Zadanie 1
Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka \([0,1]\), w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu mając daną jego dystrybuantę?
Zadanie 2
Oblicz wariancję rozkładu wykładniczego.
Zadanie 3
Uzasadnij nieformalne stwierdzenie, że rozkład wykładniczy jest "ciągłą wersją" rozkładu geometrycznego. W tym celu porównaj dystrybuanty tych rozkładów.
Zadanie 4 (brak pamięci)
Pokaż, że zmienna losowa \(X\) o wartościach nieujemnych spełnia warunek \(P( X > s+t | X>t ) = P( X > s )\) dla wszystkich rzeczywistych \(s, t \ge 0\) wtw, gdy \(X\) ma rozkład wykładniczy.
Zadanie 5
Oblicz wariancję rozkładu normalnego.
Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)
Niech \(X_1,...,X_n\) niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, \(X_i \sim \textrm{Exp}(\theta_i)\). Pokaż, że \(X=\min{X_i}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\theta_1+..+\theta_n\). Niech \(I\) będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że \(P(I=k) = \theta_k/(\theta_1+...+\theta_n)\). Pokaż też, że zmienne \(X\) i \(I\) są niezależne.