Informatyka MIMUW

Grafy planarne

Graf płaski to para: $\mathbf{\overline{G}}=( \overline{V},\overline{E} )$, gdzie

• $\overline{V}$ jest jakimś zbiorem punktów płaszczyzny $\mathbb{R}^2$,
• $\overline{E}$ jest zbiorem nie przecinających się odcinków lub łuków w $R^2$ o końcach w zbiorze $\overline{V}$.

Graf planarny to graf, który jest prezentowalny jako graf płaski.

Obserwacja 14.1

Grafy $\mathcal{K}_{5}$ i $\mathcal{K}_{3,3}$ nie są planarne.

Dowód

Graf $\mathcal{K}_{3,3}$ ma sześcio-elementowy cykl Hamiltona $H$. Musi on być narysowany w dowolnej płaskiej prezentacji. Przykładowe umiejscowienie tego cyklu prezentuje rysunek Grafy k33.

Spośród krawędzi $v_1 v_4$ i $v_2 v_5$ jedna musi leżeć wewnątrz cyklu a druga musi leżeć na zewnątrz. W konsekwencji nie da się narysować krawędzi $v_3 v_0$ nie przecinając krawędzi $v_1 v_4$ lub $v_2 v_5$.

Dowód dla $\mathcal{K}_{5}$ jest analogiczny, rozpoczynając od pięcio-elementowego cyklu Hamiltona.

Z Obserwacji 14.1 natychmiast wynika, że żaden graf zawierający $\mathcal{K}_{5}$ lub $\mathcal{K}_{3,3}$ nie jest planarny. Ale również graf powstały np. z $\mathcal{K}_{5}$ poprzez umieszczenie na jednej krawędzi dodatkowego wierzchołka nie jest planarny mimo, że nie zawiera podgrafu $\mathcal{K}_{5}$ ani $\mathcal{K}_{3,3}$. Dla scharakteryzowania grafów planarnych potrzebne nam będzie następujące pojęcie homeomorficzności grafów.

Graf $\mathbf{G}_1$ jest homeomorficzny z grafem $\mathbf{G}_2$, jeśli jeden otrzymamy z drugiego poprzez wykonanie skończenie wielu poniższych operacji:

• Dodawanie wierzchołków stopnia dwa na krawędzi.
  Jeśli $uw\in{\sf E}\!(\mathbf{G}_1)$ oraz $x\not\in{\sf V}\!(\mathbf{G}_1)$, to operacja ta zastępuje graf $( {\sf V}\!(\mathbf{G}_1),{\sf E}\!(\mathbf{G}_1) )$ grafem $( {\sf V}\!(\mathbf{G}_1)\cup\lbrace x \rbrace,{\sf E}\!(\mathbf{G}_1)\cup\lbrace ux,xw \rbrace-\lbrace uw \rbrace )$.
• Usuwanie wierzchołków stopnia dwa.
  Jeśli $x\in{\sf V}\!(\mathbf{G}_1)$ ma jedynie dwóch sąsiadów $u,w$, to operacja ta zastępuje graf $( {\sf V}\!(\mathbf{G}_1),{\sf E}\!(\mathbf{G}_1) )$ grafem $( {\sf V}\!(\mathbf{G}_1)-\lbrace x \rbrace,{\sf E}\!(\mathbf{G}_1)\cup\lbrace uw \rbrace-\lbrace ux,xw \rbrace )$.

Przykład

Grafy $\mathbf{G},\mathbf{G}'$ przedstawione na rysunku Grafy homeomorficzne są ze sobą homeomorficzne, zaś $\mathbf{G}''$ nie jest homeomorficzny ani z $\mathbf{G}$ ani z $\mathbf{G}'$.

Następne twierdzenie podaje prostą charakteryzację grafów planarnych. Niestety dowód tego twierdzenia nie jest prosty i go pominiemy.

Twierdzenie 14.2 [Kuratowski 1930]

Graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden jego podgraf nie jest homeomorficzny z $\mathcal{K}_{5}$ ani z $\mathcal{K}_{3,3}$.

Kolejne charakterystyka grafów planarnych odwołuje się do znanego nam już pojęcia sciągalności, lub grafu ilorazowego. Przypomnijmy, że

• iloraz grafu $\mathbf{G}$ przez relację równoważności $\theta\subseteq V\times V$ na zbiorze jego wierzchołków to graf postaci

$\mathbf{G}/\theta=( V/\theta,\lbrace \lbrace v/\theta,w/\theta \rbrace:\lbrace v,w \rbrace\in E \rbrace ),$

• ściągnięcie zbioru wierzchołków $X\subseteq V$ w grafie $\mathbf{G}$ to szczególny przypadek ilorazu $\mathbf{G}/\theta$, w którym klasy równoważności wszystkich wierzchołków spoza $X$ są jednoelementowe, a $X$ stanowi dodatkową klasę, tzn. $V/\theta=\lbrace \lbrace v \rbrace:v\in V- X \rbrace\cup\lbrace X \rbrace$. W ten sposób zbiór $X$ został ściągnięty do punktu, którego sąsiadami są sąsiedzi jakiegokolwiek wierzchołka z $X$. Z drugiej strony, jeśli $\theta\subseteq V\times V$ jest relacją równoważności o klasach $X_1,\ldots,X_k$, to ściągając w grafie $\mathbf{G}$ kolejno zbiory $X_1,\ldots,X_k$ otrzymamy graf ilorazowy $\mathbf{G}/\theta$.

Dowód charakteryzacji grafów planarnych w terminach ściągalności również pomijamy. Grafy sciagalne k33

Twierdzenie 14.3

Graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu ściągalnego do $\mathcal{K}_{5}$ lub $\mathcal{K}_{3,3}$.

Przykład

W grafie przedstawionym na rysunku Grafy ściagalne k33 ściągnięcie zbiorów wierzchołków otoczonych przerywaną linią prowadzi do grafu zawierającego $\mathcal{K}_{3,3}$. A więc, na mocy Twierdzenia 14.3, graf ten nie jest planarny.

W grafach płaskich poza wierzchołkami oraz krawędziami można rozważać również ściany, czyli obszary płaszczyzny otoczone krawędziami.

Ściana w grafie płaskim $\mathbf{G}$ to spójny obszar płaszczyzny po usunięciu linii reprezentujących krawędzie, tzn. $R^2-\bigcup{\sf E}\!(\mathbf{G})$. Innym słowy ściana to zbiór punktów płaszczyzny, które da się połączyć krzywą nieprzecinającą żadnej krawędzi.

Ściana $f_0$ w grafie z rysunku Graf o czterech ścianach jest ścianą nieograniczoną, która nazywana jest też ścianą nieskończoną. Nie tylko ten graf, ale wszystkie grafy płaskie mają dokładnie jedną ścianę nieskończoną. Zauważmy, że las jest grafem planarnym, ale w żadnej reprezentacji płaskiej nie posiada ścian ograniczonych. Tak więc posiada w ogóle tylko jedną ścianę. Tym samym, następne twierdzenie jest uogólnieniem związku $\vert E \vert=\vert V \vert-k$ między liczbą wierzchołków, krawędzi i drzew (tzn. spójnych składowych) w lesie.

Twierdzenie 14.4 [Euler 1750]

W grafie płaskim $\mathbf{G}=( V,E )$ o $f$ ścianach i $k\geq 1$ składowych spójnych zachodzi

$\vert V \vert-\vert E \vert+f=k+1.$

Dowód

Dowód poprowadzimy indukcją ze względu na liczbę krawędzi. Jeżeli graf $\mathbf{G}$ jest pusty to $\vert E \vert=0,k=\vert V \vert,\ f=1$, które to wartości spełniają podaną równość. Załóżmy, że $\vert E \vert>1$. Wybierzmy dowolną krawędź $uv\in E$. Jeżeli $uv$ nie leży na żadnym cyklu grafu $\mathbf{G}$, to usunięcie $uv$ zwiększy o $1$ liczbę składowych ale nie zmieni liczby ścian. Tak więc, na mocy założenia indukcyjnego, $\vert V \vert-(\vert E \vert-1)+f=(k+1)+1$, co daje żądaną równość. Załóżmy więc, że $uv$ leży na jakimś cyklu $C$. Tym samym $uv$ jest granicą pomiędzy dwoma różnymi ścianami, jako że dowolna krzywa przechodząca z jednej strony na drugą stronę granicy wyznaczonej przez krawędź $uv$ musi przecinać jakąś krawędź z cyklu $C$. Tak więc usunięcie krawędzi $uv$ zmniejszy liczbę ścian o jeden. Ale teraz usunięcie krawędzi $uv$ nie zmienia liczby składowych. Założenie indukcyjne daje nam więc $\vert V \vert-(\vert E \vert-1)+(f-1)=k+1$, czyli żądaną równość dla grafu $\mathbf{G}$.

Uwaga

Ważną konsekwencją Twierdzenia 14.4 jest to, że liczba ścian zależy jedynie od liczby wierzchołków, krawędzi, oraz spójnych składowych. Tak więc w każdej reprezentacji płaskiej musi być taka sama.

Uzasadnienie dwu kolejnych wniosków z Twierdzenia 14.4 pozostawiamy jako ćwiczenie.

Wniosek 14.5

Jeśli $\mathbf{G}=( V,E )$ jest spójnym grafem planarnym o co najmniej $3$ wierzchołkach, to

$\vert E \vert\leq 3\vert V \vert-6.$

Wniosek 14.6

Spójny graf planarny o $\vert V \vert\geq1$ posiada wierzchołek o stopniu nie większym niż $5$.

Graf (w kolorze czerwono-niebieskim) oraz graf do niego dualny geometrycznie (w kolorze żółto-szarym)

Graf dualny geometrycznie do grafu płaskiego $\mathbf{G}=( V,E )$ to graf płaski $\mathbf{G}^*=( V^*,E^* )$ skonstruowany w następujący sposób:

• Z każdej ściany grafu $\mathbf{G}$ wybieramy po jednym punkcie. Tak wybrane punkty tworzą zbiór wierzchołków $V^*$.
• Jeśli krawędź po jednej stronie sąsiadowała ze ścianą $f_1$, a po drugiej z $f_2$ to w grafie $\mathbf{G}^*$ odpowiadające ścianom $f_1,f_2$ wierzchołki $v_1^*,v_2^*$ łączymy krawędzią $v_1^*v_2^*$. Tak wybrane krawędzie tworzą zbiór $E^*$.

Twierdzenie 14.7

Jeśli $\mathbf{G}$ jest spójnym grafem płaskim, to $\mathbf{G}^{**}$ jest izomorficzny z $\mathbf{G}$.

Dowód

Każda ściana grafu $\mathbf{G}^{*}$ reprezentowana jest jednym wierzchołkiem $\mathbf{G}^{**}$. Z drugiej strony, w każdej ścianie grafu $\mathbf{G}^{*}$ znajduje się dokładnie jeden wierzchołek grafu $\mathbf{G}$. Ponadto, jeśli wierzchołki $v_1,v_2$ grafu $\mathbf{G}$ są sąsiednie, to ściany $f_1^*,f_2^*$ grafu $\mathbf{G}^{*}$ zawierające odpowiednio $v_1$ i $v_2$ graniczą ze sobą. To kolei oznacza, że wierzchołki $v_1^{**},v_2^{**}$ grafu $\mathbf{G}^{**}$ odpowiadające ścianom $f_1^*$ oraz $f_2^*$ są sąsiednie. Oczywiście, przy przejściu z $\mathbf{G}$ do $\mathbf{G}^{*}$ i potem do $\mathbf{G}^{**}$ wierzchołki $v_1$ i $v_2$ przechodzą w $v_1^{**},v_2^{**}$. Analogicznie jeżeli $v_1^{**}$ jest połączony krawędzią z $v_2^{**}$ w $\mathbf{G}^{**}$, to i również $v_1$ z $v_2$ w $\mathbf{G}$.

Twierdzenie 14.8

Niech $\mathbf{G}^*$ będzie grafem geometrycznie dualnym do grafu płaskiego $\mathbf{G}$. Wtedy podzbiór $C$ krawędzi grafu $\mathbf{G}$ jest cyklem w grafie $\mathbf{G}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru $C$ jest rozcięciem grafu $\mathbf{G}^*$.

Dowód

Niech $C$ będzie cyklem w grafie $\mathbf{G}$. W grafie płaskim cykl dzieli płaszczyznę $\mathbb{R}^2$ na dwie spójne części $A_1$ oraz $A_0$, przy czym załóżmy, że $A_1$ jest ograniczona przez $C$, a $A_0$ jest nieograniczona. Niech $f_1$ będzie dowolną ścianą we wnętrzu $A_1$, zaś $f_0$ ścianą nieskończoną, czyli zawartą w $A_0$ a $v_1^*,v_0^*$ niech będą odpowiadającymi tym ścianom punktami grafu dualnego $\mathbf{G}^*$. Tak więc, $v_1^*\in A_1$, a $v_0^*\in A_0$. A zatem dowolnie wybrana droga $P$ z $v_1^*$ do $v_0^*$ musi przeciąć cykl $C$ co najmniej raz. Przecinające się krawędzie, jedna z drogi $P$ i druga z cyklu $C$, są wzajemnie dualne (przy przejściu z $\mathbf{G}$ do $\mathbf{G}^{*}$ i z powrotem do $\mathbf{G}^{**}\approx \mathbf{G}$). Tak więc, zbiór $C^*$ krawędzi dualnych do krawędzi z cyklu $C$ tworzy zbiór rozspajający wierzchołki $v_1^*,v_0^*$.

Pokażemy, że zbiór $C^*$ jest rozcięciem, czyli minimalnym zbiorem rozspajającym. Zmniejszenie $C^*$ powstaje oczywiście poprzez zmniejszenie zbioru $C$. Usunięcie jednakże krawędzi $e$ z $C$, powoduje połączenie obszaru $A_1$ z obszarem $A_0$. Pozwala to tworzyć krzywe łączące dowolne dwa punkty $A_0\cup A_1$ i nie przecinające krawędzi ze zbioru $C-\lbrace e \rbrace$. W konsekwencji pozwala to na tworzenie ścieżek między dowolnymi wierzchołkami grafu $\mathbf{G}^*$ omijając krawędzie z $C-\lbrace e \rbrace$.

Dowód implikacji w drugą stronę jest analogiczny.