Rozważmy funkcję \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i} \), która punktowi \( \displaystyle x\in U \) przyporządkowuje pochodną cząstkową funkcji \( \displaystyle f \) po zmiennej \( \displaystyle x_i \) w punkcie \( \displaystyle a \), czyli funkcję
\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}: U\ni a\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}. \)
Definicja 6.25.
Jeśli w punkcie \( \displaystyle a\in U \) istnieje pochodna cząstkowa funkcji \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i} \) po zmiennej \( \displaystyle x_j \), to mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) ma pochodną cząstkową rzędu drugiego po zmiennych \( \displaystyle x_i \) oraz \( \displaystyle x_j \). Pochodną tę oznaczamy symbolem \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a) \), bądź krótko \( \displaystyle \frac{\partial ^2}{\partial x_j\partial x_i}f(a) \) lub \( \displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_j\partial x_i} \). Gdy \( \displaystyle i=j \)
piszemy \( \displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_i^2} \) zamiast \( \displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_i\partial x_i} \).
Uwaga 6.26.
Jeśli \( \displaystyle f: \mathbb{R}^n \ni (x,y, z, \dots, t)\mapsto f(x,y, z, \dots, t)\in \mathbb{R} \) jest funkcją \( \displaystyle n \) zmiennych, to często zamiast pisać
\( \displaystyle \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x^2}, \ \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x\partial y}, \ \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x\partial z}, \dots, \)
piszemy
\( \displaystyle f_{xx}(a), \ f_{xy}(a), \ f_{xz}(a), \dots, \)
bądź
\( \displaystyle f'_{xx}(a), \ f'_{xy}(a), \ f'_{xz}(a), \dots \)
Powstaje naturalne pytanie, czy zachodzi równość między pochodnymi \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a) \) oraz \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f (a) \), jeśli obie istnieją.
Zanim sformułujemy twierdzenie, które stanowi pozytywną odpowiedź na pytanie, rozważmy następujący
Przykład 6.27.
Funkcja
\( \displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{align*} & \frac{xy (x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & \text{ gdy } (x,y)\neq (0,0) \\ & 0, & \text{ gdy } (x,y)=(0,0)\end{align*} \right. \)
ma w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) obie pochodne cząstkowe mieszane \( \displaystyle \frac{\partial}{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f (0,0) \) oraz \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x }f (0,0) \), lecz są one różne. A mianowice \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f (0,0)=1 \), podczas gdy \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x}f (0,0)=-1. \)
Okazuje się jednak, że wystarczy przyjąć naturalne założenie o ciągłości pochodnych cząstkowych mieszanych \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f \) oraz \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x }f \) w otoczeniu punktu \( \displaystyle a \), aby mieć gwarancję ich równości w danym punkcie.
Uwaga 6.28.
Jeśli \( \displaystyle f:\mathbb{R}^n \supset U\ni x\mapsto f(x) \in \mathbb{R} \) jest funkcją, która w punkcie \( \displaystyle a\in U \) ma ciągłe
pochodne cząstkowe \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f \) oraz \( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f \), to w punkcie \( \displaystyle a \) są one równe, tj.
\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a)= \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f(a). \)
Dowód uwagi pomijamy (można go znaleźć np. w podręczniku Ryszarda Rudnickiego Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).
W podobny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wprowadźmy wygodne oznaczenie pochodnych cząstkowych za pomocą wielowskaźników \( \displaystyle \alpha =(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\in \mathbb{N}_0^n \). Niech \( \displaystyle f:\mathbb{R}^n\supset U\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym \( \displaystyle U \).
Oznaczmy symbolem \( \displaystyle \frac{\partial^{\alpha_i}}{\partial x_i^{\alpha_i}} \) operację, która funkcji \( \displaystyle f \) przypisuje pochodną cząstkową rzędu \( \displaystyle \alpha_i \) po zmiennej \( \displaystyle x_i \), o ile ta pochodna istnieje.
Definicja 6.29.
Załóżmy, że istnieją kolejno pochodne cząstkowe
\( \displaystyle \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} \bigg(\dots \frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}} \big(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}}f\big)\dots\bigg) (a) \)
i nie zależą od kolejności różniczkowania. Mówimy wówczas, że funkcja \( \displaystyle f \) ma pochodną
cząstkową
\( \displaystyle \frac{\partial ^{|\alpha|}f(a)}{\partial x^\alpha}:=\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} \bigg(\dots\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}} \big(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_i^{\alpha_1}}f\big)\dots\bigg) (a) \)
rzędu \( \displaystyle |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n \) w punkcie \( \displaystyle a \). Pochodną tę notujemy też często symbolem \( \displaystyle D^\alpha f (a) \).