Informatyka MIMUW

Liczby całkowite

Znak – moduł

Sposób ten jest bardzo naturalny. Spośród \( n \) dostępnych bitów wyróżniamy jeden – umówmy się, że pierwszy z lewej – i rezerwujemy go na określenie znaku liczby. Pozostałe \( n-1 \) bitów reprezentuje moduł liczby w tradycyjny sposób omówiony powyżej. Jeśli pierwszy bit znaku jest równy \( 0 \), to liczba jest nieujemna, a jeśli \( 1 \), to jest niedodatnia.

Oto tabela 16 liczb 4-bitowych zakodowanych tą metodą:

Kod znak – moduł
Zauważmy, że podane kodowanie prowadzi do dość dziwnej sytuacji, że zero reprezentujemy na 2 sposoby: nieujemne zero (0000) i niedodatnie zero (1000). To dość duża wada tego systemu kodowania; w szczególności trzeba uważać porównując wartości dwóch liczb, żeby nie stwierdzić, że \( 0\neq-0 \), o co bardzo łatwo porównując tradycyjnie bit po bicie zawartości bitowe takich reprezentacji.

W kodzie tym dla liczb \( n \)-bitowych mamy zakres \( -2^{n-1}+1\ldots 2^{n-1}-1 \) i różnych liczb reprezentowanych jest w związku z tym \( 2^n-1 \).

Znak – moduł odwrotny

Sposób ten jest bardzo podobny do poprzedniego. Tak samo pierwszy bit oznacza znak, ale jeśli pierwszy bit jest 1 (co oznacza liczbę niedodatnią), to pozostałe \( n-1 \) bitów reprezentuje negatyw modułu liczby. Podobnie, jak poprzednio, jeśli pierwszy bit znaku jest równy \( 0 \), to liczba jest nieujemna, a jeśli \( 1 \), to jest niedodatnia.

Oto tabela 16 liczb 4-bitowych zakodowanych tą metodą w kodzie znak – moduł odwrotny:

Kod znak – moduł odwrotny
Zauważmy, że liczby nieujemne są reprezentowane dokładnie w taki sam sposób jak poprzednio, oraz że i tu podane kodowanie prowadzi do podwójnej reprezentacji zera. W kodzie tym dla liczb \( n \)-bitowych mamy ten sam zakres \( -2^{n-1}+1\ldots 2^{n-1}-1 \) i różnych liczb reprezentowanych jest w związku z tym \( 2^n-1 \).
Po co sobie utrudniać kodowanie przez branie odwrotności modułu? Okazuje się, że system ten jest wygodniejszy, przynajmniej jeśli chodzi o dodawanie. W systemie znak-moduł, aby dodać dwie liczby przeciwnych znaków trzeba by najpierw ustalić znak wyniku i zdecydować, od którego modułu odjąć który. Okazuje się, że w kodzie znak-moduł odwrotny wystarczy, nie przejmując się znakami, dodać bitowo reprezentacje i, jeśli ostatecznie pojawi się w przeniesieniu całego wyniku jedynka, dodać ją jeszcze raz do otrzymanego rezultatu.
Przykładowo dodajmy w kodzie znak-moduł odwrotny \( -4 \) do \( 6 \). Otrzymamy

     1011
     0110 
     -- --- 
(1)  0001

i teraz jedynkę przeniesienia \( (1) \) dodajemy do wyniku 0001 i otrzymujemy 0010, czyli reprezentację dwójki, czyli prawidłowego wyniku.

Kod uzupełnieniowy

Jest to najczęściej stosowany kod. Ma bardzo prostą interpretację – po prostu najstarszy bit \( n \)-bitowej reprezentacji traktujemy jako \( -2^{n-1} \), a pozostałe tradycyjnie jako wartości, kolejno \( 2^{n-2},\ldots,2^0 \). Popatrzmy, jak wygląda nasza tabela czterobitowych wartości zapisanych w kodzie uzupełnieniowym. Kolejno od lewej bity nają wartości \( -8,4,2,1 \).Z trzech młodszych bitów generujemy wszystkie wartości od 0 do 7, a jeśli włączymy bit \( -8 \), to dodanie do niego tych wartości da nam liczby od \( -8 \) do \( -1 \).

Kod uzupełnieniowy
W n-bitowym kodzie uzupełnieniowym mamy następujące własności:

• Wartości są z przedziału \( [-2^{n-1},2^{n-1}-1] \)
• Każda wartość jest reprezentowana jednoznacznie
• Liczb ujemnych jest o jeden więcej niż dodatnich
• \( 000\ldots 0 \) to zawsze \( 0 \), a \( 111\ldots 1 \) to zawsze \( -1 \)

Kod uzupełnieniowy ma jeszcze jedną miłą cechę: dodawanie w nim nie wymaga żadnych specjalnych czynności. Po prostu dodaje się bitowo reprezentacje i jeśli pojawia się bit przepełnienia, to się go ignoruje. Na przykład: jeśli chcemy dodać \( -4 \) do \( 6 \), to w naszym 4-bitowym systemie dostaniemy

     1100 (-4)
     0110 (6) 
     -- --- 
(2)  0010

Od tej pory, jeśli wyraźnie tego nie zaznaczymy, to będziemy używali reprezentacji uzupełnieniowej. Zapamiętajmy. Uwaga
We wszystkich stosowanych systemach liczby dodatnie reprezentuje się identycznie.
Powstaje jeszcze jeden problem. Co się dzieje, jeśli w wyniku wykonania jakiegoś działania wynik wyjdzie spoza zakresu reprezentowalności? Oczywiście cudów nie ma. Musimy pogodzić się z tym, że jakkolwiek to ustalimy, zawsze będzie możliwa taka właśnie sytuacja, że pewnych liczb, będących legalnymi wynikami działań, przedstawić się nie da. Mówimy w takiej sytuacji o problemie przepełnienia i uznajemy ją za błędną. Warto pamiętać jednak o jednej niezwykle istotnej rzeczy: niektóre systemy komputerowe nie zauważają sytuacji przepełnienia i wtedy może zajść dziwna sytuacja, w której np. dodanie dwóch liczb dodatnich daje ujemny wynik. Oto przykładowo w naszej reprezentacji 4-bitowej spróbujmy dodać \( 4 \) do \( 6 \). dostaniemy

     0100   (4)
     0110   (6) 
     -- --- 
 (0) 1010 (-6) 
<code> 
 
<p>Bit przeniesienia jest równy 0, ale wynik jest absurdalny. Czegóż innego jednak można się było spodziewać? Przecież liczby 10 nie umiemy w naszym czterobitowym systemie wyrazić. W rzeczywistości dodanie jedynki do największej liczby dodatniej w kodzie uzupełnieniowym (czyli do \( 0111\ldots 1 \) daje nam najmniejszą liczbę ujemną, czyli \( 1000\ldots 0 \), zatem cały reprezentowany przedział się w ten sposób zacykla. Te same uwagi dotyczą rzecz jasna innych działań. Rozpoznać sytuację przepełniania można automatycznie i wiele systemów to robi, ale są środowiska programistyczne, które przechodzą nad tym problemem do porządku dziennego i wykonują błędnie działania bez kontroli przepełnienia. </p>