MO_10_elementy_programowania

Zbiór dopuszczalny pana X

Algorytm poszukujący rozwiązania

Zbiór dopuszczalny w przestrzeni kryteriów

Widać, że jednoczesna maksymalizacja obu kryteriów na zbiorze dopuszczalnym nie jest możliwa. Po dojściu do „północno-wschodniej” granicy zbioru powiększenie jednego kryterium, powoduje zmniejszenie drugiego kryterium.

Zbiór Pareto w przestrzeni kryteriów

Utylitarianizm

Suma kryteriów cząstkowych

Ponieważ zbiór Pareto w przestrzeni kryteriów w zadaniu decyzyjnym pana X jest następujący

$\boldsymbol{P} = \{(q_1,q_2) \in [60,140] \times [14,46] |\, q_2 =70 - {2 \over 5}q_1 \}$ ,

to podejście utylitarianistyczne oparte na maksymalizacji sumy

$(q_1,q_2) \mapsto u(q_1,q_2) = q_1 + q_2$

jako rozwiązanie da $(q_1^{\mathrm B},q_2^{\mathrm B})= (140,14)$ oraz decyzję $(x_1^{\mathrm B},x_2^{\mathrm B})=(14,0)$ – tylko pracować. (Dobrze jest wykonać stosowny rysunek.)

Przypisanie wag poszczególnym kryteriom oznacza posłużenie się funkcją $(q_1,q_2)\mapsto u_\beta(q_1,q_2)= q_1 + \beta q_2$ ,

gdzie współczynnik $\beta$ można interpretować jako cenę jednostki zadowolenia. Zauważmy, że dla $\beta={5 \over 2}$ , każdy punkt ze zbioru Pareto daje tą samą wartość funkcji $\boldsymbol{u_\beta}$ .

Dla $\beta < {5 \over 2}$ rozwiązaniem będzie $(q_1^{\beta},q_2^{\beta})= (140,14)$ i $(x_1^{\beta},x_2^{\beta})=(14,0)$ – punkt „wymuszony” przez ograniczenia: dostępnego czasu i nieujemności wariantów.

Dla $\beta > {5\over2}$ jako rozwiązanie otrzymamy $(q_1^{\beta},q_2^{\beta})= (60,46)$ oraz $(x_1^{\beta},x_2^{\beta})=(6,8)$ – punkt „wymuszony” przez ograniczenia: dostępnego czasu oraz przyjętej maksymalnej liczby godzin przeznaczonych na czytanie. (Dobrze jest wykonać stosowne rysunki.)

Zasada sprawiedliwości Rawlsa

Maksy-minimalizacja

Podejście oparte na zasadzie sprawiedliwości jako rozwiązanie da $(q_1^{\mathrm R},q_2^{\mathrm R}) = (60,46)$ oraz jako wybrany wariant $(x_1^{\mathrm R},x_2^{\mathrm R}) = (6,8)$ .

Nie zawsze prosta o nachyleniu 45° przecina zbiór Pareto !

Punkt odniesienia

Punkt idealny dla pana X to $(q_1^{\mathrm U},q_2^{\mathrm U})=(140,46)$ , punkt nadiru $(q_1^{\mathrm N},q_2^{\mathrm N})=(50,5)$ . Dla metryki euklidesowej najbliższym punktu idealnego w zbiorze Pareto jest punkt $(q_1,q_2)=(128.9655,\,18.4138)$ czyli wybranymi wariantami powinna być para $(x_1,x_2)=(12.8966,\,1.1034)$ . Oczywiście pan X zaokragli ten wynik i przy takim sposobie wyboru decyzji bedzie pracował przez 13 godzin a tylko godzinę czytał, co da mu 130 zł i 18 jednostek zadowolenia.

Dla tej samej metryki, punktem najdalej położonym w stosunku do nadiru jest punkt $(q_1,q_2)=(140,14)$ określony przez warianty $(x_1,x_2)=(14,0)$ (tylko pracować). (Dobrze jest wykonać stosowne rysunki.)

Optymalizacja wielokryterialna

Przykład