Wstęp do algorytmów - Ćwiczenia

Zadanie 1

Podaj algorytm wyliczający część wspólną dwóch zadanych prostokątów o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Analiza specyfikacji

Czy specyfikacja podana w zadaniu jest wystarczająca do zapisania algorytmu?

Odpowiedź

Nie, nie wiadomo co to znaczy zadane, nie wiadomo czy prostokąty są domknięte (z brzegiem), nie wiadomo, co zlecający wykonanie zadania rozumiał przez wyliczanie.

Co może być częścią wspólną ?

Odpowiedź

Jeśli prostokąty są z brzegiem, to prostokąt o bokach równoległych do osi układu, odcinek pionowy lub poziomy, punkt, zbiór pusty; wszystkie te przypadki możemy traktować jako szczególne rodzaje pierwszego przypadku.

Jaka może być postać danych ?

Odpowiedź

Można rozważać kilka różnych postaci:

współrzędne dwu przeciwległych wierzchołków,
współrzędne lewego górnego wierzchołka i prawego dolnego,
współrzędne lewego górnego wierzchołka i długości boków,
współrzędne środka, długość przekątnych i kąt nachylenia przekątnej łączącej lewy górny wierzchołek z prawym dolnym,
współrzędne lewego górnego wierzchołka, pole prostokąta i stosunek długości boków,
współrzędne wszystkich czterech wierzchołków (od lewego górnego w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara),
obszar zaznaczony przez użytkownika myszką na ekranie.

Każda z tych reprezentacji danych spełnia swoje zadanie i w konkretnym zastosowaniu może być tą, którą należy wybrać (bo np. nasz algorytm jest częścią większego systemu, który jej właśnie używa). Naszym zadaniem jako projektantów/analityków jest przeanalizowanie różnych możliwości, zaproponowanie zlecającemu rozwiązań, które uważamy za najlepsze, ale ostateczna decyzja należy do zlecającego, to my musimy się dostosować.

Reprezentacja 7 i tak sprowadzi się do jednej z pozostałych.
Reprezentacja 6 jest nadmiarowa. Taka sytuacja ma swoje wady (koszt pamięciowy) i zalety (można łatwiej się zorientować, że dane nie są poprawne i nie trzeba wyliczać danych, które są już podane, co może być kosztowne czasowo). Reprezentacje 3,4,5 są poprawne. W zależności od tego co chcemy robić z wynikiem naszych obliczeń, mogą się okazać warte wybrania.
Reprezentacje 2 i 1 wydają się równoważne, dopiero przy wyborze reprezentacji wyniku okaże się, że różnica między nimi w tym akurat zadaniu jest bardzo istotna.

Jaka może być postać wyniku?

Odpowiedź

Skoro możemy traktować każdy możliwy wynik jako (być może zdegenerowany) prostokąt o bokach równoległych do osi układu, to byłoby dobrze użyć tu tej samej reprezentacji, co dla danych (nam jako piszącym będzie łatwiej, a przede wszystkim jest to lepsze dla użytkownika, który będzie mógł zastosować nasz algorytm do wyników przez ten algorytm policzonych). I tu ujawnia się wyższość reprezentacji 2, która pozwala reprezentować także pusty prostokąt, w przeciwieństwie do reprezentacji 1. (Reprezentacje 3-6 też są dobre, moglibyśmy także np. rysować wynik na ekranie.)

Znajdowanie algorytmu

Gdy zaczniemy analizować możliwe wzajemne położenia prostokątów, okaże się, że przypadków jest co najmniej kilkanaście.

Wskazówka 1

Zauważ, że wynikowy prostokąt jest iloczynem kartezjańskim dwóch odcinków. Tego, który jest częścią wspólną rzutów obu prostokątów na oś X i tego, który jest częścią wspólną rzutów obu prostokątów na oś Y. W ten sposób zadanie dwuwymiarowe zostaje zredukowane do dwóch zadań jednowymiarowych.

Wskazówka 2

Dane są dwa odcinki na prostej. Zastanów się, jaka może być wartość lewego końca części wspólnej tych odcinków.

Rozwiązanie

Załóżmy, że mamy operacje min i max. Przyjmijmy oznaczenia:

A, B, W - prostokąty dane i wynikowy (odpowiednio)
x1,x2,y1,y2 - współrzędne lewego-górnego, i prawego-dolnego wierzchołka (odpowiednio)
P.x1 - notacja kropkowa do odwoływania się do współrzędnych

Cały algorytm to cztery linijki:

W.x1 = max(A.x1, B,x1) 
W.y1 = min(A.y1, B.y1) 
W.x2 = min(A.x2, B.x2) 
W.y2 = max(A.y2, B.y2)

(współrzędne y-owe rosną w górę, tak jak w matematyce, a nie w dól jak na ekranie komputera).

Testowanie

Mając algorytm/program, powinniśmy go przetestować, czyli sprawdzić, jakie daje wyniki dla przykładowych danych. Warto testować z jednej strony przypadki typowe, z drugiej zaś szczególne przypadki graniczne (np. prostokąty dotykające się jednym rogiem lub jeden prostokąt zawarty w drugim). Testowanie jest ważne i trzeba je robić, mimo że w przypadku, gdy testowanie nie wykryje błędów, nic ono nie daje (nawet nie mamy pewności, że dla przetestowanych danych zawsze dostaniemy poprawny wynik, bo np. mamy niezainicjalizowane zmienne).

Dowód poprawności

Skoro testowanie nie daje pewności, że mamy dobry program, to potrzebujemy innego narzędzia, które pozwoli nam spać spokojnie - możemy (przynajmniej teoretycznie) dowieść formalnie poprawność programu. Powinniśmy ustalić, co jest formalną specyfikacją naszego zadania (W = A ∩ B), i zrobić formalny dowód, że dla każdego punktu p zdanie p ε A ∩ B jest równoważne temu, że p ε W. Teraz już możemy spać spokojnie - nasz algorytm jest poprawny (o ile nie pomylilismy się w dowodzie)!

Dowód

Najpierw zauważmy, że

p &epsilon; A &cap; B   wtedy i tylko wtedy    p.x &epsilon; rzutX(A) &cap; rzutX(B) i p.y &epsilon; rzutY(A) &cap; rzutY(B) 
	p &epsilon; W    wtedy i tylko wtedy               p.x &epsilon; rzutX(W) i p.y &epsilon; rzutY(W)

A więc wystarczy, że niezależnie pokażemy:

p.x &epsilon; rzutX(A) &cap; rzutX(B)  wtedy i tylko wtedy p.x &epsilon; rzutX(W) i 
p.y &epsilon; rzutY(A) &cap; rzutY(B)  wtedy i tylko wtedy p.y &epsilon; rzutY(W)

co tak naprawdę sprowadza się do zrobienia dowodu w przypadku jednowymiarowym.
Załóżmy więc, że p.x ε rzutX(A) ∩ rzutX(B). Ponieważ p.x ε rzutX(A) to

A.x1 &le; p.x &le; A.x2.

Podobnie dla B, czyli

B.x1 &le; p.x &le; B.x2.

A więc

max(A.x1,B.x1) &le; p.x &le; min(A.x2,B.x2)

Stąd W.x1 ≤ p.x ≤ W.x2, czyli p.x ε rzutX(W).
W drugą stronę dowód przebiega podobnie. Ponieważ p.x ε rzutX(W) to max(A.x1,B.x1) ≤ p.x ≤ min(A.x2,B.x2). Stąd A.x1 ≤ p.x ≤ A.x2 a więc p.x ε rzutX(A). I tak samo dla B. A więc p.x ε rzutX(A) ∩ rzutX(B).

Najważniejszy morał z tego zadania to pochwała myślenia - trzeba wykonać dużo pracy (myślowej), zanim zacznie się pisać pierwszy wiersz programu/algorytmu.

Inna wersja zadania

A co by było, gdyby prostokąty były otwarte (czyli bez brzegu)?
Reprezentacja używana powyżej jest nadal dobra zarówno dla danych jak i dla wyniku. Tym razem możliwe są tylko dwie postacie wyniku: albo prostokąt (z wnętrzem) o bokach równoległych do osi układu, albo zbiór pusty. Algorytm który podaliśmy powyżej działa również dla prostokątów otwartych; w dowodzie poprawności trzeba by jedynie zamienić nierówności nieostre (≤, ≥) na ostre (<, >).

Zadanie 2

Podaj algorytm wyliczający najmniejszy prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych, zawierający dwa zadane prostokąty o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Wskazówka

Jeśli zinterpretujemy niejasności w specyfikacji, tak jak to zrobiliśmy w Zadaniu 1, to okaże się, że jest to zadanie „dualne” do Zadania 1.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

A, B, W - prostokąty dane i wynikowy (odpowiednio) 
x1,x2,y1,y2 - współrzędne lewego górnego, i prawego dolnego wierzchołka (odpowiednio) 
P.x1 - notacja kropkowa do odwoływania się do współrzędnych

Wtedy algorytm jest następujący:

W.x1 = min(A.x1, B,x1) W.y1 = max(A.y1, B.y1) W.x2 = max(A.x2, B.x2) W.y2 = min(A.y2, B.y2)

(w porównaniu z Zadaniem 1 zamieniliśmy miejscami max i min)
Dowód poprawności jest analogiczny do tego z Zadania 1.

Zadanie 3

Używając tylko czterech podstawowych działań arytmetycznych, sprawdź, czy dwa odcinki na płaszczyźnie zadane porzez współrzędne końców przecinają się.

Wskazówka 1

Tym razem nie wystarczy sprawdzić rzutów na oś X i Y.

Wskazówka 3

Oznaczmy końce odcinków jako p,q oraz r,s. Dwa odcinki pq i rs się przecinają wtedy i tylko wtedy, gdy punkty p i q leżą po przeciwnych stronach prostej rs, zaś punkty r i s po przeciwnych stronach prostej pq lub któryś z końców jednego z odcinków należy do drugiego odcinka.

Wskazówka 3

Najpierw rozwiążmy kilka zadań pomocniczych:
Sprawdzanie, czy punkty leżą po przeciwnych stronach prostej
Sprawdźmy, czy punkty r i s leżą po przeciwnych stronach prostej zawierającej odcinek pq.
Dla punktów p=(p.x,p.y), q=(q.x,q.y) i r=(r.x,r.y) niech M(p,q,r) oznacza wyznacznik macierzy

p.x p.y 1 q.x q.y 1 r.x r.y 1

Ma on ten sam znak, co sinus kąta nachylenia wektora pr do wektora pq (Banachowski, Diks, Rytter Algortmy i struktury danych, str 259.)
Wartość M(p,q,r) (z ogólnego wzoru na wyznacznik) wynosi p.x*q.y + p.y*r.x + r.y*q.x - (r.x*q.y + q.x*p.y + r.y*p.x).

Niech φ to kąt pomiędzy pq i pr. Wtedy:

M(p,q,r) &gt; 0   wtw  0 &lt; &phi; &lt; &pi; M(p,q,r) = 0   wtw  (&phi; = 0 lub  &phi; = &pi;) M(p,q,r) &lt; 0   wtw  &pi; &lt; &phi; &lt; 2&pi;

Zatem aby punkty r i s leżały po przeciwnych stronach prostej pq, potrzeba i wystarczy, aby M(p,q,r) i M(p,q,s) były przeciwnych znaków, co można zapisać krócej jako:

M(p,q,r)*M(p,q,s) &lt; 0

Sprawdzanie, czy punkt należy do odcinka

Aby punkt p należał do odcinka qr, to musi należeć do prostej zawierającej qr (czyli M(q,r,p) musi byc równy 0), oraz rzuty p na osie X i Y muszą zawierać się w rzutach odcinka (czyli min(q.x,r.x) ≤ p.x ≤ max(q.x,r.x) i min(q.y,r.y) ≤ p.y ≤ max(q.y,r.y)).

Sprawdzanie, czy współliniowe odcinki przecinają się

Aby współliniowe odcinki pq i rs przecinały się, potrzeba i wystarcza by r ∈ pq lub s ∈ pq. Dla osi X powinniśmy więc mieć

min(q.x,p.x) &le; r.x &le; max(q.x,p.x)   lub   min(q.x,p.x) &le; s.x &le; max(q.x,p.x)

czyli

min(p.x,q.x) &le; max(r.x,s.x)  i  min(r.x,s.x) &le; max(p.x,q.x)

To samo dla osi Y. Podsumowując:

<b>jeśli</b> max(p.x,q.x) &ge; min(r.x,s.x) i max(r.x,s.x) &ge; min(p.x,q.x) i 
	i max(p.y,q.y) &ge; min(r.y,s.y) i max(r.y,s.y) &ge; min(p.y,q.y) <b>to</b> PRZECINAJĄ SIĘ 
<b>wpp</b> ROZŁĄCZNE

Rozwiązanie

Chcemy sprawdzić, czy odcinki pq i rs się przecinają. Przyjmijmy oznaczenia:

Mp=M(r,s,p) 
Mq=M(r,s,q) 
Mr=M(p,q,r) 
Ms=M(p,q,s)

Punkty r i s leżą po różnych stronach prostej pq wtedy i tylko wtedy, gdy Mr*Ms < 0, zaś leżą po tej samej stronie wtedy i tylko wtedy, gdy Mr*Ms > 0. Jeśli Mr*Ms = 0, to co najmniej jeden z punktów s lub r leży na prostej pq.

A więc algorytm jest następujący:

<b>jeśli</b> Mp*Mq &gt; 0 <b>lub</b> Mr*Ms &gt; 0 <b>to</b> ROZŁĄCZNE 
<b>wpp</b> 
<b>jeśli</b> Mp*Mq &lt; 0 <b>lub</b> Mr*Ms &lt; 0 <b>to</b> PRZECINAJĄ SIĘ 
<b>wpp</b> 
Sprawdź_czy_wpółliniowe_się_przecinają(pq, rs)

Zadanie 4

Sprawdź, czy dane dwa równoległoboki na płaszczyźnie przecinają się. Równoległoboki mają boki dowolnie nachylone do osi współrzędnych i zadane są poprzez współrzędne czterech rogów podanych zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Wskazówka

I tym razem nie wystarczy sprawdzić rzutów na oś X i Y. Trzeba użyć zadania o przecinaniu się odcinków.

Rozwiązanie

Niech R=(r_1,r_2,r_3,r_4) i Q=(q_1,q_2,q_3,q_4) to dane równoległoboki. Żeby R i Q się przecinały, to albo ich boki muszą się przecinać, albo jeden równoległobok musi być zawarty w drugim.

Wpierw mamy do sprawdzenia 16 (a tak naprawdę 15) przecięć odcinków:

wynik=ROZŁĄCZNE <b>dla</b> i &isin; [1..4] <b>dla</b> j &isin; [1..4] <b>jeśli</b> PrzecinająSię(r_ir_(i+1 mod 4), q_jq_(j+1 mod 4) <b>to</b> wynik=PRZECINAJĄ SIĘ

Jeśli po wykonaniu tych przecięć wynik nadal ma wartość ROZŁĄCZNE, to powinniśmy jeszcze sprawdzić zawieranie równoległoboków. Żeby Q zawierało się w R, potrzeba i wystarcza by q1 ∈ R. Do tego zaś trzeba, by q_1 znajdowało się po przeciwnych stronach naprzeciwległych boków R, do czego użyjemy metody z wyznacznikiem z poprzedniego zadania.

M12=M(r_1,r_2,q_1)	N12=M(q_1,q_2,r_1) 
M43=M(r_4,r_3,q_1)	N43=M(q_4,q_3,r_1) 
M14=M(r_1,r_4,q_1)	N14=M(q_1,q_4,r_1) 
M23=M(r_2,r_3,q_1)	N23=M(q_2,q_3,r_1)  
 
<b>jeśli</b> (M12*M43 &lt; 0 i M14*M23 &lt;0) lub (N12*N43 &lt; 0 i N14*N23 &lt;0) <b>to</b> wynik=PRZECINAJĄ SIĘ

Informatyka MIMUW