in \mathbb K ^m\) tej macierzy. Jest też równy rzędowi układu wierszy tej macierzy, bo rząd macierzy \(A\) jest równy rzędowi macierzy dualnej. Wiemy też, że rząd układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z tego układu wektorów.

Wprowadzimy teraz pojęcie minora macierzy. Niech \(k\) będzie pewną liczbą naturalną nie większą od \(m\) i \(n\). Ustalmy ciągi wskaźników \(1\le i_1<...<i_k\le m\), \(1\le j_1<...<j_k\le n\). Oznaczmy przez

macierz powstałą przez wybór wyrazów stojących na przecięciu wierszy o numerach \(i_1,...,i_k\) i kolumn o numerach \(j_1,..., j_k\). Otrzymujemy macierz kwadratową o wymiarach \(k\) na \(k\). Wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywamy minorem rzędu \(k\) macierzy \(A\).

Następujący lemat będzie przydatny w dalszych rozumowaniach.

Lemat 1.1

Kolumny \(A_{j_1},..., A_{j_k}\) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie wskaźniki \(1\le i_1<...<i_k\le m\), że \(\det A^{i_1,...,i_k}_{j_1,...,j_k}\ne 0\).

Dowód

Załóżmy najpierw, że kolumny \(A_{j_1},...,A_{j_k}\) są liniowo niezależne. Wtedy macierz \(A_{j_1,...,j_k}=[A_{j_1},...,A_{j_k}]\) składająca się tylko z tych kolumn ma rząd równy \(k\). Ponieważ rząd macierzy danej jest równy rzędowi macierzy dualnej, więc wsród wierszy macierzy \(A_{j_1,...,j _k}\) istnieje \(k\) liniowo niezależnych wektorów. Niech będą to wiersze o numerach \(1\le i_1<...<i_k\le m\). Oznacza to, że w macierzy \(A^{i_1,...,i_k}_{j_1,...,j_k}\) wiersze o numerach \(i_1,...,i_k\) są liniowo niezależne, czyli rząd tej macierzy jest równy \(k\). A zatem \(\det A^{i_1,...,i_k}_{j_1,...,j_k}\ne 0\).

Załóżmy teraz, że \(\det A^{i_1,...,i_k}_{j_1,...,j_k}\ne 0\). Wtedy wiersze tej macierzy są liniowo niezależne. A zatem rząd macierzy \([A_1,...,A_k]\) jest równy \(k\) (bo nie może być większy). Oznacza to, że \(k\) kolumn tej macierzy stanowi układ liniowo niezależny.

Z powyższego lematu wynika natychmiast następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.2

Dla dowolnej macierzy \(A\) jej rząd jest równy \(k\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy minor rządu \(k\) tej macierzy i każdy minor rzędu większego od \(k\) jest zerowy.

Przed udowodnieniem kolejnego twierdzenia przypomnijmy, że dla macierzy \(A=[a_{ij}]\) wprowadziliśmy wielkości \(\Delta _{ij}=(-1)^{i+j} \det A_{ij}\), gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą otrzymaną z macierzy \(A\) przez wykreślenie \(i\)-tego wiersza i \(j\)-tej kolumny.

Twierdzenie 1.3

Niech \(A\in M(n,n;\mathbb K)\) będzie macierzą odwracalną i niech \(B=[b_{ij}]\) oznacza jej macierz odwrotną. Wtedy

Dowód

Wystarczy sprawdzić, że \(AB=I\). Niech \(C= AB\) i \(C=[c_{ij}]\). Korzystając z rozwinięcia Laplace'a otrzymujemy

gdzie \(D\) jest macierzą powstałą z macierzy \(A\) przez zastąpienie \(j\)-tego wiersza \(i\)-tym wierszem. Jeśli \(i=j\), to macierz \(A\) jest równa macierzy \(D\). Jeśli \(i\ne j\), to w macierzy \(D\) są dwa takie same wiersze. A zatem \(c_{ij}=\delta _{ij}\) i w konsekwencji \(C=I\).

Macierz odwrotna

---

Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2

Układy równań liniowych

---

Układem równań liniowych nazywamy układ równań

\(\left\{ \begin{array} {lr} \ a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n =b_1\\ .........................................\\ \ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m, \end{array} \right .\)      (2.1)

gdzie \(x_1,..., x_n\) są niewiadomymi, zaś \(a_{ij}\), \(b_i\), gdzie \(i=1,...,m\); \(j=1,....n\) są skalarami z pewnego ciała \(\mathbb K\). Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy ciąg \((x_1,...,x_n)\in \mathbb K ^n\), który spełnia (2.1). Skalary \(a_{ij}\) nazywają się współczynnikami układu równań. Skalary \(b_1,...,b_m\) nazywają się wyrazami wolnymi układu (2.1). Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, układ równań (2.1) nazywa się jednorodnym. Układ taki rozważaliśmy już w Wykładzie II. W przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny. Współczynniki układu (2.1) stanowią macierz \(A=[a_{ij}]\) o \(m\) wierszach i \(n\) kolumnach. Wyrazy wolne układamy w jednokolumnową macierz

Podobnie, niewiadome ułożymy w jednokolumnową macierz

Układ równań (2.1) można teraz zapisać w postaci macierzowej

Jeżeli w układzie równań (2.1) zastąpimy wyrazy wolne zerami, to otrzymujemy tzw. układ jednorodny skojarzony z (2.1)

Traktując macierz \(A\) jako odwzorowanie

widzimy, że jądrem tego odwzorowania jest zbiór rozwiązań układu jednorodnego (2.3). A zatem zbiór rozwiązań układu jednorodnego jest podprzestrzenią wektorową \(\mathbb K^n\). Na podstawie twierdzenia opisującego relację wymiaru jądra i wymiaru obrazu danego odwzorowania liniowego wiemy, że wymiar tej przestrzeni jest równy \(n - rk A\). Oznaczmy tę przestrzeń przez \(V_o\). Niech teraz \(x_o=({x_o}_1,...,{x_o}_n)\) będzie pewnym rozwiązaniem układu (2.1). Niech \((v_1,...,v_n)\) będzie dowolnym rozwiązaniem układu skojarzonego (2.3). Wtedy

jest również rozwiązaniem układu (2.1).

Jeśli teraz mamy dwa rozwiązania \(({x_o}_1,..., {x_o}_n)\), \(({x}_1,..., {x}_n)\) układu (2.1), to ciąg \((x_1-{x_o}_1,... ,x_n-{x_o}_n)\) jest rozwiązaniem układu (2.3). Udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Jeżeli układ równań (2.1) ma rozwiązanie oraz

jest pewnym rozwiązaniem (2.1), to zbiór wszystkich rozwiązań układu (2.1) jest równy zbiorowi

gdzie \(V_o\) jest zbiorem wszystkich rozwiązań układu jednorodnego (2.3). Przestrzeń \(V_o\) jest \((n-k)\)-wymiarowa, gdzie \(k= rk A\).

W twierdzeniu powyższym zakłada się, że istnieje rozwiązanie układu równań (2.1). O ile układ jednorodny zawsze posiada rozwiązanie, bo, na przykład, ciąg \((0,...,0)\) jest rozwiązaniem takiego układu, o tyle układ niejednorodny niekoniecznie ma rozwiązanie. Proste kryterium rozwiązywalności układu niejednorodnego daje następujące twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie 2.2

Układ równań (2.1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

gdzie \([A,b]\) jest macierzą utworzoną z macierzy \(A\) przez dopisanie do niej kolumny wyrazów wolnych.

Dowód

taki, że \(\det A\ne 0\). Wtedy układ (2.6) ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest dane wzorami

dla \(i=1,...,n\), gdzie \(A_{(i)}\) jest macierzą otrzymaną z macierzy \(A\) przez zastąpienie \(i\)-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Dowód

Rozważmy postać macierzową układu (2.6). Mamy więc równanie macierzowe \(Ax=b.\). Obłóżmy obustronnie to równanie przez \(A^{-1}\). Ponieważ \(\det A\ne 0\), macierz odwrotna \(A^{-1}\) istnieje. Mamy więc

Wykorzystamy teraz wzory na wyrazy macierzy odwrotnej. Oznaczmy wyrazy tej macierzy przez \(c_{ij}\). A zatem \(c_{ij}= (-1)^{i+j}{{\det A_{ji}}\over{\det A} }\).

Mamy następujące równości

Ostatnia równość wynika z rozwinięcia Laplace'a wyznacznika. W ten sposób udowodniliśmy istnienie rozwiązania, jego jedyność i wzory(2.7), które nazywają się wzorami Cramera.

Wzory Cramera

Ustalmy jeszcze, jakie operacje można wykonać na układzie równań, aby otrzymać układ równoważny, tzn. taki, który ma dokładnie taki sam zbiór rozwiązań. Na pewno można równania permutować. Poza tym do danego równania można dodać kombinację liniową pozostałych równań. Każde równanie można pomnożyć przez niezerowy skalar. Wymienione operacje służą do rozwiązywania układów równań liniowych tzw. metodą Gaussa, która będzie omówiona na ćwiczeniach.

Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Wyznacznik, ślad, wartość własna, wielomian charakterystyczny endomorfizmu i macierzy

---

W wykładzie tym zakładamy, że wszystkie przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem \(\mathbb K\) o charakterystyce równej \(0\).

Mówimy, że macierze kwadratowe \(A, B\in M(n,n;\mathbb K)\) są podobne, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa \(P\), dla której \(B=P^{-1}AP\). Macierze podobne mają ten sam wyznacznik, bo

Ślad macierzy

Zdefiniujemy teraz ślad macierzy. Tak jak wyznacznik, ślad macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Dla macierzy \(A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb K)\) definiujemy jej ślad \(tr A\) jako sumę jej wyrazów leżących na głównej przekątnej, to znaczy

Odwzorowanie

jest liniowe.

Pamiętamy, że mnożenie macierzy jest na ogół nieprzemienne. Mamy natomiast następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych macierzy \(A,B\in M(n,n;\mathbb K )\) zachodzi równość

Dowód

Niech \(A=[a_{ij}]\), \(B=[b_{ij}]\). Oznaczmy przez \(C=[c_{ij}]\) macierz \(AB\) i przez \(D=[d_{ij}]\) macierz \(BA\). Mamy następujące równości

Z twierdzenia tego wynika, że macierze podobne mają taki sam ślad. Istotnie, \( tr (P^{-1}AP)= tr (P^{-1}(AP))= tr ((AP)P^{-1})= tr (A(PP^{-1}))= tr A\).

Niech \(f:V\longrightarrow V\) będzie endomorfizmem. Niech \(e_1,..., e_n\); \(e'_1,...,e'_n\) będą bazami przestrzeni \(V\). Jeśli \(A\) jest macierzą \(f\) przy bazie \(e_1,..., e_n\) zaś \(B\) jest macierzą \(f\) przy bazie \(e'_1,..., e'_n\), to \(B=P^{-1}AP\), gdzie \(P\) jest macierzą przejścia od bazy \(e_1,...,e_n\) do bazy \(e'_1,...,e'_n\). A zatem \(\det B=\det A\). Oznacza to, że niżej wprowadzona definicja ma sens, tzn. nie zależy od wyboru bazy \(e_1,...,e_n\).

Definicja 1.2

Wyznacznikiem endomorfizmu \(f:V\longrightarrow V\) nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy tego endomorfizmu.

Podobnie definiuje się ślad endomorfizmu. Mianowicie, mając endomorfizm \(f\) bierzemy dowolną jego macierz \(A\) (tzn. macierz przy dowolnej bazie) i definiujemy \( tr f\) jako \( tr A\). Definicja nie zależy od wyboru bazy, bo macierze podobne mają ten sam ślad.

Wprowadzimy teraz kolejne definicje.

Definicja 1.3

Mówimy, że skalar \(\lambda\) jest wartością własną endomorfizmu \(f:V\longrightarrow V\), jeśli istnieje niezerowy wektor \(v\in V\) taki, że \(f(v)=\lambda v\). Każdy taki wektor \(v\) nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda\).

Definiuje się też wartości własne i wektory własne macierzy

Definicja 1.4

Mówimy, że skalar \(\lambda\) jest wartością własną macierzy \(A\in M(n,n;\mathbb K )\), jeśli istnieje niezerowy wektor \(v\in \mathbb K^n\) taki, że \(Av=\lambda v\). Każdy taki wektor \(v\) nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda\).

W powyższej równości \(Av=\lambda v\) wektor \(v\) jest traktowany jako \(1\)-kolumnowa macierz.

Istotną cechę wektorów i wartości własnych opisuje następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.5

Jeżeli \(\lambda _1,...,\lambda _k\) są różnymi między sobą wartościami własnymi endomorfizmu \(f\) i \(v_1,...,v_k\) są wektorami własnymi odpowiadającymi tym wartościom własnym, to wektory \(v_1,...,v_k\) są liniowo niezależne.

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na \(k\). Dla \(k=1\) twierdzenie jest oczywiste. Załóżmy, że jest prawdziwe dla liczb mniejszych od pewnego \(k\).

Przypuśćmy, że wektory \(v_1,...,v_k\) spełniają założenia twierdzenia i wektory te są liniowo zależne. Możemy założyć, że \(v_k\) jest kombinacją liniową wektorów \(v_1,...,v_{k-1}\). Niech

Nie wszystkie \(\mu _1,...,\mu _{k-1}\) są równe zeru. Możemy przyjąć, że \(\mu _1\ne 0\). Obłóżmy powyższą równość przez \(f\). Wtedy

Z drugiej strony

Zatem

Ponieważ \(v_1,...,v_l\) są liniowo niezależne i \(\mu _1\ne 0\), więc \(\lambda _k=\lambda _1\). Jest to sprzeczne z założeniem, że \(\lambda _1,..., \lambda _k\) są różne miedzy sobą.

Mamy następujące twierdzenie charakteryzujące wartości własne.

Twierdzenie 1.6

Skalar \(\lambda\) jest wartością własną endomorfizmu \(f\) wtedy i tylko wtedy, gdy

gdzie \( I\) jest odwzorowaniem identycznościowym przestrzeni \(V\).

Dowód

Jeżeli \(\lambda\) jest wartością własną \(f\) i \(v\) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda\), to \((f-\lambda I)(v)=0\), czyli odwzorowanie \(f-\lambda I\) nie jest monomorfizmem. A zatem \(\det (f-\lambda I)=0\). Odwrotnie, jeśli \(\det (f-\lambda I)=0\), to \(f-\lambda I\) nie jest monomorfizmem, a zatem istnieje niezerowy wektor \(v\) taki, że \((f-\lambda I)(v)=0\). Oznacza to, że \(\lambda\) jest wartością własną \(f\) a \(v\) jest wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej.

Wybierzmy bazę przestrzeni \(V\). Niech \(A\) będzie macierzą \(f\) przy tej bazie. Wtedy, dla każdego \(t\in \mathbb K\) mamy \(\det (f-t I) = \det (A-t I)\).

Jest jasne, jeśli skorzystamy na przykład ze wzoru na wyznacznik macierzy \(A=[a_{ij}]\) z Wykładu VII, tzn. ze wzoru

że \(\det (f-t I)=\det (A-t I )\), traktowany jako funkcja argumentu \(t\) jest wielomianem stopnia \(n\). Wielomian ten nazywamy wielomianem charakterystycznym endomorfizmu \(f\). Oznaczmy go przez \(W_f\). W wielomianie tym współczynnik przy \(t^n\) jest równy \((-1)^n\), wyraz wolny jest równy \(\det A =\det f\), zaś współczynnik przy \(t^{n-1}\) jest równy \((1)^{n-1} tr A= tr f\). Istotnie, wstawiając za \(t\) wartość \(0\) dostajemy wyraz wolny wielomianu \(W_f\), czyli wyraz wolny jest równy \(\det f\). Wielomian \(W_f\) możemy zapisać jako

gdzie \(W(t)\) jest wielomianem stopnia mniejszego lub równego \(n-1\). Widać stąd, że współczynnik przy \(t^n\) jest równy \((-1)^n\). Zauważmy jednak, że wielomian \(W(t)\) jest stopnia silnie mniejszego od \(n-1\). Istotnie, ciągle mając na uwadze wzór (1.1), widzimy, że składniki zawierające \(t^{n-1}\) mogą powstać tylko przy pomnożeniu \(n-1\) wyrazów macierzy \(A-t I\) leżących na głównej przekątnej. Ale permutacja \(n\)-elementowego zbioru, która jest identycznością na \(n-1\) elementach jest identycznością na całym zbiorze. Oznacza to, że składniki wielomianu \(W_f(t)\) zawierające \(t^{n-1}\) powstają tylko z iloczynu \((a_{11}-t)\cdot\cdot\cdot (a_{nn}-t)\). Teraz łatwo widać, że współczynnik przy \(t^{n-1}\) jest równy \((-1)^{n-1} tr A\).

Podprzestrzenie niezmiennicze. Baza i macierz Jordana.

---

Niech \(U\) będzie podprzestrzenią przestrzeni \(V\). Mówimy, że podprzestrzeń ta jest \(f\)-niezmiennicza (dokładniej mówiąc, niezmiennicza ze względu na \(f\)), jeśli \(f(U)\subset U\). Jeśli \(U\) jest podprzestrzenią \(f\)-niezmienniczą, to po zawężeniu \(f\) do \(U\) dostajemy endomorfizm przestrzeni \(U\). Oznaczmy go przez \(\tilde f\). Endomorfizm ten ma swój wielomian charakterystyczny \(W_{\tilde f}\). Zachodzi następujący lemat.

Lemat 2.1

Jeżeli \(U\) jest podprzestrzenią \(f\)-niezmienniczą, to wielomian charakterystyczny \(W_{\tilde f}\) dzieli wielomian charakterystyczny \(W_f\).

Dowód

Niech \(e_1,...,e_k\) będzie bazą przestrzeni \(U\). Rozszerzamy ją do bazy \(e_1,...,e_k, e_{k+1},...,e_n\) przestrzeni \(V\). Macierz \(A\) endomorfizmu \(f\) w tej bazie ma postać blokową

gdzie \(B\) jest macierzą \(\tilde f\) w bazie \(e_1,...,e_k\). Mamy wtedy (na podstawie Twierdzenia 2.6 z Wykładu VII)

Macierzą Jordana nazywa się macierz postaci

gdzie \(A_1\), ..., \(A_l\) są macierzami kwadratowymi postaci

dla \(i=1,...l\). Macierze \(A_1,..., A_l\) nazywamy klatkami Jordana. Jeżeli macierz \(A_i\) jest jedna klatką Jordana (2.3) o wymiarach \(n_i\) na \(n_i\), to \((A_i-\lambda _i I )^{n_i}=0\). Oczywiście \(\lambda _i\) jest wartością własną macierzy \(A_i\).

Zwróćmy uwagę na to, że klatki mogą też być wymiaru \(1\times 1\).

Każda klatka odpowiada pewnej wartości własnej macierzy \(A\). Dla danej wartości własnej odpowiadające jej klatki mogą mieć różne wymiary. Klatek w danym wymiarze też może być dowolna ilość.

Przypuśćmy, że dla danego endomorfizmu \(f\) istnieje taka baza \(e_1,...,e_n\), przy której macierz tego endomorfizmu jest macierzą Jordana. Poukładajmy klatki tej macierzy tak, aby na początku (tzn. począwszy od lewego górnego rogu macierzy) były klatki odpowiadające wartości własnej \(0\) - najpierw wymiaru 1\(\times\)1, potem wymiaru 2\(\times\)2, potem 3\(\times\)3, etc. Po klatkach odpowiadających wartości własnej \(0\), umieszczamy klatki odpowiadające pozostałym wartościom własnym. Dla każdej wartości własnej układamy klatki od najmniejszych do największych. Takie ukladanie klatek odpowiada permutowaniu bazy \(e_1,..., e_n\). Macierz po takim układaniu jest ciągle macierzą Jordana endomorfizmu \(f\), a spermutowana baza jest bazą Jordana dla \(f\). Bazę tę oznaczmy przez \(\mathcal B\).

Obserwując macierz \(\mathcal B\) łatwo odczytać pewne cechy odwzorowania \(f\).

Dla ustalonej klatki mamy pewien ciąg wektorów bazy Jordana odpowiadający tej klatce. Ciąg taki zaczyna się od wektora własnego. Każdy wektor własny z bazy \(\mathcal B\) odpowiadający jakiejś wartości własnej rozpoczyna pewien ciąg wektorów (może być 1-wyrazowy) odpowiadający jednej klatce macierzy Jordana.

Z bazy Jordana \(\mathcal B\) można wybrać bazę podprzestrzeni \(\ker f\). Wektory tej bazy to wektory odpowiadające wszystkim klatkom 1\(\times\)1 dla wartości własnej \(0\) oraz pierwsze wektory (oczywiście ciągle z bazy \(\mathcal B\)) odpowiadające wszystkim kolejnym klatkom Jordana dla wartości własnej \(0\).

Z bazy \(\mathcal B\) można wybrać bazę podprzestrzeni \( im f\). W szczególności wszystkie wektory bazy \(\mathcal B\), które odpowiadają klatkom dla niezerowych wartości własnych stanowią część takiej bazy.

Ostatnie wektory ciągów odpowiadających poszczególnym klatkom Jordana i wartości własnej \(0\) rozpinają podprzestrzeń dopełniajacą do \( im f\). Bierzemy tu pod uwagę wszystkie klatki Jordana odpowiadające wartości własnej \(0\).

Macierz Jordana

Udowodnimy teraz twierdzenie Jordana.

Twierdzenie 2.2 [Jordana]

Niech \(f: V\longrightarrow V\) będzie endomorfizmem, dla którego wielomian charakterystyczny rozkłada się na iloczyn czynników stopnia 1. Istnieje baza Jordana dla \(f\).

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na wymiar \(n\) przestrzeni \(V\). Jeśli \(n=1\), to twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla przestrzeni wymiaru mniejszego od \(n\).

Załóżmy najpierw, że \(f\) nie jest monomorfizmem, czyli \(\dim im f<n\). Podprzestrzeń \( im f\) jest \(f\)-niezmiennicza. Niech \(\tilde f: im f \longrightarrow im f\) będzie zawężeniem \(f\) do \( im f\). Wielomian charakterystyczny dla \(\tilde f\) dzieli wielomian charakterystyczny dla \(f\). Zatem rozkłada się na iloczyn czynników stopnia 1. Możemy zastosować założenie indukcyjne dla edomorfizmu \(\tilde f\) przestrzeni \(f\). Niech \(\dim im f =m\) i \(w_1,..., w_m\) będzie bazą Jordana dla \(\tilde f\). Jeżeli \( im f\oplus \ker f=V\), to do bazy \(w_1,...,w_m\)dopisujemy dowolną bazę podprzestrzeni \(\ker f\) i mamy bazę Jordana dla \(f\).

Załóżmy teraz, że \( im f\cap \ker f\ne \{0\}\). Oczywiście \(\ker\tilde f=\ker f\cap im f\). Z bazy Jordana \(w_1,...,w_m\) wybieramy bazę przestrzeni \(\ker\tilde f\). Niech będzie to ciąg \(w_{i_1},...,w_{i_k}\). Wszystkie te wektory są wektorami własnymi \(\tilde f\) odpowiadającymi wartości własnej \(0\). Każdy z nich rozpoczyna pewien ciąg wektorów odpowiadający jednej klatce Jordana endomorfizmu \(\tilde f\). Oznaczmy przez \(\tilde w_{1},...,\tilde w_{k}\) ostatnie wektory tych ciągów. Ponieważ wektory te należą do \( im f\), więc istnieją wektory \(v_1,...,v_k\in V\) takie, że

Bierzemy uzupełnienie \(u_1,..., u_{n-m-k}\) ciągu \(w_{i_1},...,w_{i_k}\) do bazy przestrzeni \(\ker f\).

Twierdzimy, że ciąg

jest bazą przestrzeni \(V\). Wektorów tych jest \(n\), a zatem wystarczy sprawdzić ich liniową niezależność.

Niech

Obłóżmy tę równość przez \(f\). Dostajemy równość

Korzystając z uwagi poprzedzającej dowodzone twierdzenie wiemy, że obie strony równości (2.6) muszą być zerami. A zatem \(\beta _1,...,\beta _k\) są równe zeru. Wracamy teraz do równości (2.5). Mamy

Zatem

Pamiętając o tym, jak zostały wybrane wektory \(u_1,...,u_{n-m-k}\), otrzymujemy, że \(\gamma _1u_1 +...+\gamma _{n-m-k}u_{n-m-k}=0\). Wynika stąd, że \(\gamma_1=...=\gamma _{n-m-k}=0\). Wracając teraz do równości (2.7) otrzymujemy, że \(\alpha _1=...=\alpha _m =0\).

Na koniec zauważmy, że baza 2.4 jest bazą Jordana dla \(f\). Widać to natychmiast, jeśli ułożymy ją następująco. Na początku

a potem pozostałe wektory ciągu \(w_1,..., w_n\) w takiej kolejności jak były.

Jeśli \(0\) nie jest wartością własną endomorfizmu \(f\) (\(f\) jest monomorfizmem), to weźmy pewną wartość własną \(\lambda\). Ponieważ wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki stopnia 1, wartość własna istnieje. Zamiast \(f\) rozważmy endomorfizm \(F=f-\lambda I\). Na podstawie powyższego dowodu wiemy, że istnieje baza Jordana dla \(F\). Baza Jordana dla \(F\) jest też bazą Jordana dla \(f=F+\lambda I\).

Wniosek 2.3

Dla każdego endomorfizmu przestrzeni zespolonej istnieje baza i macierz Jordana.

Euklidesowe przestrzenie wektorowe

Iloczyn skalarny

---

Zaczniemy od definicji iloczynu skalarnego

Definicja 1.1 Iloczyn Skalarny

Niech \(V\) będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \({\mathbb R}\). Odwzorowanie

\(g: V\times V\longrightarrow {\mathbb R}\)

nazywa się iloczynem skalarnym, jeśli spełnia trzy następujące warunki:

S1) jest dwuliniowe,

S2) jest symetryczne,

S3) jest dodatnio określone, tzn. dla każdego \(v\in V\) zachodzi

nierówność \(g(v,v)\ge 0\) i \(g(v,v)=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(v=0\).

Wartość iloczynu skalarnego na wektorach \(v,w\) oznaczamy także przez \(<v,w>\) lub \(v\cdot w\). Jak zwykle kropkę często pomijamy w zapisie. Nazwa iloczyn skalarny pochodzi stąd, że wynikiem takiego mnożenia jest skalar. Zwróćmy także uwagę na to, że wybór ciała liczb rzeczywistych jest tutaj nieprzypadkowy. W innych ciałach nie mamy skalarów większych od zera.

Zbierzemy teraz kilka najważniejszych przykładów iloczynów skalarnych.

Przykład 1.2

W przestrzeni \({\mathbb R} ^n\) mamy tzw. standardowy (lub kanoniczny) iloczyn skalarny. Mianowicie, dla wektorów \(v=(v_1,.... v_n),\ \ w=(w_1,...,w_n)\in {\mathbb R} ^n\) definiujemy

\(v\cdot w = v_1w_1+...+v_nw_n.\)

Ogólniej, niech \(\lambda _1,...,\lambda _n\) będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Definiujemy iloczyn skalarny

\(v\cdot w =\lambda _1v_1w_1+...+\lambda _nv_nw_n.\)

Przykład 1.3

Rozważmy przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale \([a,b]\). Definiujemy iloczyn skalarny

\(\displaystyle <f,h>=\int _a^b fh.\)

Przykład 1.4

Niech \(e_1,...,e_n\) będzie bazą przestrzeni wektorowej \(V\) nad ciałem \({\mathbb R}\). Definiujemy iloczyn skalarny formułą

\(v\cdot w =v_1w_1+...+v_nw_n,\)

gdzie \((v_1,...,v_n)\), \((w_1,...,w_n)\) są współrzędnymi wektorów \(v\) i \(w\) w danej bazie.

Istotne w tym przykładzie jest to, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa nad ciałem \({\mathbb R}\) może być łatwo wyposażona w iloczyn skalarny.

Definicja 1.5 [Norma]

Normą na przestrzeni wektorowej \(V\) nad ciałem \({\mathbb R}\) nazywamy funkcję

\(V\ni v\longrightarrow \Vert v\Vert \in [0,\infty )\subset {\mathbb R} ,\)