to jeden z działów matematyki badający własności obiektów algebraicznych zwanych grupami. Wraz z zastosowaniami stanowi on obecnie ogromną, autonomiczną dziedzinę wiedzy. Historyczne korzenie teorii to: rozwiązywanie równań algebraicznych, teoria liczb oraz geometria. Euler, Gauss, Lagrange, Abel i Galois byli pionierami badań w tej dziedzinie. W szczególności, Galois jest uważany za pierwszego matematyka, 2który powiązał teorię grup z teorią ciał.
Grupa to uporządkowana czwórka G=(G,∗,′,e), gdzie G jest dowolnym zbiorem niepustym, ∗ działaniem dwuargumentowym, ′ jest działaniem jednoargumentowym, a e∈G, przy czym, dla dowolnych x,y,z∈G, spełnione sa następujące warunki:
Rząd grupy skończonej G=(G,∗,e) to liczba |G| jej elementów. Gdy grupa G nie jest skończona, to mówimy, że ma rząd nieskończony.
Uwaga
Czasem w grupie nie podaje się w sposób jawny elementu neutralnego lub jednoargumentowego działania zwracającego element odwrotny. Zobaczymy, że takie postępowanie jest uprawnione, bo zarówno element neutralny jak i element odwrotny do jakiegoś x, jeśli istnieje to jest jedyny.
Przykład
Z=(Z,+,0), czyli zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i elementem neutralnym 0, jest grupą. Rzeczywiście:
Przykład
Dla dowolnej liczby naturalnejn≥1, zbiór reszt modulo n wraz z dodawaniem modulo n, tzn. Zn=(Zn,+,0) jest grupą. Rzeczywiście:
Przykład
Sn=(Sn,∘) jest grupą, gdzie Sn to zbiór permutacji zbioru Zn={0,…,n−1}, a ∘ to składanie permutacji. Rzeczywiście:
Przykład
Gdy Z∗p=Zp−{0}={1,…,p−1} oraz p jest liczba pierwszą, to Z∗p=(Z∗p,⋅,1) jest grupą, gdzie działanie ⋅ to mnożenie modulo p. Rzeczywiście:
Liczba p byłaby więc rozkładzie ab=p1⋅…⋅pk, co jest niemożliwe wobec pi≤max.
(ab \ {\sf mod} \ p )\cdot c \ {\sf mod} \ p =a\cdot(bc \{ {\sf mod} \ p ) \ {\sf mod} \ p .
Z pierwszości p mamy {\sf NWD}(a,p)=1 zatem istnieją x,y takie, że xa+yp=1 , czyli xa \ {\sf mod}\ p =1 . To oznacza, iż x \ {\sf mod} \ p jest elementem odwrotnym do a w {\mathbf {Z}_p^*} .
Można też, używając Małego Twierdzenia Fermata sprawdzić, że elementem odwrotnym do a jest
Przykład
Rozważmy trójkąt równoboczny z poetykietowanymi wierzchołkami
oraz wybrane przekształcenia tego trójkąta pozostawiające go w tym samym miejscu płaszczyzny:
Wtedy ({\{ {i,p,l,x,y,z} \} },\circ, i) jest grupą, gdzie \circ jest składaniem przekształceń.
{\{ {i,p,l,x,y,z} \} } .
\begin{array} {|c|cccccc|} \hline \circ & i & p & l & x & y & z \\ \hline i & i & p & l & x & y & z \\ p & p & l & i & y & z & x \\ l & l & i & p & z & x & y \\ x & x & z & y & i & l & p \\ y & y & x & z & p & i & l \\ z & z & y & x & l & p & i \\ \hline \end{array}
Zauważmy, że w każdym wierszu (i każdej kolumnie) występuje i , skąd też można wywnioskować istnienie elementów odwrotnych.
Obserwacja 4.1 [prawo skracania]
Dla grupy (G,*,e) i x,y,z\in G mamy:
Dowód
Z uwagi na symetrię, pokażemy jedynie pierwszy punkt. Załóżmy zatem, że x*y=x*z i niech x' będzie elementem odwrotnym do x . Wtedy y = 1*y =(x'*x)*y = x'*(x*y) = x'*(x*z) = (x'*x)*z = 1*z=z .
Obserwacja 4.2
Jeśli (G,*,e) jest grupą i a,b\in G , to równanie
a*x=b
ma dokładnie jedno rozwiązanie x w G .
Dowód
Niech a' będzie elementem odwrotnym do a w (G,*) . Wtedy x=a'*b jest rozwiązaniem równania, gdyż
a*(a'*b)=(a*a')*b=e*b=b.
Dla dowodu jednoznaczności załóżmy, że x_0 i x_1 są rozwiązaniami naszego równania. Wtedy mamy a*x_0=a*x_1 i z lewostronnego prawa skracania x_0=x_1 .
Wniosek 4.3
Każda grupa ma dokładnie jeden element spełniający warunki elementu neutralnego oraz każdy jej element ma dokładnie jeden element odwrotny.
Dowód
Niech (G,*,e) będzie grupą i a\in G . Element neutralny e jest jedynym rozwiązaniem równania e*x=e . Element odwrotny do a jest jedynym rozwiązaniem a*x=e .
W dalszych rozważaniach o abstrakcyjnych grupach porzucimy ornamentyczny symbol * i będziemy się posługiwać notacją multiplikatywną. Zatem dla dowolnego x,y\in G , gdzie {\mathbf G} jest grupą
Pamietajmy, że symbol 1 w większości wypadków nie oznacza dobrze znanej liczby 1\in\mathbb{N} . Podobnie nie możemy zakładać, iż działanie \cdot zachowuje prawa zwykłego mnożenia. W szczególności xy=yx zachodzi dalece nie w każdej grupie (np. nie zachodzi w grupie {\mathbf S}_n dla n>2 ).
Grupa abelowa to {\mathbf G}=(G,\cdot ,1), w której działanie \cdot jest przemienne tzn. dla dowolnych x,y\in G mamy
xy=yx.
Nazwa grup abelowych pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie.
Przykład
Grupy {\mathbf {Z}}_n i {\mathbf {Z}}_p^* są abelowe, gdyż tak dodawanie, jak i mnożenie modularne jest przemienne.
Grupa przekształceń trójkąta równobocznego ({\{ {i,p,l,x,y,z} \} },\circ,i) nie jest abelowa, gdyż np. xp\neq px .
W naturalny sposób w notacji multiplikatywnej definiujemy rekurencyjnie:
Dodatnie i ujemne potęgi elementu x w grupie {\mathbf G}=(G,\cdot,1)
\begin{align*} x^0 & =1, \\ x^{n+1} & =x^n\cdot x, \\ x^{-n} & =(x^n)^{-1}. \end{align*}
Obserwacja 4.4
Dla dowolnej grupy {\mathbf G}=(G,\cdot,1) , x\in G i m,n\in\mathbb{Z} zachodzi
1^m=1,\qquad x^{m+n}=x^mx^n,\qquad x^{mn}=(x^m)^n.
Jeśli {\mathbf G} jest abelowa i x,y\in G , to
(xy)^n = x^n y^n.
Jeśli grupa {\mathbf G}=(G,\cdot,1) ma rząd skończony, to oczywiście dla dowolnego x\in G w ciągu nieujemnych potęg: 1,x,x^2,x^3,\ldots elementy muszą zacząć się powtarzać. Załóżmy zatem, że m < n i x^m=x^n . Mnożąc te równość przez x^{-m} otrzymujemy 1=x^{n-m} . Udowodniliśmy zatem, iż w grupie o skończonym rzędzie każdy element w pewnej dodatniej potędze równy jest 1 . Z Zasady Minimum dla każdego elementu istnieje więc najmniejsza taka dodatnia potęga.
Rząd elementu x\in G w grupie {\mathbf G}=(G,\cdot,1) o skończonym rzędzie to najmniejsza dodatnia liczba n taka, że x^n=1 . Dla grup nieskończonych rząd elementu jest tak samo zdefiniowany o ile taka liczba istnieje. Jeśli nie to x ma rząd nieskończony.
Obserwacja 4.5
Dla elementu x rzędu m w grupie (G,\cdot,1) mamy x^n=1 wtedy i tylko wtedy, gdy m|n .
Dowód
Jeśli m|n to n=q\cdot m dla pewnego q , a zatem
x^n=x^{qm}=(x^{m})^q=1^q=1.
Na odwrót załóżmy, że x^n=1 dla pewnego n . Niech n=qm+r gdzie 0\leq r < m . Wtedy mamy
1=x^n=x^{qm+r}=(x^m)^qx^r=1^qx^r=x^r,
co wraz z minimalnością m jako rzędu elementu x daje r=0 , czyli m|n .
Homomorfizm grup {\mathbf G}_0=(G_0,\cdot,1_{G_0}) , {\mathbf G}_1=(G_1,\cdot,1_{G_1}) to dowolna funkcja f:G_0\to G_1 taka, że dla dowolnych x,y\in G_0 zachodzi
f(xy)=f(x)f(y).
Obserwacja 4.6
Dla dowolnego homomorfizmu f:G_0\to G_1 grup {\mathbf G_0} i {\mathbf G_1} mamy:
Dowód
Oczywiście f(1_{G_0})=f(1_{G_0}\cdot 1_{G_0})=f(1_{G_0})f(1_{G_0}) . Prawo skracania w grupie {\mathbf G}_1 daje więc 1_{G_1}=f(1_{G_0}) . Z kolei, gdy x\in G_0 , to f(x)\cdot f(x^{-1})=f(xx^{-1})=f(1_{G_0})=1_{G_1} , czyli f(x^{-1}) jest elementem odwrotnym do f(x) w {\mathbf G}_1 .
Izomorfizm grup to homomorfizm, który jest bijekcją.
Grupy izomorficzne to grupy, miedzy którymi istnieje izomorfizm. Izomorficzność grup {\mathbf G_0} i {\mathbf G_1} zapisujemy {\mathbf G_0}\approx{\mathbf G_1} .
Podgrupa grupy {\mathbf G}=(G,\cdot,1_G) to taka grupa {\mathbf H}=(H,\cdot,1_G) , że H\subseteq G oraz mnożenie w grupie {\mathbf H} jest restrykcją mnożenia w {\mathbf G} .
Obserwacja 4.7
Dla \emptyset\neq H\subseteq G , gdzie {\mathbf G}=(G,\cdot,1) jest grupą, jeśli
to {\mathbf H}=(H,\cdot,1) jest podgrupą {\mathbf G} . Ponadto jeśli {\mathbf G} ma rząd skończony, to już pierwszy punkt implikuje, iż {\mathbf H} jest podgrupą grupy {\mathbf G} .
Dowód
Pierwszy punkt gwarantuje, że działanie \cdot nie wyprowadza poza zbiór H . Łączność \cdot w H wynika bezpośrednio z łączności \cdot w G . Drugi punkt świadczy, iż każdy element w H ma element odwrotny także w H . Dla dowodu, że 1\in H skorzystamy z niepustości H i wybierzmy h\in H . Wtedy, z drugiego punktu, h^{-1}\in H , więc 1=hh^{-1}\in H na mocy punktu pierwszego.
Załóżmy teraz, że grupa {\mathbf G} ma rząd skończony oraz podzbiór H \subseteq G jest zamknięty na mnożenie. Wtedy oczywiście wszystkie potęgi o nieujemnych wykładnikach h,h^2,h^3,\ldots wpadają do H . Ponieważ G ma rząd skończony, to rząd dowolnego elementu też jest skończony, czyli istnieje m takie, że h^m=1 . Zatem 1\in H i h^{m-1}h=1=hh^{m-1} , czyli h^{m-1}\in H jest elementem odwrotnym do h .
Z Obserwacji 4.7 dostajemy natychmiast:
Wniosek 4.8
Przecięcie dowolnej rodziny podgrup grupy {\mathbf G} jest podgrupą {\mathbf G} .
Podgrupa generowana przez podzbiór X \subseteq G grupy {\mathbf G} , to przecięcie wszystkich podgrup {\mathbf G} zawierających zbiór X . Podgrupę taką oznaczamy przez {\mathbf G}(X) .
Zbiór generatorów grupy {\mathbf G}=(G,\cdot,1) to jakikolwiek zbiór X \subseteq G spełniający G(X)=G .
Obserwacja 4.9
Dla dowolnej grupy {\mathbf G}=(G,\cdot,1) i \emptyset\neq X\subseteq G
G(X)={\{ {x_0\cdot\ldots\cdot x_{n-1} : n\in\mathbb{N} \mbox{ i } (x_i\in X \mbox{ lub }x_i^{-1}\in X)} \} }.
Dowód
Oczywiście wszystkie iloczyny postaci x_0\cdot\ldots\cdot x_{n-1} leżą w każdej podgrupie zawierającej X , więc i w G(X) . Nadto zbiór Z wszystkich takich iloczynów jest zamknięty na iloczyn i odwracanie, bo (x_0\cdot\ldots\cdot x_{n-1})^{-1}=x_{n-1}^{-1}\cdot x_{n-2}^{-1}\cdot\ldots\cdot x_0^{-1} . A zatem Obserwacja 4.7 gwarantuje, że (Z, \cdot, 1) jest podgrupą. Musi zatem być czynnikiem przecięcia wyznaczającego G(X) , czyli G(X)\subseteq Z .
Grupa cykliczna to grupa generowana zbiorem jednoelementowym.
Jeśli {\mathbf G} = {\mathbf G}({\{ {x} \} }) , to G={\{ {x^n : n\in \mathbb{Z}} \} } . Gdy ponadto {\mathbf G} jest skończona, to jej rząd pokrywa się z rzędem elementu generującego x , czyli G={\{ {1,x,x^2,\ldots, x^{\vert G \vert-1}} \} } .
Przykład
Grupa addytywna liczb całkowitych {\mathbf {Z}}=(\mathbb{Z},+,0) jest cykliczna. Rzeczywiście {\{ {1} \} } generuje te grupę:
\begin{array} {lrrrrrrr} \mathbb{Z}=\{\ldots, & -3, & -2, & -1, & 0, & 1, & 2, & 3,\ldots\} \\ \mathbb{Z}=\{\ldots, & -1-1-1, & -1-1, & -1, & 1-1, & 1, & 1+1, & 1+1+1,\ldots\} \end{array}
Czy grupa ta ma jeszcze jakiś inny jednoelemtowy zbiór generujacy?
Przykład
Dla n>0 grupa {\mathbf {Z}}_n=(\mathbb{Z}_n,+,0) jest skończoną grupą cykliczną generowaną przez {\{ {1} \} } . Rzeczywiście:
\mathbb{Z}_n=\left\{ {1,1+1,\ldots,\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n\ razy}} \right \}.
Obserwacja 4.10
Dowolne dwie grupy cykliczne tego samego rzędu są izomorficzne.
Dowód
Niech g_i będzie generatorem grupy cyklicznej {\mathbf G_i} , dla i=0,1 . Łatwo sprawdzić, że równość rzędów tych grup daje, iż g_0^k =g_0^l wtedy i tylko wtedy, gdy g_1^k =g_1^l . A zatem f:G_0\ni g_0^k \mapsto g_1^k \in G_1 ustala izomorfizm grup {\mathbf G_0} i {\mathbf G_1} .
Wniosek 4.11
Dowolna skończona grupa cykliczna rzędu n jest izomorficzna z \mathbb{Z}_n . Dowolna nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna z \mathbb{Z} .
Przykład
Dla n\geq3 rozważymy pewne grupy przekształceń n -kątów foremnych jako podgrupy grupy S_n . Poetykietujmy wierzchołki n -kąta foremnego liczbami 0,\ldots,n-1 . Obrót wielokąta foremnego o jeden wierzchołek w prawo, jak na rysunku, odpowiada cyklicznej permutacji \pi=(0,1,\ldots,n-1) . Zastanówmy się teraz jakie elementy składają się na {\mathbf S}_n(\pi) i jaka jest ich interpretacja geometryczna.
Rząd cyklu n -elementowego jest oczywiście równy n . Kolejne złożenia \pi,\pi^2,\pi^3,\ldots,\pi^n odpowiadają kolejnym obrotom \pi^k w prawo naszego wielokąta o \frac{360^o}{k} , aż \pi^n przekręca go do pozycji wyjściowej (czyli jest identycznością). Zatem {\mathbf S}_n(\pi) jest grupą cykliczną rzędu n , czyli z Wniosku 4.11 mamy {\mathbf S}_n(\pi)\approx \mathbb{Z}_n .
Zwiększmy trochę zbiór generatorów i do obrotu w prawo dołóżmy symetrię względem jednej z n osi symetrii naszego n -kąta foremnego. W przypadku gdy n jest parzyste osie symetrii przechodzą przez środki przeciwległych boków lub naprzeciwległe wierzchołki, jeśli zaś n jest nieparzyste to osie symetrii przechodzą przez wierzchołek i środek przeciwległego do niego boku.
Permutacja odpowiadająca symetrii osiowej posiada poza cyklami wielkości 2 :
Na przykład, gdy n jest parzyste oraz :
\sigma=(0,n-1)(1,n-2)(2,n-3)\ldots(n/2-1,n/2+1),
to \sigma rozkłada się na cykle
\sigma=(0)(1,n-1)(2,n-2)\ldots(n/2-1,n/2+1)( (n+1)/2 ),
a dla nieparzystego n :
\sigma=(0)(1,n-1)(2,n-2)(3,n-3)\ldots((n-1)/2,(n+1)/2).
Jakie elementy składają się na {\mathbf S}_n({\{ {\pi,\sigma} \} }) ? Jaka jest ich interpretacja geometryczna?
Zbierzmy kilka prostych faktów:
Pokażemy tę własność jedynie dla n nieparzystych (dowód dla n parzystych znacząco się nie różni):
\begin{align*} \pi\sigma\pi(0) & =\pi\sigma(n-1)=\pi(1)=0=\sigma(0), \\ \pi\sigma\pi(1) & =\pi\sigma(0)=\pi(0)=n-1=\sigma(1), \\ \pi\sigma\pi(i) & =\pi\sigma(i-1)=\pi(n-i+1)=n-i=\sigma(i), \end{align*}
dla i\in{\{ {2,\ldots,n-1} \} } .
Z Obserwacji 4.9 i naszych spostrzeżeń mamy:
\begin{align*} S_n({\{ {\pi,\sigma} \} }) & ={\{ {x_0\cdot\ldots\cdot x_{m-1}: m>0, x_i\in{\{ {\pi,\pi^{-1},\sigma,\sigma^{-1}} \} }} \} } \\ & ={\{ {\pi^k, \pi^k\sigma : 0 < k\leq n} \} } \end{align*}
Zatem podgrupa generowana przez {\{ {\pi,\sigma} \} } ma co najwyżej 2n elementów. Jako ćwiczenie zostawiamy dowód, że w istocie wymienione elementy są parami różne. Okazuje się, że
\begin{array} {ll} \pi,\pi^2,\pi^3,\ldots,\pi^n & \textrm{- to wszystkie obroty wraz z identycznością}, \\ \pi\sigma,\pi^2\sigma,\pi^3\sigma,\ldots,\pi^n\sigma & \textrm{- to symetrie wobec każdej z n osi symetrii n -kąta foremnego}. \end{array}
Grupa dihedralna {\mathbf D}_{n} to podgrupa grupy {\mathbf S_n} (dla n\geq3 ) generowana przez {\{ {\pi,\sigma} \} } .
Produkt grup {\mathbf G_0}=(G_0,\cdot,1_{G_0}) i {\mathbf G_1}=(G_1,\cdot,1_{G_1}) to grupa {\mathbf G_0}\times{\mathbf G_1}=(G_0\times G_1,\cdot,(1_{G_0},1_{G_1})) , w której działanie \cdot zdefiniowane jest przez
(x,y)\cdot(z,w)=(x\cdot z,y\cdot w).
Weryfikację, że tak określone działanie po współrzędnych spełnia wszystkie warunki wymagane od grupy zostawiamy jako ćwiczenie.
Przykład
Rozważmy \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3 .
\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3={\{ {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)} \} }.
Zauważmy, że f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3 zadana przez
f(a) = (a \ {\sf mod} \ 2 , \ a \ {\sf mod} \ 3 )
definiuje izomorfizm grup \mathbb{Z}_6 i \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3 .
Czy zawsze \mathbb{Z}_{mn}\approx\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n ? Zbadajmy jeszcze jeden przykład: \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 i \mathbb{Z}_8 . Rzędy elementów w produkcie \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 przedstawia tabela:
\begin{array} {|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 & (0,0) & (0,1) & (0,2) & (0,3) & (1,0) & (1,1) & (1,2) & (1,3) \\ \hline \textrm{rząd} & 1 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}
A zatem grupa \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 nie ma elementu rzędu 8 , nie może więc być izomorficzna z cykliczna grupą \mathbb{Z}_8 .
Obserwacja 4.12
Jeśli m\perp n , to \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n \approx \mathbb{Z}_{mn} .
Dowód
Wystarczy oczywiście pokazać, że rząd elementu (1,1)\in\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n wynosi mn , wtedy bowiem grupa \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n będzie cykliczna i, jako mn -elementowa, musi być izomorficzna z \mathbb{Z}_{mn} .
Niech więc r będzie rzędem (1,1) w grupie \mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n . Licząc kolejno na obu osiach produktu dostajemy
\begin{align*} \underbrace{1+\ldots+1}_{r\ razy} \ {\sf mod} \ m & =r \ {\sf mod} \ m =0,\textrm{ czyli m|r,} \\ \underbrace{1+\ldots+1}_{r\ razy} \ {\sf mod} \ n & =r \ {\sf mod} \ n =0,\textrm{ czyli n|r}. \end{align*}
Zatem r jest najmniejszą wspólną wielokrotnością m i n . Ponieważ m\perp n , to
r={\sf NWW}(m,n)=\frac{mn}{\sf NWD}(m,n)=\frac{mn}{1}=mn.
Zajmiemy się teraz możliwymi rzędami podgrup grupy skończonej. Z rozważań tej części wykładu dowiemy się, że jeśli {\mathbf H} jest podgrupą skończonej grupy {\mathbf G} , to rząd {\mathbf H} dzieli rząd {\mathbf G} . Zwracamy jednak uwagę, iż to nie oznacza, że grupa {\mathbf G} ma podgrupy o rzędzie będącym jakimkolwiek dzielnikiem rzędu grupy {\mathbf G} .
Przykład
Niech {\mathbf A}_4 będzie podgrupą grupy {\mathbf S}_4 składającą się z tych permutacji, które są złożeniami parzystej liczby transpozycji. Wtedy \vert A_4\vert=12 , ale grupa {\mathbf A}_4 nie ma podgrup rzędu 4 .
Lewa warstwa gH podgrupy {\mathbf H} grupy {\mathbf G} względem elementu g\in G to zbiór
gH={\{ {gh : h\in H} \} }.
Prawa warstwa Hg podgrupy {\mathbf H} grupy {\mathbf G} względem elementu g\in G to zbiór
Hg={\{ {hg : h\in H} \} }.
Skoncentrujemy się teraz na lewych warstwach. Oczywiście wszystkie rozumowania można powtórzyć dla warstw prawych
Przykład
Niech {\mathbf D}_4=({\{ {\pi,\ldots,\pi^4,\pi\sigma,\ldots,\pi^4\sigma} \} },\circ) będzie grupa dihedralną symetrii kwadratu. Posiada ona podgrupę cykliczną {\mathbf C}_4=({\{ {\pi,\pi^2,\pi^3,\pi^4} \} },\circ) . Niech \sigma będzie symetrią osiową. Zauważmy, że elementy lewej warstwy
\sigma C_4={\{ {\sigma\pi,\sigma\pi^2,\sigma\pi^3,\sigma\pi^4} \} }.
wszystkie symetrie osiowe kwadratu. Jako ćwiczenie pozostawiamy wyznaczenie warstw \pi C_4 , \pi^2 C_4 oraz \sigma\pi^2 C_4 .
Zauważmy, że warstwa eH elementu neutralnego e , to podgrupa H . Nastepna obserwacja orzeka, że wszystkie warstwy lewo- i prawo-stronne są równoliczne.
Obserwacja 4.13
Jeśli {\mathbf H} jest skończoną podgrupą grupy {\mathbf G} i g\in G , to \vert=\vert = \vert .
Dowód
Niech H={\{ {h_0,\ldots,h_{m-1}} \} } i załóżmy, że gh_i=gh_j . Wtedy z prawa skracania mamy h_i=h_j . Zatem elementy gh_0,gh_1,\cdots,gh_{m-1} są parami różne i zbiór
gH={\{ {gh_0,gh_1,\cdots,gh_{m-1}} \} },
ma dokładnie m elementów.
Obserwacja 4.14
Dla dowolnej podgrupy {\mathbf H} grupy {\mathbf G} i g_0,g_1\in G lewe warstwy g_0 H , g_1H są albo identyczne albo rozłączne.
Dowód
Pokażemy, że jeśli g_0 H i g_1 H mają jakiś wspólny element to są one identyczne. Załóżmy zatem, że x\in g_0 H \cap g_1 H , czyli g_0 h_0 =x= g_1 h_1 dla pewnych h_0,h_1\in H . Wtedy g_0=g_1 h_1 h_0^{-1} \in g_1H . Dla dowodu inkluzji g_0 H \subseteq g_1 H , niech y\in g_0 H , czyli y=g_0h dla pewnego h\in H . Wtedy
y=g_0 h=g_1 h_1 h_0^{-1} h,
co wobec h_1,h_0^{-1},h\in H daje y\in g_1H .
Twierdzenie 4.15[Lagrange'a]
Dla dowolnej podgrupy {\mathbf H} skończonej grupy {\mathbf G} , rząd {\mathbf H} dzieli rząd {\mathbf G} .
Dowód
Niech {\mathbf H}=({\{ {h_0,\ldots,h_{m-1}} \} },\cdot,1) oraz {\mathbf G}=({\{ {g_0,\ldots,g_{n-1}} \} },\cdot,1) . Ponieważ:
to lewe warstwy g_0H,g_1H,\ldots,g_{n-1}H tworzą podział zbioru G={\{ {g_0,g_1\ldots,g_{n-1}} \} } na równoliczne bloki wielkości m , skąd natychmiast m|n .
Wniosek 4.16
Niech {\mathbf G}=(G,\cdot,1) będzie grupą rzędu n . Wtedy dla g \in G mamy:
Dowód
Niech r będzie rzędem elementu g\in G . Wtedy r jest rzędem podgrupy cyklicznej {\mathbf G}(g) = ({\{ {g,g^2,\ldots,g^r} \} },\cdot,1) . Z Twierdzenia Lagrange'a r , czyli rząd tej podgrupy cyklicznej, dzieli n . Skoro teraz n=kr to oczywiście x^n= x^{kr} = (x^r)^k = 1^k =1
Wniosek 4.17
Każda grupa {\mathbf G} której rząd jest liczbą pierwszą p jest cykliczna i izomorficzna z \mathbb{Z}_p .
Dowód
Ponieważ p>1 , to w G jest jakiś element g\neq1 . Wtedy rząd g jest większy od 1 i dzieli p , więc musi wynosić p . To oznacza zaś, iż g generuje grupę {\mathbf G} , czyli {\mathbf G} jest cykliczna. Reszta wynika już z Wniosku 4.11.
Obserwacja 4.18
Dla dowolnej grupy {\mathbf G}=(G,\cdot,1) rzędu n\geq 2 następujące warunki są równoważne:
1. {\mathbf G} jest grupa cykliczną,
2. dla każdego d|n , grupa {\mathbf G} ma dokładnie d elementów x\in G takich, że x^d=1 ,
3. dla każdego d|n , grupa {\mathbf G} ma dokładnie \varphi(d) elementów rzędu d .
Dowód
Dla dowodu implikacji (1 \Rightarrow 2) załóżmy że grupa {\mathbf G} jest cykliczna i generowana przez g . Niech d będzie dzielnikiem n , czyli n=dq dla pewnego q . Elementy
1,g^q,g^{2q},\ldots,g^{(d-1)q}
są parami różne (bo g ma rząd n=dq ) oraz wszystkie spełniają równanie x^d=1 , gdyż
(g^{iq})^d=(g^{dq})^i=1^i=1.
Zatem elementów x\in G spełniających x^d=1 jest co najmniej d . Załóżmy teraz, że pewien y\in G spełnia y^d=1 . Ponieważ g generuje {\mathbf G} , mamy y=g^k dla pewnego k , skąd g^{kd}=y^d=1 . Z Obserwacji 4.5 mamy n|kd , czyli kd=fn=fdq i k=fq dla pewnego f . Zatem y=g^{k}=g^{fq} znajduje się na naszej liście rozwiązań równania x^d=1 . To dowodzi, że elementów x\in G spełniających x^d=1 jest dokładnie d .
Dla dowodu implikacji (2 \Rightarrow 3) przypomnijmy, za Obserwacją 4.5, że element x rzędu r spełnia x^d=1 wtedy i tylko wtedy, gdy r|d . A zatem założenie 2 daje
\displaystyle d=\sum_{r|d}f(r),
gdzie f(r) to liczba elementów rzędu r spełniających x^d =1. Wzór inwersyjny Mobiusa daje teraz
\displaystyle f(d)=\sum_{r|d}\mu(r)\frac{d}{r}.
Wobec znanego nam już przedstawienia funkcji Eulera przez funkcje Mobiusa, tzn. \displaystyle \varphi(d)=\sum_{r|d}\mu(r)\frac{d}{f} , mamy f(d)=\varphi(d) .
Wreszcie, dla dowodu ostatniej implikacji (3 \Rightarrow 1) zauważmy najpierw, że zawsze \varphi(n)\geq 1 . To oczywiście daje, że istnieje co najmniej jeden element rzędu n w {\mathbf G} . Element ten generuje więc cały zbiór G , stąd {\mathbf G} jest cykliczna.
Przykład
Zbadajmy rzędy elementów grupy cyklicznej \mathbb{Z}_{12} .
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline 1 & 12 & 6 & 4 & 3 & 12 & 2 & 12 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ \hline \end{array}
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textrm{dzielnik d liczby {12}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ \hline \textrm{liczba elementów rzędu {d}} & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}