Informatyka MIMUW

Sprowadź dowód do jak najmniejszej liczby przypadków, np. możesz tylko rozważać liczby o niemalejących ciagach czterech cyfr.

Dla każdego nowego niezerowego elementu x, który jest aktualnie na pozycji j-tej, jeśli wstawiamy x na pozycję i-tą, to w tym momencie na pozycji (i-1)-szej jest pewien jego poprzednik y w najdłuższym ciągu malejącym kończącym się na pozycji j-tej. To znaczy w szczególności, że y>x, oraz że y jest na pewnej pozycji mniejszej od j.

W każdym optymalnym pakowaniu można je tak zmienić, że najmniejszy element będzie razem z maksymalnym, z którym się mieści do tego samego pudełka

Relacja mniejszości dla ciągów niech będzie relacją mniejszości leksykograficznej.

Rotacją ciągu $u=u[1..n]$ jest każdy ciąg postaci $u^{(k)}\ =\ u[k+1.. n]u[1.. k]$. (W szczególności $u^{(0)}=u^{(n)}=u)$.

Zdefiniujmy:

$D(u)=\{k:1\leq k\leq n$ oraz $u^{(k)}>w^{(j)}$ dla pewnego $j\}$,
$D(w)=\{k:1\leq k\leq n$ oraz $w^{(k)}>u^{(j)}$ dla pewnego $j\}$.

Skorzystamy z prostego faktu:

Jeśli $D(u)=[1.. n]$ lub $D(w)=[1.. n]$, to $u,w$ nie są równoważne. Poprawność algorytmu wynika teraz z tego, że po każdej głównej iteracji zachodzi niezmiennik:

$D(w)\supseteq [1.. i]$\ oraz \ $D(u)\supseteq [1.. j]$.

Dla ciągów postaci $1^*201,\ 1^*20$ o tej samej długości.