Przypomnijmy teraz znane już z Analizy matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.
Definicja 2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną oraz \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) ciągiem.
Mówimy, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
\( \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m) < \varepsilon. \)
Warunek Cauchy'ego dla ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0, \) począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon. \)
Na wykładzie z Analizy matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.
Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną oraz niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X \) będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) jest zbieżny w \( \displaystyle X, \) to spełnia on warunek Cauchy'ego.
Dowód 2.8.
Niech \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) będzie ciągiem zbieżnym w \( \displaystyle X, \) to znaczy \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g\in X. \) Aby pokazać warunek Cauchy'ego, ustalmy dowolne \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Z definicji granicy wynika, że
\( \displaystyle \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: d(x_n,g) < \frac{\varepsilon}{2}. \)
Zatem dla dowolnych \( \displaystyle n,m\ge N \) mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(g,x_m) \ =\ d(x_n,g)+d(x_m,g) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon, \)
co kończy dowód.
Uwaga 2.9.
Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).
Definicja 2.10. [przestrzeń zupełna]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń \( \displaystyle X \) jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w \( \displaystyle X \) jest zbieżny w \( \displaystyle X. \)
Przykład 2.11.
Przestrzenie \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle ([0,1],d_2) \) są zupełne (wiemy to z wykładu z Analizy matematycznej 1).
Przestrzenie \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{Q},d_2) \) oraz \( \displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2) \) nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń \( \displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2) \) nie jest zupełna, weźmy ciąg \( \displaystyle \displaystyle \bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}. \) Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w \( \displaystyle \displaystyle (0,1). \)
Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" między punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element \( \displaystyle x\in X \) o tej własności, że \( \displaystyle f(x)=x. \) Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.
Definicja 2.12. [odwzorowanie zwężające]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X \) jest zwężające, jeśli
\( \displaystyle \exists \lambda\in [0,1) \ \forall x,y\in X:\ d(f(x),f(y)) \ \le\ \lambda\ d(x,y). \)
Przykład 2.13.
Dla \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2), \) odwzorowaniem zwężającym jest na przykład \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x, \) a odwzorowania \( \displaystyle f(x)=x,\displaystyle f(x)=x+2,\displaystyle f(x)=x^2 \) nie są zwężające.
Definicja 2.14. [punkt stały]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że \( \displaystyle x_0\in X \) jest punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X, \) jeśli \( \displaystyle f(x_0)=x_0. \)
Przykład 2.15.
Dla \( \displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2), \) punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x \) jest \( \displaystyle 0, \) punktami stałymi odwzorowania \( \displaystyle f(x)=x \) są wszystkie punkty \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \); odwzorowanie \( \displaystyle f(x)=x+2 \) nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania \( \displaystyle f(x)=x^2 \) są \( \displaystyle 0 \) i \( \displaystyle 1. \)
Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną zupełną, \( \displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X \) jest odwzorowaniem zwężającym, to \( \displaystyle f \) ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy
\( \displaystyle \exists!\ x^*\in X:\ f(x^*)=x^*. \)
Rysunek do dowodu twierdzenia Banacha o punkcie stałym
Dowód 2.16. [nadobowiązkowy]
Ustalmy dowolny \( \displaystyle x_0\in X. \) Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:
\( \displaystyle x_n \ \ \stackrel{df}{=}\ \ f(x_{n-1}) \quad \) dla \( \displaystyle \ n\in\mathbb{N}. \)
Jeżeli \( \displaystyle d(x_0,x_1)=0, \) to \( \displaystyle f(x_0)=x_1=x_0, \) a zatem \( \displaystyle x_0 \) jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że \( \displaystyle d(x_0,x_1)>0. \)
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1), \) więc ciąg geometryczny \( \displaystyle \displaystyle\{\lambda^n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R} \) jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że
\( \displaystyle \exists N_0\in\mathbb{N}:\ \ \lambda^{N_0} < \frac{\varepsilon(1-\lambda)}{d(x_0,x_1)}. \)
Niech teraz \( \displaystyle n,m\ge N_0. \) Dla ustalenia uwagi załóżmy, że \( \displaystyle m>n \) (rozumowanie dla \( \displaystyle n>m \) jest analogiczne). Mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d(f(x_{n-1}),f(x_n)) \ \le\ \lambda d(x_{n-1},x_n). \)
Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy
\( \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x_n,x_{x_{n+1}}) \ \le\ \lambda^n d(x_0,x_1). \)
Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy
\( \displaystyle \begin{align*} d(x_n,x_m) & \le & d(x_n,x_{n+1}) +d(x_{n+1},x_{n+2}) +\ldots+ d(x_{m-1},x_m) \ \le\ (\lambda^n+\lambda^{n+1}+\ldots+\lambda^{m-1})d(x_0,x_n) \\ & = \lambda^n(1+\lambda+\ldots+\lambda^{m-n-1})d(x_0,x_1). \end{align*} \)
Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11), mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ \lambda^n\frac{1-\lambda^{m-n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ < \ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1). \)
Z powyższej nierówności oraz definicji \( \displaystyle N_0 \) mamy
\( \displaystyle d(x_n,x_m) \ < \ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ < \ \varepsilon. \)
Pokazaliśmy zatem, że ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo \( \displaystyle X \) jest przestrzenią zupełną), to znaczy
\( \displaystyle \exists x^*\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x^*. \)
Pokażemy, że element \( \displaystyle x^* \) jest punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle f. \) W tym celu ustalmy \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0. \) Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy
\( \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x^*,x_n) < \frac{\varepsilon}{2}. \)
Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru \( \displaystyle N, \) dla \( \displaystyle n\ge N \) mamy
\( \begin{array}{lll}\displaystyle 0 \ \le\ d(f(x^*),x^*) & \le & d(f(x^*),f(x_n))+d(f(x_n),x^*) \ \le\ \lambda f(x^*,x_n)+d(x_{n+1},x^*) \\ & < & \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon.\end{array} \)
Ponieważ nierówność \( \displaystyle d(f(x^*),x^*) < \varepsilon \) zachodzi dla dowolnego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0, \) zatem \( \displaystyle d(f(x^*),x^*)=0, \) a to oznacza (z definicji metryki), że \( \displaystyle f(x^*)=x^*. \)
Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt \( \displaystyle x^* \) jest jedynym punktem stałym odwzorowania \( \displaystyle f. \) Załóżmy, że pewien element \( \displaystyle x\in X \) jest punktem stałym dla \( \displaystyle f, \) to znaczy \( \displaystyle f(x)=x. \) Wówczas:
\( \displaystyle d(x^*,x) \ =\ d(f(x^*),f(x)) \ \le\ \lambda d(x^*,x), \)
zatem
\( \displaystyle (1-\lambda)d(x^*,x) \ \le\ 0. \)
Ponieważ \( \displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1), \) więc \( \displaystyle d(x^*,x)=0, \) a stąd \( \displaystyle x=x^*. \) Pokazaliśmy więc, że \( \displaystyle x^* \) jest jedynym punktem stałym.
Ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\} \) skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.
Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.
Przykład 2.17.
Rozważmy przedział \( \displaystyle \displaystyle (0,1) \) z metryką euklidesową \( \displaystyle d_2. \) Zauważmy, że w tym przedziale przedziały \( \displaystyle \displaystyle (0,a] \) gdzie \( \displaystyle a\in (0,1) \) są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia \( \displaystyle \displaystyle (a,1) \) są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów \( \displaystyle \displaystyle F_n=\bigg(0,\frac{1}{n}\bigg]. \) Oczywiści \( \displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq \ldots. \) Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału \( \displaystyle \displaystyle (0,1) \) weźmiemy przedział \( \displaystyle \displaystyle [0,1] \) z metryką euklidesową \( \displaystyle d_2 \) i zdefiniujemy zbiory domknięte \( \displaystyle \displaystyle F_n=\bigg[0,\frac{1}{n}\bigg], \) to także \( \displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_\supseteq \ldots \) oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym \( \displaystyle \displaystyle\{0\}. \) Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.
Zstępujący ciąg zbiorów domkniętych
Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora. Warunek równoważny zupełności przestrzeni]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną, to \( \displaystyle X \) jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.
Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?", zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.
Dowód 2.18. [nadobowiązkowy]
[Szkic] "\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)":
Niech \( \displaystyle \displaystyle\{F_n\} \) będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy
\( \displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq\ldots \)
gdzie
\( \displaystyle \mathrm{diam}\, (F_n)\searrow 0. \)
Dla każdego \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \) wybierzmy jeden dowolny element \( \displaystyle x_n\in F_n. \) Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc
\( \displaystyle \exists x\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x. \)
Wówczas \( \displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n \) (dlaczego?), a zatem \( \displaystyle \displaystyle\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n\ne\emptyset. \)
"\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)":
Aby pokazać zupełność przestrzeni \( \displaystyle X \), weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego \( \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X. \) Dla każdego \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \) definiujemy
\( \displaystyle F_n \ =\ \overline{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}} \)
(to znaczy \( \displaystyle F_n \) jest domknięciem zbioru wartości ciągu \( \displaystyle \displaystyle\{x_k\}_{k=n}^{\infty} \)). Wówczas \( \displaystyle \displaystyle\{F_n\} \) jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych, o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje \( \displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n. \) Wówczas \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x \) (dlaczego?).
Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 2.3.).
Ciąg w iloczynie kartezjańskim
Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X_i,d_i) \) są przestrzeniami metrycznymi dla \( \displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_1\times\ldots\times X_k,\displaystyle \displaystyle\{a_n\}\subseteq X \) jest ciągiem w \( \displaystyle X, \) w szczególności \( \displaystyle a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^k) \) dla \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \) oraz \( \displaystyle a=(a^1,\ldots,a^k)\in X, \) to
(1) \( \displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^i= a^i \) dla \( \displaystyle i=1,\ldots,k. \)
(2) Ciąg \( \displaystyle \displaystyle\{a_n\} \) spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi \( \displaystyle \displaystyle\{a^i_n\} \) spełniają warunek Cauchy'ego dla \( \displaystyle i=1,\ldots,k. \)
Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).
Wniosek 2.20.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X_i,d_i) \) są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla \( \displaystyle i=1,\ldots, k, \) to \( \displaystyle X_1\times\ldots\times X_k \) jest przestrzenią metryczną zupełną.
Wniosek 2.21.
\( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) oraz \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{C}^N \) są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.