Informatyka MIMUW

Rozważmy funkcję $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}$, która punktowi $\displaystyle x\in U$ przyporządkowuje pochodną cząstkową funkcji $\displaystyle f$ po zmiennej $\displaystyle x_i$ w punkcie $\displaystyle a$, czyli funkcję

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}: U\ni a\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}.$

Definicja 6.25.

Jeśli w punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje pochodna cząstkowa funkcji $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}$ po zmiennej $\displaystyle x_j$, to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma pochodną cząstkową rzędu drugiego po zmiennych $\displaystyle x_i$ oraz $\displaystyle x_j$. Pochodną tę oznaczamy symbolem $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a)$, bądź krótko $\displaystyle \frac{\partial ^2}{\partial x_j\partial x_i}f(a)$ lub $\displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_j\partial x_i}$. Gdy $\displaystyle i=j$

piszemy $\displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_i^2}$ zamiast $\displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_i\partial x_i}$.

Uwaga 6.26.

Jeśli $\displaystyle f: \mathbb{R}^n \ni (x,y, z, \dots, t)\mapsto f(x,y, z, \dots, t)\in \mathbb{R}$ jest funkcją $\displaystyle n$ zmiennych, to często zamiast pisać

$\displaystyle \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x^2}, \ \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x\partial y}, \ \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x\partial z}, \dots,$

piszemy

$\displaystyle f_{xx}(a), \ f_{xy}(a), \ f_{xz}(a), \dots,$

bądź

$\displaystyle f'_{xx}(a), \ f'_{xy}(a), \ f'_{xz}(a), \dots$

Powstaje naturalne pytanie, czy zachodzi równość między pochodnymi $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a)$ oraz $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f (a)$, jeśli obie istnieją.

Zanim sformułujemy twierdzenie, które stanowi pozytywną odpowiedź na pytanie, rozważmy następujący

Przykład 6.27.

Funkcja

$\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{align*} & \frac{xy (x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & \text{ gdy } (x,y)\neq (0,0) \\ & 0, & \text{ gdy } (x,y)=(0,0)\end{align*} \right.$

ma w punkcie $\displaystyle (0,0)$ obie pochodne cząstkowe mieszane $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f (0,0)$ oraz $\displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x }f (0,0)$, lecz są one różne. A mianowice $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f (0,0)=1$, podczas gdy $\displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x}f (0,0)=-1.$

Okazuje się jednak, że wystarczy przyjąć naturalne założenie o ciągłości pochodnych cząstkowych mieszanych $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f$ oraz $\displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x }f$ w otoczeniu punktu $\displaystyle a$, aby mieć gwarancję ich równości w danym punkcie.

Uwaga 6.28.

Jeśli $\displaystyle f:\mathbb{R}^n \supset U\ni x\mapsto f(x) \in \mathbb{R}$ jest funkcją, która w punkcie $\displaystyle a\in U$ ma ciągłe

pochodne cząstkowe $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f$ oraz $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f$, to w punkcie $\displaystyle a$ są one równe, tj.

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a)= \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f(a).$

Dowód uwagi pomijamy (można go znaleźć np. w podręczniku Ryszarda Rudnickiego Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

W podobny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wprowadźmy wygodne oznaczenie pochodnych cząstkowych za pomocą wielowskaźników $\displaystyle \alpha =(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\in \mathbb{N}_0^n$. Niech $\displaystyle f:\mathbb{R}^n\supset U\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym $\displaystyle U$.

Oznaczmy symbolem $\displaystyle \frac{\partial^{\alpha_i}}{\partial x_i^{\alpha_i}}$ operację, która funkcji $\displaystyle f$ przypisuje pochodną cząstkową rzędu $\displaystyle \alpha_i$ po zmiennej $\displaystyle x_i$, o ile ta pochodna istnieje.

Definicja 6.29.

Załóżmy, że istnieją kolejno pochodne cząstkowe

$\displaystyle \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} \bigg(\dots \frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}} \big(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}}f\big)\dots\bigg) (a)$

i nie zależą od kolejności różniczkowania. Mówimy wówczas, że funkcja $\displaystyle f$ ma pochodną

cząstkową

$\displaystyle \frac{\partial ^{|\alpha|}f(a)}{\partial x^\alpha}:=\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} \bigg(\dots\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}} \big(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_i^{\alpha_1}}f\big)\dots\bigg) (a)$

rzędu $\displaystyle |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n$ w punkcie $\displaystyle a$. Pochodną tę notujemy też często symbolem $\displaystyle D^\alpha f (a)$.