Informatyka MIMUW

Definicje rekurencyjne

---

Definicja rekurencyjna (indukcyjna):

• nieformalnie - taka definicja, która odwołuje się do samej siebie - ale trzeba tu uważać, by odwołanie było do instancji o mniejszej komplikacji,

• zwykle chodzi o ciąg $\langle a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots \rangle$, - dla którego przepis na element $a_n$ wykorzystuje jakieś poprzednie elementy: $a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots$ itp.,

• początkowy element (lub kilka początkowych) muszą być zadane konkretnie - żeby było od czego zacząć,

• zwykle definicja rekurencyjna odwołuje się do jednego lub kilku poprzednich elementów, ale może też odwoływać się do wszystkich poprzednich.

Przykład

Silnia liczby $n$ (zapisywana jako $n!$) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od $1$ do $n$, czyli

$n!=n(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.$

Przyjmuje się że $0!=1$. Oto wartości silni dla kilku początkowych liczb naturalnych

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \cdots \\ \hline n! & 1 & 1 & 2 & 6 & 24 & 120 & 720 & 5040 & 40320 & \cdots \\ \hline \end{array}$

Ciąg $0!, 1!, 2!, 3!, 4!,\ldots$ aby mógł być precyzyjnie rozumiany np. przez komputer, powinien być zadany rekurencyjnie jako:

$\begin{align*} s_0 & = 1 \\ s_{n} & = n \cdot s_{n-1} \quad dla \quad n\geq 1. \end{align*}$

Ponieważ pierwszy wyraz jest zadany, to możemy kolejno obliczać:

$\begin{align*} s_0 & = 1 \\ s_1 & = 1 \cdot s_{0} = 1 \cdot 1 = 1 \\ s_2 & = 2 \cdot s_{1} = 2 \cdot 1 = 2 \\ s_3 & = 3 \cdot s_{2} = 3 \cdot 2 = 6 \\ s_4 & = 4 \cdot s_{3} = 4 \cdot 6 = 24 \\ \ldots \end{align*}$

Przykład

Jaki ciąg jest zdefiniowany poprzez małą modyfikację w definicji silni?

$\begin{align*} s_0 & = 0 \\ s_{n} & = n \cdot s_{n-1}\quad {dla}\quad n\geq 1 \end{align*}$

A co definiują następujące określenia:

$\begin{align*} s_0 & =\frac{1}{2} \\ s_{n} & = n \cdot s_{n-1} \quad {dla}\quad n\geq 1 \end{align*}$

oraz

$\begin{align*} s_0 & = 1 \\ s_{n} & = n \cdot s_{n-2} \quad {dla}\quad n\geq 2. \end{align*}$

W ostatnim przypadku widać, że ponieważ odwołanie jest dwa wyrazy wstecz, to już wyliczenie pierwszego wyrazu $s_1$ staje się niemożliwe.

Ciąg arytmetyczny

Przykład

W ciągu zadanym poprzez równania:

$\begin{align*} s_0 & = 0 \\ s_{n} & = s_{n-1}+2 \quad {dla}\quad n\geq 1 \end{align*}$

łatwo rozpoznać kolejne liczby parzyste:

$s_n = 2n.$

Ogólnie ciąg zadany poprzez ustalenie $a_0$ oraz

$a_n = a_{n-1} + r$

to tzw. ciąg arytmetyczny.
Jego $n$-ty wyraz dany jest wzorem:

$a_n = a_0 + n\cdot r.$

Aby to uzasadnić, pokazujemy indukcyjnie, że:

$a_0 + 0\cdot r = a_0 \quad\textrm{jest rzeczywiście zerowym wyrazem ciągu}$

oraz

$a_0 + n\cdot r = (a_0 + (n-1)r) + r = a_{n-1}+r = a_n$

Ciąg geometryczny

Przykład

W ciągu zadanym poprzez równania:

$\begin{align*} s_0 & = 1 \\ s_{n} & = 2\cdot s_{n-1} \quad {dla}\quad n\geq 1 \end{align*}$

łatwo rozpoznać kolejne potęgi liczby $2$:

$s_n = 2^n.$

Ogólnie ciąg zadany poprzez ustalenie $a_0$ oraz zadanie

$a_n = q\cdot a_{n-1}$

to tzw. ciąg geometryczny.
Jego $n$-ty wyraz dany jest wzorem:

$a_n = a_0 \cdot q^n.$

Aby to uzasadnić, pokazujemy indukcyjnie, że:

$a_0 \cdot q^0 = a_0 \cdot 1 = a_0 \quad\textrm{jest rzeczywiście zerowym wyrazem ciągu}$

oraz

$a_0 \cdot q^n = (a_0 \cdot q^{n-1})\cdot q = a_{n-1}\cdot q = a_n.$

Wieże Hanoi

U zarania czasu Bóg umieścił 64 złote krążki na jednej z trzech diamentowych iglic tak, że krążki wyżej umieszczone miały mniejsze promienie.

Następnie Bóg polecił grupie mnichów przełożenie tych krążków na trzecią iglicę $(C)$, ale tak by:

• w jednym ruchu przenosić tylko jeden krążek,

• krążek większy nigdy nie może leżeć na krążku mniejszym,

• można posługiwać się iglicą $B$.

Mnisi pracują od zarania dziejów dzień i noc ... .Ile czasu im to zajmie?

Wieże Hanoi - analiza

Przykład (E.Lucas, 1883)

By obliczyć ilość potrzebnych do wykonania ruchów, przeanalizujmy najpierw małe przypadki:
Łatwo zauważyć, że dla 1 krążka potrzebny jest jeden ruch: $A \to C$
Podobnie dla dwu krążków możemy postąpić: $A \to B, \ \ A \to C, \ \ B \to C$
Przy 3 krążkach postępujemy tak:

• najpierw przenosimy dwa górne krążki na iglicę $B$ posługując się iglicą $C$:

$A \to C, \ \ A \to B, \ \ C \to B$

• przenosimy największy krążek z $A$ na $C$:

$A \to C$

• przenosimy krążki z $B$ na $C$ posługując się iglicą $A$:

$B \to A, \ \ B \to C, \ \ A \to C$

co pokazuje, że potrzeba tu 7 ruchów.
Czy już wiesz jak rozwiązać to zadanie w ogólności (dla $n$ krążków)?
Oznaczmy przez $H_n$ liczbę ruchów potrzebnych do przeniesienia $n$ krążków z jednej iglicy na drugą. Wiemy już, że:

$\begin{align*} H_1 & = 1 \\ H_2 & =3 \\ H_3 & =7 \end{align*}$

Aby przenieść $n$ krążków z $A$ na $C$ możemy postąpić podobnie jak w przypadku 3 krążków, redukując zadanie do:

• przenosimy $n-1$ górnych krążków na iglicę $B$ posługując się iglicą $C$ - potrzeba na to $H_{n-1}$ ruchów

• przenosimy największy krążek z $A$ na $C$ - to tylko jeden ruch

• przenosimy $n-1$ krążków z $B$ na $C$ posługując się iglicą $A$ - znów potrzeba na to $H_{n-1}$ ruchów

A zatem

$H_n = H_{n-1} +1 + H_{n-1} = 2\cdot H_{n-1} +1$

Ile wobec tego wynosi $H_{64}$?

Mamy więc równanie rekurencyjne

$\begin{align*} H_1 & = 1 \\ H_{n} & = 2\cdot H_{n-1}+1 \quad \textrm{dla}\quad n\geq 2 \end{align*}$

bardzo podobne do ciągu geometrycznego.
Możemy policzyć kilka jego wyrazów:

$1, \ \ 3, \ \ 7, \ \ 15, \ \ 31, \ \ 63, \ \ 127, \ldots$

i rozpoznać w nim ciąg potęg dwójki zmniejszonych o 1.

Ale czy rzeczywiście $H_n = 2^n -1$?

I znów, aby się upewnić, że nasze odgadnięcie było poprawne, sprawdzamy indukcyjnie, że

$2 \cdot H_{n-1} + 1= 2 \cdot (2^{n-1}-1) +1 = 2\cdot 2^{n-1} -2 +1 = 2^n -1 = H_n$

co oznacza, że rzeczywiście ciąg $2^n-1$ spełnia równanie rekurencyjne, którym zadany jest ciąg $H_n$.
A wiec $H_{64} =2^{64}-1 \approx 100~000~000~000~000~000~000$, co przy przenoszeniu jednego krążka na sekundę zajmie ponad $3~000~000~000~000$ lat, a przenosząc te krążki "komputerem" 3GHz potrzeba będzie... i tak ponad tysiąc lat!

Przykład

Znajdź postać zwartą zadanych ciągów rozwijając równanie rekurencyjne:

$\begin{align*} a_0 & =2, \\ a_{n+1} & =a_n^2. \end{align*}$

Wskazówka:
Policz kilka pierwszych wyrazów ciągu:

$a_n = a_{n-1}^2=a_{n-2}^4=a_{n-3}^8= \ldots =a_0^{2^n}=2^{2^n}.$

Przykład

Jaka jest największa możliwa liczba $l_n$ obszarów wyznaczonych przez $n$ prostych na płaszczyźnie?

Sprawdźmy najpierw kilka pierwszych wartości.

• Gdy nie ma żadnej prostej obszar jest jeden.

• Jedna prosta tworzy zawsze dwa różne obszary.

• Kładąc drugą prostą (byle nie równoległą do pierwszej) otrzymujemy $4$ obszary.

W tym momencie możemy pokusić się o zgadywanie i przypuścić, że $l_n=2^n$. Jednakże

• Dla trzech prostych jest to $7$.

Zauważmy, że nowa prosta zwiększa ilość obszarów o $k$ jeśli przecina dokładnie $k-1$ z poprzednich prostych i to w nowych punktach przecięć. Z drugiej strony dwie proste mogą się przeciąć w co najwyżej jednym punkcie i przecinają się o ile nie są równolegle. Widzimy zatem, że najwięcej obszarów dostaniemy kładąc kolejne proste w ten sposób aby żadne dwie nie były równoległe i żadne trzy nie przecinały się w jednym punkcie. Otrzymujemy następujące równanie rekurencyjne:

$\begin{align*} l_0 & =1, \\ l_{n+1} & =l_n+n. \end{align*}$

Ponownie rozwiążemy równanie rozwijając je:

$\begin{align*} l_n & =l_{n-1}+n=l_{n-2}+(n-1)+n=l_{n-3}+(n-2)+(n-1)+n=\ldots \\ & =l_0+1+2+\ldots+n=1+\frac{n(n+1)}{2}, \end{align*}$

gdzie ostatnia równość wynika z - już udowodnionego - wzoru na sumę kolejnych liczb naturalnych.