Processing math: 0%

Moce

\def\NN{\mathbb{N}} \def\RR{\mathbb{R}} \def\r{\,r\,} \def\pot#1{{\sf P}(#1)} \def\la{\langle} \def\ra{\rangle} \def\poz{\vphantom{f}} \def\alz{\aleph_0} \def\C{{\mathfrak C}} \def\card#1{\overline{\overline{#1}}}

Zadanie 1

Jaka jest moc zbioru wszystkich odcinków o końcach wymiernych na prostej rzeczywistej?

Zadanie 2

Jaka jest moc zbioru wszystkich skończonych podzbiorów \NN?

Zadanie 3

Jaka jest moc zbioru ciągów liczb wymiernych stałych od pewnego miejsca?

Zadanie 4

Jakiej mocy jest podzbiór płaszczyzny ograniczony krzywymi o równaniach y = x^2 i y = 1 - x^2?

Zadanie 5

Niech A i B będą zbiorami mocy \C. Jakie są moce zbiorów A \cup B i A \times B?

Zadanie 6

Udowodnij, że jeśli moc każdego ze zbiorów A_t, dla t \in \RR, wynosi \C to zbiór \bigcup_{t \in \RR} A_t jest również mocy \C.

Zadanie 7

Jaka jest moc zbioru funkcji z \NN do \NN (a) nierosnących? (b) niemalejących?

Zadanie 8

Udowodnij, że jeśli A jest zbiorem nieskończonym, a B przeliczalnym to A \cup B \sim A. Wywnioskuj, że moc zbioru liczb niewymiernych jest \C.
Wskazówka: Każdy zbiór nieskończony ma podzbiór mocy \alz.

Zadanie 9

Niech A \subseteq \pot{\NN} będzie taką rodziną zbiorów, że dwa dowolne elementy tej rodziny są rozłączne. Jaka co najwyżej jest moc zbioru A ?

Zadanie 10

Niech A \subseteq \pot{\NN} będzie taką rodziną zbiorów, że dwa dowolne elementy tej rodziny mają co najwyżej jeden element wspólny. Jaka co najwyżej jest moc A ?

Zadanie 11

Niech A będzie taką rodziną przedziałów na prostej rzeczywistej, że dowolne dwa przedziały z tej rodziny są rozłączne. Udowodnij, że A jest przeliczalna.

Zadanie 12

Punkt x jest właściwym maksimum lokalnym funkcji f:\RR \to \RR jeśli

\exists \epsilon\! >\! 0\, \forall y \not = x \quad (|y-x|<\epsilon \Rightarrow f(y) < f(x))

Czy zbiór ekstremów lokalnych funkcji ciągłej z \RR w \RR może być nieprzeliczalny?

Zadanie 13

Niech f : \RR^3 \to \RR. Udowodnij, że istnieje takie x\in \RR, że zbiór f\poz^{-1}(\{x\}) nie zawiera żadnej kuli.

Zadanie 14

Jaka jest moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z \RR w \RR?

Zadanie 15

Jaka jest maksymalna moc zbioru punktów nieciągłości funkcji niemalejącej z \RR w \RR?