W przypadku gdy kostka \( \displaystyle K \) jest zwykłym prostokątem w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,\displaystyle \) to znaczy \( \displaystyle \ K=[a,b]\times[c,d] \), a funkcja \( \displaystyle f:K\to \mathbb{R} \) jest nieujemna i ciągła (założenie ciągłości nie jest konieczne, wystarczy całkowalność), to
\( \displaystyle \iint\limits_K f(x,y)dxdy \)
jest objętością bryły \( \displaystyle B \) w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3 \) określonej nierównościami:
\( \displaystyle a \ \leq\ x \ \leq\ b,\quad c \ \leq\ y \ \leq\ d,\quad 0 \ \leq\ z \ \leq\ f(x,y). \)
Faktycznie, dla danego podziału \( \displaystyle P \) prostokąta \( \displaystyle K, \) suma dolna \( \displaystyle L(f,P) \) to objętość "słupków" (czyli graniastosłupów) wpisanych w \( \displaystyle B, \) jak na powyższym rysunku.
Przy zmniejszających się średnicach podziałów suma objętości "słupków" (czyli w granicy całka Riemanna z funkcji \( \displaystyle f \) po zbiorze \( \displaystyle D \)) zmierza do objętości \( \displaystyle B. \)
Uwaga 10.10.
Liczenie całki Riemanna wprost z definicji jest raczej niewygodne. Jeśli nawet będziemy wiedzieli, że całka istnieje, to musimy utworzyć ciąg podziałów, policzyć sumy całkowe i ich granicę. Na ćwiczeniach policzymy przykłady całek z wykorzystaniem definicji (patrz ćwiczenie 10.1. i 10.2.), by zobaczyć, że jest to metoda dość pracochłonna i docenić twierdzenie, które poznamy na następnym wykładzie (twierdzenie Fubiniego). Twierdzenie to pozwoli nam liczyć całki wielokrotne przy pomocy całek pojedynczych (które już umiemy liczyć).
Wprowadzimy teraz kilka pojęć, które pomogą nam powiedzieć, jak wygląda klasa funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na kostce w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) (czyli dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna po kostce).
Definicja 10.11.
Niech \( \displaystyle K_j, j=1,2,\ldots \) będą kostkami w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \); \( \displaystyle K_j=[a_1^j,b_1^j]\times\ldots\times[a_N^j,b_N^j]. \)
Mówimy, że zbiór \( \displaystyle B\in \mathbb{R}^N \) ma objętość zero, jeśli dla każdego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) istnieją kostki \( \displaystyle K_1,\ldots,K_s \) takie że
\( \displaystyle B\subset K_1\cup \ldots \cup K_s \)
oraz
\( \displaystyle \sum_{j=1}^sv(K_j)\leq\varepsilon. \)
Przykład 10.12.
(1) Punkt w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) jest zbiorem o objętości zero. Faktycznie, zawsze możemy dobrać układ współrzędnych tak, by punkt miał współrzędne \( \displaystyle \displaystyle (0,\ldots,0) \) i wtedy zawiera się on w kostce \( \displaystyle K=[-a,a]\times\ldots\times[-a,a], \) gdzie \( \displaystyle a=\sqrt[N]{\varepsilon}/2, \) a zatem \( \displaystyle v(K)=\varepsilon. \)
(2) Brzeg kostki w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) ma objętość zero. Ten fakt udowodnimy na ćwiczeniach.
Definicja 10.13.
Mówimy, że zbiór \( \displaystyle A\in \mathbb{R}^N \) ma miarę zero, jeśli dla każdego \( \displaystyle \displaystyle\varepsilon>0 \) istnieją kostki \( \displaystyle K_1,K_2,\ldots \) takie że
\( \displaystyle B\subset K_1\cup K_2\cup\ldots=\bigcup_{j=1}^{\infty}K_j \)
oraz
\( \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}v(K_j)\leq\varepsilon. \)
Uwaga 10.14.
Jeśli zbiór \( \displaystyle A \) ma miarę zero, to ma puste wnętrze, czyli int \( \displaystyle A=\emptyset. \)
Dowód uwagi 10.14.
Zauważmy, że wprost z definicji wynika, że podzbiór zbioru miary zero jest zbiorem miary zero.
Oczywiście kula w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) nie jest zbiorem miary zero - bo zawiera pewną kostkę.
Gdyby zbiór \( \displaystyle A \) miał niepuste wnętrze to, z definicji wnętrza, zawierałby pewną kulę.
Popatrzmy teraz na rysunki poniżej.
Na pierwszym rysunku mamy funkcję ciągłą na przedziale \( \displaystyle \displaystyle [a, b], \) a na drugim rysunku mamy tę samą funkcję, tylko z wartością zmienioną w jednym punkcie - i w tym punkcie funkcja nie jest ciągła. Niemniej, pole pod wykresami obu funkcji jest takie samo - a zatem całka z obu funkcji po przedziale \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \) jest taka sama. Podobnie, objętość bryły ograniczonej wykresem funkcji nad prostokątem nie zmieni się, jeśli zmienimy tę funkcję wzdłuż na przykład odcinka - jak na poniższych rysunkach:
Funkcja powstała z funkcji ciągłej \( f \) przez zmianę wartości wzdłuż odcinka
Funkcja powstała z funkcji ciągłej \( f \) przez zmianę wartości wzdłuż odcinka
A zatem całki po tym prostokącie z obu funkcji są takie same.
Przypuśćmy więc, że umiemy policzyć całkę po kostce z funkcji ciągłej. Z powyższych przykładów widać, że możemy funkcję ciągłą "zepsuć" na pewnym "niedużym" zbiorze - a całka pozostanie taka sama jak dla funkcji ciągłej. Aby formalnie powiedzieć jak bardzo możemy "zepsuć" funkcję, będziemy potrzebowali poniższych definicji:
Definicja 10.15.
Niech \( \displaystyle K \) będzie kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n. \) Weźmy funkcję \( \displaystyle f: K\to \mathbb{R}. \) Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła prawie wszędzie na \( \displaystyle K, \) jeśli istnieje zbiór \( \displaystyle B \) miary zero taki, że \( \displaystyle f \) jest ciągła na \( \displaystyle K\setminus B. \)
Definicja 10.16.
Dwie funkcje \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) określone na kostce \( \displaystyle K \) są równe prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór \( \displaystyle B \) miary zero, taki, że \( \displaystyle f=g \) na \( \displaystyle K\setminus B. \) Piszemy wtedy: \( \displaystyle f=g \) p.w. na \( \displaystyle K. \)
Uwaga 10.17.
Wydawać by się mogło, że jeśli "zepsujemy" funkcję ciągłą tylko na zbiorze miary zero, to dostaniemy funkcję ciągła prawie wszędzie. Tak jednak nie jest! Na ćwiczeniach zobaczymy przykład funkcji, określonej na przedziale \( \displaystyle \displaystyle [0,1], \) która jest różna od funkcji ciągłej tylko na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie \( \displaystyle \displaystyle [0,1] \) (patrz ćwiczenie 10.9.).
Teraz możemy napisać stwierdzenie, które mówi, kiedy całka Riemanna funkcji jest równa całce Riemanna "popsutej" funkcji.
Stwierdzenie 10.18.
Weźmy dwie funkcje \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) określone na kostce \( \displaystyle K\subset\mathbb{R}^N \) prowadzące w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}. \) Załóżmy, że obie te funkcje są całkowalne w sensie Riemanna (to znaczy istnieją \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx \) i \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kg(x)dx \)). Załóżmy, że \( \displaystyle f \) jest równe \( \displaystyle g \) prawie wszędzie na \( \displaystyle K. \) Wtedy
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_Kf(x)dx=\displaystyle\int\limits_Kg(x)dx. \)
Dowód 10.18. [nadobowiązkowy]
Zdefiniujmy funkcję \( \displaystyle h:=f-g. \) Widać, że funkcja \( \displaystyle h \) też jest całkowalna w sensie Riemanna na \( \displaystyle K \) i \( \displaystyle h=0 \) p.w. na \( \displaystyle K. \) Wystarczy zatem pokazać, że \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kh(x)dx=0 \) (i skorzystać z liniowości całki). Określmy zbiór \( \displaystyle A:=\{x\in K : h(x)\neq 0\}. \) Ponieważ \( \displaystyle h \) jest równa zero prawie wszędzie, to zbiór \( \displaystyle A \) ma miarę zero, a zatem ma puste wnętrze (patrz uwaga 10.14.). W szczególności zbiór \( \displaystyle A \) nie zawiera żadnej kostki.
Weźmy teraz dowolny podział kostki \( \displaystyle K \) na kostki \( \displaystyle K_1,\ldots,K_s. \)
Żadna z tych kostek nie jest podzbiorem zbioru \( \displaystyle A, \) czyli można wybrać punkty pośrednie \( \displaystyle x_1,\ldots,x_s \) takie że \( \displaystyle x_j\in K_j\setminus A, j=1,\ldots,s. \) Dla tych \( \displaystyle x_j \) oczywiście \( \displaystyle h(x_j)=0. \) W takim razie
\( \displaystyle \sum_{j=1}^sv(K_j)h(x_j)=0, \)
a więc także
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_Kh(x)dx=\lim_{s\to\infty}\sum_{j=1}^sv(K_j)h(t_j)=0. \)
Podamy teraz bez dowodu bardzo ważne twierdzenie, które mówi, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.
Twierdzenie 10.19.
Niech \( \displaystyle K \) będzie kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \) Niech \( \displaystyle f: K\to \mathbb{R} \) będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na \( \displaystyle K. \)
Wtedy \( \displaystyle f \) jest całkowalna w sensie Riemanna na \( \displaystyle K. \)
Na zakończenie tego wykładu powiemy, jak całkować funkcje po zbiorach innych niż kostki (jak na przykład walce, kule etc).
Przypomnijmy, że funkcją charakterystyczną zbioru \( \displaystyle B\in \mathbb{R}^N \) nazywamy funkcję
\( \displaystyle \chi_B(x) \ = \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in B, \\ 0, & \textrm{dla} \displaystyle & x\in \mathbb{R}^N\setminus B. \end{array} \right. \)
Wykres funkcji charakterystycznej zbioru \( B \)
Dla funkcji \( \displaystyle f: B\to \mathbb{R} \) zdefiniujmy funkcję
\( \displaystyle f_B(x) :=\left \{ \begin{array} {lll} f(x) & \textrm{dla} \displaystyle & x\in B, \\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in \mathbb{R}^N\setminus B. \end{array} \right. \)
Zbiór \( B \) i wykres funkcji \( f \)
Wykres funkcji \( f_B \)
Możemy teraz zdefiniować całkę Riemanna z funkcji ograniczonej \( \displaystyle f \) po zbiorze ograniczonym \( \displaystyle B\subset\mathbb{R}^N. \)
Definicja 10.20.
Niech \( \displaystyle B \) będzie ograniczonym podzbiorem \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) i niech \( \displaystyle f:B\to\mathbb{R} \) będzie funkcją ograniczoną. Niech \( \displaystyle K \) będzie kostką w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N \) taką, że \( \displaystyle B\subset K. \) Wtedy całkę z funkcji \( \displaystyle f \) po zbiorze \( \displaystyle B \) definiujemy jako
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_Bf(x)dx:=\displaystyle\int\limits_Kf_B(x)dx, \)
o ile \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf_Bdx \) istnieje.
Pomijamy tu, intuicyjnie dość oczywisty, dowód poprawności definicji - czyli jej niezależności od wyboru kostki \( \displaystyle K, \) w której zawiera się zbiór \( \displaystyle B. \)
Pozostaje jeszcze pytanie, czy możemy powiedzieć, kiedy istnieje całka \( \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf_B(x)dx \)? Aby odpowiedzieć na to pytanie, podajmy najpierw następujące fakty:
Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)
Definicja 10.21.
Niech \( \displaystyle B \) będzie ograniczonym podzbiorem \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \) Załóżmy, że brzeg zbioru \( \displaystyle B \) jest zbiorem miary zero, \( \displaystyle m(\partial B)=0. \) Zbiór \( \displaystyle B \) nazywamy wtedy mierzalnym w sensie Jordana (czyli J-mierzalnym) (przypomnijmy, że brzeg zbioru \( \displaystyle B \) definiujemy jako \( \displaystyle \displaystyle\partial B=\overline{B}\setminus\mathrm{int}\, B \); patrz definicja 1.7.).
Bez dowodu podamy poniższe stwierdzenie:
Stwierdzenie 10.22.
Jeśli zbiór ograniczony \( \displaystyle B, \) zawarty w pewnej kostce \( \displaystyle K \) jest J-mierzalny, to istnieje
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_B\chi_B(x)dx. \)
Definicja 10.23.
Dla J-mierzalnego zbioru ograniczonego \( \displaystyle B \) zawartego w kostce \( \displaystyle K \) objętością \( \displaystyle B \) nazywamy liczbę
\( \displaystyle v(B):=\displaystyle\int\limits_B\chi_B(x)dx. \)
Definicja 10.24.
Gdy \( \displaystyle B\subset \mathbb{R},\displaystyle v(B) \) nazywamy długością \( \displaystyle B, \) a dla \( \displaystyle B\subset \mathbb{R}^2,\displaystyle v(B) \) nazywamy polem \( \displaystyle B. \)
Możemy teraz podać następujące twierdzenie.
Twierdzenie 10.25.
Niech \( \displaystyle B \) będzie J-mierzalnym, ograniczonym podzbiorem \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N. \) Niech \( \displaystyle f: B\to \mathbb{R} \) będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na \( \displaystyle B. \)
Wtedy \( \displaystyle f \) jest całkowalna w sensie Riemanna na \( \displaystyle B. \)
Uwaga 10.26.
W praktyce najczęściej mamy do czynienia z całkowaniem funkcji ciągłych i określonych na "przyzwoitych" zbiorach, to znaczy zbiorach ograniczonych kawałkami wykresów funkcji, i to funkcji klasy co najmniej \( \displaystyle \displaystyle\cal C^1. \) Takimi zbiorami są na przykład kula, walec, kostka, stożek i ich przecięcia. Przedstawione w tym wykładzie rozważania dotyczące całkowalności i zbiorów miary zero należy potraktować jako rodzaj wstępu do teorii miary i do ogólniejszych teorii całek, na przykład do teorii całki Lebesgue'a.