Zajmiemy się teraz pewnym przykładem ciągu zbieżnego, którego granica odgrywa ważną rolę w matematyce.
Twierdzenie 5.1. [Liczba \( e \), symbol \( 1^{\infty} \)]
(1) Ciąg \( \displaystyle\{e_n\}\subseteq\mathbb{R} \) o wyrazach \( \displaystyle e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n \) jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez \( e, \) przy czym
\( e \ \approx\ 2,718281828458563411277850606202642376785584483618617451918618203\ldots. \)
(2) Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty, \) to
\( \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n} \ =\ e. \)
W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, którego dowód indukcyjny zostawiamy jako proste ćwiczenie.
Lemat 5.2.
Dla każdego \( n\ge 3 \) mamy \( \displaystyle n!>2^{n-1}. \)
Dowód 5.2.
(Ad (1))
Krok 1. Pokażemy, że ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest rosnący. W tym celu dla dowolnego \( n\in\mathbb{N} \) obliczymy iloraz:
\( \frac{e_{n+1}}{e_n} \ =\ \frac{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n} \ =\ \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \frac{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1}} \)
\( \ =\ \frac{n+1}{n}\bigg[\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\bigg]^{n+1} \ =\ \frac{n+1}{n}\bigg[1-\frac{1}{(n+1)^2}\bigg]^{n+1}. \)
Stosując nierówność Bernoullego
(patrz uwaga 2.16.) z \( r=n+1\ge 2 \) oraz \( \displaystyle x=-\frac{1}{(n+1)^2}>-1, \) dostajemy
Pokazaliśmy zatem, że
\( \frac{e_{n+1}}{e_n} \ >\ 1 \qquad\forall\ n\ge 1, \)
czyli ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest rosnący.
Krok 2. Pokażemy, że ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest ograniczony. Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich, więc wystarczy pokazać, że jest on ograniczony z góry. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), mamy
\( \begin{array} {lll} \displaystyle e_n & = & \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n \ =\ {n \choose 0} + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} +\ldots + {n \choose n-1}\frac{1}{n^{n-1}} + {n \choose n} \frac{1}{n^n} \\ & = & 1 +1 +\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2} +\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} +\ldots +\frac{1}{(n-1)!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot 2}{n^{n-1}} \\ & & +\ \frac{1}{n!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot 1}{n^n} \\ & = & 1 +1 +\frac{1}{2!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg) +\frac{1}{3!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\bigg(1-\frac{2}{n}\bigg) +\ldots +\frac{1}{(n-1)!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\cdot\ldots\cdot\bigg(1-\frac{n-2}{n}\bigg) \\ & & +\ \frac{1}{n!}\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)\cdot\ldots\cdot\bigg(1-\frac{n-1}{n}\bigg) \\ & < & 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}. \end{array} \)
Korzystając z Lematu lematu 5.2., mamy
\( e_n \ < \ 1+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}. \)
Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz przyklad 1.12.), dostajemy
\( e_n \ < \ 1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}} \ < \ 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \ =\ 3. \)
Pokazaliśmy zatem, że \( \forall n\in\mathbb{N}:\ |e_n| < 3, \)
czyli że ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest ograniczony.
Krok 3. Ponieważ ciąg \( \displaystyle\{e_n\} \) jest rosnący i ograniczony, więc korzystając z twiedzenia 4.15., wnioskujemy, że jest on zbieżny.
(Ad (2)) [Dowód nadobowiązkowy]
Niech \( \displaystyle x_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1} \) oraz \( \displaystyle y_n=\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^n. \) Zauważmy, że
\( \begin{array}{lll} \lim\limits_{n \to +\infty} x_n & = & \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{n+1} \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\cdot\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ e\cdot 1 \ =\ e, \\ \lim\limits_{n \to +\infty} y_n & = & \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}\cdot\bigg(1+\frac{1}{n+1}\bigg)^{-1} \ =\ e\cdot 1 \ =\ e. \end{array} \)
Niech \( \displaystyle\{a_n\} \) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty. \) W celu udowodnienia naszego twierdzenia skorzystamy z twierdzenia 3.25.(5). W tym celu weźmy dowolny podciąg \( \displaystyle\{a_{n_k}\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\}. \)
Wybierzmy z kolei podciąg \( \displaystyle\big\{a_{n_{k_l}}\big\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_{n_k}\}, \) który jest monotonicznie rosnący do \( +\infty \) oraz taki, że
\( \forall l\in\mathbb{N}:\ l \ < \ a_{n_{k_l}} \quad\ \) oraz \( \quad a_{n_{k_l}}+1 \ \le\ a_{n_{k_{l+1}}} \) Dla każdego \( l\in\mathbb{N} \) wyraz \( a_{n_{k_l}} \) jest zawarty w pewnym przedziale \( \displaystyle [N_l,N_l+1) \) o końcach naturalnych (przy czym ciąg \( \displaystyle\{N_l\}_l \) jest silnie rosnący). Korzystając z monotoniczności funkcji potęgowej oraz funkcji wykładniczej (o podstawie większej od \( 1 \)), mamy
\( \begin{array} {ccccccccc} \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{N_l+1}\bigg)^{N_l} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{N_l} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{a_{n_{k_l}}} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{N_l+1} & \le & \displaystyle\bigg(1+\frac{1}{N_l}\bigg)^{N_l+1} \\ \downarrow & & & & & & & & \downarrow \\ e & & & & & & & & e \end{array} \)
gdzie zbieżności ciągów \( \displaystyle\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{N_l+1}\bigg)^{N_l}\bigg\}_{l\in\mathbb{N}} \) i \( \displaystyle\bigg\{\bigg(1+\frac{1}{N_l}\bigg)^{N_l+1}\bigg\}_{l\in\mathbb{N}} \) do liczby \( e \) wynikają z faktów, iż są to podciągi ciągów \( \displaystyle\{x_n\} \)
i \( \displaystyle\{y_n\} \) mających granicę \( e. \) Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenia 4.11.), wnioskujemy, że \( \displaystyle\lim_{larrow+\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_{n_{k_l}}}\bigg)^{a_{n_{k_l}}}=e. \)
Ponieważ wystartowaliśmy od dowolnego podciągu \( \displaystyle\{a_{n_k}\} \) ciągu \( \displaystyle\{a_n\}, \) zatem korzystając z twierdzenia 3.25.(5), dostajemy, że \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\bigg(1+\frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n}=e. \)
Kolejne twierdzenie będzie przydatne przy wyznaczaniu pewnych granic ciągów. Jego dowód jak i zastosowania pozostawione są na ćwiczenia (patrz zadanie 5.6.).
Twierdzenie 5.3.
Jeśli \( \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} \) jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy \( \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>0 \)), to
(1) jeśli \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a < 1, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0 \);
(2) jeśli \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a>1, \) to \( \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+\infty. \)