Informatyka MIMUW

Zadanie 1

Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka $[0,1]$, w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu mając daną jego dystrybuantę?

Zadanie 2

Oblicz wariancję rozkładu wykładniczego.

Zadanie 3

Uzasadnij nieformalne stwierdzenie, że rozkład wykładniczy jest "ciągłą wersją" rozkładu geometrycznego. W tym celu porównaj dystrybuanty tych rozkładów.

Zadanie 4 (brak pamięci)

Pokaż, że zmienna losowa $X$ o wartościach nieujemnych spełnia warunek $P( X > s+t | X>t ) = P( X > s )$ dla wszystkich rzeczywistych $s, t \ge 0$ wtw, gdy $X$ ma rozkład wykładniczy.

Zadanie 5

Oblicz wariancję rozkładu normalnego.

Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)

Niech $X_1,...,X_n$ niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, $X_i \sim \textrm{Exp}(\theta_i)$. Pokaż, że $X=\min{X_i}$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $\theta_1+..+\theta_n$. Niech $I$ będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że $P(I=k) = \theta_k/(\theta_1+...+\theta_n)$. Pokaż też, że zmienne $X$ i $I$ są niezależne.