\(\def\NN{\mathbb{N}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\r{\,r\,}
\def\pot#1{{\sf P}(#1)}
\def\la{\langle}
\def\ra{\rangle}
\def\poz{\vphantom{f}}
\def\alz{\aleph_0}
\def\C{{\mathfrak C}}
\def\card#1{\overline{\overline{#1}}}
\)
Jaka jest moc zbioru wszystkich odcinków o końcach wymiernych na prostej rzeczywistej?
Jaka jest moc zbioru wszystkich skończonych podzbiorów \(\NN\)?
Jaka jest moc zbioru ciągów liczb wymiernych stałych od pewnego miejsca?
Jakiej mocy jest podzbiór płaszczyzny ograniczony krzywymi o równaniach \(y = x^2\) i \(y = 1 - x^2\)?
Niech \(A\) i \(B\) będą zbiorami mocy \(\C\). Jakie są moce zbiorów \(A \cup B\) i \(A \times B\)?
Udowodnij, że jeśli moc każdego ze zbiorów \(A_t\), dla \(t \in \RR\), wynosi \(\C\) to zbiór \(\bigcup_{t \in \RR} A_t\) jest również mocy \(\C\).
Jaka jest moc zbioru funkcji z \(\NN\) do \(\NN\) (a) nierosnących? (b) niemalejących?
Udowodnij, że jeśli \(A\) jest zbiorem nieskończonym, a \(B\) przeliczalnym to \(A \cup B \sim A\). Wywnioskuj, że moc zbioru liczb niewymiernych jest \(\C\).
Wskazówka: Każdy zbiór nieskończony ma podzbiór mocy \(\alz\).
Niech \(A \subseteq \pot{\NN}\) będzie taką rodziną zbiorów, że dwa dowolne elementy tej rodziny są rozłączne. Jaka co najwyżej jest moc zbioru \(A\) ?
Niech \(A \subseteq \pot{\NN}\) będzie taką rodziną zbiorów, że dwa dowolne elementy tej rodziny mają co najwyżej jeden element wspólny. Jaka co najwyżej jest moc \(A\) ?
Niech \(A\) będzie taką rodziną przedziałów na prostej rzeczywistej, że dowolne dwa przedziały z tej rodziny są rozłączne. Udowodnij, że \(A\) jest przeliczalna.
Punkt \(x\) jest właściwym maksimum lokalnym funkcji \(f:\RR \to \RR\) jeśli
Niech \(f : \RR^3 \to \RR\). Udowodnij, że istnieje takie \(x\in \RR\), że zbiór \(f\poz^{-1}(\{x\})\) nie zawiera żadnej kuli.
Jaka jest moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z \(\RR\) w \(\RR\)?
Jaka jest maksymalna moc zbioru punktów nieciągłości funkcji niemalejącej z \(\RR\) w \(\RR\)?