Definicja 2.1.
Niech \( \displaystyle A\subset X \) i niech \( \displaystyle f:X\mapsto Y \). Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji \( \displaystyle f \) do zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy funkcję \( \displaystyle f_{|A} : A\mapsto Y \) równą funkcji \( \displaystyle f \) na zbiorze \( \displaystyle A \), tzn. \( \displaystyle \forall x\in A : f_{|A} (x)=f(x) \).
Definicja 2.2.
Niech \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) będzie funkcją. Mówimy, że funkcja \( \displaystyle g:Y\mapsto X \) jest funkcją odwrotną do funkcji \( \displaystyle f \), jeśli dla dowolnego elementu \( \displaystyle x\in X \) zachodzi równość \( \displaystyle g(f(x))=x \) i dla dowolnego elementu \( \displaystyle y\in Y \) zachodzi równość \( \displaystyle f(g(y))=y \).
Funkcję odwrotną do funkcji \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) będziemy oznaczać często symbolem \( \displaystyle f^{-1}: Y\mapsto X \), o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji \( \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} \) rozumiemy funkcję \( \displaystyle \frac{1}{f}: X\ni x\mapsto \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{R} \).
Uwaga 2.3.
Niech \( \displaystyle f, g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli \( \displaystyle g \) jest funkcją odwrotną do \( \displaystyle f \), to w prostokątnym układzie współrzędnych \( \displaystyle XOY \) wykres funkcji \( \displaystyle g \) jest obrazem wykresu funkcji \( \displaystyle f \) w symetrii osiowej względem prostej \( \displaystyle y=x \).
Definicja 2.4.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jeśli
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)\leq f(y) \)
(odpowiednio: \( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x) < f(y) \).
Definicja 2.5.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jeśli
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)\geq f(y) \)
(odpowiednio: \( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)>f(y) \)).
Definicja 2.6.
Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.
Przykład 2.7.
Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{tg}\, x \) rośnie w każdym z przedziałów postaci \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\bigg) \) nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg)\cup\bigg(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\bigg) \). Weźmy bowiem np. argumenty \( \displaystyle x=\frac{\pi}{4} \), \( \displaystyle y=\frac{3\pi}{4} \). Wówczas \( \displaystyle x < y \), ale \( \displaystyle \mathrm{tg}\, x=1>-1=\mathrm{tg}\, y \).
Uwaga 2.8.
Jeśli \( \displaystyle g: (c,d)\mapsto (a,b) \) jest funkcją odwrotną do funkcji \( \displaystyle f: (a,b)\mapsto (c,d) \), to
Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.
Definicja 2.9.
Niech \( \displaystyle a,b \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję \( \displaystyle x\mapsto ax+b \) nazywamy funkcją afiniczną.
Uwaga 2.10.
Definicja 2.11.
Niech \( \displaystyle a,b,c,d \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że \( \displaystyle ad-bc\neq 0 \). Funkcję \( \displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} \) nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.
Uwaga 2.12.
Definicja 2.13.
Niech \( \displaystyle a \) będzie stałą, niech \( \displaystyle n=0,1,2,3,... \) będzie liczbą całkowitą nieujemną, a \( \displaystyle x \) - zmienną. Wyrażenie algebraiczne \( \displaystyle a x^n \) nazywamy jednomianem zmiennej \( \displaystyle x \). Jeśli \( \displaystyle a\neq 0 \),to liczbę \( \displaystyle n \) nazywamy stopniem jednomianu \( \displaystyle a x^n \). Sumę \( \displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x_n \) skończonej liczby jednomianów zmiennej \( \displaystyle x \) nazywamy wielomianem zmiennej \( \displaystyle x \). Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.
Definicja 2.14.
Funkcję \( \displaystyle x\mapsto w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x_n \) nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.
Uwaga 2.15.
Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu \( \displaystyle x\mapsto (1+x)^n \) za pomocą funkcji afinicznej \( \displaystyle x\mapsto 1+nx \).
Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]
Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej \( \displaystyle n=0,1,2,3, ... \) i dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle x\geq -1 \) zachodzi nierówność
\( \displaystyle (1+x)^n\geq \ +nx, \)
przy czym dla \( \displaystyle n> 1 \) równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla \( \displaystyle x=0 \).
Dowód 2.16.
Zauważmy, że nierówność zachodzi dla \( \displaystyle n=0 \) i \( \displaystyle n=1 \). Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle k\geq 1 \)prawdziwa jest implikacja
\( \displaystyle \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^k\geq 1+kx\bigg] \Longrightarrow \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x\bigg]. \)
Mamy bowiem:
\( \displaystyle \begin{align*} (1+x)^{k+1} & =(1+x)(1+x)^k \\ & \geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^2 \\ & \geq 1+(1+k)x.\end{align*} \)
Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej \( \displaystyle n=0, \ 1,\ 2,\ 3,\ ... \). Zauważmy, że składnik \( \displaystyle x\mapsto kx^2 \) dla \( \displaystyle k\geq 1 \) zeruje się wyłącznie w punkcie \( \displaystyle x=0 \), stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla \( \displaystyle x=0 \) zachodzi równość w tej nierówności.
Definicja 2.17.
Niech \( \displaystyle n\in\{2,3,4,...\} \) będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną \( \displaystyle y \) nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \( \displaystyle n \) z liczby nieujemnej \( \displaystyle x \), jeśli \( \displaystyle x^n=y. \) Pierwiastek stopnia \( \displaystyle n \) z liczby \( \displaystyle x\geq 0 \) oznaczamy symbolem \( \displaystyle \root{n}\of{x} \).
Uwaga 2.18.
\( \displaystyle g(x) \ =\left \{ \begin{array}{I} \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0 \\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x < 0 \end{array} . \right. \)
Uwaga 2.19.
Jeśli \( \displaystyle n \) jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji \( \displaystyle f(x)=x^n \) i oznacza się ją krótko \( \displaystyle g(x)=\root{n}\of{x} \), przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.
Definicja 2.20
Niech \( \displaystyle a>0 \) będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję \( \displaystyle x\mapsto a^x \) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie \( \displaystyle a \).
Uwaga 2.21.
Definicja 2.22.
Niech \( \displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty) \) będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji \( \displaystyle x\mapsto a^x \) nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie \( \displaystyle a \) i oznaczamy \( \displaystyle x\mapsto \log_{a} x \).
Na ogół pomija się indeks \( \displaystyle a \) w oznaczeniu logarytmu liczby \( \displaystyle x \) i pisze się krótko \( \displaystyle \log x \). Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. \( \displaystyle \log x=\log_2 x \). Z kolei w naukach technicznych symbol \( \displaystyle \log x=\log_{10}x \) oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie \( \displaystyle e=2,71828182846... \) (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol \( \displaystyle \log x=\log_{e}x \) oznacza właśnie logarytm o podstawie \( \displaystyle e \). My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie \( \displaystyle e \) będziemy oznaczać osobnym symbolem \( \displaystyle \ln x \).
Definicja 2.23.
Symbolem \( \displaystyle \exp x \) będziemy oznaczać potęgę \( \displaystyle e^x \).
Definicja 2.24.
Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej \( \displaystyle x \) nazywamy liczbę \( \displaystyle \ln x=\log_{e}x \).
Uwaga 2.25.
Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.
Uwaga 2.26.
\( \displaystyle (a^x)^y=a^{xy} \) oraz \( a^x a^y=a^{x+y}. \)
\( \displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}, \)
w szczególności, gdy \( \displaystyle c=e \), mamy równość
\( \displaystyle \log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}. \)
\( \displaystyle a^b=c^{b\log_{c} a}, \)
która w szczególnym przypadku, gdy \( \displaystyle c=e \), ma postać
\( \displaystyle a^b=\exp(b \ln a). \)
Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Uwaga 2.27.
Pamiętamy również, że zachodzi
Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle x \) suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. \( \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}: \cos^2 x+\sin^2 x=1 \).
Definicja 2.29.
Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle [-1,1] \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg] \), odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału \( \displaystyle \bigg[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg] \),nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \arcsin x \).
Definicja 2.30
Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle [-1,1] \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle [0, \pi] \), odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału \( \displaystyle [0, \pi] \), nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \arccos x \).
Definicja 2.31.
Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle (-\infty,\infty) \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg) \), odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg) \), nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x \).
Definicja 2.32.
Funkcję określoną na przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \) o wartościach w przedziale \( \displaystyle (0, \pi) \), odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału \( \displaystyle (0, \pi) \), nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{arc\,ctg}\, x \).
Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.
Uwaga 2.33.
Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.
Ze wzorów redukcyjnych: \( \displaystyle \sin\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\cos x \) oraz \( \displaystyle \mathrm{tg}\,\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)=\mathrm{ctg}\, x \) wynika, że
Uwaga 2.34.
Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.
Definicja 2.35.
Niech \( \displaystyle x\in(-\infty, +\infty) \).
Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.
Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]
Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość
\( \displaystyle \forall x\in\mathbb{R} : \cosh^2 x- \sinh^2 x=1. \)
Dowód 2.36.
Z definicji funkcji \( \displaystyle \sinh \) i \( \displaystyle \cosh \) mamy:
\( \displaystyle \begin{align*} 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ & =\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ & =\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) \ =\ 4, \end{align*} \)
stąd
\( \displaystyle \forall x : \cosh^2 x-\sinh^2 x=1. \)
W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:
\( \displaystyle \sin(x+y) \ =\ \sin x\cos y+\cos x\sin y \)
\( \displaystyle \cos(x+y) \ =\ \cos x \cos y-\sin x\sin y. \)
Twierdzenie 2.37.
Niech \( \displaystyle x,y \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:
\( \displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y +\cosh x\sinh y, \)
\( \displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y. \)
Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.
Uwaga 2.38.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \cosh 2x & = & \displaystyle \cosh^2 x+\sinh^2 x=2\cosh^2 x-1=1+2\sinh^2 x, \\ \sinh 2x & = & \displaystyle 2\sinh x\cosh x. \end{array} \)
Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \cos 2x & = & \displaystyle\cosh^2 x- \sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x, \\ \sin 2x & = & \displaystyle 2\sin x\cos x. \end{array} \)
Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.
Uwaga 2.39
Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.
Definicja 2.40.
Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):
Uwaga 2.41.
Prawdziwe są następujące równości:
a) \( \displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \) dla \( \displaystyle |x|\leq 1, \)
b) \( \displaystyle \cosh({\rm arsinh\, } x)=\sqrt{1+x^2} \) dla \( \displaystyle -\infty < x < \infty. \)
Dowód 2.41.
a) Niech \( \displaystyle y=\arcsin x \). Wówczas dla \( \displaystyle -1\leq x\leq 1 \) mamy \( \displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2} \), czyli \( \displaystyle 0\leq \cos y \leq 1 \). Z jedynki trygonometrycznej wynika,że
\( \displaystyle \cos y \ =\ \sqrt{1-\sin^2 y} \ =\ \sqrt{1-x^2}. \)
b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.
Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.
Twierdzenie 2.42
Zachodzą następujące tożsamości:
a) \( \displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \) dla \( \displaystyle -\infty < x < \infty, \)
b) \( \displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \) dla \( \displaystyle 1\leq x < \infty, \)
c) \( \displaystyle {\rm artgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \) dla \( \displaystyle -1 < x < 1, \)
d) \( \displaystyle {\rm arctgh\, } x=\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \) dla \( \displaystyle |x|>1. \)
Dowód 2.42.
a) Wyznaczamy zmienną \( \displaystyle y \) z równania: \( \displaystyle x=\sinh y \).Mamy
\( \displaystyle x \ =\ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \ =\ \frac{e^{2y}-1}{e^{y}}. \)
Stąd \( \displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2+1} \), czyli \( \displaystyle {\rm arsinh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \) dla wszystkich \( \displaystyle -\infty < x < \infty. \)
b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną \( \displaystyle y \) z równania \( \displaystyle x=\cosh y \) i otrzymujemy \( \displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2-1} \), czyli \( \displaystyle {\rm arcosh\, } x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \), dla \( \displaystyle x\geq 1 \).
c) Z równania \( \displaystyle x={\rm artgh\, } x \) dostajemy \( \displaystyle e^{2y}=\frac{1+x}{1-x} \), czyli
\( \displaystyle {\rm artgh\, } x \ =\ \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}, \) dla \( \displaystyle |x| < 1 \).
d) Pamiętając, że \( \displaystyle x=\frac{1}{x} \), podstawiamy w poprzedniej tożsamości \( \displaystyle\frac{1}{x} \) w miejsce zmiennej \( \displaystyle x \) i otrzymujemy:
\( \displaystyle {\rm arctgh\, } x \ =\ \ln\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}}=\ln\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}, \)
dla \( \displaystyle |x|>1. \)
W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.
Uwaga 2.43.
\( \displaystyle W_n : x\mapsto W_n(x) \) taka, że zachodzą równości
\( \displaystyle \begin{align*} W_n(x) & =T_n(x) & & \text{ dla } -1\leq x\leq 1, \\ W_n(x) & =U_n(x) & & \text{ dla } +1\leq x \leq \infty.\end{align*} \)
Definicja 2.44.
Wielomian \( \displaystyle W_n \), o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału \( \displaystyle [-1,1] \) jest funkcja \( \displaystyle T_n : x\mapsto \cos (n\arccos x) \), nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia \( \displaystyle n \), \( \displaystyle n=0,1,2,... \).