Zupełność

rycina

Przypomnijmy teraz znane już z Analizy matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Definicja 2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem.
Mówimy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m) < \varepsilon.$

Warunek Cauchy'ego dla ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0,$ począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż $\displaystyle \displaystyle\varepsilon.$

Na wykładzie z Analizy matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N$ to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.

Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz niech $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X$ będzie dowolnym ciągiem.

Jeśli ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ jest zbieżny w $\displaystyle X,$ to spełnia on warunek Cauchy'ego.

Dowód 2.8.

Niech $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ będzie ciągiem zbieżnym w $\displaystyle X,$ to znaczy $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=g\in X.$ Aby pokazać warunek Cauchy'ego, ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.$ Z definicji granicy wynika, że

$\displaystyle \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: d(x_n,g) < \frac{\varepsilon}{2}.$

Zatem dla dowolnych $\displaystyle n,m\ge N$ mamy

$\displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(g,x_m) \ =\ d(x_n,g)+d(x_m,g) \ < \ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon,$

co kończy dowód.

Uwaga 2.9.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).

Definicja 2.10. [przestrzeń zupełna]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w $\displaystyle X$ jest zbieżny w $\displaystyle X.$

Przykład 2.11.

Przestrzenie $\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2)$ oraz $\displaystyle \displaystyle ([0,1],d_2)$ są zupełne (wiemy to z wykładu z Analizy matematycznej 1).

Przestrzenie $\displaystyle \displaystyle (\mathbb{Q},d_2)$ oraz $\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2)$ nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń $\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2)$ nie jest zupełna, weźmy ciąg $\displaystyle \displaystyle \bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}.$ Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w $\displaystyle \displaystyle (0,1).$

Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" między punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element $\displaystyle x\in X$ o tej własności, że $\displaystyle f(x)=x.$ Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.

Definicja 2.12. [odwzorowanie zwężające]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X$ jest zwężające, jeśli

$\displaystyle \exists \lambda\in [0,1) \ \forall x,y\in X:\ d(f(x),f(y)) \ \le\ \lambda\ d(x,y).$

Przykład 2.13.

Dla $\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2),$ odwzorowaniem zwężającym jest na przykład $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x,$ a odwzorowania $\displaystyle f(x)=x,\displaystyle f(x)=x+2,\displaystyle f(x)=x^2$ nie są zwężające.

Definicja 2.14. [punkt stały]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że $\displaystyle x_0\in X$ jest punktem stałym odwzorowania $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X,$ jeśli $\displaystyle f(x_0)=x_0.$

Przykład 2.15.

Dla $\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2),$ punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x$ jest $\displaystyle 0,$ punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f(x)=x$ są wszystkie punkty $\displaystyle x\in\mathbb{R}$; odwzorowanie $\displaystyle f(x)=x+2$ nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f(x)=x^2$ są $\displaystyle 0$ i $\displaystyle 1.$

Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną zupełną, $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X$ jest odwzorowaniem zwężającym, to $\displaystyle f$ ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy

$\displaystyle \exists!\ x^*\in X:\ f(x^*)=x^*.$

Rysunek do dowodu twierdzenia Banacha o punkcie stałym

Dowód 2.16. [nadobowiązkowy]

Ustalmy dowolny $\displaystyle x_0\in X.$ Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:

$\displaystyle x_n \ \ \stackrel{df}{=}\ \ f(x_{n-1}) \quad$ dla $\displaystyle \ n\in\mathbb{N}.$

Jeżeli $\displaystyle d(x_0,x_1)=0,$ to $\displaystyle f(x_0)=x_1=x_0,$ a zatem $\displaystyle x_0$ jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że $\displaystyle d(x_0,x_1)>0.$

Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.$ Ponieważ $\displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1),$ więc ciąg geometryczny $\displaystyle \displaystyle\{\lambda^n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że

$\displaystyle \exists N_0\in\mathbb{N}:\ \ \lambda^{N_0} < \frac{\varepsilon(1-\lambda)}{d(x_0,x_1)}.$

Niech teraz $\displaystyle n,m\ge N_0.$ Dla ustalenia uwagi załóżmy, że $\displaystyle m>n$ (rozumowanie dla $\displaystyle n>m$ jest analogiczne). Mamy

$\displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d(f(x_{n-1}),f(x_n)) \ \le\ \lambda d(x_{n-1},x_n).$

Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x_n,x_{x_{n+1}}) \ \le\ \lambda^n d(x_0,x_1).$

Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy

$\displaystyle \begin{align*} d(x_n,x_m) & \le & d(x_n,x_{n+1}) +d(x_{n+1},x_{n+2}) +\ldots+ d(x_{m-1},x_m) \ \le\ (\lambda^n+\lambda^{n+1}+\ldots+\lambda^{m-1})d(x_0,x_n) \\ & = \lambda^n(1+\lambda+\ldots+\lambda^{m-n-1})d(x_0,x_1). \end{align*}$

Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11), mamy

$\displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ \lambda^n\frac{1-\lambda^{m-n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ < \ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1).$

Z powyższej nierówności oraz definicji $\displaystyle N_0$ mamy

$\displaystyle d(x_n,x_m) \ < \ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ < \ \varepsilon.$

Pokazaliśmy zatem, że ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo $\displaystyle X$ jest przestrzenią zupełną), to znaczy

$\displaystyle \exists x^*\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x^*.$

Pokażemy, że element $\displaystyle x^*$ jest punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f.$ W tym celu ustalmy $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

$\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x^*,x_n) < \frac{\varepsilon}{2}.$

Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru $\displaystyle N,$ dla $\displaystyle n\ge N$ mamy

$\begin{array}{lll}\displaystyle 0 \ \le\ d(f(x^*),x^*) & \le & d(f(x^*),f(x_n))+d(f(x_n),x^*) \ \le\ \lambda f(x^*,x_n)+d(x_{n+1},x^*) \\ & < & \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon.\end{array}$

Ponieważ nierówność $\displaystyle d(f(x^*),x^*) < \varepsilon$ zachodzi dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0,$ zatem $\displaystyle d(f(x^*),x^*)=0,$ a to oznacza (z definicji metryki), że $\displaystyle f(x^*)=x^*.$

Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt $\displaystyle x^*$ jest jedynym punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f.$ Załóżmy, że pewien element $\displaystyle x\in X$ jest punktem stałym dla $\displaystyle f,$ to znaczy $\displaystyle f(x)=x.$ Wówczas:

$\displaystyle d(x^*,x) \ =\ d(f(x^*),f(x)) \ \le\ \lambda d(x^*,x),$

zatem

$\displaystyle (1-\lambda)d(x^*,x) \ \le\ 0.$

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1),$ więc $\displaystyle d(x^*,x)=0,$ a stąd $\displaystyle x=x^*.$ Pokazaliśmy więc, że $\displaystyle x^*$ jest jedynym punktem stałym.

Ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.

Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 2.17.

Rozważmy przedział $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ z metryką euklidesową $\displaystyle d_2.$ Zauważmy, że w tym przedziale przedziały $\displaystyle \displaystyle (0,a]$ gdzie $\displaystyle a\in (0,1)$ są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia $\displaystyle \displaystyle (a,1)$ są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów $\displaystyle \displaystyle F_n=\bigg(0,\frac{1}{n}\bigg].$ Oczywiści $\displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq \ldots.$ Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ weźmiemy przedział $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ z metryką euklidesową $\displaystyle d_2$ i zdefiniujemy zbiory domknięte $\displaystyle \displaystyle F_n=\bigg[0,\frac{1}{n}\bigg],$ to także $\displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_\supseteq \ldots$ oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym $\displaystyle \displaystyle\{0\}.$ Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.

wykres i rycina

Zstępujący ciąg zbiorów domkniętych

Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora. Warunek równoważny zupełności przestrzeni]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to $\displaystyle X$ jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.

Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?", zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.

Dowód 2.18. [nadobowiązkowy]

[Szkic] "$\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow$":

Niech $\displaystyle \displaystyle\{F_n\}$ będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy

$\displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq\ldots$

gdzie

$\displaystyle \mathrm{diam}\, (F_n)\searrow 0.$

Dla każdego $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ wybierzmy jeden dowolny element $\displaystyle x_n\in F_n.$ Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc

$\displaystyle \exists x\in X:\ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x.$

Wówczas $\displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n$ (dlaczego?), a zatem $\displaystyle \displaystyle\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n\ne\emptyset.$

"$\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow$":

Aby pokazać zupełność przestrzeni $\displaystyle X$, weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X.$ Dla każdego $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ definiujemy

$\displaystyle F_n \ =\ \overline{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}}$

(to znaczy $\displaystyle F_n$ jest domknięciem zbioru wartości ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_k\}_{k=n}^{\infty}$). Wówczas $\displaystyle \displaystyle\{F_n\}$ jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych, o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje $\displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n.$ Wówczas $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x$ (dlaczego?).

Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 2.3.).

wykres

Ciąg w iloczynie kartezjańskim

Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)$ są przestrzeniami metrycznymi dla $\displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_1\times\ldots\times X_k,\displaystyle \displaystyle\{a_n\}\subseteq X$ jest ciągiem w $\displaystyle X,$ w szczególności $\displaystyle a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^k)$ dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ oraz $\displaystyle a=(a^1,\ldots,a^k)\in X,$ to

(1) $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} a_n=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n^i= a^i$ dla $\displaystyle i=1,\ldots,k.$

(2) Ciąg $\displaystyle \displaystyle\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\displaystyle \displaystyle\{a^i_n\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $\displaystyle i=1,\ldots,k.$

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).

Wniosek 2.20.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla $\displaystyle i=1,\ldots, k,$ to $\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k$ jest przestrzenią metryczną zupełną.

Wniosek 2.21.

$\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N$ oraz $\displaystyle \displaystyle\mathbb{C}^N$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.