Logika dla informatyków

Dodatkowe wykłady, ze względu na specyfikę przedmiotu dostępne są w formacie PDF

Ćwiczenia

Logika zdaniowa

Klasyczna logika zdaniowa

Formuła logiki zdaniowej jest w postaci CNF (Conjunctive Normal Form) gdy jest koniunkcją (być może wielu) alternatyw (być może wielu) zmiennych zdaniowych i zanegowanych zmiennych zdaniowych. Na przykład formuła \((p_1\lor\lnot p_2\lor p_3)\land(p_2\lor p_4\lor \lnot p_5)\land(\lnot p_1\lor p_2)\) jest postaci CNF.

Formuła logiki zdaniowej jest w postaci \(k\)-CNF gdy jest w postaci CNF i żadna z alternatyw w niej występujących nie ma więcej niż \(k\) składników. Formuła z poprzedniego przykładu jest w postaci 3-CNF, ale nie 2-CNF.

Formuła logiki zdaniowej jest w postaci DNF (Disjunctive Normal Form) gdy jest alternatywą (być może wielu) koniunkcji (być może wielu) zmiennych zdaniowych i zanegowanych zmiennych zdaniowych.

Zadanie 1
Udowodnij, że dla każdej formuły \(\varphi\) logiki zdaniowej istnieje formuła \(\psi\) logiki zdaniowej w postaci DNF równoważna \(\varphi\), czyli taka, że tautologią jest formuła \(\varphi\leftrightarrow\psi.\)

Zadanie 2
Udowodnij, że dla każdej formuły \(\varphi\) logiki zdaniowej istnieje formuła \(\psi\) logiki zdaniowej w postaci CNF równoważna \(\varphi\), czyli taka, że tautologią jest formuła \(\varphi\leftrightarrow\psi.\)

Zadanie 3
Udowodnij, że dla każdej formuły \(\varphi\) logiki zdaniowej w postaci CNF istnieje formuła \(\psi\) logiki zdaniowej w postaci 3-CNF taka, że \(\psi\) jest spełnialna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\varphi\) jest spełnialna.

Zadanie 4
Podaj wielomianowy algorytm rozwiązujący następujący problem decyzyjny:

Dane: Formuła \(\varphi\) logiki zdaniowej w postaci DNF.
Pytanie: Czy \(\varphi\) jest spełnialna?

Zadanie 5
Podaj wielomianowy algorytm rozwiązujący następujący problem decyzyjny:

Dane: Formuła \(\varphi\) logiki zdaniowej w postaci 2-CNF.
Pytanie: Czy \(\varphi\) jest spełnialna?

Zadanie 6
Zajmujemy się formułami zapisanymi wyłącznie przy użyciu spójników koniunkcji i alternatywy.

Dla dowolnej takiej formuły \(\varphi\) niech \(\hat{\varphi}\) oznacza dualizację formuły \(\varphi\), tzn. formułę powstającą z \(\varphi \) przez zastąpienie każdego wystąpienia \(\wedge\) symbolem \(\vee\) oraz każdego wystąpienia \(\vee\) symbolem \(\wedge\).

* Dowieść, że \(\varphi\) jest tautologią wtw, gdy \(\lnot\hat{\varphi}\) jest tautologią.

* Dowieść, że \(\varphi\leftrightarrow\psi\) jest tautologią wtw, gdy \(\hat{\varphi}\leftrightarrow\hat{\psi}\) jest tautologią.

* Jak należałoby określić dualizację dla formuł zawierających dodatkowo stałe \(\bot\) i \(\top\), żeby powyższe równowaźności nadal zachodziły?

Zadanie 7
Udowodnić, że dla dowolnej funkcji \(f:\{0,1\}^k\to\{0,1\}\) istnieje formuła \(\varphi\), w której występują tylko spójniki \(\to\) i \(\bot\) oraz zmienne zdaniowe ze zbioru \(\{p_1,\ldots, p_k\}\), o tej własności, że dla dowolnego wartościowania zdaniowego \(\varrho\) zachodzi równość
\([[\varphi]]_\varrho = f(\varrho(p_1),\ldots, \varrho(p_k))\).
(Inaczej mówiąc, formuła \(\varphi\) definiuje funkcję zerojedynkową \(f\).)

Zadanie 8
Dany jest nieskończony zbiór chłopców, z których każdy ma skończoną liczbę narzeczonych. Ponadto dla każdego \(k\in N\), dowolnych \(k\) chłopców ma co najmniej \(k\) narzeczonych. Dowieść, że każdy chłopiec może się ożenić z jedną ze swoich narzeczonych bez popełnienia bigamii.

Zadanie 9
Niech \(k\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Udowodnij, korzystając z twierdzenia o zwartości, że jeśli w nieskończonym grafie \(G=\langle V,E\rangle\) jego każdy skończony podgraf jest \(k\) -kolorowalny, to sam graf \(G\) tek jest \(k\)-kolorowalny.

Zadanie 10
Dla formuły \(\gamma =\ r\leftrightarrow (p_1\lor p_2)\) zachodzi równoważność: \(\varrho\models\gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\varrho(r)=\max(\varrho(p_1),\varrho(p_2))\).

Zbadać istnienie zbioru formuł \(\Gamma\) takiego, że \(\varrho\models\Gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\varrho(r)=\max_{n\in\mathbb{N}}(\varrho(p_n))\).

Zadanie 11
Czy sekwent \(\{p,q\to p,\lnot q\}\vdash\{p,q\}\) jest dowodliwy w systemie Gentzena dla logiki zdaniowej?

Zadanie 12
Rozstrzygnij, czy następujące formuły mają dowód w systemie Gentzena dla logiki zdaniowej:

* \( (p\to q) \lor (q\to p)\)
* \((p\to ( q \to p)) \to p\)

Zadanie 13
W systemie Gentzena sekwent \(\Gamma,p\vdash\Delta,p\) jest aksjomatem. \(p\) oznacza zmienną zdaniową. Udowodnij, że każdy sekwent postaci
\(\Gamma,\varphi\vdash\Delta,\varphi\) jest wyprowadzalny w systemie Gentzena. Comożna powiedzieć o rozmiarze jego dowodu?

Trójwartościowe logiki zdaniowe

Zadanie 14
Logikę \(L\) nazywamy monotoniczną, jeśli z tego, że \(\Delta\models\varphi\) oraz \(\Gamma\supseteq\Delta\) wynika, że \(\Gamma\models\varphi.\)

Dla logiki trójwartościowej Sobocińskiego określamy, że \(\Delta\models\varphi\), gdy dla każdego wartościowania zmiennych zdaniowych wartościami ze zbioru \(\{0,\frac12,1\}\), jeśli wartości wszystkich zdań z \(\Delta\) wynoszą 1, to także wartość \(\varphi\) wynosi 1.

Czy logika trójwartościowa Sobocińskiego jest monotoniczna?

Zadanie 15
Odpowiedz na analogiczne pytanie co w zadaniu 13 dla logik Heytinga-Kleeene'go-Łukasiewicza, Bochvara i logiki leniwego (krótkiego) wyliczenia w Pascalu.

Zadanie 16
Jaka jest złożoność następującego problemu decyzyjnego:

Dane: Formuła \(\varphi\) logiki zdaniowej.
Pytanie: Czy istnieje wartościowanie \(\varrho\) zmiennych zdaniowych w zbiór \(\{0,\frac12,1\}\) takie, że w logice trójwartościowej Bochvara zachodzi \([[\varphi]]_\varrho=1\)?

Intuicjonistyczna logika zdaniowa

Zadanie 17
Udowodnij następujące formuły w systemie Naturalnej Dedukcji dla logiki intucjonistycznej
* \(p \to \neg \neg p\)
* \(\neg (p \lor q) \to\neg p \land\neg q\)
* \(\neg p \land\neg q \to\neg (p \lor q)\)
* \(\neg p \lor\neg q \to\neg (p \land q)\)

Zadanie 18
Udowodnij, że następujące formuły nie są tautologiami intucjonistycznej logiki zdaniowej, używając modeli Kripkego:

* \(((p\to q) \to p) \to p\)
* \(\neg (p \land q) \to (\neg p \lor\neg q)\)

Zadanie 19

Niewyrażalność spójników w zdaniowej logice intuicjonistycznej: pokaż, że

* \(\lor\) nie da się wyrazić za pomocą \(\land\), \(\to\) i \(\bot\)
* \(\land\) nie da się wyrazić za pomocą \(\lor\), \(\to\) i \(\bot\)
* \(\to\) nie da się wyrazić za pomocą \(\lor\), \(\land\) i \(\bot\)

Logika pierwszego rzędu, formuły, zdania, modele, tautologie

Zad. 1

Niech \({\mathfrak A} =\langle{\mathbb N}, p^{\mathfrak A}, q^{\mathfrak A}\rangle\), gdzie:

\(\langle a,b\rangle \in p^{\mathfrak A}\) wtw, gdy \(a+b\geq 6\);

\(\langle a,b\rangle \in q^{\mathfrak A}\) wtw, gdy \(b=a+2\).

Zbadać czy formuły

  1. \(\forall x p(x,y) \to \exists x q(x,y)\);
  2. \(\forall x p(x,y) \to \forall x q(x,y)\);
  3. \(\forall x p(x,y) \to \exists x q(x,z)\);

są spełnione przy wartościowaniu \(v(y) = 7\), \(v(z) = 1\) w strukturze \({\mathfrak A}\).

Zad. 2

Niech \({\mathfrak A} = \langle {\mathbb Z}, f^{\mathfrak A}, r^{\mathfrak A}\rangle \) i \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb Z}, f^{\mathfrak B}, r^{\mathfrak B}\rangle \), gdzie \(f^{\mathfrak A}(m,n) = \min(m,n)\), dla \(m,n\in{\mathbb Z}\), a \(r^{\mathfrak A}\) jest relacją \(\geq\);

\(f^{\mathfrak B}(m,n) = m^2+n^2\), dla \(m,n\in{\mathbb Z}\), a \(r^{\mathfrak B}\) jest relacją \(\leq\).

Zbadać czy formuły

  1. \(\forall y(\forall x(r(z,f(x,y))\to r(z,y)))\);
  2. \(\forall y(\forall x(r(z,f(x,y)))\to r(z,y))\),

są spełnione przy wartościowaniu \(v(z) =5\), \(v(y)=7\) w strukturach \({\mathfrak A}\) i \({\mathfrak B}\).

Zad. 3

Czy formuła \(\forall x(\lnot r(x,y)\to\exists z(r(f(x,z),g(y))))\) jest spełniona przy wartościowaniu \(v(x) =3\), \(w(x) = 6\) i \(u(x) = 14\)

  1. w strukturze \({\mathfrak A} = \langle {\mathbb N}, r^{\mathfrak A}\rangle \), gdzie \(r^{\mathfrak A}\) jest relacją podzielności?
  2. w strukturze \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb N}, r^{\mathfrak B}\rangle \), gdzie \(r^{\mathfrak B}\) jest relacją przystawania modulo 7?

Zad. 4

W jakich strukturach prawdziwa jest formuła \(\exists y (y\neq x)\)?
A formuła \(\exists y (y\neq y)\) otrzymana przez ,,naiwne'' podstawienie \(y\) na \(x\)?

Zad. 5

Podaj przykład modelu i wartościowania, przy którym formuła
\(p(x,f(x)) \to \forall x\exists y\, p(f(y),x)\)

jest:
a) spełniona;
b) nie spełniona.

Zad. 6

Zbadać, czy następujące formuły są tautologiami i czy są spełnialne:

  1. \(\exists x\forall y(p(x) \vee q(y)) \to \forall y(p(f(y))\vee q(y))\);
  2. \(\forall y(p(f(y))\vee q(y)) \to \exists x\forall y(p(x) \vee q(y))\);
  3. \(\exists x(\forall y q(y)\to p(x))\to \exists x\forall y(q(y)\to p(x))\);
  4. \(\exists x(\forall y q(y)\to p(x)) \to\exists x(q(x)\to p(x))\).

Zad. 7

Niech \(f\) będzie jednoargumentowym symbolem funkcyjnym, który nie występuje w formule \(\varphi\).
Pokazać, że formuła \(\forall x\exists y \varphi\) jest spełnialna wtedy i tylko wtedy gdy formuła \(\forall x \varphi(f(x)/y)\) jest spełnialna.

Zad. 8

Udowodnić, że zdanie \(\forall x\exists y\,p(x,y)\wedge \forall x\neg p(x,x)
\wedge \forall x\forall y\forall z(p(x,y)\wedge p(y,z)\to p(x,z))\) ma tylko modele nieskończone.

Zad. 9

Dla każdego \(n\) napisać takie zdanie \(\varphi_n\), że \({\mathfrak A}\models\varphi_n\) zachodzi \wtw, gdy \({\mathfrak A}\) ma dokładnie \(n\) elementów.

Zad. 10

Udowodnić, że dla każdej struktury skończonej \({\mathfrak A}\) nad skończoną sygnaturą istnieje taki zbiór \(\Delta\) zdań pierwszego rzędu, że \({\mathfrak A}\models\Delta\) i dla każdej struktury \({\mathfrak B}\models\Delta\) zachodzi \({\mathfrak B}\cong{\mathfrak A}.\)

Zad. 11

Czy jeśli \({\mathfrak A} \models \exists x\,\varphi\), to także \({\mathfrak A} \models \varphi[t/x]\), dla pewnego termu \(t\)?

Zad. 12

Niech \(\varphi\) będzie zdaniem
\(\forall x\forall y\,(y=f(g(x))\to(\exists u\,(u=f(x)\land y=g(u))))\) oraz niech \(\psi\) będzie zdaniem \(\forall x\,[f(g(f(x)))=g(f(f(x)))]\).

Czy \(\{\psi\}\models\varphi\)?

Wskazówka
W zadaniach typu ,,Pokazać, że zbiór zdań \(\Delta\) jest niezależny”, należy za każdym razem udowodnić, że dla każdego \(\varphi\in\Delta,\) \(\Delta\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi,\) poprzez wskazanie modelu \(\Delta\setminus\{\varphi\},\) który nie jest modelem \(\varphi.\)

Zad. 13

Pokazać, że zbiór aksjomatów relacji równoważności

\(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y(Exy\to Eyx)\\ \forall x\ Exx\\ \forall x\forall y\forall z((Exy\land Eyz)\to Exz)\end{array}\right\}\)

jest niezależny.

Zad. 14

Pokazać, że zbiór aksjomatów liniowych porządków

\(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y((x\leq y)\lor(y\leq x))\\ \forall x\forall y((x\leq y\land y\leq x)\to x=y)\\ \forall x\forall y\forall z((x\leq y\land y\leq z)\to x\leq z)\end{array}\right\}\)

jest niezależny.

Zad. 15

Pokazać, że zbiór aksjomatów teorii grup (w zapisie multiplikatywnym, nad sygnaturą
\(\Sigma^{F}_{{2}}=\{*\},\Sigma^{F}_{0}=\{ 1\}\))

\(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x((1*x=x)\land(x*1=x))\\ \forall x\forall y\forall z((x*y)*z=x*(y*z))\\ \forall x\exists y((x*y=1)\land(y*x=1))\end{array}\right\}\)

jest niezależny.

Zad. 16

Pokazać, że zdanie \((\forall x\exists y\ Exy)\to(\exists x\forall y\ Exy)\) nie jest tautologią.

Zad. 17

Pokazać, że zdanie

\((\forall x\forall y((f(x)=f(y))\to(x=y)))\to(\forall x\exists y(f(y)=x))\)

nie jest tautologią. Czy jego negacja ma model skończony?

Zad. 18

Pokazać, że zdanie \(\exists x\exists y\exists u\exists v((\lnot u=x)\lor(\lnot v=y))\land(f(x,y)=f(u,v))\) nie jest tautologią. Ile nieizomorficznych modeli skończonych ma to zdanie?

Zad. 19

Pokazać, że następujące formuły są tautologiami:

  • \((\exists y p(y) \to \forall z q(z)) \to
    \forall y\forall z(p(y)\to q(z))\);
  • \((\forall x\exists y r(x,y) \to \exists x\forall y r(y,x))\to
    \exists x\forall y(r(x,y) \to r(y,x))\);
  • \(\forall x\exists y((p(x)\to q(y))\to r(y))
    \to ((\forall x p(x)\to \forall y q(y))\to \exists y r(y))\);
  • \(\forall x(p(x)\to \exists y q(y))\to
    \exists y(\exists x p(x)\to q(y))\).

Zad. 20

Czy
\(
\{\forall x\underbrace{f\ldots f}_n(x)= x~|~n=2,3,5,7\}\models\forall x
\underbrace{f\ldots f}_{11}(x)= x
\)?

Logika pierwszego rzędu: formalizowanie własności

Zad. 1

Dla każdej z par struktur:

  • \(\langle {\mathbb N},\leq\rangle\) i \(\langle \{m-{1\over n}\ |\ m,n\in{\mathbb N}-\{0\}\}, \leq\rangle\);
  • \(\langle {\mathbb N}, +\rangle\) i \(\langle {\mathbb Z}, +\rangle\);
  • \(\langle {\mathbb N}, \leq\rangle\) i \(\langle {\mathbb Z}, \leq\rangle\),

    wskaż zdanie prawdziwe w jednej z nich a w drugiej nie.

    Zad. 2

    Napisać takie zdania \(\varphi\) i \(\psi\), że:

    • zdanie \(\varphi\) jest prawdziwe w modelu \({\mathfrak A} = \langle {\mathbb Z}, +, 0 \rangle\), ale nie w modelu \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb N}, +, 0 \rangle\);
    • zdanie \(\psi\) jest prawdziwe w modelu \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb Z}, +, 0 \rangle\), ale nie w modelu \({\mathfrak C} = \langle {\mathbb Q}, +, 0 \rangle\).

    Zad. 3

    Wskazać formułę pierwszego rzędu:

    • spełnialną w ciele liczb rzeczywistych ale nie w ciele liczb wymiernych;
    • spełnialną w algebrze \({\mathbb N}\) z mnożeniem, ale nie w algebrze \({\mathbb N}\) z dodawaniem;
    • spełnialną w \(\langle \{a,b\}^*,\cdot,\varepsilon\rangle\) ale nie w \(\langle \{a,b,c\}^*,\cdot,\varepsilon\rangle\).
  • Definicje pomocnicze
    Spektrum \(Spec(\varphi)\) zdania \(\varphi\) to zbiór wszystkich liczb naturalnych \(n\) takich, ze \(\varphi\) ma model o mocy \(n.\)

    Standardowy model arytmetyki to struktura \(\mathfrak{N}=\langle\mathbb{N},*^{\mathfrak{N}},+^{\mathfrak{N}},0^{\mathfrak{N}},1^{\mathfrak{N}},\leq^{\mathfrak{N}}\rangle.\)

    Zad. 4

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=Spec(\lnot\varphi).\)

    Zad. 5

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ n^{2}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Zad. 6

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ 2*n~/~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Zad. 7

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ n~/~n\in\mathbb{N}\ n\) jest liczbą złożoną\(\}\).

    Zad. 8

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ 2^{n}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Zad. 9

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(n\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)

    Zad. 10

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(2^{n}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)

    Zad. 11

    Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(n!\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)

    Zad. 12

    Dla ustalonego \(k\in\mathbb{N},\) podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \({n \choose k}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)

    Zad. 13

    Dla ustalonego \(k\in\mathbb{N},\) podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(n^{k}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)

    Zad. 14

    Znaleźć formułę \(\varphi(x,y)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(x\) jest względnie pierwsze z \(y.\)

    Zad. 15

    Znaleźć formułę \(\varphi(x,y,z)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(z\) jest największym wspólnym dzielnikiem \(x\) i \(y.\)

    Zad. 16

    Znaleźć formułę \(\varphi(x,y,z)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(y\) jest największą liczbą, będącą potęgą liczby pierwszej, która dzieli \(x.\)

    Zad. 17

    Rozważamy skończone skierowane cykle \(\mathfrak{C}\) (ta litera to gotyckie C, w rozwiązaniu można pisać zwykłe C) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n\) istnieje formuła \(\varphi_n(x,y,z)\) logiki pierwszego rzędu, w której występują tylko trzy zmienne (które można rekwantyfikować tak często jak potrzeba), takie że dla każdego skończonego cyklu \(\mathfrak{C}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{C},x:a,y:b,z:c\models\varphi_n(x,y,z)\) wtw \(\mathfrak{C}\) ma \(3n\) krawędzi, a skierowane odległości z \(a\) do \(b\), z \(b\) do \(c\) i z \(c\) do \(a\) wszystkie wynoszą po \(n\).

    Zad. 18

    Rozważamy skończone drzewa binarne \(\mathfrak{T}\) (ta litera to gotyckie T, w rozwiązaniu można pisać zwykłe T) nad sygnaturą składającą się z dwóch dwuargumentowych symboli relacyjnych \(L\) i \(P\), przy czym \(L(x,y)\) oznacza że \(y\) to lewy syn ojca \(x\), podobnie dla \(P\) oznaczającego prawego syna. Każdy wiechołek może mieć 0, 1 lub 2 synów, zawsze najwyżej jednego lewego jednego prawego.

    Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n\) istnieje zdanie \(\varphi _{n}\) logiki pierwszego rzędu, w którym występują tylko dwie zmienne (które można rekwantyfikować tak często jak potrzeba), takie że dla każdego skończonego drzewa binarnego \(\mathfrak{T}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{T}\models\varphi _{n}\) wtw \(\mathfrak{T}\) jest pełnym drzewem binarnym o głębokości \(n\).

    Język naturalny a logika pierwszego rzędu, formalizacja pojęć nieostrych

    1. Jak rozumiesz następujące zdania? Jak je sformułować, żeby nie budziły wątpliwości?
      • Nie wolno pić i grać w karty.
      • Nie wolno pluć i łapać.
      • Zabrania się zaśmiecania i zanieczyszczania drogi.[Kodeks Drogowy przed nowelizacją w roku 1997.]
      • Zabrania się zaśmiecania lub zanieczyszczania drogi. [Kodeks Drogowy po nowelizacji w roku 1997.]
      • Wpisać, gdy osoba ubezpieczona nie posiada numerów identyfikacyjnych NIP lub PESEL. [Instrukcja wypełniania formularza ZUS ZCZA (Zgłoszenie danych o członkach rodziny...)]
      • Podaj przykład liczby, która jest pierwiastkiem pewnego równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych i takiej, która nie jest.
      • Warunek zachodzi dla każdego \(x\) i dla pewnego \(y\).
    2. Czy następujące definicje można lepiej sformułować?
      • Zbiór \(A\) jest dobry, jeśli ma co najmniej 2 elementy.
      • Zbiór \(A\) jest dobry, jeśli dla każdego \(x\in A\), jeśli \(x\) jest parzyste, to \(x\) jest podzielne przez \(3\).
      • Zbiór \(A\) jest dobry, jeśli dla pewnego \(x\in A\), jeśli \(x\) jest parzyste, to \(x\) jest podzielne przez \(3\).
    3. Wskazać błąd w rozumowaniu:
      • Aby wykazać prawdziwość tezy ,,Dla dowolnego \(n\), jeśli zachodzi warunek \(W(n)\) to zachodzi warunek \(U(n)\)'' załóżmy, że dla dowolnego \(n\) zachodzi \(W(n)\)...
      • Aby wykazać prawdziwość tezy ,,Dla pewnego \(n\), jeśli zachodzi warunek \(W(n)\) to zachodzi warunek \(U(n)\)'' załóżmy, że dla pewnego \(n\) zachodzi \(W(n)\)...
    4. Sformułować poprawnie zaprzeczenia stwierdzeń:
      • Liczby \(m\) i \(n\) są pierwsze.
      • Liczby \(m\) i \(n\) są względnie pierwsze.
    5. Czy zdanie ,,Liczba \(a\) nie jest kwadratem pewnej liczby całkowitej'' jest poprawnym zaprzeczeniem zdania ,,Liczba \(a\) jest kwadratem pewnej liczby całkowitej''?
    6. Zapisać następujące zdanie Lincolna o wyborcach i politykach:

      "You can fool some of the people all of the time, and all of the people some of the time, but you cannot fool all of the people all of the time"

      w terminach relacji \(fool(p,t)\) oznaczającej "you can fool person p at time t".

    Logika pierwszego rzędu: gry Ehrenfeuchta-Fraisse'go

    Zad. 1

    Pokazać, że nie istnieje zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu o tej własności, że dla każdego nieskierowanego (skończonego lub nie) grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw każdy wierzchołek \(\mathfrak{G}\) należy do pewnego (skończonego) cyklu w tym grafie.

    Zad. 2

    Wykazać, że dla każdego ustalonego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G) i każdego ustalonego \(m\in\mathbb{N}\), następujący problem decyzyjny może zostać rozstrzygnięty przez deterministyczną maszynę Turinga, która obok taśmy z danymi tylko do odczytu ma taśmę roboczą o długości \(O(\log n)\),gdzie \(n\) to rozmiar danych:

    Dany: kod skończonego grafu \(\mathfrak{H}\) (gotyckie H) w postaci macierzy incydencji podanej wierszami.
    Pytanie: Czy gracz II ma strategię wygrywającą w grze \(G_m(\mathfrak{G},\mathfrak{H})\)?

    Zad. 3

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) oraz takich, że \(|r^{\mathbb{A}}|=|A\setminus r^{\mathbb{A}}|\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 4

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(|\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\in E^{\mathbb{A}}\}|< |\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\notin E^{\mathbb{A}}\}|,\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 5

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest zbiorem skończonym, nie jest definiowalna.

    Zad. 6

    Pokazać, że klasa wszystkich relacji równoważności, które mają skończenie wiele klas abstrakcji, nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 7

    Niech \(\mathfrak{H}^n\) to struktura której uniwersum to hiperkostka \(\{0,1\}^n\), a jednyna relacja dwuargumentowa \(E^{\mathfrak{H}^n}\) będzie zdefiniowana tak:
    \(E^{\mathfrak{H}^n}(x,y)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x\) i \(y\) różnią się dokładnie na jednej pozycji.

    Jakie jest maksymalne \(m\) takie, że gracz II ma strategię wygrywającą w grze Ehrenfeuchta-Fraisse'go
    \(G_m(\mathfrak{H}^4,\mathfrak{H}^3)\)?

    Zad. 8

    Pokazać, że nie istnieje zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu o tej własności, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Teoria modeli dla logiki pierwszego rzędu, tw. o zwartości, tw. Skolema-Loewenheima

    Zad. 1

    Wskazać przykład takiego zbioru \(\Delta\) zdań logiki pierwszego rzędu, że każde dwa jego przeliczalne modele są izomorficzne, ale istnieją dwa nieprzeliczalne, nieizomorficzne ze soba modele zbioru \(\Delta.\)

    Zad. 2

    Niech \(\Sigma\) będzie skończoną sygnaturą. Udowodnić, że dla każdego zbioru zdań \(\Delta\) nad \(\Sigma,\) następujące dwa warunki są równoważne

    1. \(\Delta\) ma wyłącznie skończone modele.
    2. \(\Delta\) ma z dokładnością do izomorfizmu skończenie wiele modeli.

    Zad. 3

    Pokazać, że jeśli klasa \(\mathcal{A}\) struktur nad sygnaturą \(\Sigma\) jest aksjomatyzowalna zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu i jej dopełnienie \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A}\) struktur sygnatury \(\Sigma,\) ktore nie nalezą do \(\mathcal{A},\) też jest aksjomatyzowalne zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, to obie klasy są w istocie aksjomatyzowalne jednym zdaniem logiki pierwszego rzędu.

    Zad. 4

    Pokazać następujące twierdzenie Robinsona:
    Jeśli \(\Delta,\Delta'\) są spełnialnymi zbiorami zdań nad pewną sygnaturą \(\Sigma,\) zaś \(\Delta\cup\Delta'\) nie jest spełnialny, to istnieje takie zdanie \(\varphi\), że \(\Delta\models\varphi\) oraz \(\Delta'\models\lnot\varphi.\)

    Zad. 5

    Niech \(Spec(\varphi)\) oznacza zbiór mocy wszystkich skończonych modeli formuły \(\varphi.\)
    Pokazać, że jeśli \(\Delta\) jest takim zbiorem zdań, iż dla każdego \(\varphi\in\Delta\) zbiór \(Spec(\lnot\varphi)\) jest skończony, oraz jeśli \(\Delta\models\psi,\) to także \(Spec(\lnot\psi)\) jest skończony.

    Zad. 6

    Pokazać, że klasa wszystkich relacji równoważności, które mają skończenie wiele klas abstrakcji, nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 7

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest zbiorem skończonym, nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 8

    Pokazać, że klasa wszystkich algebr \(\mathbb{A}=\langle A,f^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(f\) jest symbolem jednoragumentowej funkcji, oraz takich, że \(|\vec{f}(A)|< |A|\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 9

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(|\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\in E^{\mathbb{A}}\}|< |\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\notin E^{\mathbb{A}}\}|,\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 10

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) oraz takich, że \(|r^{\mathbb{A}}|=|A\setminus r^{\mathbb{A}}|\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 11

    Udowodnić następujące tw. Hessenberga:
    Dla każdej nieskończonej mocy \(\mathfrak{m}\) zachodzi \(\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}.\)

    Zad. 12

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) oraz takich, że \(|r^{\mathbb{A}}|=2^{{|A\setminus r^{\mathbb{A}}|}}\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 13

    Udowodnić, że klasa wszystkich struktur izomorficznych do struktury postaci \(\mathbb{A}=\langle\mathcal{P}(A),\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}},\subseteq^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}}\) oraz \(\subseteq^{\mathbb{A}}\) są odpowiednio prawdziwymi sumą, przecięciem i zawieraniem zbiorów, nie jest aksjomatyzowalna.

    Zad. 14

    Sygnatura składa się z dwuargumentowego symbolu funkcyjnego \(\circ\), jednoargumentowego symbolu funkcyjnego \(inv\) i symbolu stałej \(id\). Model \(\mathfrak{F}\) (ta litera to gotyckie F, w rozwiązaniu można pisać zwykłe F) nad tą sygnaturą nazywamy grupą bijekcji, gdy jego uniwersum stanowi zbiór wszystkich bijekcji \(f:A\to A\) dla pewnego zbioru \(A,\) a operacje mają następujące interpretacje: \(\circ^{\mathfrak{F}}\) to operacja składania funkcji, \(inv^{\mathfrak{F}}\) to operacja brania funkcji odwrotnej, a \(id^{\mathfrak{F}}\) to funkcja indentycznościowa z \(A\) w \(A\).

    Udowodnić, że nie istnieje zbiór \(\Gamma\) zdań logiki pierwszego rzędu taki, że \(\mathfrak{B}\models\Gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{B}\) jest izomorficzny do pewnej grupy bijekcji.

    Zad. 15

    Pokazać, że nie istnieje zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu o tej własności, że dla każdego nieskierowanego (skończonego lub nie) grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw każdy wierzchołek \(\mathfrak{G}\) należy do pewnego (skończonego) cyklu w tym grafie.

    Zad. 16

    Czy dla każdego zbioru zdań \(\Delta\) istnieje minimalny ze względu na zawieranie podzbiór \(\Delta'\subseteq\Delta\) spełniający \(\Delta'\models\Delta\)?

    Zad. 17

    Czy dla każdego zbioru zdań \(\Delta\) takiego, że \(\Delta\models\varphi\), gdzie \(\varphi\) jest zdaniem, istnieje minimalny ze względu na zawieranie podzbiór \(\Delta'\subseteq\Delta\) spełniający \(\Delta'\models\varphi\)?

    Zad. 18

    Pokazać, że dla każdego skończonego zbioru zdań \(\Delta\) istnieje podzbiór \(\Delta'\subseteq\Delta\) spełniający \(\Delta'\models\Delta\) oraz niezależny, tzn. dla każdego \(\varphi\in\Delta'\) zachodzi \(\Delta'\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi\).

    Zad. 19

    Niech \(f\) będzie jednoargumentowym symbolem funcji i niech \(\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}Mod(\forall x\underbrace{f\ldots
    f}_n(x)=x).\)

    Wykazać, że ani \(\mathcal{A}\) nie można zdefiniować żadnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, ani dopełnienia \(\mathcal{A}\) nie można zdefiniować pojedynczym zdaniem logiki pierwszego rzędu.

    Logika i bazy danych, algebra relacyjna

    Zad. 1

    Niech \(R,S\) będą odpowiednio \(n+m\)- i \(m\)-argumentowymi symbolami relacyjnymi z sygnatury.
    Określamy nową operację \(\div\) w algebrze relacyjnej:

    \([\![R\div S]\!]=\{\langle a_1,\dots,a_n\rangle|\) dla każdego \(\langle b_1,\dots,b_m\rangle\in[\![S]\!]\ (\langle a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_m\rangle\in[\![R]\!])\}\).

    Pokazać, że operator \(\div\) jest wyrażalny za pomocą pozostałych operatorów algebry relacyjnej. Podać wyrażenie algebry relacyjnej, które jest równe \(R\div S\).


    Definicje

    Niejedednostajna klasa \(AC^0\) składa się z funkcji \(f:\{0,1\}^*\to\{0,1\}^*\) takich, że istnieje wielomian \(p(n)\) i stała \(c\) takie, że dla każdego \(n\) istnieje sieć logiczna \(C\) obliczająca \(f(x)\) dla wszystkich \(x\in\{0,1\}^n\), która:

    1. ma \(n\) bramek wejściowych i \(m\) bramek wyjściowych
    2. jest ponadto złożona z bramek logicznych AND, OR i NOT
    3. bramki wejściowe i bramki logiczne mogą mieć dowolnie wiele wyjść
    4. bramki AND i OR mogą mieć dowolnie wiele wejść, a bramki NOT zawsze tylko jedno
    5. liczba bramek w sieci nie przkracza \(p(n)\)
    6. głębokość sieci nie prekracza \(c\)

    Niejedednostajna klasa \(NC^1\) składa się z funkcji \(f:\{0,1\}^*\to\{0,1\}\) takich, że istnieje wielomian \(p(n)\) i stała \(c\) takie, że dla każdego \(n\) istnieje sieć logiczna \(C\) obliczająca \(f(x)\) dla wszystkich \(x\in\{0,1\}^n\), która:

    1. ma \(n\) węzłów wejściowych i jeden węzeł wyjściowy
    2. jest złożona z bramek AND, OR i NOT
    3. węzły wejściowe i bramki mogą mieć dowolnie wiele wyjść
    4. bramki AND i OR muszą mieć 2 wejścia, a bramki NOT zawsze tylko jedno
    5. liczba bramek w sieci nie przkracza \(p(n)\)
    6. głębokość sieci nie prekracza \(c\log n\)

    Zad. 2

    Pokazać, że po odpowiednim (naturalnym) zakodowaniu struktur skończonych \(\mathfrak{A}\) w postaci ciągów binarnych \(code(\mathfrak{A})\), dla każdego zdania \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu funkcja
    \(f_\varphi:code(\mathfrak{A})\mapsto\) if \(\mathfrak{A}\models\varphi\) then \(1\) else \(0\)
    należy do niejednostajnego \(AC^0\).

    Zad. 3

    Pokazać, że funkcja \(f_\varphi\) z poprzedniego zadania należy do niejednostajnego \(NC^1\).

    Informacja Znana w dziedzinie baz danych reguła optymalizacji zapytań wyrażonych w algebrze relacyjnej polega na tym, by rozmiar wyników pośrednich otrzymywanych trakcie ewaluacji zapytania był jak najmniejszy.

    Zad. 4

    Pokazać, że następujący problem jest nierozstrzygalny:

    Dane: wyrażenie \(E\) algebry relacyjnej nad sygnaturą składającą się z symbolu relacyjnego \(R\) i być może innych symboli.
    Pytanie: Czy dla każdej struktury moc \(|[\![E]\!]|<|[\![R]\!]|^2\)?

    Zad. 5

    Algebrę relacyjną z liniowym porządkiem na danych można skonstruować na dwa sposoby. Załóżmy, że \(\leq\) jest relacją liniowego porządku na wszystkich elementach, które mogą się pojawić w krotkach, a w sygnaturze nie ma stałych.

    Pierwszy sposób polega na tym, że do każdej bazy danych wprowadzamy dodatkową tabelę (dkoładniej perspektywę) \(LEQ\) o dwóch kolumnach, która zawiera wszystkie krotki \(\langle a,b\rangle\) dla \(a,b\) należacych do aktywnej dziedziny i takich, że \(a\leq b\). Wówczas zwykłe wyrażenia algebry relacyjnej mogą wykorzystać \(LEQ\) jak każdą inną tabelę. Jednak \(LEQ\) uważamy za część składni zapytań, a nie zwykłą tabelę w bazie.

    Drugi sposób polega na tym, że nie zwiększamy liczby tabel, ale poszerzamy składnię i w warunku \(\theta\) selekcji \(\sigma_\theta(E)\) dopuszczamy także nierówności postaci \(i\leq j\) dla \(i,j\) nie większych niż liczba kolumn w \(E\). Semantyka jest oczywista, np. \([\![\sigma_{i\leq j}(E)]\!]=\{\vec{a}\in [\![E]\!]:a_i\leq a_j\}.\)

    Pokazać, że zbiory zapytań wyrażalnych w obu formalizmach są takie same.


    Definicja

    Operator półzłączenia (ang. semijoin) \(\gg\) w algebrze relacyjnej ma następującą semantykę (uwaga: symbol tutaj użyty jest niestandardowy, bo standardowego nie udało mi się wyprodukować używając tutejszego języka znaczników):

    \([\![R\gg_\theta S]\!]=\{\vec{a}\in [\![R]\!]~:~\exists \vec{b}\in[\![S]\!] \theta(\vec{a},\vec{b})\}\),
    gdzie \(\theta\) to zbiór równości pomiędzy kolumnami \(R\) i \(S\), numerowanymi łącznie.

    Na przykład dla binarnych \(R\) i \(S\)
    \([\![R\gg_{1=3, 2=4} S]\!]=\{\langle a_1,a_2\rangle\in [\![R]\!]~:~\exists \langle b_1,b_2\rangle\in[\![S]\!]a_1=b_1\land a_2=b_2\}.\)

    Zad. 6

    Wykaż, że półzłączenie jest wyrażalne w algebrze relacyjnej i podaj jego definicję za pomocą pozostałych operatorów.

    Zad. 7

    Wykaż, że wyrażenia zbudowane z relacji przy użyciu selekcji, projekcji, sumy, różnicy i półzłączenia nie wyrażają wszystkich zapytań definiowalnych w zwykłej algebrze relacyjnej.

    Zad. 8

    Wykaż, że każde wyrażenie zbudowane z relacji przy użyciu selekcji, projekcji, sumy, różnicy i półzłączenia w bazie danych, w której elementami są liczby naturalne, można obliczyć algorytmem o złożoności czasowej \(O(n\log n),\) gdzie \(n\) to maksymalna liczba krotek w relacjach.

    Zad. 9

    Wykaż, że wyrażenia zbudowane z relacji przy użyciu projekcji, produktu, sumy, różnicy i półzłączenia wyrażają wszystkie zapytania definiowalne w zwykłej algebrze relacyjnej, o ile w sygnaturze nie ma stałych.

    Zad. 10

    Wykaż, że istnieje wyrażenie zbudowane z relacji przy użyciu selekcji, projekcji, sumy, różnicy i półzłączenia, które wyraża przecięcie relacji.

    Zad. 11

    Pokazać, że poszczególne operatory algebry relacyjnej nie są wyrażalne za pomocą pozostałych:

    • Suma się nie wyraża za pomocą selekcji, rzutowania, produktu i różnicy.
    • Różnica się nie wyraża za pomocą selekcji, rzutowania, produktu i sumy.
    • Pozostałe przypadki są banalne.

    Zad. 12

    Dane są dwie tabele \(A\) i \(B\) o dwóch kolumnach każda. Ta pierwsza składa się z \(n_A\) wierszy.

    Zaprojektować algorytm wyliczenia wartości wyrażenia algebry relacyjnej

    \(A-\pi_{1,2}(\sigma_{1=3}(A\times B)).\)

    Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są dwukolumnowe tablice, których wiersze indeksowane są nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierają takież liczby.

    W algorytmie należy użyć dokładnie jednej takiej tablicy o rozmiarze \(n_A\) wierszy i kilku dodatkowych zmiennych typu integer. Oznacza to, że wykorzystujemy dokładnie tyle pamięci, ile zajmie wynik. Proszę nie używać wskaźników, rekursji i innych metod ukrytego alokowania dodatkowej pamięci.

    Tabele \(A\) i \(B\) są tylko do odczytu, przy czym można założyć, że są one posortowane. Jeśli rozwiązanie będzie z tego korzystać, proszę o tym założeniu wspomnieć.

    Zad. 13

    Niech \(k\in\mathbb{N}\) będzie stałą. Wykazać, że jeśli \(E\) jest wyrażeniem algebry relacyjnej i maksymalna liczba kolumn w podwyrażeniach \(E\) wynosi \(k\), to istnieje algorytm obliczający wartość \([\![E]\!]\) w każdej strukturze \(\mathfrak{A}\) i działający w czasie \(O(n^{k}\log n),\) gdzie \(n\) to liczność dziedziny aktywnej \(\mathfrak{A}\).

    Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są jednowymiarowe tablice indeksowane nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierające takież liczby. Dostęp do komórki tablicy jest wykonywany w czasie jednostkowym, podobnie jak operacje arytmetyczne i porównania na liczbach całkowitych. Relacje z \(\mathfrak{A}\) są przekazywane do algorytmu właśnie w takich tablicach: relacja o \(l\) kolumnach jest reprezentowana przez \(l\) tablic, a dane zajmują początkowe indeksy. Wynik obliczenia zwraca się analogicznie.

    Rozstrzygalność teorii logicznych

    Zad. 1

    Sygnatura składa się z jednego jednoragumentowego symbolu funkcyjnego \(f\). Niech \(\psi\) będzie zdaniem \(\forall x(f(f(x))=x\land \lnot f(x)=x)\).

    1. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\psi\models\varphi\}\) jest rozstrzygalna.
    2. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\psi\models\varphi\}\) należy do PSPACE.

    Zad. 2

    Sygnatura jest pusta. Niech \(\Gamma\) będzie zbiorem zdań \(\{\forall x_1\dots x_n\exists x_{n+1}(\bigwedge_{i=1}^n\lnot x_{n+1}=x_i)~|~n\in\mathbb{N}\}\).

    1. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\Gamma\models\varphi\}\) jest rozstrzygalna.
    2. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\Gamma\models\varphi\}\) należy do PSPACE.

    Zad. 3

    Udowodnić, że następujący problem decyzyjny jest nierozstrzygalny:
    Dane:Formuła \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu
    Pytanie:Czy \(\varphi\) ma wyłącznie skończone modele?

    Zad. 4

    Wyjaśnić, jak można pogodzić ze sobą Zadania 2 i 3.

    Zad. 5

    Czy teoria pierwszego rzędu ciała liczb zespolonych \(\mathfrak{C}=\langle\mathbb{C},+,\cdot,0,1\rangle\) jest rozstrzygalna?

    Tw. Goedla o niezupełności

    Dodatkowe informacje
    Standardowy model arytmetyki to struktura \({\mathfrak N}=\langle
    {\mathbb N},*^{\mathfrak N},+^{\mathfrak N},0^{\mathfrak N},1^{\mathfrak N},
    \leq^{\mathfrak N}\rangle.\)

    Lemat o funkcji \(\beta\) [Goedel]

    Istnieje funkcja \(\beta:{\mathbb N}\times{\mathbb N}\times{\mathbb N}\to{\mathbb N}\) taka, że:

    • Dla każdego ciągu \(\bar{a}=a_0,\dots, a_r\) liczb naturalnych istnieją liczby naturalne \(t,p\) (stanowiące kod ciągu \(\bar{a}\) w sensie \(\beta\)) takie, że dla każdego \(0\leq i\leq r\) zachodzi \(\beta(t,p,i)=a_i.\)
    • Istnieje formuła arytmetyki \(\chi(x_1,x_2,x_3,x_4)\) taka, że

      \(({\mathfrak N},x_1:t,x_2:p,x_3:i,x_4:a)\models\chi\) wtw \(\beta(t,p,i)=a.\)

    Zad. 1
    Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad sygnaturą arytmetyki orzekającą, że $x$ jest silnią pewnej liczby, tzn. że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to{\mathbb N}\)
    \(({\mathfrak N},v)\models\varphi\) wtw \(v(x)\) jest postaci \(n!\) dla pewnego \(n\).

    Zad. 2
    Napisać formułę \(\varphi(x,y)\) nad sygnaturą arytmetyki definiującą funkcję \(y=\lfloor \log_2 x\rfloor,\) tzn. taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to{\mathbb N}\)
    \(({\mathfrak N},v)\models\varphi\) wtw \(v(y)=\lfloor \log_2 v(x)\rfloor.\)

    Zad. 3
    Napisać formułę \(\varphi(x,y,z)\) nad sygnaturą arytmetyki definiującą funkcję \(y=\lfloor \sqrt[z]{x}\rfloor,\) tzn. taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to{\mathbb N}\)

    \({\mathfrak N}\models\varphi[v]\) wtw} \(v(y)=\lfloor
    (v(x))^{\frac{1}{v(z)}}\rfloor.\)

    Zad. 4
    Znaleźć formułę \(\varphi(x,y)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(y\) jest największą liczbą, będącą potęgą liczby pierwszej, która dzieli \(x,\) czyli taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to{\mathbb N}\)

    \(({\mathfrak N},v)\models\varphi\) wtw \(v(y)\) jest największą potęgą liczby pierwszej, która jest dzielnikiem \(v(x)\).

    Zad. 5
    Liczba naturalna \(n\) jest doskonała gdy jest równa sumie wszystkich swoich dzielników różnych od \(n.\) Np. \(6=1+2+3\) jest doskonała.

    Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad sygnaturą arytmetyki taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to{\mathbb N}\)

    \(({\mathfrak N},v)\models\varphi\) wtw \(v(x)\) jest doskonała.

    Zad. 6
    Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad sygnaturą arytmetyki definiującą relację ,,\(x\) ma nieparzystą ilość cyfr w rozwinięciu dziesiętnym'', tzn. taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X \to{\mathbb N}\) zachodzi równoważność \(({\mathfrak N},v)\models\varphi\) wtw \(v(x)\) ma nieparzystą ilość cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

    Zad. 7
    Hipoteza Collatza (albo inaczej hipoteza \(3k+1\)) orzeka, że następujący prosty program \(\pi\) zatrzymuje się dla każdej wartości początkowej zmiennej \(k\):

    while k<>1 do
       if k mod 2=0 
          then k:=k div 2
          else k:=3*k+1;

    Hipoteza ta dotąd nie została ani udowodniona ani obalona i ma reputację niezmiernie trudnego problemu.
    Napisać zdanie \(\varphi\) nad sygnaturą arytmetyki orzekające, że hipoteza Collatza jest prawdziwa, tzn.
    \({\mathfrak N}\models\varphi\) wtw \(\pi\) zatrzymuje się dla każdej danej wejściowej \(k\).

    Zad. 8
    Rozważamy struktury \(\mathfrak{N}_f\) postaci \(\langle\mathbb{N},+,*,0,1,f\rangle\), gdzie dla uproszczenia symbol jednoargumentowej funkcji \(f\) oznacza także jej interpretację, a pozostałe symbole funkcji są interpretowane w standardowy sposób.

    Napisać zdanie \(\varphi\) nad sygnaturą arytmetyki wzbogaconą o \(f\) takie, że dla każdej funkcji \(f:\mathbb{N}\to{\mathbb N}\) zachodzi

    \({\mathfrak N}_f\models\varphi\) wtw \(f\) jest wielomianem o współczynnikach naturalnych.

    Zad. 9
    Dla danego automatu skończonego \(A\) nad alfabetem \(\{0,1\}\) napisać formułę \(\varphi(x)\) taką, że
    \({\mathfrak N},x:n\models\varphi\) wtw \(A\) akceptuje słowo \((n)_2\).

    Zad. 10
    Dla danego automatu z licznikiem \(A\) nad alfabetem \(\{0,1\}\) napisać formułę \(\varphi(x)\) taką, że
    \({\mathfrak N},x:n\models\varphi\) wtw \(A\) akceptuje słowo \((n)_2\).

    Zad. 11
    Dla danego automatu ze stosem \(A\) nad alfabetem \(\{0,1\}\) i alfabetem stosu \(\{0,1\}\) napisać formułę \(\varphi(x)\) taką, że
    \({\mathfrak N},x:n\models\varphi\) wtw \(A\) akceptuje słowo \((n)_2\).

    Zad. 12
    Dla danego automatu z dwoma stosami \(A\) nad alfabetem \(\{0,1\}\) i alfabetem stosów \(\{0,1\}\) napisać formułę \(\varphi(x)\) taką, że
    \({\mathfrak N},x:n\models\varphi\) wtw \(A\) akceptuje słowo \((n)_2\).

    Zad. 13
    Dla danej maszyny Turinga \(M\) nad alfabetem \(\{0,1\}\) i z alfabetem taśmy \(\{0,1\}\) napisać formułę \(\varphi(x)\) taką, że
    \({\mathfrak N},x:n\models\varphi\) wtw \(M\) akceptuje słowo \((n)_2\).

    Zdaniowa logika dynamiczna PDL

    Wyobraźmy sobie grę w kółko i krzyżyk, w której kratki znanego diagramu są ponumerowane od 1 do 9:

    1 2 3
    4 5 6
    7 8 9

    Teraz weźmy sygnaturę dla PDL, w której są programy \(\bigcirc_1,\bigcirc_2,\dots,\bigcirc_9\) oraz
    \({\times}_1,{\times}_2,\dots,{\times}_9\), odpowiadające wpisywaniu kółek i krzyżyków w odpowiednie kratki.
    Poza tym mamy trzy zmienne zdaniowe \(win_\bigcirc,win_{\times},draw.\)

    Struktury nad tą sygnaturą opisują możliwe (choć niekoniecznie zgodne z powszechnie znanymi regułami) rozgrywki.

    Zadanie 1
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, po wpisaniu kółka bądź krzyżyka w kratkę \(n\), nic więcej w nią już nie można wpisać.

    Zadanie 2
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że w aktualnym stanie każdy ruch jest możliwy.

    Zadanie 3
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, gracze wykonują ruchy na przemian.

    Zadanie 4
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, po wpisaniu kółka bądź krzyżyka w kratkę \(n\), nic więcej w nią już nie można wpisać.

    Zadanie 5
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, jeśli nikt nie wpisze kółka bądź krzyżyka w kratkę \(n\), to można to zrobić poźniej, a po wykonaniu tego ruchu już nigdy więcej.

    Zadanie 6
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że ze stanów z rozstrzygniętym wynikiem gry już nie można wykonywać ruchów.

    Zadanie 7
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, zakładając prawdziwość w nim zdań z poprzednich zadań, to aby dotrzeć do stanu wygrywającego dla gracza używającego kółek, trzeba ustawić jakieś trzy kółka w linię.

    Zadanie 8
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, , zakładając prawdziwość w nim zdań z poprzednich zadań, gracz używający kółek ma strategię wygrywającą.

    Zadanie 9
    Napisać zdanie, które wyraża fakt, że poczynając od aktualnego stanu, zakładając prawdziwość w nim zdań z poprzednich zadań, gracz używający kółek ma strategię wygrywającą.

    Zadanie 10

    Na ilustracji przedstawiona jest struktura Kripkego dla PDL. Jest tylko jeden program atomowy \(a\) i jedna zmienna zdaniowa \(t\), która prawdziwa jest tylko w jednym stanie, oznaczonym gwiazdką.

    UWAGA: Link do ZMODYFIKOWANEGO\({}^2\) (tzn. po raz drugi) obrazka

    Napisać formuły PDL, które rozróżniają poszczególne stany zaznaczone grubymi strzałkami: dla każdej pary spośród nich należy napisać formułę, która jest prawdziwa w jednym z tych stanów a fałszywa w drugim.

    Zadanie 11

    Niech w sygnaturze będzie jeden program atomowy \(s\) i dwie zmienne zdaniowe \(p\) i \(q\).
    Struktura \(\mathfrak{m}\) jest lewostronnie ograniczonym i prawostronnie nieskończonym łańcuchem, w którym interpretacja programu \(s\) jest następnikiem.
    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki PDL, które wyliczone w początkowym stanie łańcucha wyraża następującą własność:

    "Istnieje taki stan \(x\), od którego począwszy \(q\) jest zawsze prawdziwe (natomiast \(p\) może być prawdziwe albo fałszywe), a we wszystkich stanach od początkowego aż do \(x\) włącznie \(p\) jest zawsze prawdziwe (natomiast \(q\) może być prawdziwe albo fałszywe)."

    Zadanie 12

    Niech w sygnaturze będzie jeden program atomowy \(s\) i jedna zmienna zdaniowa \(p\).

    Struktura \(\mathfrak{m}\) jest lewostronnie ograniczonym i prawostronnie nieskończonym łańcuchem, w którym interpretacja programu \(s\) jest następnikiem. Strukturę \(\mathfrak{m}\) można naturalnie traktować jako nieskończony ciąg zerojedynkowy: tam gdzie \(p\) jest prawdziwe, są jedynki, a tam gdzie jest fałszywe są zera.

    Udowodnić, że dla dowolnego deterministycznego automatu skończonego \(A\) nad alfabetem \(\{0,1\}\) istnieje zdanie \(\varphi\) logiki PDL, które wyliczone w początkowym stanie łańcucha wyraża następującą własność:

    "Jeśli \(w\) jest prefiksem słowa \(\mathfrak{m}\), oraz \(w\) nie jest akceptowane przez automat \(A\), to istnieje inne słowo \(v\) której jest akceptowane przez \(A\) i takie, że \(wv\) jest prefiksem \(\mathfrak{m}\)."

    Zadanie 13
    Rozważamy modele dla PDL postaci skończonego łańcucha złożonego z dwóch programów atomowych: \(u\) i \(v\). Między każdymi dwoma kolejnymi stanami przechodzi jeden i tylko jeden z tych programów. Zmienne zdaniowe są dwie: \(p\) prawdziwa tylko w pierwszym stanie łańcucha i \(k\) prawdziwa tylko w ostatnim stanie. Innych zmiennych zdaniowych nie ma.

    Każdą taką strukturę można naturalnie uważać również za strukturę pierwszego rzędu, wówczas \(u\) i \(v\) są relacjami dwuargumentowymi a \(p\) i \(k\) relacjami jednoargumentowymi.

    Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki MSO istnieje zdanie \(\phi\) logiki PDL takie, że dla każdej struktury \(\mathfrak{A}\) jak powyżej, \(\phi\) jest prawdziwe w stanie początkowym struktury \(\mathfrak{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\models\varphi\).

    Logika Temporalna Czasu Liniowego LTL

    Zad. 1

    Sformalizować w LTL własność "\(\varphi\) jest prawdziwe we
    wszystkich parzystych stanach, a fałszywe we wszystkich nieparzystych"

    Zad. 2
    Pokazać, że nie da się w LTL sformalizować własności \(\varphi\)
    jest prawdziwe we wszystkich parzystych stanach".

    Zad. 3
    Dokonać separacji kilku dodatkowych przypadków w dowodzie tw. Gabbaya.

    Zad. 4
    Jak można by sformułować twierdzenie o separacji dla logiki pierwszego rzędu, tak aby było ono prawdziwe?


    Zad. 5
    Proszę sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie o separacji dla monadycznej logiki drugiego rzędu.


    Zad. 6

    "Słaby until", oznaczany \(\mathtt{U}_w\), to temporalny operator dwuargumentowy taki, że \(\alpha\mathtt{U}_w\beta\) jest równoważna formule \((\alpha\mathtt{U}\beta)\lor\mathtt{G}\alpha\). ``Słaby until'' jest więc skrótem notacyjnym.

    Wykazać, że dysponując operatorami \(\mathtt{X}\) i \(\mathtt{U}_w\) może zdefiniować standardowy unitl \(\mathtt{U}\).
    Wynika stąd, że definicję logiki LTL można by równie dobrze oprzeć o słaby until.

    Logika drugiego rzędu SO i monadyczna logika drugiego rzędu MSO

    SO

    Zad. 1

    Pokazać, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki drugiego rzędu SO istnieje inne zdanie \(\varphi'\) tejże samej logiki takie, że
    \(Spec(\varphi')=\mathbb{N}_+\setminus Spec(\varphi).\)

    Zad. 2

    Pokazać, że odpowiednik twierdzenia o zwartości nie zachodzi dla logiki drugiego rzędu.

    Zad. 3

    Napisać zdanie \(\Pi^1_1\), czyli uniwersalnego fragmentu logiki drugiego rzędu, którego wszystkimi modelami są dokładnie struktury skończone.

    Zad. 4

    Spróbować naszkicowac dowód tw. Fagina, że \(\Sigma^1_1=NP\) nad słowami (było sformułowane na wykładzie).

    Zad. 5

    Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki drugiego rzędu postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    MSO

    Zad. 1

    Na wykładzie podany został dowód, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki MSO istnieje automat, który akceptuje dokładnie te słowa, w których \(\varphi\) jest prawdziwe.

    Oszacować, jaki jest stosunek rozmiaru minimalnego deterministycznego automatu do długości formuły.


    Zad. 2

    Udowodnić, że każde zdanie MSO nad słowami jest równoważne zdaniu z tylko jednym kwantyfikatorem egzystencjalnym po relacji unarnej, w dodatku umieszczonym na początku.

    Zad. 3

    Skonstruować zdanie logiki MSO, które ma wyłącznie modele mocy co najmniej \(\mathfrak{c}\).

    Zad. 4

    Skonstruować zdanie logiki MSO, które ma wyłącznie modele mocy co najmniej \(2^{\mathfrak{c}}\).

    Zad. 5

    Skonstruować zdanie logiki MSO, którego spektrum to zbiór wszystkich liczb pierwszych.

    Zad. 6

    Rozważamy skończone grafy nieskierowane \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki MSO postaci \(\forall R_1\ldots\forall R_k\psi(R_1,\ldots,R_k),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) jest grafem acyklicznym.

    Zad. 7

    Napisać zdanie MSO, którego wszystkie skończone modele to dokładnie te grafy, które są 3-kolorowalne.

    Zad. 8

    Rozważamy modele dla PDL postaci skończonego łańcucha złożonego z dwóch programów atomowych: \(u\) i \(v\). Między każdymi dwoma kolejnymi stanami przechodzi jeden i tylko jeden z tych programów. Zmienne zdaniowe są dwie: \(p\) prawdziwa tylko w pierwszym stanie łańcucha i \(k\) prawdziwa tylko w ostatnim stanie. Innych zmiennych zdaniowych nie ma.

    Każdą taką strukturę można naturalnie uważać również za strukturę pierwszego rzędu, wówczas \(u\) i \(v\) są relacjami dwuargumentowymi a \(p\) i \(k\) relacjami jednoargumentowymi.

    Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki MSO istnieje zdanie \(\phi\) logiki PDL takie, że dla każdej struktury \(\mathfrak{A}\) jak powyżej, \(\phi\) jest prawdziwe w stanie początkowym struktury \(\mathfrak{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\models\varphi\).

    Kolokwia i egzaminy, układ chronologiczny

    Kolokwium 2010/2011

    Zad. 1

    Niech \(f\) będzie jednoargumentowym symbolem funcji i niech
    \(\mathcal{A}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}Mod(\forall x f^n(x) =x)\),
    gdzie \(f^n(x)\) to \(n\)-krotne złożenie \(f(\ldots(f(x))\ldots)\).
    Wykazać, że ani \(\mathcal{A}\) nie można zdefiniować żadnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, ani
    dopełnienia \(\mathcal{A}\) nie można zdefiniować pojedynczym zdaniem logiki pierwszego rzędu.

    Zad. 2

    Niech dany będzie niesprzeczny, skończony zbióor zdań \(\Delta\) nad pewną ustaloną i również
    skończoną sygnaturą \(\Sigma\). Wykazać, że istnieje zbiór \(\Delta_0\subseteq\Delta\) taki, że \(\Delta_0\models\Delta\), a ponadto zdania w \(\Delta_0\) są niezależne: dla każdego \(\varphi\in\Delta_0\) mamy \(\Delta_0\setminus\{\varphi\}\not\models\Delta_0\).

    Zad. 3

    Niech \(\mathfrak{H}^n\) to struktura której uniwersum to hiperkostka \(H^n=\{0,1\}^n\), a jednyna relacja dwuargumentowa \(E^{\mathfrak{H}^n}\) jest zdefiniowana tak:

    \(E^{\mathfrak{H}^n}(x,y)\) wtw, gdy \(x\) i \(y\) różnią się dokładnie na jednej pozycji.

    Jakie jest maksymalne \(m\) takie, że gracz II ma strategię wygrywającą w grze Ehrenfeuchta \(G_m(\mathfrak{H}^4,\mathfrak{H}^3)\)?

    Egzamin 2010/2011

    Zad. 1 (3 punkty)

    Rozważamy modele dla PDL postaci skończonego łańcucha złożonego z dwóch programów atomowych: \(u\) i \(v\). Między każdymi dwoma kolejnymi stanami przechodzi jeden i tylko jeden z tych programów. Zmienne zdaniowe są dwie: \(p\) prawdziwa tylko w pierwszym stanie łańcucha i \(k\) prawdziwa tylko w ostatnim stanie. Innych zmiennych zdaniowych nie ma.

    Każdą taką strukturę można naturalnie uważać również za strukturę pierwszego rzędu, wówczas \(u\) i \(v\) są relacjami dwuargumentowymi a \(p\) i \(k\) relacjami jednoargumentowymi.

    Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki MSO istnieje zdanie \(\phi\) logiki PDL takie, że dla każdej struktury \(\mathfrak{A}\) jak powyżej, \(\varphi\) jest prawdziwe w stanie początkowym struktury \(\mathfrak{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\models\phi\).

    Zad. 2 (3 punkty)

    Algebrę relacyjną z liniowym porządkiem na danych można skonstruować na dwa sposoby. Załózmy, że \(\leq\) jest relacją liniowego porządku na wszystkich elementach, które mogą się pojawić w krotkach, a w sygnaturze nie ma stałych.

    Pierwszy sposób polega na tym, że do każdej bazy danych wprowadzamy dodatkową tabelę \(LEQ\) o dwóch kolumnach, która zawiera wszystkie krotki \(\langle a,b\rangle\) dla \(a,b\) należacych do aktywnej dziedziny i takich, że \(a\leq b.\) Wówczas zwykłe wyrażenia algebry relacyjnej mogą wykorzystać \(LEQ\) jak każdą inną tabelę. Jednak \(LEQ\) uważamy za część składni zapytań, a nie zwykłą tabelę w bazie.

    Drugi sposób polega na tym, że nie zwiększamy liczby tabel, ale poszerzamy składnię i w warunku \(\theta\) selekcji \(\sigma_\theta(E)\) dopuszczamy także nierówności postaci \(i\leq j\) dla \(i,j\) nie większych niż liczba kolumn w \(E\). Semantyka jest oczywista, np. \([\![\sigma_{i\leq j}(E)]\!]=\{\vec{a}\in [\![E]\!]:a_i\leq a_j\}.\)

    Pokazać, że zbiory zapytań wyrażalnych w obu formalizmach są takie same.

    Zad. 3 (3 punkty)

    Wykazać, że dla każdego ustalonego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G) i każdego ustalonego \(m\in\mathbb{N}\), następujący problem decyzyjny może zostać rozstrzygnięty przez deterministyczną maszynę Turinga, która obok taśmy z danymi tylko do odczytu ma taśmę roboczą o długości \(O(\log n)\) (za \(n\) przyjmujemy długość danych wejściowych algorytmu):

    Dany: kod skończonego grafu \(\mathfrak{H}\) (gotyckie H) w postaci macierzy incydencji podanej wierszami.
    Pytanie: Czy gracz II ma strategię wygrywającą w grze \(G_m(\mathfrak{G},\mathfrak{H})\)?

    Zad. 4 (3 punkty)

    Czy następująca formuła logiki drugiego rzędu jest tautologią dla \(n>1\):
    \(\forall E\left[\left(\begin{array}{c}\forall xE(x,x)\land\\ \forall xy(E(x,y)\to E(y,z))\land\\ \forall xyz((E(x,y)\land E(y,z))\to E(x,z)))\end{array}\right)\to\forall x_{1}\dots x_{n}\ \bigvee _{{0\leq i< j\leq n}}E(x_{i},x_{j}))\right]\) \(\to\) \((\exists y_{1}\ldots y_{{n-1}}\forall z\bigvee _{{i=1}}^{{n-1}}y_{i}=z)\)

    Zad. 5 (1.5 punkta)

    Odpowiedz TAK lub NIE na wybrane trzy spośród poniższych pytań. Każda poprawna odpowiedź daje \(0.5\) punkta, każda niepoprawna \(-0.5\) punkta. W razie udzielenia odpowiedzi na więcej pytań, do wyniku zaliczymy trzy najgorsze z nich. Odpowiedzi proszę pisać na tej kartce!

    • Czy teoria pierwszego rzędu ciała liczb zespolonych \(\mathfrak{C}=\langle\mathbb{C},+,\cdot,0,1\rangle\) jest rozstrzygalna?
    • Czy dla każdego zbioru zdań \(\Gamma\) istnieje minimalny ze względu na zawieranie podzbiór \(\Gamma^{{\prime}}\subseteq\Gamma\) spełniający \(\Gamma^{{\prime}}\models\Gamma\)?
    • Czy problem SAT dla zdaniowej logiki trójwartościowej Bochvara jest NP-zupełny?
    • Czy formuła \(p\lor(q\to\lnot p)\) jest tautologią zdaniowej logiki intuicjonistycznej?

    Egzamin poprawkowy 2010/2011

    Zad. 1 (3 punkty)

    Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki egzystencjalnej drugiego rzędu (tzn. postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu) takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Zad. 2 (3 punkty)

    Pokazać, że żadne zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu nie ma tej własności, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Zad. 3 (3 punkty)

    Niech wyrażenie \(E\) algebry relacyjnej ma taką właściwość, że żadne podwyrażenie \(E\) nie ma więcej niż \(k\) kolumn. Pokazać, że istnieje algorytm obliczający wartość \([\![E]\!]\) w bazie strukturze \(\mathfrak{A}\), który działa w czasie \(O(n^{k}\log n),\) gdzie \(n\) to liczność dziedziny aktywnej \(\mathfrak{A}\).

    Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są jednowymiarowe tablice indeksowane nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierające takież liczby. Dostęp do komórki tablicy jest wykonywany w czasie jednostkowym, podobnie jak operacje arytmetyczne i porównania na liczbach całkowitych. Relacje z \(\mathfrak{A}\) są przekazywane do algorytmu właśnie w takich tablicach: relacja o \(l\) kolumnach jest reprezentowana przez \(l\) tablic, a dane zajmują początkowe indeksy.

    Zad. 4 (3 punkty)

    Rozważamy skończone drzewa binarne \(\mathfrak{T}\) (ta litera to gotyckie T, w rozwiązaniu można pisać zwykłe T) nad sygnaturą składającą się z dwóch dwuargumentowych symboli relacyjnych \(L\) i \(P\), przy czym \(L(x,y)\) oznacza że \(y\) to lewy syn ojca \(x\), podobnie dla \(P\) oznaczającego prawego syna. Każdy wiechołek może mieć 0, 1 lub 2 synów, zawsze najwyżej jednego lewego jednego prawego.

    Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n\) istnieje zdanie \(\varphi _{n}\) logiki pierwszego rzędu, w którym występują tylko dwie zmienne (które można rekwantyfikować tak często jak potrzeba), takie że dla każdego skończonego drzewa binarnego \(\mathfrak{T}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{T}\models\varphi _{n}\) wtw \(\mathfrak{T}\) jest pełnym drzewem binarnym o głębokości \(n\).

    Zad. 5 (3 punkty)

    Sygnatura składa się z dwuargumentowego symbolu funkcyjnego \(\circ\), jednoargumentowego symbolu funkcyjnego \(inv\) i symbolu stałej \(id\). Model \(\mathfrak{F}\) (ta litera to gotyckie F, w rozwiązaniu można pisać zwykłe F) nad tą sygnaturą nazywamy grupą bijekcji, gdy jego uniwersum stanowi zbiór wszystkich bijekcji \(f:A\to A\) dla pewnego zbioru \(A,\) a operacje mają następujące interpretacje: \(\circ^{\mathfrak{F}}\) to operacja składania funkcji, \(inv^{\mathfrak{F}}\) to operacja brania funkcji odwrotnej, a \(id^{\mathfrak{F}}\) to funkcja indentycznościowa z \(A\) w \(A\).

    Udowodnić, że nie istnieje zbiór \(\Gamma\) zdań logiki pierwszego rzędu taki, że \(\mathfrak{B}\models\Gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{B}\) jest izomorficzny do pewnej grupy bijekcji.

    Egzamin po-poprawkowy 2010/2011 (dla osób z przedłużeniem sesji)

    Zad. 1 (3 punkty)

    Rozważamy skończone grafy nieskierowane \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu
    można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego
    symbolu relacyjnegoE.
    Napisć zdanie logiki MSO postaci \(\forall X_1\ldots\forall X_k\psi(X_1,\ldots,X_k)\), w którym \(\psi\) jest
    zdaniem pierwszego rzędu takie,że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność:
    \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) jest drzewem (nieskierowanym).

    Zad. 2 (3 punkty)

    Pokazć, że nie istnieje zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu o tej własności, że dla
    każdego nieskierowanego (skończonego lub nie) grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność:
    \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw każdy wierzchołek \(\mathfrak{G}\) należy do pewnego cyklu w tym grafie.

    Zad. 3 (3 punkty)

    Dane są dwie tabele \(A\) i \(B\) o dwóch kolumnach każda. Ta pierwsza składa się z \(n_A\)
    wierszy.
    Zaprojektowć algorytm wyliczenia wartości wyrażenia algebry relacyjnej

    \(A\setminus\pi_{12}(\sigma_{1=3}(A\times B))\).

    Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb
    całkowitych typu integer, a do dyspozycji są dwukolumnowe tablice, których wiersze
    indeksowane są nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierają takież liczby.
    W algorytmie należy użyć dokładnie jednej takiej tablicy o rozmiarze \(n_A\) wierszy i
    kilku dodatkowych zmiennych typu integer. Oznacza to,że wykorzystujemy dokładnie
    tyle pamięci, ile zajmie wynik. Proszę nie używć wskaźników, rekursji i innych metod
    ukrytego alokowania dodatkowej pamięci.

    Tabele \(A\) i \(B\) są tylko do odczytu, przy czym można założyć, że są one posortowane.
    Jeśli rozwiązanie będzie z tego korzystć, proszę o tym założeniu wspomnieć.

    Zad. 4 (3 punkty)

    Rozważamy skończone skierowane cykle \(\mathfrak{C}\) (ta litera to gotyckie C, w rozwiązaniu
    można pisć zwykłe C) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego
    symbolu relacyjnego \(E\).

    Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n\) istnieje formuła
    \(\varphi_n(x,y,z)\) logiki pierwszego rzędu, w której występują tylko trzy zmienne (które można rekwantyfikowć
    tak często jak potrzeba), takie że dla każdego skończonego cyklu \(\mathfrak{C}\) zachodzi równoważność:
    \((\mathfrak{C}, x : a, y : b, z : c)\models\varphi_n(x,y,z)\) wtw \(\mathfrak{C}\) ma \(3n\) krawędzi, a skierowane
    odległości z \(a\) do \(b\), z \(b\) do \(c\) i z \(c\) do \(a\) wszystkie wynoszą po \(n\).

    Zad. 5 (3 punkty)

    Niech \(\varphi\) będzie zdaniem \(\forall x\forall y(y =f(g(x)) \to(\exists u(u=f(x)\land y =g(u))))\) oraz
    niech \(\psi\) będzie zdaniem
    \(\forall x[f(g(f(x))) =g(f(f(x)))]\). Czy \(\{\psi\}\models\varphi\)?

    Kolokwium 2011/2012

    Zadanie 1A

    Niech sygnatura \(\Sigma=\{+, s, f, 0\}\) składa się tylko z symboli funkcyjnych i niech + będzie dwuargumentowy, \(s\) i \(f\) jednoargumentowe a 0 niech będzie stałą. W algebrze \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A},f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) powiemy, że funkcja \(f^\mathfrak{A}\) jest okresowa, jeśli istnieje \(k \in A\), \(k \not =0^\mathfrak{A}\) takie, że dla każdego \(x\in A\) zachodzi \(f^\mathfrak{A}(x+k)=f^\mathfrak{A}(x)\). Powiemy, że funkcja \(f^\mathfrak{A}\) jest zwyczajnie okresowa, jeśli istnieje \(k=s^\mathfrak{A}(\ldots s^\mathfrak{A}(0^\mathfrak{A})\ldots)\) takie, że dla każdego \(x\in A\) zachodzi \(f^\mathfrak{A}(x+k)=f^\mathfrak{A}(x)\).

    Dla każdej z podanych poniżej klas struktur określ, czy jest ona:
    i) aksjomatyzowalna pojedynczym zdaniem logiki pierwszego rzędu,
    ii) jestaksomatyzowalna zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, ale nie pojedynczym zdaniem
    iii) nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.

    1. Klasa struktur \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) nad sygnaturą \(\Sigma\)
    w których \(f^\mathfrak{A}\) jest okresowa.

    2. Klasa struktur \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) nad sygnaturą \(\Sigma\)
    w których \(f^\mathfrak{A}\) jest zwyczajnie okresowa.

    3. Klasa struktur \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) nad sygnaturą \(\Sigma\)
    w których \(f^\mathfrak{A}\) nie jest zwyczajnie okresowa.

    Zadanie 1B
    Niech sygnatura \(\Sigma=\{+, s, f, 0\}\) składa się tylko z symboli funkcyjnych i niech + i \(f\) będą dwuargumentowe, \(s\) jednoargumentowy a 0 niech będzie stałą. W algebrze \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) powiemy, że funkcja \(f^\mathfrak{A}\) jest okresowa, jeśli istnieją \(k,\ell \in A\), \(k,\ell \not =0^\mathfrak{A}\) takie, że dla każdych \(x,y\in A\) zachodzi \(f^\mathfrak{A}(x+k,y+\ell)=f^\mathfrak{A}(x,y)\). Powiemy, że funkcja \(f^\mathfrak{A}\) jest zwyczajnie okresowa, jeśli
    istnieją \(k=s^\mathfrak{A}(\ldots s^\mathfrak{A}(0^\mathfrak{A})\ldots)\) i \(\ell=s^\mathfrak{A}(\ldots s^\mathfrak{A}(0^\mathfrak{A})\ldots)\) takie, że dla każdych \(x,y\in A\) zachodzi \(f^\mathfrak{A}(x+k,y+\ell)=f^\mathfrak{A}(x,y)\).

    Dla każdej z podanych poniżej klas struktur określ, czy jest ona:
    i) aksjomatyzowalna pojedynczym zdaniem logiki pierwszego rzędu,
    ii) jest aksomatyzowalna zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, ale nie pojedynczym zdaniem
    iii) nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.

    1. Klasa struktur \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) nad sygnaturą \(\Sigma\)
    w których \(f^\mathfrak{A}\) jest okresowa.

    2. Klasa struktur \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) nad sygnaturą \(\Sigma\)
    w których \(f^\mathfrak{A}\) jest zwyczajnie okresowa.

    3. Klasa struktur \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) nad sygnaturą \(\Sigma\)
    w których \(f^\mathfrak{A}\) nie jest zwyczajnie okresowa.

    Zadanie 2A

    Zajmujemy się klasą grafów (skierowanych, pętle są dopuszczalne). Skonstruować przykład dwóch grafów \(\mathfrak{G}_1\) i \(\mathfrak{G}_2\) takich, że:

    1. dla każdego grafu \(\mathfrak{H}\) o co najwyżej 7 wierzchołkach \(\mathfrak{G}_1\) zawiera indukowany podgraf izomorficzny z \(\mathfrak{H}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{G}_2\) zawiera indukowany podgraf izomorficzny z \(\mathfrak{H}\).
    2. Gracz 1 ma strategię wygrywającą w grze \(G_7(\mathfrak{G}_1,\mathfrak{G}_2).\)

    Zadanie 2B

    Zajmujemy się klasą grafów (skierowanych, pętle są dopuszczalne). Skonstruować przykład dwóch grafów \(\mathfrak{G}_1\) i \(\mathfrak{G}_2\) takich, że:
    1. dla każdego grafu \(\mathfrak{H}\) o co najwyżej 6 wierzchołkach \(\mathfrak{G}_1\) zawiera indukowany podgraf izomorficzny z \(\mathfrak{H}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{G}_2\) zawiera indukowany podgraf izomorficzny z \(\mathfrak{H}\).
    2. Gracz 1 ma strategię wygrywającą w grze \(G_6(\mathfrak{G}_1,\mathfrak{G}_2).\)

    Zadanie 3A
    Rozważamy strukturę
    \(\mathfrak{P}=\langle \mathbb{R}^3,B^\mathfrak{P}\rangle\), gdzie relacja \(B^\mathfrak{P}\) jest trzyargumentowa i określona następująco:
    \(B^\mathfrak{P}(a,b,c)\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkty \(a,b,c\) są parami
    różne, współliniowe i ponadto \(b\) leży na odcinku łączącym \(a\) i \(c\).

    Proszę napisać formułę \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu, dla
    której

    \((\mathfrak{P},x_1:a_1,x_2:a_2,x_3:a_3,x_4:a_4)\models\varphi\) wtedy i
    tylko wtedy, gdy punkty \(a_1,a_2,a_3,a_4\) leżą na jednej płaszczyźnie.

    Zadanie 3B
    Rozważamy strukturę
    \(\mathfrak{P}=\langle \mathbb{R}^3,B^\mathfrak{P}\rangle\), gdzie relacja \(B^\mathfrak{P}\) jest trzyargumentowa i określonae następująco:
    \(B^\mathfrak{P}(a,b,c)\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkty \(a,b,c\) są parami
    różne, współliniowe i ponadto \(b\) leży na odcinku łączącym \(a\) i \(c\).

    Proszę napisać formułę \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu, dla
    której

    \((\mathfrak{P},x_1:a_1,x_2:a_2,x_3:a_3,x_4:a_4)\models\varphi\) wtedy i
    tylko wtedy, gdy punkty \(a_1,a_2,a_3,a_4\) nie leżą na jednej płaszczyźnie.

    Mid-term test 2011/2012

    Problem 1A

    Let signature \(\Sigma=\{+, s, f, 0\}\) consist only of function symbols, and let + be binary, \(s\) and \(f\) unary, 0 constant. In the algebra \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A},f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) the function \(f^\mathfrak{A}\) is said to be periodic, if there exists\(k \in A\), \(k \not =0^\mathfrak{A}\) such tha tfor every \(x\in A\) holds \(f^\mathfrak{A}(x+k)=f^\mathfrak{A}(x)\).
    \(f^\mathfrak{A}\) is standard periodic, if there exists \(k=s^\mathfrak{A}(\ldots s^\mathfrak{A}(0^\mathfrak{A})\ldots)\) such that for each \(x\in A\) holds \(f^\mathfrak{A}(x+k)=f^\mathfrak{A}(x)\).

    For each of the following classes of structures determine, if it is
    i) axiomatisable by a single sentence
    ii) axiomatisable by a set of sentences, but not by a single sentence
    iii) is not axiomatisable by any set of sentences

    1. The class of structures \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) over \(\Sigma\), in which \(f^\mathfrak{A}\) is periodic

    2. The class of structures \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) over \(\Sigma\), in which \(f^\mathfrak{A}\) is standard periodic

    3. The class of structures \(\mathfrak{A}=\langle A, +^\mathfrak{A}, s^\mathfrak{A}, f^\mathfrak{A}, 0^\mathfrak{A}\rangle\) over \(\Sigma\), in which \(f^\mathfrak{A}\) is not standard periodic

    Problem 2A

    We work with the class of directed graphs (self-loops are permitted). Give an example of two such graphs \(\mathfrak{G}_1\) and \(\mathfrak{G}_2\) such that:

    1. For each graph \(\mathfrak{H}\) with at most 7 vertices, \(\mathfrak{G}_1\) contains an induced subgraph isomorphic to \(\mathfrak{H}\) if and only if \(\mathfrak{G}_2\) contains an induced subgraph isomorphic to \(\mathfrak{H}\).
    2. Player I has a winning strategy in the game \(G_7(\mathfrak{G}_1,\mathfrak{G}_2).\)

    Problem 3A
    We consider the structure
    \(\mathfrak{P}=\langle \mathbb{R}^3,B^\mathfrak{P}\rangle\), where the relation \(B^\mathfrak{P}\) is 3-ary and defined as follows:

    \(B^\mathfrak{P}(a,b,c)\) holds if and only if \(a,b,c\) are all different and collinear, and moreover \(b\) belongs to the line segment connecting \(a\) and \(c\).

    Write a first-order formula \(\varphi\) such that

    \((\mathfrak{P},x_1:a_1,x_2:a_2,x_3:a_3,x_4:a_4)\models\varphi\) if and only of the points \(a_1,a_2,a_3,a_4\) lay on a common plane.

    Egzamin 2011/2012

    Zadanie 1 (15 punktów)

    Napisać formułę \(\varphi(x,y)\) w języku arytmetyki taką, że \((\mathfrak{N},x:r,y:k)\models \varphi\) wtw w ćwierćkole \(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2~:~x,y\geq 0,~x^2+y^2\leq r\}\) na płaszczyźnie euklidesowej jest dokładnie \(k\) punktów kratowych (tzn. punktów o obu współrzędnych całkowitych).

    Zadanie 2 (15 punktów)

    W pewnej bazie danych znajduje się dwukolumnowa tabela \(R\), zawierająca w sobie relację liniowego porządku na wszystkich elementach dziedziny aktywnej tej bazy danych. Dane jest także wyrażenie \(E\) algebry relacji

    \(R\setminus (\pi_{1,4}(\sigma_{2=3}(R\times R)\setminus(\sigma_{1=2}(R\times R)\cup\sigma_{3=4}(R\times R)))).\)

    Zaprojektować algorytm obliczający \([\![E]\!]\), którego złożoność czasowa wynosi \(O(n)\), gdzie \(n=|R|.\) Można korzystać z tablicy haszującej dla elementów dziedziny aktywnej, o dostępie w czasie jednostkowym i zapewniającej brak kolizji.

    Zadanie 3 (15 punktów)

    Rozważamy logikę LTL nad skończonymi strukturami-słowami.
    Jak wiadomo z tw. Gabbaya, każde zdanie \(\varphi\) logiki LTL można wyrazić równoważnie w postaci zdania będącego boolowską kombinacją zdań czasu przyszłego i zdań czasu przeszłego.

    Podać przykład zdania \(\varphi\) logiki LTL którego nie można wyrazić równoważnie w postaci koniunkcji jednego zdania czasu przyszłego i jednego zdania czasu przeszłego.

    Zadanie 4 (15 punktów: 5 za podpunkt 1 i 10 za podpunkt 2)

    Zajmujemy się skończonymi grafami nieskierowanymi. W obu podpunktach należy napisać zdanie \(\varphi\) logiki drugiego rzędu takie, że dla każdego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi

    \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) jest spójny}.

    1. \(\varphi\) ma mieć postać \(\forall R\varphi',\) gdzie \(\varphi'\) jest formułą pierwszego rzędu.
    2. \(\varphi\) ma mieć postać \(\exists R\varphi',\) gdzie \(\varphi'\) jest formułą pierwszego rzędu.

    TEST

    1. Niech dla zdania \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu

    \({spec}(\varphi)=\{n\in\mathbb{N}_+\) istnieje \(\mathfrak{A}\) o mocy \(n\) takie, że \(\mathfrak{A}\models\varphi\}.\)

    Czy następujący problem jest rozstrzygalny:
    Dane: Dwa zdania \(\varphi,\psi\) logiki pierwszego rzędu.
    Pytanie: Czy \(spec(\varphi)=spec(\psi)\)?

    2. Czy następująca formuła logiki drugiego rzędu SO jest jest tautologią?

    \([\forall R \exists Q_1 \exists Q_2 \forall x \forall y (R(x,y) \leftrightarrow
    (Q_1(x) \land Q_2(y)))]\)

    \(\to\)

    \([\exists Q_1 \exists Q_2 \forall R \forall x \forall y ((R(x,y) \leftrightarrow
    Q_1(x,y)) \lor (R(x,y) \leftrightarrow Q_2(x,y)))]\)

    3. Czy gracz II ma strategię wygrywającą w grze Ehrenfeuchta-Fra\"{\i}ss\'ego o 4 rundach \(G_4(\mathfrak{A},\mathfrak{B}),\) gdzie \(\mathfrak{A}\) i \(\mathfrak{B}\) są poniższymi grafami nieskierowanymi (\(\mathfrak{A}\) po lewej, \(\mathfrak{B}\) po prawej):

       *      *      *      *                        *      *      *    
       |      |      |      |                        |      |      |    
     *-*-*  *-*-*  *-*-*  *-*-*                    *-*-*  *-*-*  *-*-*  
       |      |      |      |                        |      |      |    
       *      *      *      *                        *      *      *    
     

    4. Ustalamy alfabet \(A_k\) i rozpatrujemy modele-słowa postaci \(\mathfrak{A}(w)\) dla słów \(w\in A_k^+.\) Niech dla zdania \(\varphi\) logiki monadycznej drugiego rzędu MSO
    \(\bar{spec}(\varphi)=\{n\in\mathbb{N}_+ :\) istnieje \(w\in A_k^n\) takie, że \(\mathfrak{A}(w)\models\varphi\}.\)

    Czy dla każdego zdania \(\varphi\) w MSO istnieje zdanie \(\psi\) w MSO takie, że \(\mathbb{N}_+\setminus\bar{spec}(\varphi)=\bar{spec}(\psi)\)?

    5. Czy w logice LTL da się wyrazić formułą następującą własność modelu-słowa \(\mathfrak{A}(w)\):
    jest dokładnie tyle samo stanów w których zmienna zdaniowa \(p\) jest prawdziwa i stanów w których zmienna zdaniowa \(p\) jest fałszywa.

    Egzamin poprawkowy 2011/2012

    Zadanie 1 (20 punktów) Rozważamy struktury \(\mathfrak{A}\) nad sygnaturą złożoną z dwuargumentowych symboli operacji \(+,-,*\) stałych \(0,1\) oraz jednoragumentowego symbolu operacji \(f.\)

    Powiemy, że \(f^\mathfrak{A}\) jest opisana termem arytmetycznym jeśli istnieje term \(\tau(x)\) z jedną zmienną wolną \(x\), nie zawierający symbolu \(f\) oraz taki, że dla każdego wartościowania \(\rho\) w \(\mathfrak{A}\) zachodzi
    \([\![f(x)]\!]_\rho=[\![\tau(x)]\!]_\rho.\)

    Przykładowo, jeśli \(A=\mathbb{R}\) oraz działania \(+,-,*\) i stałe \(0,1\) mają swoje zwykłe interpretacje znane z ciała liczb rzeczywistych, to \(f^\mathfrak{A}\) jest opisana termem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy \(f^\mathfrak{A}\) jest wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych.

    Udowodnić, że nie istnieje zbiór zdań \(\Delta\) logiki pierwszego rzędu nad powyższą sygnaturą taki, że \(\mathfrak{A}\models\Delta\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(f^\mathfrak{A}\) jest opisana termem arytmetycznym.

    Zadanie 2 (20 punktów) W pewnej bazie danych znajduje się dwukolumnowa tabela \(G\), zawierająca w sobie zbiór krawędzi pewnego grafu (który dla uproszczenia nazwiemy również \(G\)); w schemacie jest też stała \(a\). Napisać wyrażenie \(E\) algebry relacyjnej nie zawierające żadnego podwyrażenia o więcej niż 3 kolumnach o następującej semantyce:

    \([\![E]\!]=\{\langle b\rangle~|~\) odległość od \(b\) do \(a\) w \(G\) nie przekracza 3\(\}.\)

    Zadanie 3 (20 punktów)
    Rozważamy nieskończone pełne drzewo binarne z dodatkową relacją unarną \(\mathfrak{T}_U=\langle T,L,P,U\rangle\) (ta dziwna litera to gotyckie T, w rozwiązaniu można pisać zwykłe T). Sygnatura zawiera dwa dwuargumentowe symbole relacyjne \(L\) i \(P\), przy czym \(L(x,y)\) oznacza że \(y\) to lewy syn ojca \(x\), podobnie dla \(P\) oznaczającego prawego syna. Każdy wiechołek zawsze ma 2 synów: jednego lewego i jednego prawego. W sygnaturze znajduje się ponadto jeden symbol jednoargumentowej relacji \(U\), o którego interpretacji nic szczególnego nie zakładamy.

    Skonstruować zdanie \(\varphi\) monadycznej logiki drugiego rzędu MSO o następującej własności:

    \(\mathfrak{T}_U\models\varphi\) wtw na pewnej scieżce w drzewie \(\mathfrak{T}_U\) jest nieskończenie wiele elementów zbioru \(U\).

    Prawdziwość zdania \(\varphi\) w strukturach innych niż te o postaci \(\mathfrak{T}_U\) jest nieistotna.

    Zadanie 4 (20 punktów)
    Spektrum \(Spec(\varphi)\) zdania \(\varphi\) to zbiór wszystkich liczb naturalnych \(n\) takich, ze \(\varphi\) ma model o mocy \(n.\)

    Niech dana będzie zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu. Skonstruować zdanie \(\psi\) logiki pierwszego rzędu (sygnatura jest do wyboru) takie, że \(Spec(\psi)=\{ 2\cdot n~/~n\in Spec(\varphi)\}.\)

    Zadanie 5 (20 punktów)
    Gracz II ma strategię wygrywającą w grze Ehrenfeuchta-Fraissego o 4 rundach \(G_4(\mathfrak{A},\mathfrak{B})\), gdzie \(\mathfrak{A}\) jest poniższym grafem nieskierowanym:

        *        *        *    
        |        |        |    
     *--*--*  *--*--*  *--*--*

    zaś \(\mathfrak{B}\) jest grafem nieskierowanym mającym \(n\) wierzchołków.
    Ile krawędzi może mieć graf \(\mathfrak{B}\)?

    Kolowium 2012/2013

    Monoid to struktura \(\mathfrak{M}=\langle M,\circ,e\rangle\), w której
    dwuargumentowa operacja \(\circ\) jest łączna, a stała \(e\) jest jej
    elementem neutralnym.

    Monoid \(\mathfrak{M}\) jest skończenie generowany, jeśli istnieje
    skończenie wiele elementów \(a_1,\ldots,a_n\in M\) takich, że każde
    \(a\in M\) można wyrazić za pomocą \(\circ\) stosowanej do tych
    elementów. Na przykład monoid \(\langle
    A^*,\cdot,\varepsilon\rangle\) słów nad alfabetem \(A\) z konkatenacją i
    słowem pustym jest skończenie generowany wtedy i tylko wtedy, gdy \(A\)
    jest skończony.

    Monoid \(\mathfrak M=\langle M,\circ,e\rangle\) jest definiowany w
    \(\mathfrak{N}\) formułami \(\mu(x), \ \nu(x,y,z)\) i \(\epsilon(x)\)
    nad
    sygnaturą arytmetyki, jeśli
    \(M=\{a\in\mathbb{N}~|~(\mathfrak{N},x:a)\models\mu\}\), dla
    dowolnych \(a,b,c\in M\) zachodzi: \(a\circ b=c\) wtedy i tylko wtedy, gdy
    \((\mathfrak{N},x:a,y:b,z:c)\models\ \nu\) oraz \(e\) jest jedynym elementem
    \(M\) dla którego \((\mathfrak{N},x:e)\models\epsilon.\)

    Zad. 1

    Wykaż, ze klasa monoidów skończenie generowanych nie jest
    aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań.

    Zad. 2

    Dla danych \(\mu(x),\ \nu(x,y,z)\) i \(\epsilon(x)\) nad sygnaturą arytmetyki, które
    definiują monoid w \(\mathfrak{N}\), napisz zdanie \(\gamma\) nad sygnaturą
    arytmetyki, używające ich jako podformuł, takie że

    \(\mathfrak{N}\models \gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy monoid definiowany
    przez \(\mu,\ \nu\) i \(\epsilon\) jest skończnie generowany.

    Zad. 3

    Rozważamy dwa grafy \(\mathfrak{T}_1=\langle T_1,E_1\rangle\) i
    \(\mathfrak{T}_2=\langle T_2,E_2\rangle\) określone jak następuje:

    \(T_1=\{1,2,\ldots,15\},\) \(E_1=\{\langle n,2n+1\rangle~|~n,2n+1\in T_1\}\)

    \(T_2=\{1,2,\ldots,11\},\) \(E_2=\{\langle n,2n+1\rangle~|~n,2n+1\in T_2\}\)

    Napisz zdanie o minimalnej randze kwantyfikatorowej, które rozróżnia
    \(\mathfrak{T}_1\) i \(\mathfrak{T}_2\). Należy uzasadnić poprawność
    zdania, można nie uzasadniać jego minimalności.

    Mid-term test 2012/2013

    A {\em monoid} is a structure \(\mathfrak{M}=\langle M,\circ,e\rangle\),
    where binary operation \(\circ\) is associative and constant \(e\) is its
    neutral element.

    Monoid \(\mathfrak{M}\) is finitely generated, if there exist
    finitely many elements \(a_1,\ldots,a_n\in M\) such that every \(a\in M\) can be
    expressed using those elements and \(\circ\). For example, the monoid
    \(\langle A^*,\cdot,\varepsilon\rangle\) of words over an alphabet \(A\) with
    concatenation and empty word is a finitely generated iff \(A\) is finite.

    Monoid \(\mathfrak M=\langle M,\circ,e\rangle\) is defined in
    \(\mathfrak N\) by formulas \(\mu(x),\ \nu(x,y,z)\) and \(\epsilon(x)\)
    over the
    signature of arithmetics, if
    \(M=\{a\in\mathbb{N}~|~(\mathfrak{N},x:a)\models\mu\}\), for every
    \(a,b,c\in M\) the equality \(a\circ b=c\) holds if and only if
    \((\mathfrak{N},x:a,y:b,z:c)\models\nu\) and \(e\) is the only element of
    \(M\) such that \((\mathfrak{N},x:e)\models\epsilon.\)

    Problem 1

    Prove that the class of finitely generated monoids is not
    axiomatizable by any set od sentences of FO.

    Problem 2

    For given \(\mu(x),\ \nu(x,y,z)\) and \(\epsilon(x)\) over the signature
    of arithmetics, which define a monoid in \(\mathfrak{N}\), write a
    sentence \(\gamma\) over the signature of arithmetics, which may use
    them as subformulas, and such that

    \(\mathfrak{N}\models \gamma\) if and only if the monoid defined by
    \(\mu,\ \nu\) and \(\epsilon\) is finitely generated.

    Problem 3

    We consider two graphs \(\mathfrak{T}_1=\langle T_1,E_1\rangle\) and
    \(\mathfrak{T}_2=\langle T_2,E_2\rangle\) defined as follows:

    \(T_1=\{1,2,\ldots,15\},\) \(E_1=\{\langle n,2n+1\rangle~|~n,2n+1\in T_1\}\)

    \(T_2=\{1,2,\ldots,11\},\) \(E_2=\{\langle n,2n+1\rangle~|~n,2n+1\in T_2\}\)

    Write a sentence of minimal possible quantifier rank, which
    distinguishes \(\mathfrak{T}_1\) and \(\mathfrak{T}_2\). You should prove
    the correcntess of your sentence, but you do not have to prove its
    minimality.

    Egzamin 2012/2013

    Zadanie 1 (10 punktów) Niech sygnatura \(\Sigma\) składa
    się tylko z symboli relacyjnych: dwuargumentowego \(E\) i
    jednoargumentowego \(P.\) Dla każdej z podanych poniżej klas struktur
    określ, czy jest ona (i) aksjomatyzowalna jednym zdaniem logiki
    pierwszego rzędu, (ii) aksjomatyzowalna zbiorem zdań logiki pierwszego
    rzędu, ale nie pojedynczym zdaniem, (iii) nieaksjomatyzowalna żadnym
    zbiorem zdań pierwszego rzędu.

    Klasa struktur \(\mathfrak{A}=(A, E^{\mathfrak{A}}, P^{\mathfrak{A}})\) nad sygnaturą \(\Sigma\), w
    których \(E^{\mathfrak{A}}\) jest symetryczna i takich, że:

    • w każdej spójnej składowej \((A,E^{\mathfrak{A}})\) każdy wierzchołek
      spełnia \(P^{\mathfrak{A}}\).
    • istnieje spójna składowa \((A,E^{\mathfrak{A}})\), w której pewien
      wierzchołek spełnia \(P^{\mathfrak{A}}\).
    • istnieje spójna składowa \((A,E^{\mathfrak{A}})\), w której każdy
      wierzchołek spełnia \(P^{\mathfrak{A}}\).

    Uwaga: czwarty element tego zestawu jest pytaniem w teście, a trzy
    powyższe podpunkty nie są mają równych wag w łącznej punktacji zadania.

    Zadanie 2 (10 punktów) Rozważmy strukturę
    \(\mathfrak{R}=\langle\mathbb{R},+,*,0,1\rangle\), gdzie nośnik to zbiór
    liczb rzeczywistych, ze standardową interpretacją symboli z
    sygnatury. Napisz formułę \(\varphi(x)\) monadycznej logiki drugiego rzędu
    MSO, z jedną zmienną wolną (pierwszego rzędu) taką, że

    \((\mathfrak{R},x:a)\models\varphi~~\text{wtw}~~a\in\mathbb{Q}.\)

    Zadanie 3 (10 punktów) Udowodnij, że dla każdego
    \(n\)-argumentowego wyrażenia \(E\) algebry relacyjnej, dla dowolnych

    \(1\leq i_1\le \cdots\le i_m\leq n\) i dla dowolnego ustalonego
    \(k\in\mathbb{N}\), wyrażenie

    \(
    {\tt group}\ E\ {\tt by}\ i_1,\ldots, i_m\ {\tt having~count(*)}>k
    \)
    także jest definiowalne w algebrze relacyjnej.

    Powyższe wyrażenie jest \(m\)-argumentowe, a jego semantyką jest
    zdefiniowana przez:

    \(\{ (a_{i_1},\ldots,a_{i_m}) \mid \text{istnieje \(>k\) krotek
    \(\langle b_1,\ldots,b_n\rangle\in[\![E]\!]\) t. że}~a_{i_1}=b_{i_1},\ldots,a_{i_m}=b_{i_m} \}
    \)

    Zadanie 4 (10 punktów) Rozważamy monadyczną logikę drugiego
    rzędu (MSO) nad skończonymi modelami-słowami.

    Każdemu elementowi \(a\) uniwersum modelu-słowa można przypisać
    liczbę \(\bar{a}\in\mathbb{N}\) równą jego pozycji w słowie (pozycje
    numerujemy od \(1\)).

    Udowodnij, że nie istnieje formuła \(\varphi(x,y,z)\) logiki MSO taka, że
    dla każdego modelu-słowa \(\mathfrak{A}(w)\) i dowolnych \(a,b,c\in A\)

    \(
    (\mathfrak{A}(w),x:a,y:b,z:c)\models\varphi~~\text{wtw}~~\bar{a}+\bar{b}\equiv\bar{c} \pmod {|w|}.
    \)

    TEST

    Pytanie 1 (2 punkty) Niech dla zdania \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu
    \(
    Spec(\varphi) = \{n\in\mathbb{N}^+ \mid \mbox{ istnieje \(\mathcal{A}\) o mocy \(n\) takie że } \mathcal{A}\models\varphi\}.
    \)
    Czy następujący problem jest rozstrzygalny:

    Dane: zdanie \(\varphi\)

    Pytanie: czy \(Spec(\varphi)\cup Spec(\neg\varphi)=\mathbb{N}_+\)?

    Pytanie 2 (2 punkty) W sytuacji z Zadania 1, czy własność
    w każdej spójnej składowej \((A,E^{\mathfrak{A}})\) istnieje wierzchołek
    spełniający \(P^{\mathfrak{A}}\)
    jest aksjomatyzowalna zbiorem zdań logiki
    pierwszego rzędu?

    Pytanie 3 (2 punkty) Czy gracz I ma strategię wygrywającą w grze
    Ehrenrfeuchta-Fra\"{\i}ss\'e o 3 rundach na dwóch poniższych
    nieskierowanych grafach 8-wierzchołkowych?
    \[
    \xymatrix@=10pt{
    \bullet & & \bullet \\
    \bullet\ar@{-}[u]\ar@{-}[d] & \bullet & \bullet\ar@{-}[u]\ar@{-}[d]\ar@{-}[l]\ar@{-}[r] & \bullet \\
    \bullet & & \bullet
    } \qquad \qquad
    \xymatrix@=10pt{
    \bullet & & \bullet \\
    \bullet\ar@{-}[u]\ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \bullet & \bullet\ar@{-}[u]\ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \bullet \\
    \bullet & & \bullet
    }
    \]

    Pytanie 4 (2 punkty) Czy dla każdej formuły \(\varphi\) logiki
    pierwszego rzędu istnieją: liczba naturalna \(k\), ciąg kwantyfikatorów
    \(Q_1,\ldots,Q_k\in\{\forall,\exists\}\) i zmiennych \(x_1,\ldots, x_k\)
    oraz formuła \(\psi\), w której nie występują kwantyfikatory, takie że
    tautologią jest

    \(
    \varphi \leftrightarrow Q_1x_1\cdots Q_kx_k\psi \qquad ?
    \)

    Pytanie 5 (2 punkty) Czy w logice pierwszego rzędu istnieje
    tautologia, która nie ma dowodu w systemie Hilberta?

    Egzamin poprawkowy 2012/2013

    Zadanie 1 (10 punktów) Niech sygnatura \(\Sigma\) składa
    się tylko z symboli relacyjnych: dwuargumentowego \(E\) i jednoargumentowego \(P\). Rozważmy klasę \(\mathcal{A}\) struktur \(\mathfrak{A}=(A, E^{\mathfrak{A}}, P^{\mathfrak{A}})\) nad sygnaturą \(\Sigma\), w których \(E^{\mathfrak{A}}\) jest symetryczna i takich, że w każdej spójnej składowej \((A,E^{\mathfrak{A}})\) istnieje wierzchołek spełniający \(P^{\mathfrak{A}}\).

    Określ, czy klasa \(\mathcal{A}\) jest (i) aksjomatyzowalna jednym zdaniem logiki pierwszego rzędu, (ii) aksjomatyzowalna zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, ale nie pojedynczym zdaniem, (iii) nieaksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.

    Zadanie 2 (10 punktów) Prosty graf nieskierowany (zwany dalej grafem) to struktura \(\mathfrak{G}\) nad
    sygnaturą z jednym dwuargumentowym symbolem relacyjnym \(E\), taka że relacja \(E^{\mathfrak{G}}\) jest symetryczna (tzn. jeśli \((x,y)\in E^{\mathfrak{G}}\) to \((y,x)\in E^{\mathfrak{G}}\)) i antyzwrotna (tzn. nie ma takich \(x\) że \((x,x)\in E^{\mathfrak{G}}\)). Dopełnieniem grafu \(\mathfrak{G}\) jest graf \(\overline{\mathfrak{G}}\) o tym samym zbiorze wierzchołków co \(\mathfrak{G}\), w którym występują dokładnie te krawędzie, które nie występują w \(\mathfrak{G}\).

    Dla (i) \(n=5\) oraz dla (ii) \(n=6\) narysuj taki graf \(\mathfrak{G}\) o \(n\) wierzchołkach, żeby Gracz II miał strategię wygrywającą w grze Ehrenfeuchta-Fra\"{\i}ss\'e o możliwie wielu rundach na grafie \(\mathfrak{G}\) i jego dopełnieniu \(\overline{\mathfrak{G}}\). Im więcej rund uzyskasz, tym lepsze rozwiązanie. Napisz ile rund uzyskałeś/aś i, o ile to możliwe, podaj formułę logiczną o możliwie małej głębokości kwantyfikatorowej, która rozróżnia \(\mathfrak{G}\) i \(\overline{\mathfrak{G}}\).

    Zadanie 3 (10 punktów) Napisz zdanie w monadycznej logice drugiego rzędu MSO, które definiuje klasę \(\mathcal{A}\) z zadania 1.

    Zadanie 4 (10 punktów) Niech \(\mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}\times\mathbb{Z},E^\mathfrak{A},U^\mathfrak{A}\rangle,\) gdzie \(E\) jest symbolem relacji dwuargumentowej a \(U\) jest symbolem relacji jednoargumentowej. \(\langle x,y\rangle E^\mathfrak{A}\langle x',y'\rangle\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (\(x=x'\) i \(|y-y'|=1\)) lub (\(|x-x'|=1\) i \(y=y'\)). Zatem \(\langle \mathbb{Z}\times\mathbb{Z},E^\mathfrak{A}\rangle\) to przeliczalny graf nieskierowany w kształcie kraty.

    (i) Napisz zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu wyrażające własność, że \(U^\mathfrak{A}\) jest sumą pewnego zbioru pełnych wierszy lub pewnego zbioru pełnych kolumn kraty \(E^\mathfrak{A}\).

    (ii) Udowodnij, że nie istnieje zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu wyrażające własność, że \(U^\mathfrak{A}\) jest sumą pewnego zbioru pełnych kolumn kraty \(E^\mathfrak{A}\).

    TEST

    Pytanie 1 (2 punkty) Czy istnieje liczba \(k\) taka, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki
    pierwszego rzędu istnieje formuła \(\psi\) w której nie występują
    kwantyfikatory, ciąg kwantyfikatorów
    \(Q_1,\ldots,Q_k\in\{\forall,\exists\}\) i ciąg zmiennych \(x_1,\ldots,
    x_k\) taki że tautologią jest
    \[
    \varphi \leftrightarrow Q_1x_1\cdots Q_kx_k\psi \qquad ?
    \]

    Pytanie 2 (2 punkty) Czy następujące zdanie logiki drugiego rzędu SO, nad sygnaturą z jednym dwuargumentowym symbolem relacyjnym \(E\), jest tautologią?
    \begin{align*}
    \exists R &[\forall x\forall y(E(x,y)\to R(x,y))
    \ \land\ \forall x\forall y\forall z(R(x,y)\land R(y,z)\to R(x,z))
    \ \land\ \exists x\exists y\neg R(x,y)] \\
    \rightarrow \\
    \exists P &[\exists x P(x)\ \land\ \exists x\neg P(x)
    \ \land\ \forall x\forall y(P(x)\land E(y,x)\to P(y))]
    \end{align*}

    Pytanie 3 (2 punkty) Czy rozstrzygalny jest następujący problem:

    Dane: zdanie \(\varphi\) logiki drugiego rzędu SO oraz skończony model \(\mathfrak{A}\) nad tą samą sygnaturą.

    Pytanie: czy \(\mathfrak{A} \models \varphi\)?

    Pytanie 4 (2 punkty) Czy dla każdej sygnatury \(\Sigma\) i każdej struktury \(\mathfrak{A}\) mocy \(\mathfrak{c}\) nad \(\Sigma\) istnieje przeliczalna struktura \(\mathfrak{B}\) nad \(\Sigma\) taka, że \(\mathfrak{A}\equiv\mathfrak{B}\)?

    Pytanie 5 (2 punkty) Czy język słów nad alfabetem \(\{0,1\}\), które są palindromami jest definiowalny w logice pierwszego rzędu nad sygnaturą modeli-słów, w tym wypadku złożoną z binarnego \(\leq\) i unarnego \(X\)? Zakładamy, że prawdziwość \(X\) oznacza literę 1, a fałszywość literę 0.

    Kolokwium 2013/2014

    Kolokwium z logiki dla informatyków 2013/2014

    Zadanie 1 Rozważamy klasę \(\mathcal{A}\) wszystkich struktur, które są izomorficzne do struktury postaci \(\langle A^\mathbb{N},R\rangle\), gdzie \(A\) jest dowolnym niepustym zbiorem, \(A^\mathbb{N}\) jest zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów elementów \(A\), zaś \(xRy\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór pozycji na których \(x\) i \(y\) się różnią, jest skończony.

    Udowodnij że \(\mathcal{A}\) nie jest akjomatyzowalne żadnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą składającą się wyłącznie z \(R\).

    Zadanie 2 Niech struktura \(\mathfrak{A}=\langle A,<^\mathfrak{A}\rangle\) będzie liniowym porządkiem na \(A\) takim, że \(\mathfrak{A}\) jest 2-elementarnie równoważne strukturze \(\mathfrak{N}=\langle \mathbb{N}, <\rangle\). Czy z tego wynika, że

    * \(A\) jest nieskończone;
    * \(A\) ma element najmniejszy;
    * Każdy element \(A\) ma tylko skończenie wiele elementów mniejszych od siebie?

    Odpowiedzi uzasadnij.

    Zadanie 3 Rozstrzygnij, czy następujące formuły mają dowód w systemie Gentzena dla logiki zdaniowej:

    * \( (p\to q) \lor (q\to p)\)
    * \((p\to ( q \to p)) \to p\)

    Egzamin 2013/2014

    Zadanie 1 (10 punktów) Dana jest struktura \(\mathfrak{A}=\langle \{a,b\}^*,\cdot,a,b,\varepsilon\rangle\) słów nad alfabetem \(\{a,b\}\) z operacją konkatenacji oraz słowami jednoliterowymi \(a\) i \(b\) i słowem pustym jako stałymi. Udowodnij, że dla każdego regularnego języka \(L\subseteq\{a,b\}^*\) istnieje formuła \(\varphi(x)\) logiki MSO z jedną zmienną wolną \(x\) taka, że \(L=\{w~|~(\mathfrak{A},x:w)\models\varphi\}.\)

    Zadanie 2 (10 punktów)
    Relacja \(E\subseteq A\times A\) ma własność Churcha-Rossera jeśli dla każdych \(a,b,c\) takich, że istnieją ścieżki od \(a\) do \(b\) i od \(a\) do \(c,\) istnieje \(d\), osiągalne ścieżkami zarówno z \(b\) jak i z \(c\). (Takie relacje są istotne w badaniach rachunku \(\lambda.\))

    Udowodnij, że nie istnieje zbiór zdań logiki pierwszego rzędu \(\Delta\) taki, że \(\langle A,E\rangle\models\Delta\) wtedy i tylko wtedy, gdy relacja \(E\) ma własność Churcha-Rossera.

    Zadanie 3 (10 punktów)
    Słaba monadyczna logika drugiego rzędu (Weak Monadic Second Order Logic, w skrócie WMSO) ma tę samą składnię co logika MSO. Pod względem semantyki, kwantyfikatory po zbiorach/relacjach unarnych \(\forall X\) i \(\exists X\) znaczą odpowiednio dla każdego skończonego podzbioru uniwersum i istnieje skończony podzbiór uniwersum.

    Udowodnić, że dla każdej formuły \(\varphi(\vec{x})\) logiki WMSO nad sygnaturą arytmetyki (czyli bez wolnych zmiennych drugiego rzędu) istnieje formuła \(\psi(\vec{x})\) logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą arytmetyki taka, że \(\mathfrak{N}\models\forall \vec{x}(\varphi(\vec{x})\leftrightarrow\psi(\vec{x})).\)

    Zadanie 4 (10 punktów)
    Jednostronna gra Ehrenfeuchta-Fra\"{\i}ss\'e o \(k\) rundach na strukturach \(\mathfrak{A}_0\) i \(\mathfrak{A}_1\) to zmodyfikowana gra standardowa, w której gracz I po wybraniu w pierwszej rundzie elementu struktury \(\mathfrak{A}_i\) musi już do końca wybierać elementy \(\mathfrak{A}_i\), a gracz II odpowiada w standardowy sposób ciągle w \(\mathfrak{A}_{1-i}\).

    Podać przykład dwóch struktur \(\mathfrak{A}_0\) i \(\mathfrak{A}_1\) takich, że gracz II ma dla każdego \(k\) strategię wygrywającą w jednostronnej grze Ehrenfeuchta-Fra\"{\i}ss\'e o \(k\) rundach na strukturach \(\mathfrak{A}_0\) i \(\mathfrak{A}_1\), mimo tego, że dla pewnego \(m\) gracz I ma strategię wygrywającą w standardowej grze Ehrenfeuchta-Fra\"{\i}ss\'e o \(m\) rundach na strukturach \(\mathfrak{A}_0\) i \(\mathfrak{A}_1\).

    Rozwiązania będą oceniane także przez pryzmat osiągniętej wartości \(m,\) maksimum można dostać tylko za \(m=2.\)

    TEST

    Za każdą trafną odpowiedź przyznajemy 2 punkty, za każdą nietrafną -2 punkty. Brak odpowiedzi to 0 punktów.

    1. Niech \(\varphi\) będzie zdaniem logiki pierwszego rzędu i niech \(\mathit{Spec}(\varphi)=\{n\in\mathbb{N}~|\) istnieje model \(\mathfrak{A}\) mocy \(n\) taki, że \(\mathfrak{A}\models\varphi\}.\)
    Czy rozstrzygalny jest następujący problem decyzyjny: Dane: zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu; Pytanie: Czy \(\mathit{Spec}(\varphi)=\emptyset\)?

    2. Czy istnieje zbiór zdań logiki pierwszego rzędu nad skończoną sygnaturą, który ma skończone modele każdej mocy parzystej, ale nie ma modelu mocy \(\mathfrak{c}\)?

    3. Niech \(\varphi\) będzie zdaniem logiki MSO nad sygnaturą modeli-słów i niech \(\mathit{Spec}_0(\varphi)=\{n\in\mathbb{N}~|\) istnieje model-słowo \(\mathfrak{A}(w)\) mocy \(n\) taki, że \(\mathfrak{A}(w)\models\varphi\}.\)

    Czy rozstrzygalny jest następujący problem decyzyjny: Dane: zdanie \(\varphi\) logiki MSO nad sygnaturą modeli-słów; Pytanie: Czy \(\mathit{Spec}_0(\varphi)=\emptyset\)?

    4. Czy \(\langle\mathbb{Q},<\rangle\equiv\langle\mathbb{R},<\rangle\)? (Porządek w obu strukturach jest naturalny.)

    5. Czy gracz II ma strategię wygrywającą w standardowej grze Ehrenfeuchta-Fraisse o dwóch rundach na następujących dwóch grafach nieskierowanych o 4 wierzchołkach:

     * - *                     * - *   
     |   |                     | \ |
     * - *                     * - *

    Egzamin poprawkowy 2013/2014

    Zadanie 1 (10 punktów) Rozważamy klasę grafów, czyli symetrycznych struktur (skończonych lub nieskończonych) bez pętli nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E.\) Graf \(\mathfrak{G}=\langle V,E\rangle\) jest dwudzielny gdy istnieją niepuste rozłączne podzbiory \(A,B\subseteq V\) takie, że \(E\subseteq (A\times B)\cup(B\times A)\).

    Dla każdej z poniższych klas grafów

    1. grafy dwudzielne
    2. grafy nie-dwudzielne

    określ, czy jest ona

    1. aksjomatyzowalna jednym zdaniem logiki pierwszego rzędu
    2. aksjomatyzowalna zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, ale nie pojedynczym zdaniem
    3. nieaksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu

    Zadanie 2 (10 punktów)
    Relacja \(E\subseteq A\times A\) ma \textit{własność Churcha-Rossera} jeśli dla każdych \(a,b,c\) takich, że istnieją ścieżki od \(a\) do \(b\) i od \(a\) do \(c,\) istnieje \(d\), osiągalne ścieżkami zarówno z \(b\) jak i z \(c\). (Takie relacje są istotne w badaniach rachunku \(\lambda.\))

    Udowodnij, że istnieje zdanie logiki MSO \(\varphi\) takie, że \(\langle A,E\rangle\models\varphi\) wtedy i tylko wtedy, gdy relacja \(E\) ma własność Churcha-Rossera.

    Zadanie 3 (10 punktów)

    Dla przypomnienia, spektrum \(\mathit{Spec}(\varphi)\) zdania \(\varphi\) to zbiór \(\{n\in\mathbb{N}~|\)istnieje model zdania \(\varphi\) mocy \(n\}.\)

    Niech z zdaniu \(\varphi\) występują wyłącznie jednoragumentowe symbole relacyjne. Udowodnij, że \(\mathit{Spec}(\varphi)\) jest albo skończony, albo jego dopełnienie jest skończone.

    Zadanie 4 (10 punktów)

    Udowodnić, że struktury \(\langle\mathbb{Q}\times\mathbb{Z},\leq\rangle\) i \(\langle\mathbb{R}\times\mathbb{Z},\leq\rangle\), uporządkowane leksykograficznie z użyciem naturalnych porządków na \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) i \(\mathbb{R},\) są elementarnie równoważne.

    TEST

    1.
    Dana jest struktura \(\mathfrak{A}=\langle \{a,b\}^*,\cdot,a,b,\varepsilon\rangle\) słów nad alafabetem \(\{a,b\}\) z operacją konkatenacji oraz słowami jednoliterowymi \(a\) i \(b\) i słowem pustym jako stałymi. Czy istnieje formuła \(\varphi(x)\) logiki pierwszego rzędu z jedną zmienną wolną \(x\) taka, że język \(\{w~|~(\mathfrak{A},x:w)\models\varphi\}\) nie jest regularny?

    2. Logikę \(L\) nazywamy \textit{monotoniczną}, jeśli z tego, że \(\Delta\models\varphi\) oraz \(\Gamma\supseteq\Delta\) wynika, że \(\Gamma\models\varphi.\)

    Dla logiki trójwartościowej Sobocińskiego określamy, że \(\Delta\models\varphi\), gdy dla każdego wartościowania zmiennych zdaniowych wartościami ze zbioru \(\{0,\frac12,1\}\), jeśli wartości wszystkich zdań z \(\Delta\) wynoszą 1, to także wartość \(\varphi\) wynosi 1.

    Czy logika trójwartościowa Sobocińskiego jest monotoniczna?

    3. Czy gracz II ma strategię wygrywającą w standardowej grze Ehrenfeuchta-Fraisse o 4 rundach na następujących dwóch grafach nieskierowanych o 10 wierzchołkach:

           *                       *    
           |                       |
       * - * - *               * - * - *
                                   |
                                   *
     
     
           *                       *   
           |                       |
       * - * - *               * - * - *
          /  \                     |
         *    *                    *

    4. Czy sekwent \(\{p,q\to p,\lnot q\}\vdash\{p,q\}\) jest dowodliwy w systemie Gentzena dla logiki zdaniowej?

    5. Czy sekwent \(\vdash(\forall x P(x) \to \exists y \forall z R(y, z) ) \to \exists x \forall z (\lnot P(x) \lor R(x, z))\) jest dowodliwy w systemie Hilberta dla logiki pierwszego rzędu?

    Kolokwium 2014/2015

    Zadanie 1

    Rozważamy klasę \(\mathcal{A}\) wszystkich grafów \(\mathfrak{G}\) (gotyckie G), skończonych i nieskończonych, których wierzchołki można pokolorować pewną skończoną liczbą kolorów tak, że każdy trójkąt zawarty w \(\mathfrak{G}\) ma wierzchołki 3 różnych kolorów.

    Udowodnij że \(\mathcal{A}\) nie jest aksjomatyzowalne żadnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą składającą się wyłącznie z relacji krawędzi \(E\).

    Zadanie 2

    Niech dane będą dwa grafy: \(\mathfrak{G}\) (gotyckie G) będący szkieletem sześcianu (8 wierzchołków, 12 krawędzi) i \(\mathfrak{H}\) (gotyckie H) będący kopią \(\mathfrak{G}\) pozbawioną jednej krawędzi.

    Napisz zdanie o minimalnym zagnieżdżeniu kwantyfikatorów, rozróżniające \(\mathfrak{G}\) i \(\mathfrak{H}\). Uzasadnij poprawność zdania, nie uzasadniaj minimalności zagnieżdżenia.

    Zadanie 3

    Rozstrzygnij, czy następująca formuła jest twierdzeniem logiki intuicjonistycznej:

    \((p\to q)\to((r\to q)\to(r\to p)).\)

    Egzamin 2014/2015

    Zadanie 1 (10 punktów)
    Słowo \(w \in \{0,1\}^+\) nazwiemy cyklicznym jeśli istnieje słowo \(v\), takie że \(w=v^nu\), gdzie \(u\) jest prefiksem \(v\) i \(n\geq 2\). Niech \(\Sigma=\{\leq, X\}\) i rozważmy zbiór modeli-słów nad \(\Sigma\). Napisz zdanie \(\varphi\) pełnej logiki drugiego rzędu SO, które jest prawdziwe dokładnie w tych modelach-słowach które odpowiadają słowom cyklicznym.

    Zadanie 2 (10 punktów)
    Mówimy, że graf skończony \(\mathfrak{G}\) (gotyckie G) (nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) da się pokryć sumą rozłącznych krawędzi, gdy jest utworzony jako suma pewnej liczby rozłącznych wierzchołkowo krawędzi, z dodanymi w dowolny sposób dodatkowymi krawędziami pomiędzy już istniejącymi wierzchołkami.

    Udowodnij, że nie istnieje zdanie \(\psi\) logiki pierwszego rzędu takie, że \(\mathfrak{G}\models\psi\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\mathfrak{G}\) da się pokryć sumą rozłącznych krawędzi.

    Zadanie 3 (10 punktów)
    Proszę napisać zdanie logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą arytmetyki, które jest prawdziwe w standardowym modelu arytmetyki wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego dodatniego \(n\in\mathbb{N}\) istnieje dodatnie rozwiązanie równania \(x^n+y^n+z^n=t^n\) złożone z liczb naturalnych.

    Zadanie 4 (10 punktów)
    Skonstruuj ciąg formuł \((\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}\) klasycznej logiki zdaniowej, taki, że \(|\varphi_n|=O(n)\) i istnieje dokładnie \(n^2\) różnych wartościowań \(\varrho:FV(\varphi_n)\to\{0,1\}\), które spełniają \(\varphi_n\).

    TEST

    1. Czy istnieje formuła MSO definiująca własność opisaną w Zadaniu 1?

    2. Czy \(\langle\mathbb{Q},+,*\rangle\equiv\langle\mathbb{R},+,*\rangle\)? (Działania algebraiczne w obu strukturach są naturalne, \(\equiv\) oznacza elementarną równoważność.)

    3. Czy teoria pierwszego rzędu struktury \(\langle\mathbb{N},\leq\rangle\) (porządek jest naturalny) jest rozstrzygalna?

    4. Założeniem w jednej z implikacji twierdzenia Codda jest to, że uniwersum struktury (nad skończoną sygnaturą) jest równe jej dziedzinie aktywnej. Czy ta własność da się sformalizować zdaniem logiki pierwszego rzędu?

    5. Przypuśćmy, że \(\models\varphi\to\psi\), przy czym obie formuły logiki pierwszego rzędu nie zawierają kwantyfikatorów. Czy istnieje interpolant \(\xi\) spełniający \(\models\varphi\to\xi\) i \(\models\xi\to\psi,\) oraz \(FV(\xi)=FV(\varphi)\cap\ FV(\psi)\)?

    Egzamin poprawkowy 2014/2015

    Dwa z zadań są osnute wokół Lematu Koeniga w następującym sformułowaniu:
    Założenie: Graf \(\mathfrak{T}\) (gotyckie T) jest nieskończonym drzewem skierowanym, w którym stopień każdego wierzchołka jest skończony.
    Teza: W drzewie \(\mathfrak{T}\) istnieje nieskończona ścieżka.

    Zadanie 1 (10 punktów)

    Sformalizuj jednym zdaniem pełnej logiki drugiego rzędu SO założenie Lematu Koeniga: napisz zdanie \(\varphi\) takie, że jeśli graf skierowany \(\mathfrak{T}\models\varphi,\) to \(\mathfrak{T}\) jest nieskończonym drzewem skierowanym, w którym stopień każdego wierzchołka jest skończony.

    Zadanie 2 (10 punktów)

    Udowodnij, że nie istnieje zbiór zdań \(\Delta\) logiki pierwszego rzędu formalizujący negację tezy Lematu Koeniga, czyli taki, że dla każdego grafu skierowanego \(\mathfrak{T}\), jeśli \(\mathfrak{T}\models\Delta\) to albo \(\mathfrak{T}\) nie jest drzewem, albo nie zawiera nieskończonej ścieżki.

    Zadanie 3 (10 punktów, po 5 za każdą z części)

    Kwadrat kartezjański \(\mathfrak{G}^2\) grafu \(\mathfrak{G}=\langle G,E^\mathfrak{G}\rangle\) to struktura
    \(\langle G\times G,E\rangle\), w której \(\langle(g,h),(g',h')\rangle \in E\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\langle g,g'\rangle \in E^\mathfrak{G}\) i \(\langle h,h'\rangle \in E^\mathfrak{G}\).

    1. Wykaż, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) o \(n > 1\) wierzchołkach zachodzi \(\mathfrak{G}^2\not\equiv_{n+1}\mathfrak{G}.\)
    2. Podaj przykład skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) o \(n > 1\) wierzchołkach spełniającego \(\mathfrak{G}^2\equiv_n\mathfrak{G}.\)

    Zadanie 4 (10 punktów)

    Niech zbiór \(X\) będzie spektrum zdania \(\varphi\) nad sygnaturą \(\Sigma\), tzn., niech \(X=\{ n\in\mathbb{N}~/~\)istnieje struktura \(\mathfrak{A}\) mocy \(n\) spełniająca \(\varphi\}.\)

    Udowodnij, że zbiór \(\{ m+n~|~m,n\in X\}\) też jest spektrum pewnego zdania \(\psi\) (w konstrukcji wolno powiększyć sygnaturę o nowe symbole).

    Zadanie 5 (10 punktów)

    Dla danej formuły \(\varphi(x)\) w języku arytmetyki skonstruuj formułę \(\#\varphi(x)\), również w języku arytmetyki, o następującej własności:

    \((\mathbb{N},x:n)\models \#\varphi(x)\) wtw \(|\{m\in\mathbb{N}~|~(\mathbb{N},x:m)\models\varphi(x)\}|=n.\)

    Kolokwium 2015/2016

    Zadanie 1

    Liniowy porządek (ścisły) \(\mathfrak{A}=\langle A, < \rangle\) nazwiemy całkiem niegęstym, jeśli dla każdych dwóch elementów \(x,y\in A\) takich że \(x < y\), istnieje tylko skończenie wiele elementów \(z\in A\) spełniających warunek \(x < z < y\).

    Udowodnij, że nie istnieje żaden zbiór \(\Delta\) zdań logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą składającą się wyłącznie z symbolu \( < \), taki, że \(\mathfrak{A}\models\Delta\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\) jest całkiem niegęstym porządkiem liniowym.

    Zadanie 2

    Dla danego zdania \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu niech \(spec(\varphi)=\{n\in\mathbb{N}~|~\)istnieje model \(\varphi\) mocy \(n\}\).

    Dla danego zbioru \(A\subseteq\mathbb{N}\) niech \(A^\Sigma=\{\sum^r_{i=1}a_i~|~r\geq1,~a_1,\ldots,a_r\in A\}.\)

    Dla danego zdania \(\varphi,\) skonstruuj zdanie \(\psi\) takie, że \(spec(\psi)=spec(\varphi)^\Sigma.\) Można przy tym założyć, że \(\varphi\) nie zawiera symboli funkcyjnych oraz rozszerzyć sygnaturę.

    Zadanie 3

    Zadanie dotyczy klasycznej logiki zdaniowej. Niech \(\Delta,\Gamma\) będą dwoma zbiorami formuł spełniającymi \(\Gamma\models\Delta\). Udowodnij następujące nieskończone rozszerzenie Twierdzenia o interpolacji.

    Istnieje zbiór \(\Theta\) taki, który zawiera wyłącznie zmienne zdaniowe, które występują zarówno w \(\Gamma\) jak i w \(\Delta\), oraz spełniający \(\Gamma\models\Theta\) i \(\Theta\models\Delta.\)

    Egzamin 2015/2016

    Dla danego zdania \(\varphi\) logiki pierwszego lub drugiego rzędu jego spektrum to zbiór
    \(spec(\varphi)=\{n\in\mathbb{N}~|\) istnieje model \(\varphi\) mocy \(n\}.\)

    Zadanie 1 (10 punktów)
    Napisz formułę \(\varphi(x,y)\) w języku arytmetyki, dla której zachodzi

    \((\mathbb{N},x:n,y:m) \models \varphi(x,y)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(m=\sum_{i=1}^n i^n\)

    Zadanie 2 (10 punktów)

    Graf \(\mathfrak{G}\) (gotyckie G) (nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\)) jest przedstawiony na poniższym rysunku (ma 5 wierzchołków i 8 krawędzi):

    *---*
    |\ /|
    | * |
    |/ \|
    *---*

    Udowodnij, że każdy graf \(\mathfrak{H}\) (gotyckie H) taki, że \(\mathfrak{H}\equiv_3\mathfrak{G}\), ma nieparzystą liczbę wierzchołków większą od 3.

    Zadanie 3 (10 punktów)

    Udowodnij, że dla każdej klasy \(\mathcal{A}\) skończonych grafów, która jest zamknięta na izomorfizmy, istnieje
    zbiór \(\Delta\) zdań logiki pierwszego rzędu taki, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{A}\) zachodzi
    równoważność: \(\mathfrak{A}\in\mathcal{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\models\Delta\). Czy i jakie modele
    nieskończone ma \(\Delta\) jest tu bez znaczenia.

    Zadanie 4 (10 punktów)

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki ESO, które jest prawdziwe w grafie \(G\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(G\) ma pokrycie wierzchołkowe zawierające nie więcej niż połowę wierzchołków.

    Logika ESO to egzystencjalny fragment logiki drugiego rzędu (SO) - logika ta zwiera formuły postaci
    \(\exists_{R_1}\ldots\exists_{R_n}\ \varphi\), gdzie podane kwantyfikatory to kwantyfikatory drugiego rzędu, a \(\varphi\) jest formułą pierwszego rzędu.

    Zbiór wierzchołków jest pokryciem wierzchołkowym, jeśli zawiera przynajmniej jeden koniec każdej krawędzi grafu.

    TEST

    1.
    Czy klasa grafów dwudzielnych jest definiowalna (wśród grafów skończonych) zdaniem logiki pierwszego
    rzędu (nad sygnaturą zawierającą wyłącznie binarny symbol relacyjny \(E\))?

    2.
    Czy \(\langle\mathbb{R},\oplus\rangle\equiv\langle\mathbb{R_+},\oplus\rangle\)? W pierwszej strukturze interpretacja dwuargumentowego symbolu funkcyjnego \(\oplus\) to naturalne dodawanie, a w drugiej naturalne mnożenie, \(\equiv\) oznacza elementarną równoważność.

    3.
    Czy dla danych zdań \(\varphi\), \(\psi\) logiki pierwszego rzędu zawsze istnieje zdanie logiki pierwszego rzędu \(\xi\) (nad dowolną sygnaturą) takie, że \(spec(\xi)=spec(\varphi)\cap spec(\psi)\)?

    4.
    Niech \(\mathbb{R}\) to liczby rzeczywiste z dodawaniem i mnożeniem. Niech \(\Delta\) będzie zbiorem zdań prawdziwych w
    \(\mathbb{R}\). Czy \(\Delta\) ma model przeliczalny?

    5.
    Niech \(R\) będzie relacją binarną na elementach dziedziny aktywnej. Czy domknięcie przechodnie relacji \(R\) można zdefiniować wyrażeniem algebry relacji?

    Egzamin poprawkowy 2015/2016

    Egzamin poprawkowy z Logiki dla informatyków, 22/02/2016

    Zadanie 1 (10 punktów)
    Relacja \(E\subseteq A\times A\) ma własność silnej normalizacji jeśli dla każdego \(a\in A\) każda ścieżka zaczynająca się od \(a\) jest skończonej długości. (Takie relacje są istotne w badaniach systemów przepisywania termów i rachunku \(\lambda\).)

    Udowodnij, że nie istnieje zdanie logiki pierwszego rzędu \(\varphi\) takie, że \(\langle A,E\rangle\models\varphi\) wtedy i tylko wtedy, gdy relacja \(E\) ma własność silnej normalizacji.

    Zadanie 2 (10 punktów)
    Udowodnij, że istnieje zdanie logiki MSO \(\varphi\) takie, że \(\langle A,E\rangle\models\varphi\) wtedy i tylko wtedy, gdy relacja \(E\) ma własność silnej normalizacji (zdefiniowaną w Zadaniu 1).

    Zadanie 3 (10 punktów)
    Zadanie dotyczy klasycznej logiki zdaniowej. Wykaż, że istnieją interpolanty \(\varphi_n\) zawierające wyłącznie zmienne zdaniowe \(p_1,\ldots,p_n\) oraz długości \(O(n),\), takie, że tautologiami są formuły
    \(\left((p_1\lor z_1)\land(\lnot z_1\lor p_2\lor z_2)\land(\lnot z_2\lor p_3\lor z_3)\land\ldots\land(\lnot z_{n-2}\lor p_{n-1}\lor z_{n-1})\land(\lnot z_{n-1}\lor p_n)\right)\to\varphi_n\)
    oraz
    \(\varphi_n\to\left[\left((p_1\to x_1)\land((x_1\lor p_2)\to x_2)\land((x_2\lor p_3)\to x_3)\land\ldots\land((x_{n-1}\lor p_{n})\to x_n)\right)\to x_n\right].\)

    Zadanie 4 (10 punktów)
    To zadanie dotyczy algebry relacji. Antyzłączenie (ang. antijoin) dwóch wyrażeń \(E\) i \(F\) o odpowiednio \(m\) i \(n \) kolumnach, oznaczane \(E \triangleright_{i=j} F\), ma następującą semantykę:

    \([[E \triangleright_{i=j} F]]=\{\vec{a}\in[[E]]~|~\)nie istnieje \(\vec{b}\in[[F]]\) takie, że \(a_i=b_j\}\).

    Napisz wyrażenie standardowej algebry relacji, które jest równoważne \(E \triangleright_{i=j} F\).

    TEST

    1.
    Czy dla każdej klasy \(\mathcal{A}\) skończonych grafów, która jest zamknięta na izomorfizmy, istnieje zbiór \(\Delta\) uniwersalnych zdań logiki pierwszego rzędu taki, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{A}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{A}\in\mathcal{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\models\Delta.\) Czy i jakie modele nieskończone ma \(\Delta\) jest tu bez znaczenia.

    Zdanie jest uniwersalne, gdy ma postać \(\forall x_1\ldots\forall x_n\varphi,\) gdzie \(\varphi\) nie zawiera kwantyfikatorów.

    2.
    Dla przypomnienia, spektrum \(\mathit{Spec}(\varphi)\) zdania \(\varphi\) to zbiór \(\{n\in\mathbb{N}~|\)istnieje model zdania \(\varphi\) mocy \(n\}.\) Wiadomo, że jeśli w zdaniu \(\varphi\) występują wyłącznie jednoragumentowe symbole relacyjne, to \(\mathit{Spec}(\varphi)\) jest albo skończony, albo jego dopełnienie jest skończone.

    Czy istnieje zdanie \(\varphi\), w którym występuje wyłącznie jeden jednoragumentowy symbol funkcyjny, oraz \(\mathit{Spec}(\varphi)\) nie jest ani skończony, ani jego dopełnienie nie jest skończone?

    3.
    Czy poniższa formuła poprawnie formalizuje własność: "istnieje dokładnie jeden element, który spełnia formułę \(\varphi(x)\)":
    \[\exists x\forall y(\forall z((z=x \lor z=y)\to\varphi(z))\to x=y).\]

    4.
    Formuła Peirce'a \(((p\to q)\to p)\to p\) nie jest twierdzeniem zdaniowej logiki intuicjonistycznej. Czy istnieje model Kripkego o jednym stanie, w którym ta formuła nie jest wymuszona?

    5.
    Czy istnieje formuła \(\varphi(n,m)\) w języku arytmetyki taka, która orzeka w standardowym modelu arytmetyki, że \(m\)-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\pi=3.14\ldots\) jest \(n.\) Na przykład miałyby zachodzić
    \((\mathfrak{N},m:1,n:3)\models\varphi\), \((\mathfrak{N},m:2,n:1)\models\varphi\), \((\mathfrak{N},m:3,n:2)\not\models\varphi\).

    Kolokwium 2016/2017

    Zadanie 1
    Częściowy porządek \(\mathfrak{A}=\langle A,\leq\rangle\) należy do klasy \(\mathcal{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:

    (a) zawiera nieskończenie wiele elementów minimalnych;

    (b) każdy nie-minimalny element \(a\in A\) jest supremum pewnego skończonego zbioru elementów minimalnych w \(\mathfrak{A}\).

    Czy klasa \(\mathcal{A}\) jest aksjomatyzowalna jednym zdaniem, aksjomatyzowalna zbiorem zdań ale nie jednym zdaniem, bądź nieaksjomatyzowalna nawet zbiorem zdań?

    Zadanie 2
    Gra w życie toczy się na nieskończonej planszy \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\). Sąsiadami komórki \((x,y)\) jest osiem komórek \((x',y')\neq (x,y)\) dla których \(|x-x'|\leq 1\) i \(|y-y'|\leq 1.\)

    Każda komórka może znajdować się w jednym z dwóch stanów: może być albo żywa, albo martwa. Czas jest dyskretny, stany komórek zmieniają się synchronicznie wedle następujących reguł: martwa komórka, która ma dokładnie 3 żywych sąsiadów, staje się w następnym kroku żywa, a żywa komórka z 2 albo 3 żywymi sąsiadami pozostaje nadal żywa, w przeciwnym przypadku umiera.

    Dana jest struktura \(\mathfrak{A}=\langle\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\leq_1,\leq_2,U\rangle,\) gdzie \((x_1,x_2)\leq_i(y_1,y_2)\) wtw \(x_i\leq y_i\). \(U\) jest relacją unarną, którą traktujemy jako wkazanie żywych komórek na planszy do gry w życie. Wykaż, że dla każdego \(k\) istnieje formuła \(\varphi_k(x)\) z jedną zmienną wolną, dla której zachodzi:

    \((\mathfrak{A},x:a)\models\varphi\) wtw komórka \(a\) jest żywa po \(k\)-tym kroku gry w życie, startującej z pozycji opisanej przez \(U.\)

    Zadanie 3
    Zadanie dotyczy klasycznej logiki zdaniowej nad zbiorem zmiennych zdaniowych \(\{p_0,p_1,\ldots\}.\)

    Skonstruować bądź udowodnić że nie istnieje zbiór \(\Delta\) zdań logiki zdaniowej taki, że wartościowania \(v\) spełniające zbiór \(\Delta\) to dokładnie takie, dla których zbiór \(\{i\in\mathbb{N}~|~v(p_i)=1\}\) jest skończony.

    Egzamin 2016/2017

    Zadanie 1

    Niech dana będzie sygnatura \(\Sigma.\) Struktura \(\mathfrak{A}\) nad \(\Sigma\) ma własność \(F\) gdy dla każdych dwóch termów \(t,s\) nad \(\Sigma\) o (łącznie) jednej zmiennej wolnej \(x\), zbiór elementów \(a\in A\) spełniających \((\mathfrak{A},x:a)\models t=s\) jest albo skończony, albo jest całym zbiorem \(A.\) Na przykład, ciało liczb rzeczywistych \(\langle \mathbb{R},+,*,1\rangle\) ma własność \(F.\)

    Udowodnij, że

    a) Jeśli \(\Sigma\) zawiera jeden symbol \(f\) jednoargumentowej funkcji, to nie istnieje zbiór zdań \(\Delta\) nad \(\Sigma\) taki, że \(\mathfrak{A}\models\Delta\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\) ma własność \(F\).
    b) Jeśli \(\Sigma\) zawiera wyłącznie symbole stałych i relacji, to istnieje zbiór zdań \(\Delta\) nad \(\Sigma\) taki, że \(\mathfrak{A}\models\Delta\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\) ma własność \(F\).

    Zadanie 2

    Zajmujemy się częściowymi porządkami postaci \(\langle A,\leq\rangle\) nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(\leq\). Niech wówczas \(\langle \tilde{A},\tilde\leq\rangle\) oznacza częściowy porządek uzyskany z \(\langle A,\leq\rangle\) przez dodanie nowego elementu największego i nowego elementu najmniejszego.

    Udowodnij, że dla każdego \(n\) i dowolnych \(\langle A,\leq_A\rangle\), \(\langle
    B,\leq_B\rangle\), jeśli \(\langle A,\leq_A\rangle\equiv_n\langle B,\leq_B\rangle\) to \(\langle \tilde{A},\tilde\leq_A\rangle\equiv_n \langle\tilde{B},\tilde\leq_B\rangle\).

    Zadanie 3

    Pracujemy ze słowami nad alfabetem \(\{a,b\}\), tj. mamy ustaloną sygnaturę \(\{\leq, a(\cdot), b(\cdot)\}\) i rozważamy jedynie skończone struktury, w których \(\leq\) jest interpretowany jako liniowy porządek, a \(a(\cdot)\) i \(b(\cdot)\) jako dwa rozłączne podzbiory w sumie dające całe uniwersum.

    Zdefiniuj język regularny zadany wyrażeniem \((ab^*a)^+\) w logice MSO. Czy jest on definiowalny w logice pierwszego rzędu?

    Zadanie 4

    Rozważmy narysowany poniżej graf nieskierowany \(D_n\) kształtu drabiny, przy czym ``szczebli'' jest \(n\) a wierzchłków \(2n\):

      A                   A'
      *--*--*--...--*--*--*
      |  |  |       |  |  |
      |  |  |  ...  |  |  |
      |  |  |       |  |  |
      *--*--*--...--*--*--*
      B                   B'

    Niech \(M_n\) (M od Möbius) to graf otrzymany z \(D_n\) przez dodanie krawędzi \((A,B')\) i \((B,A')\).

    Niech \(W_n\) (W od Walec) to graf otrzymany z \(D_n\) przez dodanie krawędzi \((A,A')\) i \((B,B')\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki MSO takie, że dla każdego \(n>5\) rozróżnia ono grafy \(W_n\) i \(M_n,\) tzn. \(W_n\models\varphi\) wtw. \(M_n\models\lnot\varphi.\)

    Wskazówka: Rozważ kolorowania tych struktur dwoma kolorami.

    TEST

    1
    Zakładamy notację z zadania 2. Czy dla każdego \(n\) i dowolnych \(\langle A,\leq_A\rangle\), \(\langle B,\leq_B\rangle\) zachodzi implikacja: jeśli \(\langle \tilde{A},\tilde\leq_A\rangle\equiv_n \langle\tilde{B},\tilde\leq_B\rangle\) to \(\langle A,\leq_A\rangle\equiv_n\langle B,\leq_B\rangle\)?

    2
    Czy istnieje formuła arytmetyczna \(\varphi(x,y,z)\) taka, że dla każdych trzech liczb naturalnych \(p,n,k\) zachodzi równoważność: \((\mathfrak{A},x:p,y:n,z:k)\models\varphi\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(\sum_{i=1}^n\beta(p,i)x^i\) ma dokładnie \(k\) różnych pierwiastków naturalnych? (Przez \(\beta\) oznaczamy funkcję beta G\"odla.)

    3
    Czy obie poniższe formuły zdaniowe są tautologiami intuicjonistycznymi?

    A \(\lnot\lnot( \lnot p \lor p)\)
    B \(\lnot\lnot p \lor \lnot p\)

    4
    Zajmujemy się klasyczną logiką zdaniową. Mamy dane dwie formuły \(\varphi,\psi,\) które nie zawierają żadnych wspólnych zmiennych zdaniowych. Ponadto \(\not\models\lnot\varphi\) i \(\not\models\psi.\)

    Czy możliwe jest, że \(\models\varphi\to\psi\)?

    5
    Czy poniższy problem jest rozstrzygalny:

    Dane: Formuła \(\varphi(x)\) z jedną zmienną wolną, logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą \(+,*,0,1\)\\

    Pytanie: Czy istnieje \(a\in\mathbb{N}\) takie, że \((\langle \mathbb{N},+,*,0,1\rangle,x:a)\models\varphi\)?

    Egzamin poprawkowy 2016/2017

    Wiele z zadań odnosi się do nieskierowanego grafu \(\mathfrak{G}\) o 24 wierzchołkach z jedną symetryczną relacją krawędzi \(E\), narysowanego na obrazku pod linkiem http://smurf.mimuw.edu.pl/node/1861 (na egzaminie obrazek był wydrukowany).

    Zadanie 1
    Napisz formułę pierwszego rzędu \(\varphi(x,y)\) z dwoma zmiennymi wolnymi \(x, y\) taką, że \((\mathfrak{G},x:a,y:b)\models\varphi\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a\) i \(b\) są przeciwległymi wierzchołkami jednego z oczek sześciokątnej siatki. Na przykład powinno to zachodzić dla \(x\) i \(y\) będacych dwoma kółkami, a nie powinno zachodzić dla żadnej z par zawierających gwiazdki.

    Zadanie 2
    Rozszerzamy sygnaturę grafów o dodatkowe symbole stałych \(\circ\) i \(\star\). Tworzymy dwie kopie \(\mathfrak{G}\), oznaczone \(\mathfrak{G}_1\) i \(\mathfrak{G}_2\), w których interpretacjami nowych symboli stałych są: w \(\mathfrak{G}_1\) czarne kółko i czarna gwiazdka; w \(\mathfrak{G}_2\) białe kółko i biała gwiazdka, w tej właśnie kolejności.

    Proszę wskazać strategię dla gracza I w grze Ehrenfeuchta-Fra\"{\i}ss\'e \(G_2(\mathfrak{G}_1,\mathfrak{G}_2)\) oraz napisać zdanie o randze kwantyfikatorowej 2, rozróżniające te dwie struktury.

    Zadanie 3
    Pracujemy ze strukturami-słowami nad alfabetem \(\{a,b\}\), tj. mamy ustaloną sygnaturę \(\{\leq, a(\cdot), b(\cdot)\}\) i rozważamy jedynie skończone struktury, w których \(\leq\) jest interpretowany jako liniowy porządek, a \(a(\cdot)\) i \(b(\cdot)\) jako dwa rozłączne podzbiory w sumie dające całe uniwersum.

    Czy język zdefiniowany zdaniem pełnej logiki drugiego rzędu

    \(\exists R [\forall x\forall y (R(x,y)\to (R(y,x) \land (a(x)\leftrightarrow
    b(y))))\land \forall x \exists! y R(x,y)]\)

    jest definiowalny w logice MSO? (\(\exists!\) oznacza ``istnieje dokładnie jeden'' i jest skrótem znanej formuły pierwszego rzędu.)

    Zadanie 4

    Mamy dany skończony skierowany graf \(\mathfrak{H}=(\{1,\ldots,n\},E).\) Zakładamy, że zawiera on dla każdego wierzchołka \(i\) krawędź \((i,i)\in E\). Zakodowujemy go jako zbiór \(\Delta_\mathfrak{H}\) formuł klasycznej logiki zdaniowej: dla każdego wierzchołka \(i\in\{1,\ldots,n\}\) tworzymy zmienną zdaniową \(p_i\). Teraz kładziemy

    \(\Delta_\mathfrak{H}=\{p_i\to p_j~|~(i,j)\in E\}.\)

    Udowodnij, że \(\Delta_\mathfrak{H}\cup\{\lnot( p_i\leftrightarrow p_j)\}\) jest spełnialne wtedy i tylko wtedy, gdy \(i\) i \(j\) nie należą do tej samej silnej składowej \(\mathfrak{H}.\)

    TEST

    1.
    Używamy grafu \(\mathfrak{G}\) z zadania 1. Czy istnieje formuła pierwszego rzędu \(\varphi(x,y)\) z dwoma zmiennymi wolnymi, która w \(\mathfrak{G}\) definiuje porządek liniowy?

    2.
    Czy istnieje formuła logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą grafów, która jest prawdziwa w grafie \(\mathfrak{H}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{H}\) jest izomorficzny z podgrafem indukowanym grafu \(\mathfrak{G}\) z zadania 1?

    3.
    Czy możliwe jest, że pewnien zbiór zdań logiki pierwszego rzędu nad skończoną sygnaturą ma dwa modele nieskończone które nie są elementarnie równoważne, a jednocześnie wszystkie jego modele przeliczalne są izomorficzne?

    4.
    Czy poniższy dowód jest poprawny?

    Twierdzenie Klasa wszystkich relacji równoważności \(\sim\), których wszystkie klasy abstrakcji są skończone, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu.

    Dowód: Przypuśćmy wbrew tezie, że \(\Delta\) jest taką aksjomatyzacją. Niech

    \(\bar{\Delta}=\Delta\cup\{\exists x_1\ldots\exists x_n\bigwedge_{1\leq i < j\leq
    n}(x_i\neq x_j \land x_i\sim x_j)~|~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Każdy skończony podzbiór \(\bar{\Delta}\) jest spełnialny, bo zawarte w nim skończenie wiele ``dodanych'' zdań nie wymaga istnienia nieskończonych klas abstrakcji. Zatem z Twierdzenia o zwartości cały \(\bar{\Delta}\) jest spełnialny. To prowadzi do sprzeczności, bo dołączone zdania wymagają istnienia nieskończonych klas abstrakcji, a \(\Delta\) zabrania ich istnienia.

    5.
    Czy poniższy problem jest częściowo rozstrzygalny:\\

    Dane: Formuła bezkwantyfikatorowa \(\varphi(x)\) z jedną zmienną wolną, logiki pierwszego rzędu nad sygnaturą \(+,*,0,1\)

    Pytanie: Czy istnieje \(a\in\mathbb{N}\) takie, że \((\langle \mathbb{N},+,*,0,1\rangle,x:a)\models\varphi\)?

    Kolokwia i egzaminy z okresu przed 2007 (stary program)

    zadania 2003

    1. Proszę zdefiniować relację izomorfizmu.
    2. Proszę zdefiniować relację \(m\)-izomorfizmu i omówić jej związek z grą Ehrenfeuchta-Fraïsségo.
    3. Proszę opisać grę Ehrenfeuchta-Fraïsségo i omówić jej związek z \(m\)-izomorfizmem.
    4. Proszę zdefiniować pojęcie podstruktury indukowanej.
    5. Proszę zdefiniować pojęcie podalgebry generowanej.
    6. Proszę zdefiniować zbiór formuł logiki pierwszego rzędu i pojęcie zmiennych wolnych danej formuły.
    7. Proszę zdefiniować zbiór formuł logiki pierwszego rzędu i pojęcie rangi kwantyfikatorowej danej formuły.
    8. Proszę zdefiniować relację \(\mathbb{A}\models\varphi[s].\)
    9. Proszę zdefiniować sekwent.
    10. Proszę zdefiniować pojęcie sekwentu wyprowadzalnego (nie trzeba znać wszystkich reguł systemu Gentzena, tylko mieć orientację o ich postaci).
    11. Proszę zdefiniować relację \(\Gamma\models\varphi,\) gdzie \(\Gamma\) to zbiór zdań.
    12. Proszę zdefiniować pojęcie tautologii.
    13. Proszę zdefiniować pojęcie twierdzenia.
    14. Proszę sformułować twierdzenie o pełności.
    15. Proszę sformułować twierdzenie o zwartości.
    16. Proszę sformułować twierdzenie Skolema-Löwenheima.
    17. Proszę sformułować twierdzenie o niezupełności.

    W poniższych zadaniach proszę rozstrzygnąć, czy podana formuła jest tautologią czy nie, oraz czy jest spełnialna czy nie. W czasie odpowiedzi wymagane będzie uzasadnienie.
    Spektrum \(Spec(\varphi)\) zdania \(\varphi\) to zbiór wszystkich liczb naturalnych \(n\) takich, ze \(\varphi\) ma model o mocy \(n.\)
    Standardowy model arytmetyki to struktura \(\mathbb{N}=\langle\omega,*^{\mathbb}{N},+^{\mathbb}{N},0^{\mathbb}{N},1^{\mathbb}{N},\leq^{\mathbb}{N}\rangle.\)

    1. \((\forall x\exists y\ r(x,y))\to(\exists y_{1}\exists y_{2}\forall x\ r(x,y_{1})\lor r(x,y_{1})).\)
    2. \((\forall x\ f(f(x))=x)\to(\forall x\forall y\ x\neq y\to f(x)\neq f(y)).\)
    3. \((\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}(x_{1}=x_{3}\lor(x_{2}=x_{3}\lor x_{1}=x_{2})))\to(\forall x\exists y\ x\neq y).\)
    4. \(\forall x\forall y\exists z\ f(x,z)=y.\)
    5. \(\forall x\forall y\exists z\ f(x,y)=z.\)
    6. \((\forall x\forall y\exists z\ f(x,z)=y)\to(\exists x\ f(x,x)=x)\).
    7. \(\exists x\exists y\ (f(x)=x\to f(y)=y).\)
    8. \(\exists x\forall y\ (f(x)=x\to f(y)=y).\)
    9. \((\forall x_{1}\forall x_{2}\forall x_{3}(x_{1}=x_{3}\lor(x_{2}=x_{3}\lor x_{1}=x_{2})))\to\)\(((\forall y\exists x\ f(y)=x)\to(\forall x\forall y((x\neq y)\to f(x)\neq f(y)))).\)
    10. \((\exists x\ f(x)\neq x)\to(\exists x\exists y\ x\neq y)\).
    11. \((\forall x(\forall y\ f(x)\neq y)\to(f(x)\neq x)).\)
    12. \((\forall x\forall y\ f(x,y)=f(y,x))\to(\forall x\ f(x,f(f(x,x),x))=f(f(x,x),f(x,x))).\)
    13. \(\forall x\forall y\ f(x)=y.\)
    14. \((\forall x\exists y\ \lnot(r(x,y)\leftrightarrow r(y,x)))\land(\forall y\ \lnot r(y,y)).\)
    15. \((\forall x(\exists y\ \lnot(r(x,y)\leftrightarrow r(y,x))\land(\forall y\ \lnot r(y,y)))).\)
    16. \((\exists x(p(x)\to(\forall y\ q(y))))\to(\exists x\forall y\ p(x)\to q(y))\).
    17. \((\exists x(\forall y\ q(y))\to p(x))\to(\exists x\forall y\ q(y)\to p(x))\).
    18. \((\exists x(\forall y\ q(y))\to p(x))\to(\exists x\ q(x)\to p(x))\).
    19. \((\forall x\forall y((f(x)=f(y))\to(x=y)))\to(\forall x\exists y(f(y)=x))\).
    20. \(\exists x\exists y\exists u\exists v((\lnot u=x)\lor(\lnot v=y))\land(f(x,y)=f(u,v))\).
    21. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=Spec(\lnot\varphi).\)
    22. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ n^{2}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)\mathbb
    23. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ 2*n~/~n\in\mathbb{N}\}.\)\mathbb
    24. Znale”zć formułę \(\varphi(x,y)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(x\) jest względnie pierwsze z \(y.\)
    25. Znale”zć formułę \(\varphi(x,y,z)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(z\) jest największym wspólnym dzielnikiem \(x\) i \(y.\)
    26. Znale”zć formułę \(\varphi(x,y,z)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(y\) jest największą liczbą, będącą potęgą liczby pierwszej, która dzieli \(x.\)

    e

    1. Niech \(\mathbb{A}=\langle\omega\setminus\{ 0\},\mathrm{nwd}^{\mathbb{A}}\rangle\) będzie algebrą, gdzie \(\mathrm{nwd}\in\Sigma^{F}_{2},\) przy czym dla wszystkich \(m,n\in\omega\)

      \(\mathrm{nwd}^{\mathbb{A}}(m,n)=\text{najwi"ekszy wsp"olny dzielnik $m$ i $n$.}\)\(m\) i \(n\).

      Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad \(\Sigma\) definiującą własność ,,być liczbą pierwszą”, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{X}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ \text{$v(x)$ jest liczb"a pierwsz"a.}\)\(v(x)\) jest liczbą pierwszą.

    2. Niech \(\mathbb{Y}=\langle\omega,S^{\mathbb{Y}},\beta^{\mathbb{Y}},\leq^{\mathbb{Y}}\rangle\) będzie strukturą nad sygnaturą \(\Sigma,\) która składa się z symboli \(S\in\Sigma^{F}_{1},\) \(\beta\in\Sigma^{F}_{3}\) oraz \(\leq\in\Sigma^{R}_{2},\) przy czym dla każdych \(n,t,p,i\in\omega\)

      \(\displaystyle S^{\mathbb{Y}}(n) =n+1\) ⁢ S Y n = + n 1 \(\displaystyle \beta^{\mathbb{Y}}(t,p,i) =\text{$\beta$}(t,p,i),\)\(\beta\) t p i ⁢ β Y t p i = ⁢ β t p i

      gdzie \(\beta\) to funkcja beta Gödla, znana z wykładu, zaś \(\leq^{\mathbb{Y}}\) to zwykła nierówność.

      Napisać formułę \(\varphi(x,y,z)\) nad \(\Sigma\) definiującą dodawanie, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{Y}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(x)+v(y)=v(z).\)

    3. Wykazać, że jeśli klasa \(\mathcal{A}\) struktur pewnej ustalonej sygnatury \(\Sigma\) nie jest aksjomatyzowalna, to klasa \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A},\) złożona z wszystkich tych struktur sygnatury \(\Sigma,\) które nie należą do \(\mathcal{A},\) nie jest definiowalna.

      Podać taki przykład aksjomatyzowalnej klasy \(\mathcal{A}\) nad sygnaturą \(\Sigma\) (którą też można sobie wybrać), że \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A}\) nie jest aksjomatyzowalna.

    4. Przypuśćmy, że \(\Delta\) jest zbiorem zdań nad sygnaturą \(\Sigma,\) który ma tylko modele nieskończone, oraz, że każde dwa przeliczalne modele \(\Delta\) są izomorficzne (o takich \(\Delta\) mówi się, że są \(\aleph _{0}\)-kategoryczne). Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) nad \(\Sigma,\) albo \(\Delta\models\varphi\) albo \(\Delta\models\lnot\varphi\) (innymi słowy, \(\Delta\) jest zupełny).
    5. Równość \(s=t\) nazywamy normalną, gdy \(FV(s)=FV(t),\) tj., w \(s\) i \(t\) występują dokładnie te same zmienne.

      Przypuśćmy, że \(E\) jest zbiorem równości normalnych, oraz że \(E\vdash _{{eq}}s=t.\) Udowodnić, że \(s=t\) też jest równością normalną.

    6. Niech \(\varphi\) będzie zdaniem

      \(\forall x\forall y\,(y=f(g(x))\to(\exists u\,(u=f(x)\land y=g(u))))\)

      oraz niech \(\psi\) będzie zdaniem

      \(\forall x\,[f(g(f(x)))=g(f(f(x)))].\)

      Czy \(\{\psi\}\models\varphi?\)

    7. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest relacją równoważności, która ma wyłącznie klasy abstrakcji parzystej mocy, nie jest definiowalna.
    8. Niech \(\mathbb{A}\) będzie algebrą wolną ze zbiorem wolnych generatorów \(G\), w pewnej klasie \(\mathcal{A}.\) Udowodnić, że dla każdej relacji równoważności \(r\subseteq G\times G\) istnieje kongruencja \(\bar{r}\subseteq A\times A\) taka, że \(\bar{r}\cap(G\times G)=r.\) (Można to wyrazić stwierdzeniem, że \(r\) roszerza się do kongruencji w \(\mathbb{A}.\))

      Wykorzystując przestrzenie liniowe nad ciałem \(\mathbb{R}\) jako przykład, udowodnić, że może istnieć wiele różnych kongruencji \(\bar{r},\) rozszerzających daną relację równoważności \(r\) w \(G.\)

    9. Opisać wszystkie kongruencje algebry \(\mathbb{A}=\langle\{ 0,1,2,3\},\min^{\mathbb{A}},\max^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(\min,\max\in\Sigma^{F}_{2}\), a \(\min^{\mathbb{A}},\max^{\mathbb{A}}\) są odpowiednio operacjami maksimum i minimum.
    10. Niech \(\mathbb{P}=\langle\mathcal{P}(\omega),\cap^{\mathbb{P}},\cup^{\mathbb{P}}\rangle\) będzie kratą podzbiorów \(\omega\) ze zwykłymi działaniami teoriomnogościowymi. Udowodnić, że \(\mathbb{P}\times\mathbb{P}\cong\mathbb{P}.\)

    Czas na rozwiązanie zadań to 3 godziny od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Osoby złapane na ściąganiu będziemy usuwać z egzaminu.

    Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Na piątkę trzeba 10 punktów (w tym 4 zadania na co najmniej 2 punkty), na czwórkę 7 punktów (w tym co najmniej 2 zadania na co najmniej 2 punkty), a na trójkę 5 punktów (w tym co najmniej 2 zadania na co najmniej 2 punkty lub jedno zadanie na 3 punkty). Każdej osobie, kóra odda więcej niż cztery zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż czterech zadań.

    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpianej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu.

    Oceny z egzaminu zostaną wpisane tylko tym studentom, którzy dostarczą indeks z wpisanym zaliczeniem z ćwiczeń.

    Egzamin z logiki, 04/09/2000

    1. Niech \(\mathbb{N}\) będzie standardowym modelem arytmetyki, nad standardową sygnaturą, składającą się z symboli \(+,*,0,1,\leq.\)

      Mówimy, że funkcja \(F:\omega\to\omega\) jest definiowalna, gdy istnieje formuła \(\varphi(x,y)\) nad sygnaturą arytmetyki taka, że każdego wartościowania \(v:X\to\omega\) zachodzi

      \(\mathbb{N}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(y)=F(v(x)).\)

      Udowodnić, że jeśli funkcja \(F:\omega\to\omega\) jest definiowalna, to jest też definiowalna funkcja \(G:\omega\to\omega\) dana wzorem

      \(G(n)=\begin{cases}0&\text{gdy $n=0,$}\\ F(G(n-1))&\text{gdy $n>0.$}\end{cases}\)

    2. Niech \(\mathcal{A}\) będzie klasą algebr nad pewną algebraiczną sygnaturą \(\Sigma.\) Niech \(Spec(\mathcal{A})\) oznacza, tak jak niegdyś na kolokwium, spektrum \(\mathcal{A},\) czyli zbiór \(\{ n\in\omega~/~\text{istnieje $\mathbb{A}\in\mathcal{A}$ takie, \.{z}e $|A|=n.$}\}.\)\(\mathbb{A}\in\mathcal{A}\) takie, że \(|A|=n.\)

      Udowodnić, że jeśli \(\mathcal{A}\) jest rozmaitością algebr, to \(Spec(\mathcal{A})\) jest zamknięte na mnożenie: jeśli \(m,n\in Spec(\mathcal{A}),\) to \(m\cdot n\in Spec(\mathcal{A}).\)

      Podać przykład takiej klasy algebr \(\mathcal{A}\) nad sygnaturą \(\Sigma\) (która też jest do wyboru), która jest definiowalna, ale jej spektrum nie jest zamknięte na mnożenie.

    3. Niech \(\Sigma\) będzie sygnaturą algebraiczną, składającą się z jednego symbolu \(f\in\Sigma^{F}_{2}.\) Rozpatrujemy algebrę \(\mathbb{E}=\langle\omega,f^{\mathbb{E}}\rangle,\) gdzie

      \(f(x,y)=\begin{cases}x^{{2\cdot y}}&\text{gdy $x\neq 0$ lub $y\neq 0$,}\\ 0&\text{gdy $x=0$ i $y=0$.}\end{cases}\).

      Napisać taką formułę pierwszego rzędu \(\varphi(x)\) nad \(\Sigma,\) z jedną zmienną wolną \(x\), która definiuje liczbę \(1,\) t.j., taką, że dla każdego wartościowania \(v:X\to\omega\) zachodzi \(\mathbb{E}\models\varphi[v]\) wtw \(v(x)=1.\)

    4. Niech dany będzie niesprzeczny, skończony zbiór zdań \(\Delta\) nad pewną ustaloną i również skończoną sygnaturą \(\Sigma.\) Wykazać, że istnieje zbiór \(\Delta _{0}\subseteq\Delta\) taki, że \(\Delta _{0}\models\Delta,\) a ponadto zdania w \(\Delta _{0}\) są niezależne: dla każdego \(\varphi\in\Delta _{0}\) mamy \(\Delta _{0}\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi.\)
    5. Podać charakteryzację zbioru wszystkich liczb kardynalnych (mocy) \(\mathfrak{n}\) takich, że zachodzi następująca własność:

      Dla każdej sygnatury \(\Sigma\) i każdej klasy \(\mathcal{A}\) struktur nad \(\Sigma,\) jeśli klasa \(\mathcal{A}\) jest aksjomatyzowalna, to jest też aksjomatyzowalna podklasa \(\mathcal{A}\), składająca się ze struktur mocy nie większej niż \(\mathfrak{n}.\)

    6. Równość \(s=t\) nad sygnaturą algebraiczną \(\Sigma\) nazywamy dziwną, gdy \(FV(s)\cap FV(t)=\emptyset,\) a ponadto żaden z termów \(s,t\) nie jest zmienną.

      Przypuśćmy, że \(E\) jest zbiorem wszystkich równości dziwnych nad \(\Sigma,\) oraz że \(\mathbb{A}\) jest algebrą nad \(\Sigma\) taką, że \(\mathbb{A}\models E.\) Udowodnić, że dla każdego \(n\in\omega\) i każdego \(f\in\Sigma^{F}_{n},\) \(f^{\mathbb{A}}\) jest funkcją stałą. Czy z powyższych założeń wynika też, że \(|A|=1?\)

    7. Niech \(\varphi\) będzie zdaniem

      \(\bigl(\forall x\, f(a_{1}(x),a_{2}(x))=x\bigr)\land\bigl(\forall x\forall y\, a_{1}(f(x,y))=x\land a_{2}(f(x,y))=y\bigr).\)

      Czy \(\varphi\) ma model o co najmniej dwóch elementach?

    8. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest relacją równoważności, która nie zawiera dwóch klas abstrakcji równej mocy, nie jest aksjomatyzowalna.
    9. Niech \(\mathbb{B}\) będzie wolną algebrą Boole'a (t.j., algebrą wolną w klasie wszystkich algebr Boole'a) ze zbiorem wolnych generatorów \(G\) o mocy \(\mathfrak{c}\). Jakiej mocy jest zbiór wszystkich podalgebr \(\mathbb{B}?\)
    10. Niech sygnatura algebraiczna \(\Sigma\) zawiera wyłącznie jeden symbol \(f\) operacji jedoargumentowej. Zakładamy, że \(3\)-elementowa algebra \(\mathbb{A}\) nad \(\Sigma\) ma dokładnie dwie kongruencje. Udowodnić, że istnieje pojedynczy element \(x\in A\) taki, który generuje całą algebrę \(\mathbb{A},\) t.j., \([x]=\mathbb{A}.\)

    Czas na rozwiązanie zadań to 3 godziny od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Osoby złapane na ściąganiu będziemy usuwać z egzaminu.

    Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Na piątkę trzeba 10 punktów (w tym 4 zadania na co najmniej 2 punkty), na czwórkę 7 punktów (w tym co najmniej 3 zadania na co najmniej 2 punkty), a na trójkę 5 punktów (w tym co najmniej 2 zadania na co najmniej 2 punkty lub jedno zadanie na 3 punkty). Każdej osobie, kóra odda więcej niż cztery zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż czterech zadań.

    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu.

    Egzamin poprawkowy z Logiki dla Informatyków, 2010

    Zad. 1 (3 punkty)

    Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki egzystencjalnej drugiego rzędu (tzn. postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu) takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Zad. 2 (3 punkty)

    Pokazać, że żadne zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu nie ma tej własności, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Zad. 3 (3 punkty)

    Niech wyrażenie \(E\) algebry relacyjnej ma taką właściwość, że żadne podwyrażenie \(E\) nie ma więcej niż \(k\) kolumn. Pokazać, że istnieje algorytm obliczający wartość \([\![E]\!]\) w bazie strukturze \(\mathfrak{A}\), który działa w czasie \(O(n^{k}\log n),\) gdzie \(n\) to liczność dziedziny aktywnej \(\mathfrak{A}\).

    Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są jednowymiarowe tablice indeksowane nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierające takież liczby. Dostęp do komórki tablicy jest wykonywany w czasie jednostkowym, podobnie jak operacje arytmetyczne i porównania na liczbach całkowitych. Relacje z \(\mathfrak{A}\) są przekazywane do algorytmu właśnie w takich tablicach: relacja o \(l\) kolumnach jest reprezentowana przez \(l\) tablic, a dane zajmują początkowe indeksy.

    Zad. 4 (3 punkty)

    Czy następująca formuła logiki drugiego rzędu jest tautologią dla \(n>1\):
    \(\forall E\left[\left(\begin{array}{c}\forall xE(x,x)\land\\ \forall xy(E(x,y)\to E(y,z))\land\\ \forall xyz((E(x,y)\land E(y,z))\to E(x,z)))\end{array}\right)\to\forall x_{1}\dots x_{n}\ \bigvee _{{0\leq i< j\leq n}}E(x_{i},x_{j}))\right]\) \(\to\) \((\exists y_{1}\ldots y_{{n-1}}\forall z\bigvee _{{i=1}}^{{n-1}}y_{i}=z)\)

    Zad. 5 (1.5 punkta)

    Odpowiedz TAK lub NIE na wybrane trzy spośród poniższych pytań. Każda poprawna odpowiedź daje \(0.5\) punkta, każda niepoprawna \(-0.5\) punkta. W razie udzielenia odpowiedzi na więcej pytań, do wyniku zaliczymy trzy najgorsze z nich. Odpowiedzi proszę pisać na tej kartce!

    • Czy teoria pierwszego rzędu ciała liczb zespolonych \(\mathfrak{C}=\langle\mathbb{C},+,\cdot,0,1\rangle\) jest rozstrzygalna?
    • Czy dla każdego zbioru zdań \(\Gamma\) istnieje minimalny ze względu na zawieranie podzbiór \(\Gamma^{{\prime}}\subseteq\Gamma\) spełniający \(\Gamma^{{\prime}}\models\Gamma\)?
    • Czy problem SAT dla zdaniowej logiki trójwartościowej Bochvara jest NP-zupełny?
    • Czy formuła \(p\lor(q\to\lnot p)\) jest tautologią zdaniowej logiki intuicjonistycznej?

    Egzamin poprawkowy z Logiki dla Informatyków, 2010 popr

    Zad. 1 (3 punkty)

    Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki drugiego rzędu postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Zad. 2 (3 punkty)

    Pokazać, że nie istnieje zdanie \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu o tej własności, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    Zad. 3 (3 punkty)

    Niech \(k\in\mathbb{N}\) będzie stałą. Wykazać, że jeśli \(E\) jest wyrażeniem algebry relacyjnej i maksymalna liczba kolumn w podwyrażeniach \(E\) wynosi \(k\), to istnieje algorytm obliczający wartość \([\![E]\!]\) w każdej strukturze \(\mathfrak{A}\) i działający w czasie \(O(n^{k}\log n),\) gdzie \(n\) to liczność dziedziny aktywnej \(\mathfrak{A}\).

    Przy projektowaniu algorytmu należy założyć, że dziedzina aktywna składa się z liczb całkowitych typu integer, a do dyspozycji są jednowymiarowe tablice indeksowane nieujemnymi liczbami całkowitymi i zawierające takież liczby. Dostęp do komórki tablicy jest wykonywany w czasie jednostkowym, podobnie jak operacje arytmetyczne i porównania na liczbach całkowitych. Relacje z \(\mathfrak{A}\) są przekazywane do algorytmu właśnie w takich tablicach: relacja o \(l\) kolumnach jest reprezentowana przez \(l\) tablic, a dane zajmują początkowe indeksy. Wynik obliczenia zwraca się analogicznie.

    Zad. 4 (3 punkty)

    Rozważamy skończone drzewa binarne \(\mathfrak{T}\) (ta litera to gotyckie T, w rozwiązaniu można pisać zwykłe T) nad sygnaturą składającą się z dwóch dwuargumentowych symboli relacyjnych \(L\) i \(P\), przy czym \(L(x,y)\) oznacza że \(y\) to lewy syn ojca \(x\), podobnie dla \(P\) oznaczającego prawego syna. Każdy wiechołek może mieć 0, 1 lub 2 synów, zawsze najwyżej jednego lewego jednego prawego.

    Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n\) istnieje zdanie \(\varphi _{n}\) logiki pierwszego rzędu, w którym występują tylko dwie zmienne (które można rekwantyfikować tak często jak potrzeba), takie że dla każdego skończonego drzewa binarnego \(\mathfrak{T}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{T}\models\varphi _{n}\) wtw \(\mathfrak{T}\) jest pełnym drzewem binarnym o głębokości \(n\).

    Zad. 5 (3 punkty)

    Sygnatura składa się z dwuargumentowego symbolu funkcyjnego \(\circ\), jednoargumentowego symbolu funkcyjnego \(inv\) i symbolu stałej \(id\). Model \(\mathfrak{F}\) (ta litera to gotyckie F, w rozwiązaniu można pisać zwykłe F) nad tą sygnaturą nazywamy grupą bijekcji, gdy jego uniwersum stanowi zbiór wszystkich bijekcji \(f:A\to A\) dla pewnego zbioru \(A,\) a operacje mają następujące interpretacje: \(\circ^{\mathfrak{F}}\) to operacja składania funkcji, \(inv^{\mathfrak{F}}\) to operacja brania funkcji odwrotnej, a \(id^{\mathfrak{F}}\) to fukcja indentycznościowa z \(A\) w \(A\).

    Udowodnić, że nie istnieje zbiór \(\Gamma\) zdań logiki pierwszego rzędu taki, że \(\mathfrak{B}\models\Gamma\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{B}\) jest izomorficzny do pewnej grupy bijekcji.

    egzamin

    1. Niech \(\mathbb{A}=\langle\omega\setminus\{ 0\},\mathrm{nwd}^{\mathbb{A}},1^{\mathbb{A}}\rangle\) będzie algebrą, gdzie \(\mathrm{nwd}\in\Sigma^{F}_{2}\) oraz \(1\in\Sigma^{F}_{0},\) przy czym dla wszystkich \(m,n\in\omega\)

      \(\mathrm{nwd}^{\mathbb{A}}(m,n)=\text{najwi"ekszy wsp"olny dzielnik $m$ i $n$,}\)\(m\) i \(n\),

      zaś \(1^{\mathbb{A}}\) to zwykła jedynka.

      Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad \(\Sigma\) definiującą własność ,,być kwadratem liczby pierwszej”, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{X}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ \text{$v(x)$ jest kwadratem liczby pierwszej.}\)\(v(x)\) jest kwadratem liczby pierwszej.

    2. Niech \(\mathbb{X}=\langle\omega,+^{\mathbb{X}}, beta^{\mathbb{X}},0^{\mathbb{X}},1^{\mathbb{X}}\rangle\) będzie strukturą nad sygnaturą \(\Sigma,\) która składa się z symboli \(0,1\in\Sigma^{F}_{0}\) i \(+,\beta\in\Sigma^{F}_{2},\) przy czym dla każdych \(t,p\in\omega\)

      \(\beta^{\mathbb{X}}(t,p)=\text{$\beta$}(t,p),\)

      gdzie \(\beta\) to funkcja beta Gödla, znana z wykładu, zaś \(+^{\mathbb{X}},0^{\mathbb{X}},1^{\mathbb{X}}\) to zwykłe dodawanie, 0 i 1.

      Napisać formułę \(\varphi(x,y,z)\) nad \(\Sigma\) definiującą mnożenie, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{X}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(x)*v(y)=v(z).\)

    3. Niech \(\mathbb{Y}=\langle\omega,S^{\mathbb{Y}},\beta^{\mathbb{Y}}\rangle\) będzie strukturą nad sygnaturą \(\Sigma,\) która składa się z dwóch symboli \(S\in\Sigma^{F}_{1}\) i \(\beta\in\Sigma^{F}_{2},\) przy czym dla każdych \(n,t,p\in\omega\)

      \(\displaystyle S^{\mathbb{Y}}(n) =n+1\) ⁢ S Y n = + n 1 \(\displaystyle \beta^{\mathbb{Y}}(t,p) =\text{$\beta$}(t,p),\)\(\beta\) t p ⁢ β Y t p = ⁢ β t p

      gdzie \(\beta\) to funkcja beta Gödla, znana z wykładu.

      Napisać formułę \(\varphi(x,y,z)\) nad \(\Sigma\) definiującą dodawanie, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{Y}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(x)+v(y)=v(z).\)

    4. Niech \(\mathbb{P}=\langle\mathcal{P}(\omega),\cap^{\mathbb{P}},\cup^{\mathbb{P}}\rangle\) będzie kratą podzbiorów \(\omega\) ze zwykłymi działaniami teoriomnogościowymi. Udowodnić, że \(\mathbb{P}\times\mathbb{P}\cong\mathbb{P}.\)
    5. Niech \(\Sigma\) będzie zwykłą sygnaturą ciał, wzbogaconą o jeden jednoargumentowy symbol relacyjny \(A.\) Rozpatrujemy struktury postaci \(\mathbb{R}_{A}=\langle R,+^{\mathbb{R}},*^{\mathbb{R}},-^{\mathbb{R}},0^{\mathbb{R}},1^{\mathbb{R}},A\rangle,\) gdzie \(R\) to zbiór liczb rzeczywistych, wszystkie operacje mają zwykłe interpretacje, zaś \(A\subseteq R\) jest dowolny.

      Napisać zdanie pierwszego rzędu \(\varphi\) nad \(\Sigma\) takie, że \(\mathbb{R}_{A}\models\varphi\) wtw \(A\) jest zbiorem domkniętym.

    6. Wykazać, że jeśli klasa \(\mathcal{A}\) struktur pewnej ustalonej sygnatury \(\Sigma\) nie jest aksjomatyzowalna, to klasa \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A},\) złożona z wszystkich tych struktur sygnatury \(\Sigma,\) które nie należą do \(\mathcal{A},\) nie jest definiowalna.

      Podać taki przykład aksjomatyzowalnej klasy \(\mathcal{A}\) nad sygnaturą \(\Sigma\) (którą też można sobie wybrać), że \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A}\) nie jest aksjomatyzowalna.

    7. Przypuśćmy, że \(\Delta\) jest zbiorem zdań nad sygnaturą \(\Sigma,\) który ma model nieskończony, oraz, że każde dwa przeliczalne modele \(\Delta\) są izomorficzne (o takich \(\Delta\) mówi się, że są \(\aleph _{0}\)-kategoryczne). Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) nad \(\Sigma,\) albo \(\Delta\models\varphi\) albo \(\Delta\models\lnot\varphi\) (innymi słowy, \(\Delta\) jest zupełny).
    8. Równość \(s=t\) nazywamy normalną, gdy \(FV(s)=FV(t),\) tj., w \(s\) i \(t\) występują dokładnie te same zmienne.

      Przypuśćmy, że \(E\) jest zbiorem równości normalnych, oraz że \(E\vdash _{{eq}}s=t.\) Udowodnić, że \(s=t\) też jest równością normalną.

    9. Niech \(\varphi\) będzie zdaniem

      \(\forall x\forall y\,(y=f(g(x))\to(\exists u\,(u=f(x)\land y=g(u))))\)

      oraz niech \(\psi\) będzie zdaniem

      \(\forall x\,[f(g(f(x)))=g(f(f(x)))].\)

      Czy \(\{\psi\}\models\varphi?\)

    10. Rozważmy algebrę \(\mathbb{A}=\langle\omega,f^{\mathbb{A}},\rangle,\) gdzie \(f\in\Sigma^{F}_{2}\) oraz

      \(f^{\mathbb{A}}(m,n)=m\;\;(\textrm{mod}n)=\text{reszta z dzielenia $m$ przez $n$},\)\(m\) przez \(n\)

      przy czym przyjmujemy, że \(m\;\;(\textrm{mod}0)=m\) dla każdego \(m.\)
      Udowodnić, że w tej algebrze są tylko dwie kongruencje.
      [Szkic dowodu: Niech \(\sim\) będzie kongruencją.
      (*) Jeśli \(m\sim n\) dla pewnych \(0< m< n,\) to wtedy \(m=m\;\;(\textrm{mod}n)\sim n\;\;(\textrm{mod}n)=0,\) więc \(m,n\) są kongruentne z \(0.\)
      (**) Jeśli \(m\sim 0\) dla pewnego \(m>0,\) to dla każdego \(0< i< m\) mamy \(i=(m+i)\;\;(\textrm{mod}m)\sim m+i\;\;(\textrm{mod}0)=m+i,\) więc \(i\sim 0\) na mocy (*).
      (***) Jeśli \(m\sim 0\) dla pewnego \(m>0,\) to dla każdego \(n>m\) mamy \(n=n\;\;(\textrm{mod}0)\sim n\;\;(\textrm{mod}m)< m< n,\) więc \(n\sim 0\) na mocy (*).
      (****) Jeśli teraz \(m\sim n\) dla pewnych \(m\neq n,\) to albo jedno z \(m,n\) jest zerem i na mocy (**) i (***) wszystkie liczby są kongruentne z \(0,\) albo \(m,n\) są niezerowe, ale wtedy na mocy (*) \(m\sim 0\) i znowu jesteśmy w przypadku poprzednim.
      Szkoda by mi było wyrzucić to zadanie, ale chyba jest za trudne.]

    11. Opisać wszystkie kongruencje grupy \(\mathbb{Z}_{4}.\)
    12. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest relacją równoważności, która ma wyłącznie klasy abstrakcji parzystej mocy, nie jest definiowalna.
    13. Niech \(\mathbb{A}\) będzie algebrą wolną ze zbiorem wolnych generatorów \(G\), w pewnej klasie \(\mathcal{A}.\) Udowodnić, że dla każdej relacji równoważności \(r\subseteq G\times G\) istnieje kongruencja \(\bar{r}\subseteq A\times A\) taka, że \(\bar{r}\cap(G\times G)=r.\) (Można to wyrazić stwierdzeniem, że \(r\) roszerza się do kongruencji w \(\mathbb{A}.\))

      Wykorzystując przestrzenie liniowe nad ciałem \(\mathbb{R}\) jako przykład, udowodnić, że może istnieć wiele różnych kongruencji P\(\bar{r},\) rozszerzających daną relację równoważności \(r\) w \(G.\)

    14. Opisać wszystkie kongruencje algebry \(\mathbb{A}=\langle\{ 0,1,2,3\},\min^{\mathbb{A}},\max^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(\min,\max\in\Sigma^{F}_{2}\), a \(\min^{\mathbb{A}},\max^{\mathbb{A}}\) są odpowiednio operacjami maksimum i minimum.
    15. Czas na rozwiązanie zadań to 3 godziny od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Osoby złapane na ściąganiu będziemy usuwać z egzaminu.
      Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2 punkty. Na piątkę wystarcza 7 punktów, na czwórkę 5 punktów, a na trójkę 4 punkty. Każdej osobie, kóra odda więcej niż cztery zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż czterech zadań.
      Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpianej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu.
      Oceny z egzaminu zostaną wpisane tylko tym studentom, którzy dostarczą indeks z wpisanym zaliczeniem z ćwiczeń.

    Egzamin z logiki, 13/06/2001

    1. Niech \(\Sigma\) będzie sygnaturą składającą się z jednego jednoargumentowego symbolu funkcyjnego \(f.\) Czy klasa wszystkich algebr \(\mathbb{A}\) nad \(\Sigma\) takich, że \(f^{\mathbb{A}}\) jest bijekcją, jest rozmaitością algebr?
    2. Niech \(\mathbb{Z}=\langle Z,+^{\mathbb{Z}},*^{\mathbb{Z}},-^{{\mathbb{Z}}},0^{\mathbb{Z}},1^{\mathbb{Z}}\rangle\) będzie zwykłym pierścieniem liczb całkowitych, oraz niech \(\mathcal{Z}\) będzie najmniejszą rozmaitością algebr zawierającą \(\mathbb{Z}.\) W jaki sposób należy określić operacje w zbiorze \(\mathbb{Z}[X]\) wielomianów jednej zmiennej \(X\) nad \(\mathbb{Z},\) aby tak otrzymana algebra była wolna w \(\mathcal{Z}\) nad pewnym jednoelementowym zbiorem wolnych generatorów? (Wystarczy podać jeden sposób.)
    3. Niech \(\mathbb{Q}=\langle Q,+^{\mathbb{Q}},*^{\mathbb{Q}},0^{\mathbb{Q}},1^{\mathbb{Q}}\rangle\) będzie pierścieniem liczb wymiernych, przy czym wszystkie operacje i stałe mają swoje zwykłe znaczenie. Udowodnić, że jeśli \(h:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) jest homomorfizmem, to \(h=\mathrm{id}.\)
    4. Niech \(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots\) oraz \(\psi\) będą zdaniami na pewną ustaloną sygnaturą. Niech \(T\) będzie zbiorem zdań

      \(\{\varphi _{2}\to\varphi _{1},\varphi _{3}\to(\varphi _{1}\land\varphi _{2}),\varphi _{4}\to(\varphi _{1}\land\varphi _{2}\land\varphi _{3}),\dots\}.\)

      Czy musi istnieć \(n\) takie, że dla każdego \(\psi\), \(T\models\psi\) implikuje \(\varphi _{n}\models\psi\)?

    5. Niech \(\mathcal{C}\) będzie klasą wszystkich grafów, skończonych i nieskończonych, które zawierają cykl. Udowodnić, że klasa \(\mathcal{C}\) nie jest definiowalna.
    6. Niech \(\mathbb{N}\) będzie standardowym modelem arytmetyki, nad standardową sygnaturą, składającą się z symboli \(+,*,0,1,\leq.\)

      Napisać formułę \(\varphi(x,y)\) nad sygnaturą arytmetyki definiującą funkcję \(y=\lfloor\log _{2}x\rfloor,\) tzn. taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{N}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(y)=\lfloor\log _{2}v(x)\rfloor.\)

    7. Niech \(\mathbb{Z}_{n}=\langle\{ 0,1,\dots,n-1\},+^{{\mathbb{Z}_{n}}}\rangle,\) gdzie \(+\in\Sigma^{F}_{2}\), a \(+^{{\mathbb{Z}_{n}}}\) jest operacją dodawania modulo \(n.\)

      Ile jest różnych funkcji dwóch argumentów \(x\) i \(y\), definiowalnych za pomocą termów \(t(x,y)\) w algebrze \(\mathbb{Z}_{n}?\)

    8. Niech \(FINSAT_{\Sigma}\) będzie zbiorem wszystkich tych zdań logiki pierwszego rzędu nad pewną skończoną sygnaturą \(\Sigma,\) które są spełnialne w pewnej skończonej strukturze nad \(\Sigma.\)

      Udowodnić, że zbiór \(FINSAT_{\Sigma}\) jest algorytmicznie generowalny.

    9. Niech \(\mathbb{A}\) będzie algebrą, której krata kongruencji ma następującą postać:

      \(\xymatrix{&*+{A\times A}&\\ *+{r_{1}}\ar[ur]&&*+{r_{2}}\ar[ul]\\ &*+{\mathrm{id}_{A}}\ar[ul]\ar[ur]}\) \xymatrix Align Align \ar Align Align \ar Align \ar \ar

      Udowodnić, że algebra \(\mathbb{A}/r_{1}\) ma tylko dwie kongruencje: relację totalną i identyczność.

    10. Niech \(\mathbb{F}=\langle\omega^{\omega},\circ,\mathrm{id}\rangle\) będzie algebrą, w której \(\omega^{\omega}\) to zbiór wszystkich funkcji z liczb naturalnych w liczby naturalne, \(\circ\) to operacja składania funkcji (dla przypomnienia: \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)), zaś \(\mathrm{id}\) to funkcja identycznościowa.

      Udowodnić, że

      \(\mathbb{F}\models\forall f([\exists g\, g\circ f=\mathrm{id}]\to[\forall g_{1}\forall g_{2}\,((f\circ g_{1}=f\circ g_{2})\to g_{1}=g_{2})]).\)

    11. Czas na rozwiązanie zadań to 3 godziny od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać.
      Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Na piątkę trzeba 10 punktów (w tym 4 zadania na co najmniej 2 punkty), na czwórkę 8 punktów (w tym co najmniej 3 zadania na co najmniej 2 punkty), a na trójkę 5 punktów (w tym co najmniej 2 zadania na co najmniej 2 punkty lub jedno zadanie na 3 punkty). Każdej osobie, która odda więcej niż cztery zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż czterech zadań.
      Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu.

    Egzamin z logiki dla MSUI, 27/06/2001

    1. Dla ustalonego \(k\in\mathbb{N},\) podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura jest do wyboru i może zależeć od \(k\)) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \({n \choose k}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)
    2. Niech \(\mathcal{C}\) będzie klasą wszystkich grafów (nieskierowanych), skończonych i nieskończonych, których wszystkie składowe spójne są skończone. Udowodnić, że klasa \(\mathcal{C}\) nie jest definiowalna.
    3. Niech \(\mathbb{N}\) będzie standardowym modelem arytmetyki, nad standardową sygnaturą, składającą się z symboli \(+,*,0,1,\leq.\)
      Napisać formułę \(\varphi(x,y,z)\) nad sygnaturą arytmetyki definiującą funkcję \(y=\lfloor\sqrt[z]{x}\rfloor,\) tzn. taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{N}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(y)=\lfloor(v(x))^{{\frac{1}{v(z)}}}\rfloor.\)

    4. Niech \(\mathbb{Z}_{n}=\langle\{ 0,1,\dots,n-1\},+^{{\mathbb{Z}_{n}}}\rangle,\) gdzie \(+\in\Sigma^{F}_{2}\), a \(+^{{\mathbb{Z}_{n}}}\) jest operacją dodawania modulo \(n.\)

      Ile jest różnych funkcji dwóch argumentów \(x\) i \(y\), definiowalnych za pomocą termów \(t(x,y)\) w algebrze \(\mathbb{Z}_{n}?\)

    5. Niech \(FINSAT_{\Sigma}\) będzie zbiorem wszystkich tych zdań logiki pierwszego rzędu nad pewną skończoną sygnaturą \(\Sigma,\) które są spełnialne w pewnej skończonej strukturze nad \(\Sigma.\)

      Udowodnić, że zbiór \(FINSAT_{\Sigma}\) jest algorytmicznie generowalny.

    6. Niech \(\Sigma\) będzie sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E.\)

      Niech \(\varphi\) będzie zdaniem \(\forall x\forall y\forall z[R(x,y)\land R(x,z))\to y=z],\) zaś \(\psi\) zdaniem \(\forall x\exists y[R(x,y)\land\forall z\,(R(x,z)\to y=z)].\) Rozstrzygnąć, czy \(\varphi\models\psi\) oraz czy \(\psi\models\varphi.\)

    Czas na rozwiązanie zadań to 2 godziny 30 minut od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać.
    Z zadań należy wybrać dowolne trzy i je rozwiązać. Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Na piątkę trzeba 7 punktów (w tym 3 zadania na co najmniej 2 punkty), na czwórkę 5 punktów (w tym co najmniej 2 zadania na co najmniej 2 punkty), a na trójkę 3 punktów (w tym co najmniej 1 zadanie na co najmniej 2 punkty). Każdej osobie, która odda więcej niż trzy zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze trzy spośród nich.
    Można jednak oddać także czwarte zadanie, specjalnie oznaczone jako dodatkowe, którego wynik 3 pkt. będzie umożliwiał dostanie szóstki (oczywiście tylko tym, którzy z pozostałych trzech zadań dostali piątkę).
    Każde zadanie proszę napisać na osobnej, podpisanej kartce.

    Egzamin ze wstępu do logiki, ZSI, 2005/2006.

    Zasady punktacji i wystawiania ocen są następujące:
    Z całości egzaminu można otrzymac następujące oceny: bardzo dobrą, bardzo dobrą minus, dobrą plus, dobrą, dobrą minus, dostateczną plus, dostateczną lub niedostateczną.
    Za każde zadanie można otrzymac maksymalnie jeden punkt (oceny wystawiane są z dokładnością do 0.1 punkta). Policzone zostaną trzy najlepiej rozwiązane zadania - dwóch pozostałych nie będziemy brać pod uwagę.
    Uzyskanie łącznie 2.9 punktów daje ocenę dobrą plus, 2.5 punkta daje ocenę dobrą, 2.1 punkta ocenę dostateczną plus oraz 1.6 punkta ocenę dostateczną. Na życzenie studenta oceny te zostaną wpisane do indeksu. Każdą ocenę (także niedostateczną) można będzie podnieść o maksymalnie dwa poziomy (aż do piątki włącznie) na ustnym egzaminie z teorii, który będzie się odbywać w przyszłym tygodniu. W wypadku niezadowalających odpowiedzi ocena z egzaminu pisemnego może się obniżyć o maksymalnie jeden poziom.
    Osoby, które z kolokwium uzyskały minimum 1.5 punkta, mogą zamiast rozwiązań zadań 1 i 2 oddać kartkę z życzeniem, żeby za te zadania przyznane zostały punkty uzyskane na kolokwium. Jeśli jednak oddadzą rozwiązania któregoś z tych zadań, to zostaną one sprawdzone i dostaną za nie na egzaminie tyle punktów na ile te rozwiązania ocenimy, bez względu na to, ile punktów dostały na kolokwium.
    W poniższych zadaniach odpowiedzi należy uzasadniać. Odpowiedź bez uzasadnienia nie liczy się w ogóle jako rozwiązanie.

    1. Proszę rozstrzygnąć, czy następujące zdanie jest tautologią i czy jest spełnialne:

      \((\forall x\forall y\forall z\ (R(x,z)\land R(z,y))\to R(x,y))\ \to\ (\exists x\exists y\exists z\ R(x,y)\land R(y,z)\land R(z,x)).\)

    2. Dana jest struktura \(\mathbb{P}=\langle P,r^{\mathbb{P}}\rangle,\) której uniwersum \(P\) stanowi zbiór wszystkich okręgów o promieniu 1 na płaszczyźnie, a dwuargumentowa relacja \(r^{\mathbb{P}}\) jest określona w ten sposób, że \(r^{\mathbb{P}}(o_{1},o_{2})\) wtw \(o_{1}\) i \(o_{2}\) są styczne zewnętrznie.

      Proszę napisać formułę \(\varphi(x,y)\) taką, że \(\mathbb{N}\models\varphi[o_{1},o_{2}]\) wtedy i tylko wtedy, gdy odległość pomiędzy środkami okręgów \(o_{1}\) i \(o_{2}\) jest większa niż 4.

    3. Dane są dwie struktury relacyjne \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle\) i \(\mathbb{B}=\langle B,r^{\mathbb{B}}\rangle\) nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. \(A=\{ 0,1,2,\dots,6\}\) oraz \(B=\{ 1,2,\dots,6\}\), a relacje określone są jak następuje:
      \(r^{\mathbb{A}}(x,y)\) wtw \(x\equiv y-1\;\;(\textrm{mod}3),\)
      \(r^{\mathbb{B}}(x,y)\) wtw \(x\equiv y-1\;\;(\textrm{mod}3).\)

      Proszę podać przez ile rund może się bronić drugi gracz w grze Ehrenfeuchta–Fraïssé'go rozgrywanej na tych strukturach, jeśli gracz pierwszy gra optymalnie dla siebie.

    4. Proszę wyprowadzić w systemie Gentzena sekwent

      \(\forall x\exists y(R(x)\to S(y))\vdash(\exists xR(x))\to(\exists yS(y)).\)

    5. Pokazać, że w logice Sobocińskiego nie można za pomocą alternatywy, koniunkcji i negacji zdefiniować alternatywy z logiki Heytinga-Kleene-Łukasiewicza.
    6. HKL=Heyting-Kleene-Łukasiewicz
      S= Sobociński

      \(\begin{array}[]{|c|ccc|}\hline\omit\span\omit\span\omit\span\omit x\land _{{S}}y\\ \hline\hline x\diagdown y&0&1&\bot\\ \hline 0&0&0&0\\ 1&0&1&1\\ \bot&0&1&\bot\\ \hline\end{array}\ \ \ \ \begin{array}[]{|c|c|}\hline\omit\span\omit\sim x\\ \hline\hline x&\sim x\\ \hline 0&1\\ \hline 1&0\\ \hline\bot&\bot\\ \hline\end{array}\ \ \ \ \begin{array}[]{|c|ccc|}\hline\omit\span\omit\span\omit\span\omit x\lor _{{S}}y\\ \hline\hline x\diagdown y&0&1&\bot\\ \hline 0&0&1&0\\ 1&1&1&1\\ \bot&0&1&\bot\\ \hline\end{array}\ \ \ \ \begin{array}[]{|c|ccc|}\hline\omit\span\omit\span\omit\span\omit x\lor _{{HKL}}y\\ \hline\hline x\diagdown y&0&1&\bot\\ \hline 0&0&1&\bot\\ 1&1&1&1\\ \bot&\bot&1&\bot\\ \hline\end{array}\ \ \ \ \)

    Egzamin z logiki, 06/09/2001

    1. Niech \(\Sigma\) będzie sygnaturą składającą się z jednego jednoargumentowego symbolu funkcyjnego \(f.\) Udowodnić, że każda algebra \(\mathbb{A}\) sygnatury \(\Sigma\) o więcej niż jednym elemencie ma nietrywialny (tzn. różny od identyczności) homomorfizm \(h:\mathbb{A}\to\mathbb{A}\).
    2. Niech zbiór \(X\) będzie spektrum zdania \(\varphi\) sygnatury \(\Sigma\), tzn., niech \(X=\{ n\in\mathbb{N}~/~\text{istnieje struktura $\mathbb{A}$ nad $\Sigma$ t.że $|A|=n$ i $\mathbb{A}\models\varphi$}\}.\)\(\mathbb{A}\) nad \(\Sigma\) t.że \(|A|=n\) i \(\mathbb{A}\models\varphi\)}.

      Udowodnić, że zbiór \(\{ m+n~/~m,n\in X\}\) też jest spektrum pewnego zdania \(\psi\) (w konstrukcji wolno powiększyć sygnaturę o nowe symbole).

      1. Skonstruować algebrę \(\mathbb{A}\) i klasę algebr \(\mathcal{A}\) takie, że \(\mathbb{A}\) jest wolna w \(\mathcal{A}\) nad dwoma różnymi niepustymi zbiorami wolnych generatorów \(G_{1},G_{2}\) takimi, że \(G_{1}\cap G_{2}=\emptyset.\)
      2. Skonstruować algebrę \(\mathbb{A}\) i klasę algebr \(\mathcal{A}\) takie, że \(\mathbb{A}\) jest wolna w \(\mathcal{A}\) nad dokładnie jednym niepustym zbiorem wolnych generatorów.
    3. Niech \(\mathcal{C}\) będzie klasą wszystkich grafów, skończonych i nieskończonych, które są \(n\)-dzielne, dla pewnego \(n\in\mathbb{N}.\) Graf \(\mathbb{G}\) jest \(n\)-dzielny jeśli istnieje podział jego zbioru wierzchołków \(G\) na niepuste i rozłączne podzbiory \(G_{1},\dots,G_{n}\) tak, że każda z podstruktur indukowanych \(\mathbb{G}_{{|G_{i}}}\) nie zawiera żadnych krawędzi. Przykładowo, graf pełny o \(n\) wierzchołkach \(\mathbb{K}_{n}\) jest \(n\)-dzielny, ale nie \(m\)-dzielny dla \(m< n.\)

      Udowodnić, że klasa \(\mathcal{C}\) nie jest definiowalna.

    4. Niech \(\mathbb{W}=\langle\{ 0,1\}^{+},\circ^{\mathbb{W}},0^{\mathbb{W}},1^{\mathbb{W}},r^{\mathbb{W}}\rangle\) będzie strukturą, w której \(\{ 0,1\}^{+}\) to zbiór wszystkich niepustych skończonych ciągów zerojedynkowych, \(\circ^{\mathbb{W}}\) to operacja konkatenacji ciągów (\(\langle x_{1}\dots x_{n}\rangle\circ^{\mathbb{W}}\langle y_{1}\dots y_{m}\rangle=\langle x_{1}\dots x_{n}y_{1}\dots y_{m}\rangle,\) \(0^{\mathbb{W}}\) i \(1^{\mathbb{W}}\) to ciągi jednoelementowe \(\langle 0\rangle\) i \(\langle 1\rangle\), zaś \(r^{\mathbb{W}}\) jest relacją jednoargumentową określoną przez \(r^{\mathbb{W}}(w)\) wtw. gdy każdy prefiks \(w\) zawiera nie więcej jedynek niż zer, a w całym ciągu \(w\) ilość jednek i zer jest jednakowa.

      Udowodnić, że
      \(\mathbb{W}\models\forall x([\exists y_{1}\exists y_{2}\exists y_{3}\, x=(y_{1}\circ y_{2})\circ y_{3}]\to\\ .\)

    5. Niech \(\mathbb{N}\) będzie standardowym modelem arytmetyki, nad standardową sygnaturą, składającą się z symboli \(+,*,0,1,\leq.\)

      Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad sygnaturą arytmetyki definiującą relację ,,\(x\) ma nieparzystą ilość cyfr w rozwinięciu dziesiętnym”, tzn. taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\) zachodzi równoważność \(\mathbb{N}\models\varphi[v]\) wtw \(v(x)\) ma nieparzystą ilość cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

    6. Niech \(\mathbb{Z}_{{8}}=\langle\{ 0,1,\dots,7\},S^{{\mathbb{Z}_{{8}}}},0^{{\mathbb{Z}_{{8}}}}\rangle,\) gdzie \(S^{{\mathbb{Z}_{{8}}}}\) jest operacją następnika modulo \(8,\) zaś \(0^{{\mathbb{Z}_{{8}}}}\) to \(0.\)

      Proszę opisać wszystkie kongruencje algebry \(\mathbb{Z}_{{8}}.\)

    7. Niech sygnatura algebraiczna \(\Sigma\) składa się z symboli stałych \(a,b,c\) i nie zawiera innych symboli. Niech \(\mathbb{A}\) i \(\mathbb{B}\) będą dwuelementowymi algebrami sygnatury \(\Sigma\) takimi, że \(a^{\mathbb{A}}=b^{\mathbb{A}}\neq c^{\mathbb{A}},\) zaś \(a^{\mathbb{B}}\neq b^{\mathbb{B}}=c^{\mathbb{B}}.\) Udowodnić, że każda rozmaitość algebr nad \(\Sigma\) zawierająca jednocześnie \(\mathbb{A}\) i \(\mathbb{B}\) zawiera wszystkie algebry nad \(\Sigma.\)
    8. Niech \(c,d\) będą dwoma symbolami pewnej sygnatury algebraicznej \(\Sigma,\) która poza tym może zawierać także inne symbole funkcyjne, o różnych ilościach argumentów. Zbiór \(E\) równości nad \(\Sigma\) nazwiemy symetrycznym, gdy każda równość \(t=s\) należy do \(E\) wtedy i tylo wtedy, gdy równość otrzymana z \(t=s\) przez (jednoczesną) zamianę wystąpień \(c\) na \(d\) oraz \(d\) na \(c,\) też należy do \(E.\)

      Udowodnić, że jeśli zbiór równości \(E\) nad \(\Sigma\) jest symetryczny, to zbiór\(\{ t=s~/~E\models t=s\}\) też jest symetryczny.

    9. PDF wygląda inaczej

      Rozstrzygnąć, czy \(\{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\}\models\{\psi _{1},\psi _{2}\}.\)

      \(\displaystyle \varphi _{1}: ~~~\forall x_{1}\forall x_{2}\, E(x_{1},x_{2})\to E(x_{2},x_{1})\) φ 1 : → ∀ ⁢ x 1 ∀ ⁢ x 2 E x 1 x 2 ⁢ E x 2 x 1 \(\displaystyle \varphi _{2}: ~~~\forall x\,\lnot E(x,x)\) φ 2 : ∀ ⁢ x ¬ E x x \(\displaystyle \varphi _{3}: ~~~\exists x_{1}\exists x_{2}\exists x_{3}\exists x_{4}\exists x_{5}\,\bigwedge _{{1\leq i< j\leq 5}}x_{i}\neq x_{j}\) φ 3 : ≠ ∃ ⁢ x 1 ∃ ⁢ x 2 ∃ ⁢ x 3 ∃ ⁢ x 4 ∃ ⁢ x 5 ⋀ 1 ≤ i < j ≤ 5 x i x j \(\displaystyle \psi _{1}: ~~~\exists x_{1}\exists x_{2}\exists x_{3}\, E(x_{1},x_{2})\land E(x_{2},x_{3})\land E(x_{3},x_{1})\) ψ 1 : ∧ ∃ ⁢ x 1 ∃ ⁢ x 2 ∃ ⁢ x 3 E x 1 x 2 ⁢ E x 2 x 3 ⁢ E x 3 x 1 \(\displaystyle \psi _{2}: ~~~\exists x_{1}\exists x_{2}\exists x_{3}\,\lnot(E(x_{1},x_{2})\lor E(x_{2},x_{3})\lor E(x_{3},x_{1}))\) ψ 2 : ∃ ⁢ x 1 ∃ ⁢ x 2 ∃ ⁢ x 3 ¬ ∨ ⁢ E x 1 x 2 ⁢ E x 2 x 3 ⁢ E x 3 x 1

    Czas na rozwiązanie zadań to 3 godziny od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać.
    Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Na piątkę trzeba 10 punktów (w tym 4 zadania na co najmniej 2 punkty), na czwórkę 8 punktów (w tym co najmniej 3 zadania na co najmniej 2 punkty), a na trójkę 5 punktów (w tym co najmniej 2 zadania na co najmniej 2 punkty lub jedno zadanie na 3 punkty). Każdej osobie, która odda więcej niż cztery zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż czterech zadań.
    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu.

    Kolokwium poprawkowe z logiki, 31/05/2001

    1. Skonstruuj przykłady dwóch nieizomorficznych nieskończonych grafów \(\mathbb{A}\) i \(\mathbb{B}\) takich, że istnieją różnowartościowe homomorfizmy grafów \(g:\mathbb{B} \to \mathbb{A}\) i \(\mathbb{A} \cong \mathbb{B}.\)

      Funkcja \(h:A\to\ B\) jest homomorfizmem grafów \(\mathbb{A}\) i \(\mathbb{B},\) gdy dla wszystkich \(a,a^{{\prime}}\in A\), \(\langle a,a^{{\prime}}\rangle\in E^{\mathbb{A}}\) implikuje \(\langle h(a),h(a^{{\prime}})\rangle\in E^{\mathbb{B}}\).

    2. Niech \(\varphi _{0}\equiv\exists x\exists y(x\neq y),\)
      \(\varphi _{1}\equiv\forall x(\lnot E(x,x))\),
      \(\varphi _{2}\equiv\forall x\forall y(E(x,y)\to E(y,x)),\)
      \(\varphi _{3}\equiv\forall x\forall y((x\neq y)\to\exists z(E(x,z)\land E(y,z))).\)
      Udowodnić, że \(\{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\}\models\exists x\exists y\exists z(E(x,y)\land E(x,z)\land E(z,y)).\)
    3. Klasa \(\mathcal{A}\) jest złożona z wszystkich nieskierowanych grafów (skończonych lub nie) \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) (nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\)) o następującej własności: każda składowa spójna \(\mathbb{A}\) jest skończona.

      Udowodnić, że klasa \(\mathcal{A}\) nie jest aksjomatyzowalna, tj., że nie istnieje zbiór \(T\) zdań taki, że \(\mathcal{A}=Mod(T).\)

    4. Niech \(\Sigma\) będzie zwykłą sygnaturą ciał z porządkiem, wzbogaconą o jeden jednoargumentowy symbol funkcyjny \(f.\) Rozpatrujemy struktury postaci

      \(\mathbb{A}=\langle R,+^{\mathbb{A}},*^{\mathbb{A}},-^{\mathbb{A}},0^{\mathbb{A}},1^{\mathbb{A}},\leq^{\mathbb{A}},f^{\mathbb{A}}\rangle,\)

      gdzie \(R\) to zbiór liczb rzeczywistych, \(+,*,-,0,1,\leq\) mają zwykłe interpretacje (takie, jak w liczbach rzeczywistych), zaś \(f^{\mathbb{A}}:R\to R\) jest dowolną funkcją.

      Napisać zdanie pierwszego rzędu \(\varphi\) nad \(\Sigma\) takie, że \(\mathbb{A}\models\varphi\) wtw \(f^{\mathbb{A}}\) jest funkcją okresową o najmniejszym okresie \(1.\)

    Z powyższych zadań należy wybrać i rozwiązać dwa. Czas na rozwiązanie zadań to 90 minut od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Wykryte przypadki ściągania (także na etapie sprawdzania prac) będziemy karać.
    Zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Do zaliczenia potrzeba 4 punktów. Osobie, kóra odda więcej niż dwa zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze dwa sposród nich, czyli nie opłaca się oddawać więcej niż dwóch zadań.
    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem, grupą (nazwisko prowadzącego i termin zajęć) i adresem poczty elektronicznej, na który ma być wysłany wynik kolokwium.

    KP_PDF - Kolokwium poprawkowe z logiki, 31/05/2001

    1. Skonstruuj przykłady dwóch nieizomorficznych nieskończonych grafów \(\mathbb{A}\) i \(\mathbb{B}\) takich, że istnieją różnowartościowe homomorfizmy grafów \(g:\mathbb{B}\to\mathbb{A}\) i \(h:\mathbb{A}\to\mathbb{B}.\)

      Funkcja \(h:A\to\ B\) jest homomorfizmem grafów \(\mathbb{A}\) i \(\mathbb{B},\) gdy dla wszystkich \(a,a^{{\prime}}\in A\), \(\langle a,a^{{\prime}}\rangle\in E^{\mathbb{A}}\) implikuje \(\langle h(a),h(a^{{\prime}})\rangle\in E^{\mathbb{B}}\).

    2. Niech \(\varphi _{0}\equiv\exists x\exists y(x\neq y),\)\(\varphi _{1}\equiv\forall x(\lnot E(x,x))\),\(\varphi _{2}\equiv\forall x\forall y((x\neq y)\to\exists z(E(x,z)\land E(y,z))).\)

      Jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle,\) który jest modelem zbioru \(\{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2}\}?\)

    3. Klasa \(\mathcal{A}\) jest złożona z wszystkich częściowych porządków o tej własności, że żaden zawarty w nich skończony łańcuch nie jest maksymalny.

      Skonstruować zbiór zdań \(T\) nad zwykłą sygnaturą porządków \(\Sigma,\) taki, że \(\mathcal{A}=Mod(T).\)

    4. Niech \(\Sigma\) będzie zwykłą sygnaturą ciał z porządkiem, wzbogaconą o jeden jednoargumentowy symbol funkcyjny \(f.\) Rozpatrujemy struktury postaci

      \(\mathbb{A}=\langle R,+^{\mathbb{A}},*^{\mathbb{A}},-^{\mathbb{A}},0^{\mathbb{A}},1^{\mathbb{A}},\leq^{\mathbb{A}},f^{\mathbb{A}}\rangle,\)

      gdzie \(R\) to zbiór liczb rzeczywistych, symbole \(+,*,-,0,1,\leq\) mają zwykłe interpretacje (takie, jak w liczbach rzeczywistych), zaś \(f^{\mathbb{A}}:R\to R\) jest dowolną funkcją.

      Napisać zdanie pierwszego rzędu \(\varphi\) nad \(\Sigma\) takie, że \(\mathbb{A}\models\varphi\) wtw \(f^{\mathbb{A}}\) jest funkcją okresową o najmniejszym dodatnim okresie \(1.\)

    Z powyższych zadań należy wybrać i rozwiązać dwa. Czas na rozwiązanie zadań to 90 minut od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Wykryte przypadki ściągania (także na etapie sprawdzania prac) będziemy karać.
    Zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Do zaliczenia potrzeba 4 punktów. Osobie, kóra odda więcej niż dwa zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze dwa sposród nich, czyli nie opłaca się oddawać więcej niż dwóch zadań.
    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem, grupą (nazwisko prowadzącego i termin zajęć).

    Kolokwium poprawkowe z logiki, 31/05/200

    1. Udowodnij, że istnieją nieskończone nieizomorficzne grafy \(\mathbb{A}\not\cong\mathbb{B}\) takie, że istnieją przekształcenia \(h:\mathbb{A}\to\mathbb{B}\) i \(g:\mathbb{B}\to\mathbb{A},\) które są różnowartościowymi homomorfizmami grafów.
    2. Niech \(\varphi _{0}\equiv\exists x\exists yx\neq y,\) \(\varphi _{1}\equiv\forall x\lnot E(x,x)\), \(\varphi _{2}\equiv\forall x\forall y(x\neq y)\to\exists z(E(x,z)\land E(z,y)).\)

      Czy \(\{\varphi _{)},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\}\models\exists x\exists y\exists z(E(x,y)\land E(x,z)\land E(z,y)).\)

    3. Udowodnij, że klasa \(\mathcal{A}\) złożona z wszystkich (być może nieskończonych) grafów regularnych, tj., grafów których wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień, nie jest definiowalna.
    4. Niech \(\Sigma\) będzie zwykłą sygnaturą ciał, wzbogaconą o jeden jednoargumentowy symbol funkcyjny \(f.\) Rozpatrujemy struktury postaci \(\mathbb{R}_{f}=\langle R,+^{\mathbb{R}},*^{\mathbb{R}},-^{\mathbb{R}},0^{\mathbb{R}},1^{\mathbb{R}},f\rangle,\) gdzie \(R\) to zbiór liczb rzeczywistych, wszystkie operacje mają zwykłe interpretacje, zaś \(f:R\to R\) jest dowolną funkcją.

      Napisać zdanie pierwszego rzędu \(\varphi\) nad \(\Sigma\) takie, że \(\mathbb{R}_{f}\models\varphi\) wtw \(f\) jest funkcją różniczkowalą w \(0.\)

    Czas na rozwiązanie zadań to 90 minut od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Osoby złapane na ściąganiu (także na etapie sprawdzania prac) będziemy karać.
    Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Do zaliczenia potrzeba 5 punktów (w tym 2 zadania na co najmniej 2 punkty). Każdej osobie, kóra odda więcej niż trzy zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż trzech zadań.
    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem i adresem poczty elektronicznej, pod który ma być wysłany wynik.

    Kolokwium z logiki, 19/04/2001

    1. Udowodnij, że jeżeli przekształcenia \(h:\mathbb{A}\to\mathbb{B}\) i \(g:\mathbb{B}\to\mathbb{A}\) są różnowartościowymi homomorfizmami grafów, to \(\mathbb{A}\cong\mathbb{B}.\)
    2. Niech \(\varphi _{0}\equiv\exists x\exists yx\neq y,\) \(\varphi _{1}\equiv\forall x\lnot E(x,x)\), \(\varphi _{2}\equiv\forall x\forall y(E(x,y)\to E(y,x)),\) \(\varphi _{3}\equiv\forall x\forall y(x\neq y)\to\exists z(E(x,z)\land E(y,z)).\)

      Udowodnić, że \(\{\varphi _{)},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\}\models\exists x\exists y\exists z(E(x,y)\land E(x,z)\land E(z,y)).\)

    3. Udowodnij, że klasa \(\mathcal{A}\) złożona z wszystkich (być może nieskończonych) grafów regularnych, tj., grafów których wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień, nie jest definiowalna.
    4. Niech \(\Sigma\) będzie zwykłą sygnaturą ciał, wzbogaconą o jeden jednoargumentowy symbol funkcyjny \(f.\) Rozpatrujemy struktury postaci \(\mathbb{R}_{f}=\langle R,+^{\mathbb{R}},*^{\mathbb{R}},-^{\mathbb{R}},0^{\mathbb{R}},1^{\mathbb{R}},f\rangle,\) gdzie \(R\) to zbiór liczb rzeczywistych, wszystkie operacje mają zwykłe interpretacje, zaś \(f:R\to R\) jest dowolną funkcją.

      Napisać zdanie pierwszego rzędu \(\varphi\) nad \(\Sigma\) takie, że \(\mathbb{R}_{f}\models\varphi\) wtw \(f\) jest funkcją różniczkowalą w \(0.\)

    Czas na rozwiązanie zadań to 90 minut od chwili ich rozdania. Wolno używać dowolnych notatek i podręczników, natomiast nie wolno ściągać. Osoby złapane na ściąganiu (także na etapie sprawdzania prac) będziemy karać.
    Wszystkie zadania są oceniane w skali 0-1-2-3 punkty, przy czym ważne jest uzasadnienie odpowiedzi. Do zaliczenia potrzeba 5 punktów (w tym 2 zadania na co najmniej 2 punkty). Każdej osobie, kóra odda więcej niż trzy zadania, do wyniku zostaną policzone najsłabsze cztery spośród nich, tak więc nie opłaca się oddawać więcej niż trzech zadań.
    Każde zadanie proszę napisać na osobnej kartce, podpisanej imieniem, nazwiskiem i adresem poczty elektronicznej, pod który ma być wysłany wynik.

    Zadania przygotowawcze z logiki Wersja 2.

    O zadaniach. Zadania są podzielone na kilka grup. Niektóre zadania są dosyć trudne. Pewne zadania powtarzają się w kilku grupach, aby zachęcić studentów do rozwiązania ich różnymi metodami.
    Przy niektórych zadaniach (z działów ,,Tw. o zwartości” i ,,Tw. Skolema-Löwenheima”) należy się posłużyć pełną wersją twierdzenia Skolema-Löwenheima poniżej, która zostanie podana na najbliższym wykładzie:
    Jeśli \(\Delta\) jest zbiorem zdań nad sygnaturą \(\Sigma\) który ma nieskończony model, to \(\Delta\) ma model dowolnej mocy \(\mathfrak{m}\geq|\Sigma|.\)

    Formalizowanie zadanych własności. Spektrum \(Spec(\varphi)\) zdania \(\varphi\) to zbiór wszystkich liczb naturalnych \(n\) takich, ze \(\varphi\) ma model o mocy \(n.\) Standardowy model arytmetyki to struktura \(\mathbb{N}=\langle\omega,*^{\mathbb{N}},+^{\mathbb{N}},0^{\mathbb{N}},1^{\mathbb{N}},\leq^{\mathbb{N}}\rangle.\)

    1. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=Spec(\lnot\varphi).\)
    2. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ n^{2}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)
    3. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ 2*n~/~n\in\mathbb{N}\}.\)
    4. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ n~/~n\in\mathbb{N}\ \text{i $n$ jest liczb"a z"lo"ron"a}\}.\)\(n\) jest liczbą złożoną}.
    5. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że \(Spec(\varphi)=\{ 2^{n}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)
    6. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(n\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)
    7. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(2^{n}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)
    8. Podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(n!\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)
    9. Dla ustalonego \(k\in\mathbb{N},\) podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \({n \choose k}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)
    10. Dla ustalonego \(k\in\mathbb{N},\) podać przykład zdania \(\varphi\) (sygnatura też jest do wyboru) takiego, że dla każdego naturalnego \(n,\) \(\varphi\) ma dokładnie \(n^{k}\) nieizomorficznych modeli mocy \(n.\)
    11. Znaleźć formułę \(\varphi(x,y)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(x\) jest względnie pierwsze z \(y.\)
    12. Znaleźć formułę \(\varphi(x,y,z)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(z\) jest największym wspólnym dzielnikiem \(x\) i \(y.\)
    13. Znaleźć formułę \(\varphi(x,y,z)\) stwierdzającą w standardowym modelu arytmetyki, że \(y\) jest największą liczbą, będącą potęgą liczby pierwszej, która dzieli \(x.\)

    Szukanie modeli dla zadanych formuł. W zadaniach ,,Pokazać, że zbiór zdań \(\Delta\) jest niezależny”, należy za każdym razem udowodnić, że dla każdego \(\varphi\in\Delta,\) \(\Delta\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi,\) poprzez wskazanie modelu \(\Delta\setminus\{\varphi\},\) który nie jest modelem \(\varphi.\)

    1. Pokazać, że zbiór aksjomatów relacji równoważności

      \(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y(Exy\to Eyx)\\ \forall x\ Exx\\ \forall x\forall y\forall z((Exy\land Eyz)\to Exz)\end{array}\right\}\)

      jest niezależny.

    2. Pokazać, że zbiór aksjomatów liniowych porządków

      \(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y((x\leq y)\lor(y\leq x))\\ \forall x\forall y((x\leq y\land y\leq x)\to x=y)\\ \forall x\forall y\forall z((x\leq y\land y\leq z)\to x\leq z)\end{array}\right\}\)

      jest niezależny.

    3. Pokazać, że zbiór aksjomatów teorii grup (w zapisie multiplikatywnym, nad sygnaturą

      \(\Sigma^{F}_{{2}}=\{*\},\Sigma^{F}_{0}=\{ 1\}\))
      \(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x((1*x=x)\land(x*1=x))\\ \forall x\forall y\forall z((x*y)*z=x*(y*z))\\ \forall x\exists y((x*y=1)\land(y*x=1))\end{array}\right\}\)

      jest niezależny.

    4. Pokazać, że zdanie \((\forall x\exists y\ Exy)\to(\exists x\forall y\ Exy)\) nie jest tautologią.
    5. Pokazać, że zdanie

      \((\forall x\forall y((f(x)=f(y))\to(x=y)))\to(\forall x\exists y(f(y)=x))\)

      nie jest tautologią. Czy jego negacja ma model skończony?

    6. Pokazać, że zdanie \(\exists x\exists y\exists u\exists v((\lnot u=x)\lor(\lnot v=y))\land(f(x,y)=f(u,v))\) nie jest tautologią. Ile nieizomorficznych modeli skończonych ma to zdanie?

    Tw. Fraïssé, gra Ehrenfeuchta.

    1. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) oraz takich, że \(|r^{\mathbb{A}}|=|A\setminus r^{\mathbb{A}}|\) nie jest aksjomatyzowalna.
    2. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(|\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\in E^{\mathbb{A}}\}|< |\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\notin E^{\mathbb{A}}\}|,\) nie jest aksjomatyzowalna.
    3. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest zbiorem skończonym, nie jest definiowalna.
    4. Pokazać, że klasa wszystkich relacji równoważności, które mają skończenie wiele klas abstrakcji, nie jest aksjomatyzowalna.

    Tw. o zwartości.

    1. Pokazać, że jeśli klasa \(\mathcal{A}\) struktur nad sygnaturą \(\Sigma\) jest aksjomatyzowalna i jej dopełnienie \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A}\) struktur sygnatury \(\Sigma,\) ktore nie nalezą do \(\mathcal{A},\) jest aksjomatyzowalne, to obie klasy są w istocie definiowalne.

      Wskazówka: Założyć, że pierwsza klasa jest aksjomatyzowalna przez \(\Delta\), a druga przez \(\Delta^{{\prime}},\) ale żaden skończony podzbiór \(\Delta\) nie jest aksjomatyzacją \(\mathcal{A}.\) Pokazać, że \(\Delta\cup\Delta^{{\prime}}\) spełnia założenia tw. o zwartości.

    2. Pokazać następujące tw. Robinsona: Jeśli \(\Delta,\Delta^{{\prime}}\) są spełnialnymi zbiorami zdań nad pewną sygnaturą \(\Sigma,\) zaś \(\Delta\cup\Delta^{{\prime}}\) nie jest spełnialny, to istnieje zdanie \(\varphi\) takie, że \(\Delta\models\varphi\) oraz \(\Delta^{{\prime}}\models\lnot\varphi.\)

      Wskazówka: Założyć, że dla każdego \(\varphi\) takiego, że \(\Delta\models\varphi\) zachodzi \(\Delta^{{\prime}}\not\models\lnot\varphi.\) Pokazć, że w tej sytuacji \(\Delta^{{\prime}}\cup\{\varphi\}\) jest spełnialny, a stąd, że \(\Delta\cup\Delta^{{\prime}}\) spełnia zalożenia tw. o zwartości.

    3. Pokazać, że jeśli \(\Delta\) jest pewnym zbiorem zdań \(\varphi\) takich, że \(Spec(\lnot\varphi)\) jest skończone, oraz \(\Delta\models\psi,\) to także \(Spec(\lnot\psi)\) jest skończone.
    4. Pokazać, że klasa wszystkich relacji równoważności, które mają skończenie wiele klas abstrakcji, nie jest aksjomatyzowalna.
    5. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest zbiorem skończonym, nie jest aksjomatyzowalna.
    6. Pokazać, że klasa wszystkich algebr \(\mathbb{A}=\langle A,f^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(f\) jest symbolem jednoragumentowej funkcji, oraz takich, że \(|\vec{f}(A)|< |A|\) nie jest aksjomatyzowalna.
    7. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(|\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\in E^{\mathbb{A}}\}|< |\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\notin E^{\mathbb{A}}\}|,\) nie jest aksjomatyzowalna.
    8. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) oraz takich, że \(|r^{\mathbb{A}}|=|A\setminus r^{\mathbb{A}}|\) nie jest aksjomatyzowalna.

    Tw. Skolema-Löwenheima.

    1. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) oraz takich, że \(|r^{\mathbb{A}}|=2^{{|A\setminus r^{\mathbb{A}}|}}\) nie jest aksjomatyzowalna.
    2. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur izomorficznych do struktury postaci \(\mathbb{A}=\langle\mathcal{P}(A),\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}},\subseteq^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}}\) oraz \(\subseteq^{\mathbb{A}}\) są odpowiednio prawdziwymi sumą, przecięciem i zawieraniem zbiorów, nie jest aksjomatyzowalna.
    3. Udowodnić następujące tw. Hessenberga: Dla każdej nieskończonej mocy \(\mathfrak{m}\) zachodzi \(\mathfrak{m}^{2}=\mathfrak{m}.\)

      Wskazówka: Napisać zdanie pierwszego rzędu, z którego wynika, że uniwersum modelu jest mocy nie mniejszej niż moc jego kartezjańskiego kwadratu. Pokazać, że zdanie to ma model nieskończony i skorzystać z tw. Skolema-Löwenheima.

    zadania_egz

    1. Niech \(\mathbb{A}=\langle\omega\setminus\{ 0\},\mathrm{nwd}^{\mathbb{A}}\rangle\) będzie algebrą, gdzie \(\mathrm{nwd}\in\Sigma^{F}_{2},\) przy czym dla wszystkich \(m,n\in\omega\)

      \(\mathrm{nwd}^{\mathbb{A}}(m,n)=\text{najwi"ekszy wsp"olny dzielnik $m$ i $n$.}\)\(m\) i \(n\).

      Napisać formułę \(\varphi(x)\) nad \(\Sigma\) definiującą własność ,,być liczbą pierwszą”, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{X}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ \text{$v(x)$ jest liczb"a pierwsz"a.}\)\(v(x)\) jest liczbą pierwszą.

    2. Niech \(\mathbb{Y}=\langle\omega,S^{\mathbb{Y}},\beta^{\mathbb{Y}},\leq^{\mathbb{Y}}\rangle\) będzie strukturą nad sygnaturą \(\Sigma,\) która składa się z symboli \(S\in\Sigma^{F}_{1},\) \(\beta\in\Sigma^{F}_{3}\) oraz \(\leq\in\Sigma^{R}_{2},\) przy czym dla każdych \(n,t,p,i\in\omega\)

      \(\displaystyle S^{\mathbb{Y}}(n) =n+1\) ⁢ S Y n = + n 1 \(\displaystyle \beta^{\mathbb{Y}}(t,p,i) =\text{$\beta$}(t,p,i),\)\(\beta\) t p i ⁢ β Y t p i = ⁢ β t p i

      gdzie \(\beta\) to funkcja beta Gödla, znana z wykładu, zaś \(\leq^{\mathbb{Y}}\) to zwykła nierówność.

      Napisać formułę \(\varphi(x,y,z)\) nad \(\Sigma\) definiującą dodawanie, tj., taką, że dla wszystkich wartościowań \(v:X\to\omega\)

      \(\mathbb{Y}\models\varphi[v]\ \ \text{wtw}\ \ v(x)+v(y)=v(z).\)

    3. Wykazać, że jeśli klasa \(\mathcal{A}\) struktur pewnej ustalonej sygnatury \(\Sigma\) nie jest aksjomatyzowalna, to klasa \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A},\) złożona z wszystkich tych struktur sygnatury \(\Sigma,\) które nie należą do \(\mathcal{A},\) nie jest definiowalna.

      Podać taki przykład aksjomatyzowalnej klasy \(\mathcal{A}\) nad sygnaturą \(\Sigma\) (którą też można sobie wybrać), że \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A}\) nie jest aksjomatyzowalna.

    4. Przypuśćmy, że \(\Delta\) jest zbiorem zdań nad sygnaturą \(\Sigma,\) który ma model nieskończony, oraz, że każde dwa przeliczalne modele \(\Delta\) są izomorficzne (o takich \(\Delta\) mówi się, że są \(\aleph _{0}\)-kategoryczne). Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) nad \(\Sigma,\) albo \(\Delta\models\varphi\) albo \(\Delta\models\lnot\varphi\) (innymi słowy, \(\Delta\) jest zupełny).
    5. Równość \(s=t\) nazywamy normalną, gdy \(FV(s)=FV(t),\) tj., w \(s\) i \(t\) występują dokładnie te same zmienne.

      Przypuśćmy, że \(E\) jest zbiorem równości normalnych, oraz że \(E\vdash _{{eq}}s=t.\) Udowodnić, że \(s=t\) też jest równością normalną.

    6. Niech \(\varphi\) będzie zdaniem

      \(\forall x\forall y\,(y=f(g(x))\to(\exists u\,(u=f(x)\land y=g(u))))\)

      oraz niech \(\psi\) będzie zdaniem

      \(\forall x\,[f(g(f(x)))=g(f(f(x)))].\)

      Czy \(\{\psi\}\models\varphi?\)

    7. Udowodnić, że klasa wszystkich struktur \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\) i takich, że \(E^{\mathbb{A}}\) jest relacją równoważności, która ma wyłącznie klasy abstrakcji parzystej mocy, nie jest definiowalna.
    8. Niech \(\mathbb{A}\) będzie algebrą wolną ze zbiorem wolnych generatorów \(G\), w pewnej klasie \(\mathcal{A}.\) Udowodnić, że dla każdej relacji równoważności \(r\subseteq G\times G\) istnieje kongruencja \(\bar{r}\subseteq A\times A\) taka, że \(\bar{r}\cap(G\times G)=r.\) (Można to wyrazić stwierdzeniem, że \(r\) roszerza się do kongruencji w \(\mathbb{A}.\))

      Wykorzystując przestrzenie liniowe nad ciałem \(\mathbb{R}\) jako przykład, udowodnić, że może istnieć wiele różnych kongruencji \(\bar{r},\) rozszerzających daną relację równoważności \(r\) w \(G.\)

    9. Opisać wszystkie kongruencje algebry \(\mathbb{A}=\langle\{ 0,1,2,3\},\min^{\mathbb{A}},\max^{\mathbb{A}}\rangle,\) gdzie \(\min,\max\in\Sigma^{F}_{2}\), a \(\min^{\mathbb{A}},\max^{\mathbb{A}}\) są odpowiednio operacjami maksimum i minimum.
    10. Niech \(\mathbb{P}=\langle\mathcal{P}(\omega),\cap^{\mathbb{P}},\cup^{\mathbb{P}}\rangle\) będzie kratą podzbiorów \(\omega\) ze zwykłymi działaniami teoriomnogościowymi. Udowodnić, że \(\mathbb{P}\times\mathbb{P}\cong\mathbb{P}.\)

    Tutorials in English

    Propositional logic

    Classical propositional logic

    A formula of propositional logic is in the conjunctive normal form (CNF) if it is a conjunction of (possibly many) disjunctions of (possibly many) propositinal variables and negated propositional variables. Eg., \((p_1\lor\lnot p_2\lor p_3)\land(p_2\lor p_4\lor \lnot p_5)\land(\lnot p_1\land p_2)\) is a CNF formula.

    A formula of propositional logic is in \(k\)-CNF if it is in CNF and each disjunction has at most \(k\) disjuncts (variables or their negations). The formula given above is in 3-CNF, byt not in 2-CNF.

    A formula of propositional logic is in the disjunctive normal form (DNF) if it is a disjunction of (possibly many) conjunctions of (possibly many) propositinal variables and negated propositional variables.

    Exercise 1
    Show that for each propositional formula \(\varphi\) there exists a propositional formula \(\psi\) in DNF, equivalent to \(\varphi\), i.e., \(\varphi\leftrightarrow\psi\) is a tautology.

    Exercise 2
    Show that for each propositional formula \(\varphi\) there exists a propositional formula \(\psi\) in CNF, equivalent to \(\varphi\), i.e., \(\varphi\leftrightarrow\psi\) is a tautology.

    Exercise 3
    Show that for each propositional formula \(\varphi\) in CNF there exists a propositional formula \(\psi\) in 3-CNF such that \(\psi\) is satisfiable if and only if \(\varphi\) is satisfiable.

    Exercise 4
    Give a polynomial time algorithm for the following decision problem:

    Input: Propositional formula \(\varphi\) in DNF.
    Question: Is \(\varphi\) satisfiable?

    Exercise 5
    Give a polynomial time algorithm for the following decision problem:

    Input: Propositional formula \(\varphi\) in 2-CNF.
    Question: Is \(\varphi\) satisfiable?

    Exercise 6
    We consider formulas built using connectives of conjunction and disjunction, only.
    For such a formula \(\varphi\) let \(\hat{\varphi}\) denote its dualisation, i.e., the formula obtained from \(\varphi \) by replacing every occurrence of \(\wedge\) by \(\vee\) and every occurrence of \(\vee\) by \(\wedge\).

    * Prove that \(\varphi\) is a tautology if and only if \(\lnot\hat{\varphi}\) is a tautology.

    * Prove that \(\varphi\leftrightarrow\psi\) is a tautology if and only if \(\hat{\varphi}\leftrightarrow\hat{\psi}\) is a tautology.

    * Propose a method to define dualisation for formulas contaning addtionally logical constants \(\bot\) and \(\top\), such that the above equivalences remain valid.

    Exercise 7
    Prove that for any function \(f:\{0,1\}^k\to\{0,1\}\) there exists a formula \(\varphi\) using only the connectives \(\to\) i \(\bot\) and variables from the set \(\{p_1,\ldots, p_k\}\) with the property that for any valuation \(\varrho\) the following equality holds:
    \([[\varphi]]_\varrho = f(\varrho(p_1),\ldots, \varrho(p_k))\).
    (In other words, the formula \(\varphi\) defines the function \(f\).)

    Exercise 8
    Consider an infinite set of lads, each of which has a finite number of fiancees. Moreover, for each \(k\in N\), any \(k\) lads has at least \(k\) fiancees. Demonstrate that it is possible to marry each lad with one of his fiancees, without commiting bigamy.

    Exercise 9
    Let \(k\) be a fixed natural number. Prove, using the compactness theorem, that if every finite subgraph of an infinite graph \(G=\langle V,E\rangle\) is \(k\)-collorable, then \(G\) itself is \(k\)-collorable, too.

    Exercise 10
    For the formula \(\gamma =\ r\leftrightarrow (p_1\lor p_2)\) the following equivalence holds: \(\varrho\models\gamma\) if and ony if \(\varrho(r)=\max(\varrho(p_1),\varrho(p_2))\).

    Investigate whether there exists a set of formulas \(\Gamma\) such that \(\varrho\models\Gamma\) if and only if \(\varrho(r)=\max_{n\in\mathbb{N}}(\varrho(p_n))\).

    Exercise 11
    Is the sequent \(\{p,q\to p,\lnot q\}\vdash\{p,q\}\) provable in the Gentzen system for propositional logic?

    Exercise 12
    Decide if the following sequents are provable in the Gentzen system for propositional logic?

    * \( (p\to q) \lor (q\to p)\)
    * \((p\to ( q \to p)) \to p\)

    Exercise 13
    In the Gentzen system, the sequent \(\Gamma,p\vdash\Delta,p\) is an axiom, where \(p\) is a propositional variable. Prove that every sequent of the form \(\Gamma,\varphi\vdash\Delta,\varphi\) is provable in the Gentzen system. What can you assert about the size of this proof?

    Three-valued propositional logics

    Exercise 14
    A logic \(L\) is called monotonic, if the conditions \(\Delta\models\varphi\) and \(\Gamma\supseteq\Delta\) imply \(\Gamma\models\varphi.\)

    For a three-valued Sobociński logic we define that \(\Delta\models\varphi\), iff for every valuation of propositional variables into \(\{0,\frac12,1\}\), if the values of all sentences in \(\Delta\) are 1, then the value of \(\varphi\) is 1, too.

    Is this logic monotonic?

    Exercise 15
    Answer the same question as in Exercise 14 for the logics of Heyting-Kleene-Łukasiewicz and Bochvar, as well as for the logic of lazy (short) Pascal evaluation.

    Exercise 16
    What is the computational complexity of the following decision problem:

    Given: A formula \(\varphi\) of propositional logic.
    Question: Is there a valuation \(\varrho\) of propositional variables into \(\{0,\frac12,1\}\) such that in the three-valued logic of Bochvar \([[\varphi]]_\varrho=1\)?

    Intuitionistic propositional logic

    Exercise 16
    Prove the following formula in the Natural Deduction system for the intuitionistic logic
    * \(p \to \neg \neg p\)
    * \(\neg (p \lor q) \to\neg p \land\neg q\)
    * \(\neg p \land\neg q \to\neg (p \lor q)\)
    * \(\neg p \lor\neg q \to\neg (p \land q)\)

    Exercise 17
    Prove that the following formulas are not tautologies of the intuitionistic logic. Use Kripke models:

    * \(((p\to q) \to p) \to p\)
    * \(\neg (p \land q) \to (\neg p \lor\neg q)\)

    Exercise 18

    Prove inexpressibility of connectives in the intuitionistic logic:
    * \(\lor\) can not be expressed using only \(\land\), \(\to\) and \(\bot\)
    * \(\land\) can not be expressed using only \(\lor\), \(\to\) and \(\bot\)
    * \(\to\) can not be expressed using only \(\lor\), \(\land\) and \(\bot\)

    First order logic: formulas, models, tautologies

    Exercise 1

    Let \({\mathfrak A} =\langle{\mathbb N}, p^{\mathfrak A}, q^{\mathfrak A}\rangle\), where:

    \(\langle a,b\rangle \in p^{\mathfrak A}\) iff \(a+b\geq 6\);

    \(\langle a,b\rangle \in q^{\mathfrak A}\) iff \(b=a+2\).

    Check if formulas

    1. \(\forall x p(x,y) \to \exists x q(x,y)\);
    2. \(\forall x p(x,y) \to \forall x q(x,y)\);
    3. \(\forall x p(x,y) \to \exists x q(x,z)\);

    are satisfied under the valuation \(v(y) = 7\), \(v(z) = 1\) in structure \({\mathfrak A}\).

    Exercise 2

    Let \({\mathfrak A} = \langle {\mathbb Z}, f^{\mathfrak A}, r^{\mathfrak A}\rangle \) and \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb Z}, f^{\mathfrak B}, r^{\mathfrak B}\rangle \), where \(f^{\mathfrak A}(m,n) = \min(m,n)\) for \(m,n\in{\mathbb Z}\), and \(r^{\mathfrak A}\) is the relation \(\geq\);

    \(f^{\mathfrak B}(m,n) = m^2+n^2\) for \(m,n\in{\mathbb Z}\), and \(r^{\mathfrak B}\) is the relation \(\leq\).

    Check if formulas

    1. \(\forall y(\forall x(r(z,f(x,y))\to r(z,y)))\);
    2. \(\forall y(\forall x(r(z,f(x,y)))\to r(z,y))\),

    are satisfied under the valuation \(v(z) =5\), \(v(y)=7\) in structures \({\mathfrak A}\) and \({\mathfrak B}\).

    Exercise 3

    Is formula \(\forall x(\lnot r(x,y)\to\exists z(r(f(x,z),g(y))))\) satisfied under the valuation \(v(x) =3\), \(w(x) = 6\) and \(u(x) = 14\)

    1. in the structure \({\mathfrak A} = \langle {\mathbb N}, r^{\mathfrak A}\rangle \), where \(r^{\mathfrak A}\) is the divisibility relation?
    2. in the structure \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb N}, r^{\mathfrak B}\rangle \), where \(r^{\mathfrak B}\) is the congruency modulo 7?

    Exercise 4

    In which structures is the formula \(\exists y (y\neq x)\) satisfied?
    And the formula \(\exists y (y\neq y)\) obtained by naive substitution of \(y\) to \(x\)?

    Exercise 5

    Give examples of models and valuations such that the formula
    \(p(x,f(x)) \to \forall x\exists y\, p(f(y),x)\)

    is:
    a) satisfied;
    b) not satisfied.

    Exercise 6

    Check if the following formulas are tautologies an if they are satisfiable:

    1. \(\exists x\forall y(p(x) \vee q(y)) \to \forall y(p(f(y))\vee q(y))\);
    2. \(\forall y(p(f(y))\vee q(y)) \to \exists x\forall y(p(x) \vee q(y))\);
    3. \(\exists x(\forall y q(y)\to p(x))\to \exists x\forall y(q(y)\to p(x))\);
    4. \(\exists x(\forall y q(y)\to p(x)) \to\exists x(q(x)\to p(x))\).

    Exercise 7

    Let \(f\) be a function symbol of arity two, that is not used in the formula \(\varphi\).
    Show that the formula \(\forall x\exists y \varphi\) is satisfiable if and only if the formula \(\forall x \varphi(f(x)/y)\) is satisfiable.

    Exercise 8

    Show that the formula \(\forall x\exists y\,p(x,y)\wedge \forall x\neg p(x,x)
    \wedge \forall x\forall y\forall z(p(x,y)\wedge p(y,z)\to p(x,z))\) has only infinite models.

    Exercise 9

    For each \(n\) give a closed formula \(\varphi_n\) such that \({\mathfrak A}\models\varphi_n\) iff \({\mathfrak A}\) has exactly \(n\) elements.

    Exercise 10

    Show that for each finite structure \({\mathfrak A}\) over a finite signature there exists a set of first order formulas \(\Delta\) such that \({\mathfrak A}\models\Delta\) and for all structures satisfying \({\mathfrak B}\models\Delta\) it holds that \({\mathfrak B}\cong{\mathfrak A}.\)

    Exercise 11

    Is it true that \({\mathfrak A} \models \exists x\,\varphi\) implies existence of a term \(t\) such that \({\mathfrak A} \models \varphi[t/x]\)?

    Exercise 12

    Let \(\varphi = \forall x\forall y\,(y=f(g(x))\to(\exists u\,(u=f(x)\land y=g(u))))\) and \(\psi = \forall x\,[f(g(f(x)))=g(f(f(x)))]\). Does it hold that
    \(\{\psi\}\models\varphi\)?

    Hint
    In exercises of the form "Show that the set of formulas \(\Delta\) is independent", one has to prove that for each \(\varphi\in\Delta,\) \(\Delta\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi,\) by showing a model of \(\Delta\setminus\{\varphi\},\) which is not a model of \(\varphi.\)

    Exercise 13

    Show that the set of axioms of equivalence relation

    \(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y(Exy\to Eyx)\\ \forall x\ Exx\\ \forall x\forall y\forall z((Exy\land Eyz)\to Exz)\end{array}\right\}\)

    is independent.

    Exercise14

    Show that the set of axioms of linear orders

    \(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x\forall y((x\leq y)\lor(y\leq x))\\ \forall x\forall y((x\leq y\land y\leq x)\to x=y)\\ \forall x\forall y\forall z((x\leq y\land y\leq z)\to x\leq z)\end{array}\right\}\)

    is independent.

    Exercise 15

    Show that the set of axioms of of group theory (in multiplicative notation, over signature
    \(\Sigma^{F}_{{2}}=\{*\},\Sigma^{F}_{0}=\{ 1\}\))

    \(\left\{\begin{array}[]{c}\forall x((1*x=x)\land(x*1=x))\\ \forall x\forall y\forall z((x*y)*z=x*(y*z))\\ \forall x\exists y((x*y=1)\land(y*x=1))\end{array}\right\}\)

    is independent.

    Exercise 16

    Show that the formula \((\forall x\exists y\ Exy)\to(\exists x\forall y\ Exy)\) is not a tautology.

    Exercise 17

    Show that the formula

    \((\forall x\forall y((f(x)=f(y))\to(x=y)))\to(\forall x\exists y(f(y)=x))\)

    is not a tautology. Does its negation have a finite model?

    Exercise18

    Show that the formula \(\exists x\exists y\exists u\exists v((\lnot u=x)\lor(\lnot v=y))\land(f(x,y)=f(u,v))\) is not a tautology. How many non-isomorphic finite models does this formula have?

    Exercise 19

    Show that the following formulas are tautologies:

    • \((\exists y p(y) \to \forall z q(z)) \to
      \forall y\forall z(p(y)\to q(z))\);
    • \((\forall x\exists y r(x,y) \to \exists x\forall y r(y,x))\to
      \exists x\forall y(r(x,y) \to r(y,x))\);
    • \(\forall x\exists y((p(x)\to q(y))\to r(y))
      \to ((\forall x p(x)\to \forall y q(y))\to \exists y r(y))\);
    • \(\forall x(p(x)\to \exists y q(y))\to
      \exists y(\exists x p(x)\to q(y))\).

    Exercise 20

    Does it hold that
    \(
    \{\forall x\underbrace{f\ldots f}_n(x)= x~|~n=2,3,5,7\}\models\forall x
    \underbrace{f\ldots f}_{11}(x)= x
    \)?

    First order logic: formalizing properties

    Exercise 1

    For each pair of structures below give a closed formula that holds in one structure but not in the other:

    • \(\langle {\mathbb N},\leq\rangle\) and \(\langle \{m-{1\over n}\ |\ m,n\in{\mathbb N}-\{0\}\}, \leq\rangle\);
    • \(\langle {\mathbb N}, +\rangle\) and \(\langle {\mathbb Z}, +\rangle\);
    • \(\langle {\mathbb N}, \leq\rangle\) and \(\langle {\mathbb Z}, \leq\rangle\).

    Exercise 2

    Give examples of closed formulas \(\varphi\) and \(\psi\) such that

    • \(\varphi\) holds in \({\mathfrak A} = \langle {\mathbb Z}, +, 0 \rangle\), but not in \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb N}, +, 0 \rangle\);
    • \(\psi\) holds in \({\mathfrak B} = \langle {\mathbb Z}, +, 0 \rangle\), but not in \({\mathfrak C} = \langle {\mathbb Q}, +, 0 \rangle\).

    Exercise 3

    Give an example of a first order formula

    • satisfiable in the field of real numbers, but not in the field of rational numbers;
    • satisfiable in the algebra \({\mathbb N}\) with multiplication, but not in the algebra \({\mathbb N}\) with addition;
    • satisfiable in \(\langle \{a,b\}^*,\cdot,\varepsilon\rangle\), but not in \(\langle \{a,b,c\}^*,\cdot,\varepsilon\rangle\).

    Auxiliary definitions
    Spectrum \(Spec(\varphi)\) of a closed formula \(\varphi\) is the set of natural numbers \(n\) such that \(\varphi\) has a model of cardinality \(n.\)

    The standard model of arithmetics is the structure \(\mathfrak{N}=\langle\mathbb{N},*^{\mathfrak{N}},+^{\mathfrak{N}},0^{\mathfrak{N}},1^{\mathfrak{N}},\leq^{\mathfrak{N}}\rangle.\)

    Exercise 4

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that \(Spec(\varphi)=Spec(\lnot\varphi).\)

    Exercise 5

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that \(Spec(\varphi)=\{ n^{2}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Exercise 6

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that \(Spec(\varphi)=\{ 2*n~/~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Exercise 7

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that \(Spec(\varphi)=\{ n~/~n\in\mathbb{N}\) and \(n\) is not a prime number\(\}\).

    Exercise 8

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that \(Spec(\varphi)=\{ 2^{n}~/~n\in\mathbb{N}\}.\)

    Exercise 9

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that for each natural number \(n,\) \(\varphi\) has exactly \(n\) non-isomorphic models of cardinality \(n.\)

    Exercise 10

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that for each natural number \(n,\) \(\varphi\) has exactly \(2^{n}\) non-isomorphic models of cardinality \(n.\)

    Exercise 11

    Give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that for each natural number \(n,\) \(\varphi\) has exactly \(n!\) non-isomorphic models of cardinality \(n.\)

    Exercise 12

    For a given \(k\in\mathbb{N},\) give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that for each natural number \(n,\) \(\varphi\) has exactly \({n \choose k}\) non-isomorphic models of cardinality \(n.\)

    Exercise 13

    For a given \(k\in\mathbb{N},\) give an example of a closed formula \(\varphi\) (over a signature of your choice) such that for each natural number \(n,\) \(\varphi\) has exactly \(n^{k}\) non-isomorphic models of cardinality \(n.\)

    Exercise 14

    Give a formula \(\varphi(x,y)\) that holds in the standard model of arithmetics iff \(x\) and \(y\) are co-prime.

    Exercise 15

    Give a formula \(\varphi(x,y,z)\) that holds in the standard model of arithmetics iff \(z\) is the greatest common divisor of \(x\) and \(y.\)

    Exercise 16

    Give a formula \(\varphi(x,y,z)\) that holds in the standard model of arithmetics iff \(y\) is the greater number that is a power of a prime, which does not divide \(x.\)

    Exercise 17

    Consider finite directed cycles \(\mathfrak{C}\) over the signature containing a single binary relational symbol \(E\).

    Show that for each natural number \(n\) there is a first order formula \(\varphi_n(x,y,z)\) using only three variables (which can be requantified as often as needed) such that for each finite cycle \(\mathfrak{C}\) the following equivalence holds: \(\mathfrak{C},x:a,y:b,z:c\models\varphi_n(x,y,z)\) iff \(\mathfrak{C}\) has \(3n\) edges, and the directed distances from \(a\) to \(b\), form \(b\) to \(c\), and from \(c\) to \(a\) are all equal to \(n\).

    Exercise 18

    Consider finite binary trees \(\mathfrak{T}\) over the signature consisting of two binary relational symbols \(L\) i \(P\), where \(L(x,y)\) means that \(y\) is the left son of \(x\), and similarly \(P\) denotes the right son. Each node can have 0, 1 or 2 sons, always at most one left and at most one right.

    Show that for each natural \(n\) there is a closed first order formula \(\varphi _{n}\) using only two variables (which can be requantified as often as needed) such that for each finite binary tree \(\mathfrak{T}\) the following equivalence holds: \(\mathfrak{T}\models\varphi _{n}\) iff \(\mathfrak{T}\) is the full binary tree of depth \(n\).

    First order logic and natural lanuguage

    1. Jak rozumiesz następujące zdania? Jak je sformułować, żeby nie budziły wątpliwości?
      • Nie wolno pić i grać w karty.
      • Nie wolno pluć i łapać.
      • Zabrania się zaśmiecania i zanieczyszczania drogi.[Kodeks Drogowy przed nowelizacją w roku 1997.]
      • Zabrania się zaśmiecania lub zanieczyszczania drogi. [Kodeks Drogowy po nowelizacji w roku 1997.]
      • Wpisać, gdy osoba ubezpieczona nie posiada numerów identyfikacyjnych NIP lub PESEL. [Instrukcja wypełniania formularza ZUS ZCZA (Zgłoszenie danych o członkach rodziny...)]
      • Podaj przykład liczby, która jest pierwiastkiem pewnego równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych i takiej, która nie jest.
      • Warunek zachodzi dla każdego \(x\) i dla pewnego \(y\).
    2. Czy następujące definicje można lepiej sformułować?
      • Zbiór \(A\) jest dobry, jeśli ma co najmniej 2 elementy.
      • Zbiór \(A\) jest dobry, jeśli dla każdego \(x\in A\), jeśli \(x\) jest parzyste, to \(x\) jest podzielne przez \(3\).
      • Zbiór \(A\) jest dobry, jeśli dla pewnego \(x\in A\), jeśli \(x\) jest parzyste, to \(x\) jest podzielne przez \(3\).
    3. Wskazać błąd w rozumowaniu:
      • Aby wykazać prawdziwość tezy ,,Dla dowolnego \(n\), jeśli zachodzi warunek \(W(n)\) to zachodzi warunek \(U(n)\)'' załóżmy, że dla dowolnego \(n\) zachodzi \(W(n)\)...
      • Aby wykazać prawdziwość tezy ,,Dla pewnego \(n\), jeśli zachodzi warunek \(W(n)\) to zachodzi warunek \(U(n)\)'' załóżmy, że dla pewnego \(n\) zachodzi \(W(n)\)...
    4. Sformułować poprawnie zaprzeczenia stwierdzeń:
      • Liczby \(m\) i \(n\) są pierwsze.
      • Liczby \(m\) i \(n\) są względnie pierwsze.
    5. Czy zdanie ,,Liczba \(a\) nie jest kwadratem pewnej liczby całkowitej'' jest poprawnym zaprzeczeniem zdania ,,Liczba \(a\) jest kwadratem pewnej liczby całkowitej''?
    6. Zapisać następujące zdanie Lincolna o wyborcach i politykach:

      "You can fool some of the people all of the time, and all of the people some of the time, but you cannot fool all of the people all of the time"

      w terminach relacji \(fool(p,t)\) oznaczającej "you can fool person p at time t".

    First order logic: Ehrenfeucht-Fraisse games

    Ex. 1

    Prove that there is no first-order sentence \(\varphi\) such that for every undirected (finite or not) graph \(\mathfrak{G}\) there is
    \(\mathfrak{G}\models\varphi\) iff every vertex \(\mathfrak{G}\) belongs to a (finite) cycle in the graph.

    Ex. 2

    Prove that for any fixed finite graph \(\mathfrak{G}\) (this glyph is the gothic G) and any fixed \(m\in\mathbb{N}\), the following decision problem can be decided by a deterministic Turing machine that, in addition to a read-only input tape, has a working tape of length \(O(\log n)\), where \(n\) is the input size:

    Given: an encoding of a finite graph \(\mathfrak{H}\) (gothic H) as an incidende matrix listed by rows.
    Question: Does Player II have a winning strategy in the game \(G_m(\mathfrak{G},\mathfrak{H})\)?

    Ex. 3

    Prove that the class of all structures \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) where \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) such that \(|r^{\mathbb{A}}|=|A\setminus r^{\mathbb{A}}|\) is not axiomatizable.

    Ex. 4

    Prove that the class of all structures \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) over a signature that contains a single binary relation symbol \(E\), such that \(|\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\in E^{\mathbb{A}}\}|< |\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\notin E^{\mathbb{A}}\}|,\), is not axiomatizable.

    Ex. 5

    Prove that the class of all structures \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) over a signature that contains a single binary relation symbol \(E\), such that \(E^{\mathbb{A}}\) is finite, is not definable.

    Ex. 6

    Prove that the class of all equivalence relations with finitely many equivalence classes is not axiomatizable.

    Ex. 7

    Let \(\mathfrak{H}^n\) be a structure whose carrier is the hypercube \(\{0,1\}^n\), where the only binary relation \(E^{\mathfrak{H}^n}\) is defined by:
    \(E^{\mathfrak{H}^n}(x,y)\) iff \(x\) and \(y\) differ on exactly one position.

    What is the largest \(m\) such that Player II has a winning strategy in the Ehrenfeucht-Fraisse game
    \(G_m(\mathfrak{H}^4,\mathfrak{H}^3)\)?

    Ex. 8

    Prove that ther is no first-order sentence \(\varphi\) such that the every finite graph \(\mathfrak{G}\) there is \(\mathfrak{G}\models\varphi\) iff \(\mathfrak{G}\) has an Euler cycle.

    Model theory for first order logic: compactness theorem, Skolem-Loewenheim theorem

    Ex. 1

    Show a set \(\Delta\) of first-order sentences such that every two countable models of \(\Delta\) are isomorphic, but there exist two uncountable, nonisomorphic models of \(\Delta.\)

    Ex. 2

    Let \(\Sigma\) be a finite signature. Prove that for every set \(\Delta\) of sentences over \(\Sigma,\) the following conditions are equivalent:

    1. \(\Delta\) has only finite models.
    2. \(\Delta\) has, up to isomorphims, only finitely many models.

    Ex. 3

    Prove that if a class \(\mathcal{A}\) of structures over a signature \(\Sigma\) is axiomatizable by a set of first-order sentences, and if its complement
    \(Mod(\Sigma)\setminus\mathcal{A}\) is also axiomatizable by a set of first-order sentences, then both classes are definable by single first-order sentences.

    Ex. 4

    Prove the following Robinson theorem:
    If \(\Delta,\Delta'\) are satisfiable sets of sentences over some signature \(\Sigma,\) but \(\Delta\cup\Delta'\) is not satisfiable, then there exists a sentence
    \(\varphi\) such that \(\Delta\models\varphi\) and \(\Delta'\models\lnot\varphi.\)

    Ex. 5

    Let \(Spec(\varphi)\) denote the set of cardinalities of all finite models of a formula \(\varphi.\)
    Prove that if \(\Delta\) is a set of sentences such that for each \(\varphi\in\Delta\) the set \(Spec(\lnot\varphi)\) is finite,
    and if \(\Delta\models\psi,\) then \(Spec(\lnot\psi)\) is also finite.

    Ex. 6

    Prove that the class of all equivalence relations that have finitely many equivalence classes, is not axiomatizable.

    Ex. 7

    Prove that the class of al structures \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) over a signature with a single binary relation symbol \(E\) such that \(E^{\mathbb{A}}\) is finite, is not axiomatizable.

    Ex. 8

    Prove that the class of all algebras \(\mathbb{A}=\langle A,f^{\mathbb{A}}\rangle,\) where \(f\) is a unary function symbol, such that \(|\vec{f}(A)|< |A|\), is not axiomatizable.

    Ex. 9

    Prove that the class of all structures \(\mathbb{A}=\langle A,E^{\mathbb{A}}\rangle\) over a signature with a single binary relation symbol \(E\) such that \(|\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\in E^{\mathbb{A}}\}|< |\{(a,b)\in A\times A~/~(a,b)\notin E^{\mathbb{A}}\}|,\) is not axiomatizable.

    Ex. 10

    Prove that the class of all structures \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) where \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) such that \(|r^{\mathbb{A}}|=|A\setminus r^{\mathbb{A}}|\) is not axiomatizable.

    Zad. 11

    Prove the following Hessenberg Theorem:
    For each infinite cardinality \(\mathfrak{m}\), there is \(\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}.\)

    Ex. 12

    Prove that the class of all structures \(\mathbb{A}=\langle A,r^{\mathbb{A}}\rangle,\) where \(r\in\Sigma^{R}_{1}\) such that \(|r^{\mathbb{A}}|=2^{{|A\setminus r^{\mathbb{A}}|}}\) is not axiomatizable.

    Ex. 13

    Prove that the class of all structures isomorphic to a structure of the form \(\mathbb{A}=\langle\mathcal{P}(A),\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}},\subseteq^{\mathbb{A}}\rangle,\) where \(\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}}\) and \(\subseteq^{\mathbb{A}}\) are, respectively, the union, intersection and containment relations on sets, is not axiomatizable.

    Zad. 14

    Consider a signature with a binary function symbol \(\circ\), unary function symbol \(inv\) and a constant symbol \(id\). A model \(\mathfrak{F}\) (this is the gothic F, you may write ordinary F in the solution) over this signature is called a bijection group if its carrier is the set of all bijections \(f:A\to A\) on some set \(A,\) and the operations are interpreted as follows: \(\circ^{\mathfrak{F}}\) is function composition, \(inv^{\mathfrak{F}}\) is function inversion and \(id^{\mathfrak{F}}\) is the identity function on \(A\).

    Prove that ther is no set \(\Gamma\) of first order sentences such that \(\mathfrak{B}\models\Gamma\) iff \(\mathfrak{B}\) is isomorphic to a bijection group.

    Ex. 15

    Prove that there is no first order sentence \(\varphi\) with the property that for each undirected (finite of not) graph \(\mathfrak{G}\) there is
    \(\mathfrak{G}\models\varphi\) iff evert vertex of \(\mathfrak{G}\) belongs to a (finite) cycle in the graph.

    Ex. 16

    Does every set of sentences \(\Delta\) contain a minimal, wrt. inclusion, subset \(\Delta'\subseteq\Delta\) such that \(\Delta'\models\Delta\)?

    Ex. 17

    Prove that every finite set of sentences \(\Delta\) contains a subset \(\Delta'\subseteq\Delta\) such that \(\Delta'\models\Delta\) and that is independent, i.e., such that for each \(\varphi\in\Delta'\) there is \(\Delta'\setminus\{\varphi\}\not\models\varphi\).

    Ex. 18

    Let \(f\) be a unary function symbol, and let \(\mathcal{A}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}Mod(\forall x\underbrace{f\ldots
    f}_n(x)=x).\)

    Prove that \(\mathcal{A}\) cannot be axiomatized with any set of first order sentences, and the complement of \(\mathcal{A}\) cannot be defined with a single first-order sentence.

    Logic and databases, relational algebra

    Ex. 1

    Let \(R,S\) be respectively \(n+m\)- i \(m\)-ary relational signature symbols.
    Consider a new operation \(\div\) in relational algebra:

    \([\![R\div S]\!]=\{\langle a_1,\dots,a_n\rangle|\) for each \(\langle b_1,\dots,b_m\rangle\in[\![S]\!]\ (\langle a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_m\rangle\in[\![R]\!])\}\).

    Show that the operator \(\div\) is expressible in terms of the other operators of relational algebra. Give an expression of relational algebra that defines \(R\div S\).


    Definitions

    Non-uniform class \(AC^0\) contains functions \(f:\{0,1\}^*\to\{0,1\}^*\) such that there is a polynomial \(p(n)\) and a constant \(c\) such that for every \(n\) there is a logical circuit \(C\) that computes \(f(x)\) for all \(x\in\{0,1\}^n\), which:

    1. has \(n\) input gates and \(m\) output gates
    2. is built from logical gates AND, OR and NOT
    3. input and logical gates can have arbitrarily many outputs
    4. gates AND and OR can have arbitrarily many inputs, NOT gates - only one input
    5. the number of gates in the circuit does not exceed \(p(n)\)
    6. the depth of the circuit does not exceed \(c\)

    Non-uniform class \(NC^1\) contains functions \(f:\{0,1\}^*\to\{0,1\}\) such that there is a polynomial \(p(n)\) and a constant \(c\) such that for every \(n\) there is a logical circuit \(C\) that computes \(f(x)\) for all \(x\in\{0,1\}^n\), which:

    1. has \(n\) input gates and one output gate
    2. is built from logical gates AND, OR and NOT
    3. input and logical gates can have arbitrarily many outputs
    4. gates AND and OR must have exactly 2 inputs, NOT gates - only one input
    5. the number of gates in the circuit does not exceed \(p(n)\)
    6. the depth of the circuit does not exceed \(c\)

    Ex. 2

    Prove that with a suitable (natural) encoding of finite structures \(\mathfrak{A}\) as binary strings \(code(\mathfrak{A})\), for every sentence \(\varphi\) of first order logic, the function
    \(f_\varphi:code(\mathfrak{A})\mapsto\) if \(\mathfrak{A}\models\varphi\) then \(1\) else \(0\)
    belongs to non-uniform \(AC^0\).

    Ex. 3

    Prove that \(f_\varphi\) of the previous exercise, belongs to \(NC^1\).

    Information In databases, an important optimization rule for relational algebra expressions tries to minimize the size of intermediate results obtained during query evaluation.

    Ex. 4

    Prove that the following problem is undecidable:

    Data: a relational algebra expression \(E\) over a signature with a single binary symbol \(R\) and perhaps some other symbols.
    Question: is \(|[\![E]\!]|<|[\![R]\!]|^2\) for every model?

    Ex. 5

    Relational algebra with total order can be constructed in two ways. Assume that \(\leq\) is a total order on all elements that appear in tuples, and there are no constants in the signature.

    The first way is to introduce, to every database, an additional table (formally, a view) \(LEQ\) with two columns, containing all tuples
    \(\langle a,b\rangle\) for \(a,b\) in the active domain, such that \(a\leq b\). Then ordinary expressions of relational algebra can use \(LEQ\)
    as any other table. Then we treat \(LEQ\) as part of the query syntax, and not as an ordinary table.

    Another way is to keep the tables as they are, but extend the syntax and in the condition \(\theta\) of selection \(\sigma_\theta(E)\) allow inequalities of the form \(i\leq j\) for \(i,j\) not larger than the number of columns in \(E\). Semantics is obvious, e.g. \([\![\sigma_{i\leq j}(E)]\!]=\{\vec{a}\in [\![E]\!]:a_i\leq a_j\}.\)

    Prove that the queries expressible in both formalisms are the same.


    Definition

    The semijoin operator \(\gg\) of relational algebra has the following semantics (caution: I use a nonstandard symbol, as I could not produce the standard one with the available markers here):

    \([\![R\gg_\theta S]\!]=\{\vec{a}\in [\![R]\!]~:~\exists \vec{b}\in[\![S]\!] \theta(\vec{a},\vec{b})\}\),
    where \(\theta\) is a set of equalities between the columns of \(R\) and \(S\), numbered jointly.

    For example, for binary \(R\) and \(S\)
    \([\![R\gg_{1=3, 2=4} S]\!]=\{\langle a_1,a_2\rangle\in [\![R]\!]~:~\exists \langle b_1,b_2\rangle\in[\![S]\!]a_1=b_1\land a_2=b_2\}.\)

    Ex. 6

    Prove that semijoin is expressible in relational algebra, and define it using the other operators.

    Ex. 7

    Prove that expressions built of selection, projection, sum, difference and semijoin do not express all queries definable in relational algebra.

    Ex. 8

    Prove that every expression built of selection, projection, sum, difference and semijoin in a database where elements are natural numbers, can be computed in time \(O(n\log n),\) where \(n\) is the maximal number of tuples in relations.

    Ex. 9

    Prove that expressions built of projection, product, sum, difference and semijoin express all queries definable in relational algebra, provided there there are no constants in the signature.

    Ex. 10

    Prove that there is an expression built of selection, projection, sum, difference and semijoin, than defines the interestion of two relations.

    Ex. 11

    Prove that the following relational algebra operators are not expressible in terms of the others:

    • Sum is not expressible by selection, projection, product and difference.
    • Difference is not expressible by selection, projection, product and sum.
    • The other cases are very easy.

    Ex. 12

    Consider two tables \(A\) i \(B\) with two columns each. The first one has \(n_A\) rows.

    Design an algorithm to calculate the relational algebra expression

    \(A-\pi_{1,2}(\sigma_{1=3}(A\times B)).\)

    You should assume that the active domain consist of integers, and table rows are indexed by nonnegative integers.

    The algorithm should use exactly one table of two columns and \(n_A\) wierszy, and a few additional variables. Do not use pointers, recursion and other methods of implicit memory allocation.

    Tables \(A\) and \(B\) are read-only, and you may assume that they are sorted.

    Ex. 13

    Let \(k\in\mathbb{N}\) be a constant. Prove that if \(E\) is a relational algebra expression and the maximal number of columns in subexpressions of
    \(E\) is \(k\), then there is an agorithm to calculate the value of \([\![E]\!]\) in every structure \(\mathfrak{A}\) running in time \(O(n^{k}\log n),\) where \(n\) the size of the active domain of \(\mathfrak{A}\).

    Decidability of logical theories

    Zad. 1

    Sygnatura składa się z jednego jednoragumentowego symbolu funkcyjnego \(f\). Niech \(\psi\) będzie zdaniem \(\forall x(f(f(x))=x\land \lnot f(x)=x)\).

    1. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\psi\models\varphi\}\) jest rozstrzygalna.
    2. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\psi\models\varphi\}\) należy do PSPACE.

    Zad. 2

    Sygnatura jest pusta. Niech \(\Gamma\) będzie zbiorem zdań \(\{\forall x_1\dots x_n\exists x_{n+1}(\bigwedge_{i=1}^n\lnot x_{n+1}=x_i)~|~n\in\mathbb{N}\}\).

    1. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\Gamma\models\varphi\}\) jest rozstrzygalna.
    2. Udowodnić, że teoria \(\{\varphi\in FO~|~\Gamma\models\varphi\}\) należy do PSPACE.

    Zad. 3

    Udowodnić, że następujący problem decyzyjny jest nierozstrzygalny:
    Dane:Formuła \(\varphi\) logiki pierwszego rzędu
    Pytanie:Czy \(\varphi\) ma wyłącznie skończone modele?

    Zad. 4

    Wyjaśnić, jak można pogodzić ze sobą Zadania 2 i 3.

    Zad. 5

    Czy teoria pierwszego rzędu ciała liczb zespolonych \(\mathfrak{C}=\langle\mathbb{C},+,\cdot,0,1\rangle\) jest rozstrzygalna?

    Linear Temporal Logic (LTL)

    Zad. 1

    Sformalizować w LTL własność "\(\varphi\) jest prawdziwe we
    wszystkich parzystych stanach, a fałszywe we wszystkich nieparzystych"

    Zad. 2
    Pokazać, że nie da się w LTL sformalizować własności \(\varphi\)
    jest prawdziwe we wszystkich parzystych stanach".

    Zad. 3
    Dokonać separacji kilku dodatkowych przypadków w dowodzie tw. Gabbaya.

    Zad. 4
    Jak można by sformułować twierdzenie o separacji dla logiki pierwszego rzędu, tak aby było ono prawdziwe?


    Zad. 5
    Proszę sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie o separacji dla monadycznej logiki drugiego rzędu.


    Zad. 6

    "Słaby until", oznaczany \(\mathtt{U}_w\), to temporalny operator dwuargumentowy taki, że \(\alpha\mathtt{U}_w\beta\) jest równoważna formule \((\alpha\mathtt{U}\beta)\lor\mathtt{G}\alpha\). ``Słaby until'' jest więc skrótem notacyjnym.

    Wykazać, że dysponując operatorami \(\mathtt{X}\) i \(\mathtt{U}_w\) może zdefiniować standardowy unitl \(\mathtt{U}\).
    Wynika stąd, że definicję logiki LTL można by równie dobrze oprzeć o słaby until.

    Second order logic (SO) and monadic second order logic (MSO)

    SO

    Zad. 1

    Pokazać, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki drugiego rzędu SO istnieje inne zdanie \(\varphi'\) tejże samej logiki takie, że
    \(Spec(\varphi')=\mathbb{N}_+\setminus Spec(\varphi).\)

    Zad. 2

    Pokazać, że odpowiednik twierdzenia o zwartości nie zachodzi dla logiki drugiego rzędu.

    Zad. 3

    Napisać zdanie \(\Pi^1_1\), czyli uniwersalnego fragmentu logiki drugiego rzędu, którego wszystkimi modelami są dokładnie struktury skończone.

    Zad. 4

    Spróbować naszkicowac dowód tw. Fagina, że \(\Sigma^1_1=NP\) nad słowami (było sformułowane na wykładzie).

    Zad. 5

    Rozważamy skończone grafy \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki drugiego rzędu postaci \(\exists R_{1}\ldots\exists R_{k}\psi(R_{1},\ldots,R_{k}),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) ma cykl Eulera.

    MSO

    Zad. 1

    Na wykładzie podany został dowód, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki MSO istnieje automat, który akceptuje dokładnie te słowa, w których \(\varphi\) jest prawdziwe.

    Oszacować, jaki jest stosunek rozmiaru minimalnego deterministycznego automatu do długości formuły.


    Zad. 2

    Udowodnić, że każde zdanie MSO nad słowami jest równoważne zdaniu z tylko jednym kwantyfikatorem egzystencjalnym po relacji unarnej, w dodatku umieszczonym na początku.

    Zad. 3

    Skonstruować zdanie logiki MSO, które ma wyłącznie modele mocy co najmniej \(\mathfrak{c}\).

    Zad. 4

    Skonstruować zdanie logiki MSO, które ma wyłącznie modele mocy co najmniej \(2^{\mathfrak{c}}\).

    Zad. 5

    Skonstruować zdanie logiki MSO, którego spektrum to zbiór wszystkich liczb pierwszych.

    Zad. 6

    Rozważamy skończone grafy nieskierowane \(\mathfrak{G}\) (ta litera to gotyckie G, w rozwiązaniu można pisać zwykłe G) nad sygnaturą składającą się z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego \(E\).

    Napisać zdanie \(\varphi\) logiki MSO postaci \(\forall R_1\ldots\forall R_k\psi(R_1,\ldots,R_k),\) w którym \(\psi\) jest zdaniem pierwszego rzędu takie, że dla każdego skończonego grafu \(\mathfrak{G}\) zachodzi równoważność: \(\mathfrak{G}\models\varphi\) wtw \(\mathfrak{G}\) jest grafem acyklicznym.

    Zad. 7

    Napisać zdanie MSO, którego wszystkie skończone modele to dokładnie te grafy, które są 3-kolorowalne.

    Zad. 8

    Rozważamy modele dla PDL postaci skończonego łańcucha złożonego z dwóch programów atomowych: \(u\) i \(v\). Między każdymi dwoma kolejnymi stanami przechodzi jeden i tylko jeden z tych programów. Zmienne zdaniowe są dwie: \(p\) prawdziwa tylko w pierwszym stanie łańcucha i \(k\) prawdziwa tylko w ostatnim stanie. Innych zmiennych zdaniowych nie ma.

    Każdą taką strukturę można naturalnie uważać również za strukturę pierwszego rzędu, wówczas \(u\) i \(v\) są relacjami dwuargumentowymi a \(p\) i \(k\) relacjami jednoargumentowymi.

    Udowodnić, że dla każdego zdania \(\varphi\) logiki MSO istnieje zdanie \(\phi\) logiki PDL takie, że dla każdej struktury \(\mathfrak{A}\) jak powyżej, \(\phi\) jest prawdziwe w stanie początkowym struktury \(\mathfrak{A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathfrak{A}\models\varphi\).

    Slajdy

    Slajdy używane na wykładach (wersję językową rozpoznaje się po języku opisu). Domyślny format to pdf.
    Slides used during lectures (language version can be determined by the language of description). The default format is pdf.
    ZałącznikWielkość
    Logika pierwszego rzędu, składnia i semantyka733.61 KB
    First-order logic, syntax and semantics725.56 KB
    Sposoby użycia logiki pierwszego rzędu438.86 KB
    How to use first-order logic442.27 KB
    Entscheidungsproblem, czyli nierozstrzygalność tautologii231.24 KB
    Entscheidungsproblem, or undecidability of tautologies253.43 KB
    Twierdzenie Trachtenbrota, czyli nierozstrzygalność skończonej spełnialności (PowerPoint)1.15 MB
    Trakhtenbrot's Theorem, or undecidability of finite satisfiability (PowerPoint)1.11 MB
    Twierdzenie Fraisse, gra Eherenfeuchta808.05 KB
    Fraisse's Theorem, Eherenfeucht game792.81 KB

    Uzupełniające materiały z logiki

    Opis

    Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.

    Sylabus

    Autorzy

    Zawartość

    Literatura

    1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
    2. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
    3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.

    Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost

    "Naiwna" teoria mnogości

    Teoria zbiorów, zwana również teorią mnogości, została stworzona około połowy XIX wieku, przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Teoria mnogości to gałąź matematyki zajmująca się zbiorami - kolekcja obiektów. Skończone zbiory można definiować, wypisując kolejno wszystkie ich elementy. Georg Cantor był pierwszą osobą, która podjęła się przeniesienia na ścisły grunt matematyczny pojęcia zbioru nieskończonego. Według Georga Cantora zbiór może być dowolną kolekcją obiektów zwanych elementami. Według tego podejścia zbiór jest pojęciem podstawowym i niedefiniowalnym. Niestety podejście do teorii zbiorów w ten sposób rodzi paradoksy i dlatego teoria mnogości prezentowana w ten sposób jest często nazywana "naiwną" teorią mnogości.

    Teoria matematyczna nie może dopuszczać istnienia paradoksów i dlatego na początku XX wieku zmieniono podejście do teorii mnogości. Zaproponowany przez Ernsta Zermelo i uzupełniony przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela system aksjomatów wyklucza paradoksy, które spowodowały, że naiwna teoria zbiorów musiała zostać porzucona. Aksjomaty te nakładają pewne ograniczenia na konstrukcje zaproponowane przez Georga Cantora. W większości przypadków jednak intuicje związane z naiwną teorią mnogości sprawdzają się również w aksjomatycznej teorii zbiorów. Zaprezentowane poniżej, skrótowe przedstawienie "naiwnej teorii mnogości" ma na celu wyrobienie intuicji niezbędnych przy dalszej pracy nad formalną wersją tych teorii. Aksjomatyczna teoria zbiorów zostanie przedstawiona w Wykładzie 4.

    W podejściu zaproponowanym przez Georga Cantora zbiory skończone można łatwo wskazywać poprzez wyliczenie ich elementów. Definiowanie zbiorów nieskończonych wymaga bardziej rozwiniętego języka, niemniej jednak, według Georga Cantora, każda kolekcja obiektów jest zbiorem. Podstawowym symbolem używanym przy definiowaniu i opisywaniu zbiorów jest
    \( \in \)
    oznaczający, że dany byt jest "elementem" pewnego zbioru. Napis

    "Kraków" \( \in \) "zbiór wszystkich miast Polski"

    ilustruje zastosowanie tego symbolu.

    Aby zdefiniować zbiór należy określić definitywny sposób na rozpoznawania, czy dany byt jest elementem zbioru, czy nie. Najczęściej używanym symbolem przy definiowaniu zbioru są nawiasy klamrowe. Definicja skończonego zbioru może być bardzo łatwa. Zbiór
    \( \{2,3, \) Kraków \( \} \)

    posiada trzy elementy. Liczba 2 jest elementem tego zbioru \( 2\in\{2,3, \) Kraków \( \} \), ale również
    Kraków \( \in\{2,3, \) Kraków\( \} \).

    Dwa zbiory są sobie równe (takie same), jeśli posiadają dokładnie te same elementy. Jedynymi elementami zbioru \( \{2,3\} \) są liczby naturalne 2 i 3 - ten sam fakt jest prawdziwy dla zbioru \( \{2,2,3\} \), a więc

    \( \{2,3\} = \{2,3,3\}. \)

    Podobnie \( \{2,3\}=\{3,2\} \) i

    \( \{2,3\}= \) "zbiór liczb naturalnych ściśle pomiędzy 1 a 4".

    W definicji zbioru nie ma znaczenia kolejność, w jakiej wymienione są jego elementy, ani krotność w jakiej dany element pojawia się w zbiorze.

    Zbiory można definiować na wiele sposobów. Najprostszym sposobem zdefiniowania zbioru jest wyliczenie jego elementów. Strategia ta zawodzi jednak w odniesieniu do zbiorów nieskończonych -- nie jesteśmy w stanie wypisać wszystkich liczb naturalnych. Zgodnie z postulatami Georga Cantora możemy przyjąć, że istnieje zbiór wszystkich liczb naturalnych. Czasami, na określenie zbiorów nieskończonych używamy nieformalnego zapisu - zbiór wszystkich liczb naturalnych może być zapisany jako \( \{0,1,2,3,4,\ldots\}. \)

    W podejściu zaproponowanym przez Georga Cantora równoważna definicja tego zbioru brzmi

    "zbiór wszystkich liczb naturalnych"

    Bardzo często tworzymy zbiory składające się z obiektów spełniających daną własność. Zbiór liczb parzystych możemy zdefiniować w sposób następujący
    \( \{x\,|\, x \) jest liczbą parzystą \( \}. \)

    Bardziej ogólnie

    \( \{x\,|\, \) warunek. \( \} \)

    W skład powyżej zdefiniowanego zbioru wchodzą te elementy, które spełniają warunek występujący po znaku \( \,|\, \). Żeby zakwalifikować element do powyższego zbioru, wstawiamy go w miejsce \( x \) w warunku występującym po \( \,|\, \) i sprawdzamy, czy jest on prawdziwy. Żeby pokazać, że \( 2\in\{x\,|\, x \) jest liczbą parzystą \( \}, \) musimy dowieść, że warunek "2 jest liczbą parzystą" jest prawdziwy.

    Pomiędzy zbiorem liczb parzystych a zbiorem wszystkich liczb naturalnych występuje oczywista zależność. Każda liczba parzysta jest liczbą naturalną, co, ujęte w języku zbiorów, oznacza, że każdy element zbioru liczb parzystych jest elementem zbioru liczb naturalnych. Zbiór liczb parzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych (a zbiór liczb naturalnych nadzbiorem zbioru liczb parzystych). Zapisujemy to w następujący sposób

    \( \{x\,|\, x \) jest liczbą parzystą \( \}\subseteq \) "zbiór liczb naturalnych" \( . \)

    Ogólniej, jeśli każdy element zbioru \( A \) jest elementem zbioru \( B \) mówimy, że zbiór \( A \) jest podzbiorem zbioru \( B \) i piszemy
    \( A\subseteq B. \)
    W takim przypadku mówimy, że pomiędzy zbiorami \( A \) i \( B \) zachodzi inkluzja.

    W szczególności, dla dowolnego zbioru \( A \) zachodzi \( A \subseteq A \). Wspomnieliśmy wcześniej, że dwa zbiory są sobie równe wtedy i tylko wtedy, kiedy posiadają dokładnie takie same elementy. Fakt ten możemy zapisać formalnie w następujący sposób

    \( A = B \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( A \subseteq B \) i \( B \subseteq A. \)

    Często zależy nam na określeniu znaczącym, że jeden zbiór jest podzbiorem drugiego i że zbiory te nie są sobie równe. Używamy wtedy symbolu \( ⊊ \) w następujący sposób

    \( A ⊊ B \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( ( A \subseteq B \) i nieprawda, że \( A=B). \)


    Ćwiczenie 1.1

    Dla każdej pary zbiorów poniżej określ, czy są sobie równe oraz czy jeden z nich jest nadzbiorem drugiego

    1. \( \{2,3\} \), \( \{x\,|\, x \) dzieli liczbę \( 6 \} \),
    2. "zbiór liczb naturalnych" , \( \{x\,|\, 2 \) dzieli \( x^2 \} \),
    3. \( \{x\,|\, x^2 =1\} \), \( \{x\,|\, x^3=1\} \).

    Najczęstszymi operacjami wykonywanymi na zbiorach są operacje sumy, przecięcia i różnicy. Sumą dwóch zbiorów \( A \) i \( B \) jest zbiór oznaczony przez \( A\cup B \) w skład którego wchodzą wszystkie elementy zbioru \( A \), wszystkie elementy zbioru \( B \) i żadne elementy spoza tych zbiorów

    \( A\cup B = \{x\,|\, x\in A \) lub \( x\in B\}. \)

    rycina

    Podobnie definiujemy przecięcie zbiorów
    \( A\cap B = \{x\,|\, x\in A \) i \( x\in B\}. \)

    ryvina

    \( A\setminus B = \{x\,|\, x\in A \) i \( x\notin B\}. \)

    rycina

    Standardowy obrazek ilustrujący różnicę zbiorów.

    Ćwiczenie 1.2

    Dla następujących par zbiorów ustal zawieranie lub równość

    1. \( A= \) "zbiór liczb naturalnych" \( \setminus\{x\,|\, \) liczba nieparzysta, większa niż 2 dzieli \( x \} \)
      i drugi zbiór \( B=\{2^n\,|\, \) gdzie \( n \) jest liczbą naturalną \( \} \),
    2. \( A=\{x\,|\, \) liczba 2 dzieli \( x \}\cup\{x\,|\, \) liczba 3 dzieli \( x \} \) i zbiór \( B=\{x\,|\, \) liczba 6 dzieli \( x \} \).

    Dla dowolnego zbioru \( \mathrm {A} \) zachodzi \( A\cup A = A \) i \( A\cap A = A \). Zbiór, który otrzymujemy jako wynik operacji \( A\setminus A \) jest zbiorem pustym. Na mocy definicji różnicy zbiorów elementami zbioru \( A\setminus A \) są wyłącznie te elementy \( A \), które nie należą do \( A \). Takie elementy nie istnieją - żaden element ze zbioru \( A \) nie należy do \( A\setminus A \) i żaden element spoza \( A \) nie należy do tego zbioru. Zbiór pusty jest oznaczany przez \( \emptyset \). Odejmowanie zbiorów od samych siebie nie jest jedynym sposobem na otrzymanie zbioru pustego.

    \( \{1,2,2006\}\setminus \) "zbiór liczb naturalnych" \( = \) "zbiór psów" \( \setminus \) "zbiór wszystkich zwierząt"

    Zbiór po lewej stronie nierówności jest równy zbiorowi po prawej stronie nierówności. Każdy element zbioru po prawej stronie jest również elementem zbioru po lewej stronie nierówności i vice versa, dlatego że żaden z tych zbiorów nie posiada elementów.

    Niestety, podejście zaproponowane przez Georga Cantora i uściślone Friedricha Frege posiada błędy. Jedną z pierwszych osób które zwróciły uwagę na niedociągnięcia tej teorii jest Bertrand Russell. Zgodnie z zasadami zaproponowanymi przez [Biografia_Cantor|Georga Cantora]] można zdefiniować dowolny zbiór. Zdefiniujmy, więc zbiór

    \( Z = \{A\,|\, A\notin A\}. \)

    Zbiór \( Z \) składa się ze zbiorów, które nie są swoimi własnymi elementami. Paradoks zaproponowany przez Bertranda Russella polega na tym, że pytanie czy \( Z \) jest swoim własnym elementem prowadzi do sprzeczności. Jeśli \( Z\in Z \) to, zgodnie z definicją zbioru \( Z \) otrzymujemy \( Z\notin Z \), co jest sprzecznością z założeniem. Jeśli \( Z\notin Z \), to \( Z \) spełnia warunek na przynależność do \( Z \) i w związku z tym \( Z\in Z \), co jest kolejną sprzecznością. Definicja zbioru zaproponowana przez Georga Cantora prowadzi do powstania logicznych paradoksów. Okazuje się, że pytanie: co jest zbiorem, jest trudniejsze niż wydawało się matematykom końca XIX wieku.

    W dalszej części wykładu przedstawimy właściwe podejście do teorii mnogości. Podejście to jest oparte o część logiki zwaną rachunkiem predykatów. Podejście to zostało zaproponowane przez Ernsta Zermelo na początku XX wieku i ma na celu dostarczenie spójnej teorii zbiorów o mocy podobnej do naiwnej teorii, przy równoczesnym uniknięciu paradoksów. Aksjomatyczna teoria mocy definiuje bardzo dokładnie, które kolekcje obiektów są zbiorami. W szczególności paradoks zaproponowany przez Bertranda Russella nie pojawia się w aksjomatycznej teorii zbiorów, ponieważ zbiór zdefiniowany powyżej jako \( Z \) w niej nie istnieje.

    "Naiwna" indukcja

    Zasada indukcji matematycznej jest o prawie trzysta lat starsza niż teoria mnogości. Pierwszy dowód indukcyjny pojawił się w pracy
    Francesco Maurolico w 1575 roku. W pracy tej autor wykazał, że suma \( n \) pierwszych liczb nieparzystych równa się \( {n^2} \).

    Aby zastosować zasadę indukcji matematycznej, należy wykazać dwa fakty:

    • hipoteza jest prawdziwa dla \( n=1 \),
    • jeśli hipoteza jest prawdziwa dla \( n \), to jest również prawdziwa dla \( n+1 \).

    Drugi z powyższych punktów musi być prawdą dla wszystkich \( n\geq 1 \). Jeśli oba fakty są prawdą, to hipoteza jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych większych od 1. Rozumowanie, które stoi za tym wnioskiem wygląda następująco:

    1. hipoteza jest prawdziwa dla \( n=1 \) na podstawie podstawy indukcji,
    2. hipoteza jest prawdziwa dla \( n=2 \), ponieważ jest prawdziwa dla 1 i po zastosowaniu kroku     indukcyjnego również dla 2,
    3. hipoteza jest prawdziwa dla \( n=3 \); w poprzednim punkcie pokazaliśmy, że jest prawdziwa dla     2 i na podstawie kroku indukcyjnego jest również prawdziwa 3,
    4. i tak dalej.

    Zasadę indukcji matematycznej można porównać do domina. Aby mieć pewność, że przewrócone zostaną wszystkie klocki wystarczy wykazać, że przewrócony zostanie pierwszy klocek i że każdy klocek pociąga za sobą następny.

    Dowód indukcyjny przedstawiony przez Francesco Maurolico pokazuje, że suma pierwszych \( n \) liczb nieparzystych jest równa \( {n^2} \).

    • Jeśli \( n=1 \) to pierwsza liczba nieparzysta 1 jest równa \( 1^2 \).
    • Jeśli hipoteza jest prawdą dla \( n \), to znaczy że suma pierwszych \( n \) liczb nieparzystych równa się \( {n^2} \). Bardziej formalnie

    \( 1+3+\dotsb+(2n-1) = n^2 \)
    tak więc suma pierwszych \( {n+1} \) liczb nieparzystych \( 1+3+\dotsb+(2n-1)+(2(n+1)-1) \), przy użyciu założenia powyżej może być zapisana jako
    \( 1+3+\dotsb+(2n-1)+(2(n+1)-1) = n^2 +(2(n+1)-1)= n^2+2n+1= {(n+1)}^2. \)
    Krok indukcyjny został dowiedziony.

    Ćwiczenie 2.1
    Wykaż, że suma pierwszych \( \mathrm {n} \) liczb naturalnych jest równa \( \frac{1}{2}n(n+1) \).

    Ćwiczenie 2.2

    Wykaż, że suma kwadratów pierwszych \( \mathrm {n} \) liczb naturalnych jest równa \( \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \).

    Ćwiczenie 2.3

    Wykaż, że dla \( n\geq 1 \) zachodzi \( 4|3^{2n-1}+1 \).

    Często bardzo niepraktyczne jest używanie indukcji w jej podstawowej formie. Używa się wtedy indukcji, która w pierwszym kroku nie zaczyna się od \( n=1 \), ale \( n=0 \), \( n=2 \) lub dowolnej innej liczby naturalnej. W takim przypadku drugi krok indukcyjny nie musi działać dla wszystkich \( n \), a wystarczy, by działał dla \( n \) większych lub równych od liczby, którą wybraliśmy w pierwszym kroku. Końcowy dowód indukcyjny pokaże, że dana hipoteza nie jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych, a jedynie dla liczb większych od tej wybranej na pierwszy krok indukcyjny.

    Jako przykład pokażemy, że \( n!>2^n \). Po pierwsze nierówność ta nie zachodzi dla \( 1,2,3 \), więc nie można rozpocząć kroku indukcyjnego od \( {n=1} \). Indukcja będzie wyglądać następująco:

    • Hipoteza jest prawdą dla \( n=4 \), ponieważ \( 4!=24>16=2^4 \).
    • Jeśli hipoteza jest prawdą dla \( n \) i jeśli \( n\geq 4 \) to

    \( (n+1)!= n!\cdot (n+1)>2^n\cdot(n+1)>2^{n+1}, \)

    gdzie pierwsza nierówność pochodzi z założenia indukcyjnego, a druga z faktu, że dowodzimy krok indukcyjny dla liczb większych niż 4.

    Ćwiczenie 2.4

    W tym ćwiczeniu dowodzimy wariant nierówności Bernoulliego. Dla dowolnego \( x \) takiego, że \( x> -1 \) i \( x\neq 0 \) i dla dowolnego \( n\geq 2 \) zachodzi \( {(1+x)}^n> 1+nx \).

    Ćwiczenie 2.5
    Liczby Fibonacciego zdefiniowane są następująco:
    \( f_1=1, f_2=1 \) oraz \( f_i=f_{i-2}+f_{i-1} \) dla \( i>3. \)
    Udowodnij, że dla dowolnego \( n\geq 2 \) liczby \( f_n \) i \( f_{n-1} \) są względnie pierwsze.

    Kolejnym uogólnieniem zasady indukcji matematycznej jest indukcja, w której w drugim kroku indukcyjnym zakładamy, że hipoteza jest prawdą dla wszystkich liczb mniejszych niż \( n \) i dowodzimy, że jest również prawdziwa dla \( n+1 \).
    Jako przykład udowodnimy, że każda liczba naturalna większa niż 2 jest produktem jednej, lub więcej liczb pierwszych.

    • Hipoteza jest prawdą dla \( n=2 \), ponieważ 2 jest liczbą pierwszą.
    • Zakładamy, że hipoteza jest prawdziwa dla liczb od 2 do \( n \). Weźmy liczbę \( n+1 \), jeśli \( n+1 \) jest liczbą pierwszą, to hipoteza jest udowodniona. Jeśli \( n+1 \) nie jest liczbą pierwszą, to \( n+1=k\cdot l \), gdzie \( 2\leq k,l\leq n \). Założenie indukcyjne gwarantuje, że

    \( k=p_1\cdot p_2\cdot\dotsb\cdot p_i \) i \( l=q_1\cdot q_2\cdot\dotsb\cdot q_j, \)

    gdzie \( p_1,\dotsc,p_i,q_1,\dotsc,q_j \) są liczbami pierwszymi. W związku z tym

    \( n+1=p_1\cdot p_2\cdot\dotsb\cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot\dotsb\cdot q_j \)

    i krok indukcyjny jest udowodniony.

    Ćwiczenie 2.6

    Udowodnij, że każda liczba naturalna większa niż 1 może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego tak, że żadna liczba nie występuje w tej sumie więcej niż raz.

    Ćwiczenie 2.7

    Znajdź błąd w poniższym dowodzie indukcyjnym. Dowodzimy indukcyjnie twierdzenia, że wszystkie liczby są parzyste.

    • Twierdzenie jest prawdą dla \( n=0 \) ponieważ 0 jest liczbą parzystą.
    • Zakładamy, że twierdzenie jest prawdą dla wszystkich liczb mniejszych lub równych \( n \). Liczba \( n+1 \) jest niewątpliwie sumą dwóch liczb silnie mniejszych od siebie \( n+1=k+l \). Liczby \( k \) i \( l \), na podstawie założenia indukcyjnego, są parzyste, zatem ich suma równa \( n+1 \) jest parzysta. Krok indukcyjny został dowiedziony.

    Na zasadzie indukcji matematycznej wszystkie liczby są parzyste.

    Ćwiczenie 2.8

    W trójwymiarowej przestrzeni znajduje się \( n \) punktów. Ilość punktów w rzutowaniu na płaszczyznę \( O_x, O_y \) oznaczamy przez \( n_{xy} \). Podobnie ilość punktów w rzutowaniu na \( O_x, O_z \) przez \( n_{xz} \) i ilość punktów w rzutowaniu na \( O_y, O_z \) przez \( n_{yz} \). Wykaż, że dla dowolnego rozkładu punktów w przestrzeni zachodzi nierówność

    \( n^2\leq n_{xy}n_{xz}n_{yz}. \)



    Zasada indukcji matematycznej jest bardzo potężnym narzędziem. Intuicyjnie wydaje się jasne, że dowody przeprowadzone przy jej pomocy są poprawne. Niemniej jednak, żeby uzasadnić poprawność samej zasady, należy sięgnąć do teorii mnogości i definicji zbioru liczb naturalnych. Wiemy już, że "naiwna teoria mnogości" nie daje nam poprawnych zbiorów, na których można oprzeć ścisłe rozumowanie. W dalszej części wykładu wyprowadzimy zasadę indukcji matematycznej w oparciu o aksjomaty i aksjomatycznie zdefiniowany zbiór liczb naturalnych. Takie podejście gwarantuje nam poprawność rozumowania -- podejście naiwne zapewnia intuicje niezbędne do budowania poprawnych teorii.

    "Naiwne" dowody niewprost

    Częstą metodą dowodzenia twierdzeń matematycznych jest dowodzenie niewprost. Dowód niewprost polega na założeniu zaprzeczenia twierdzenia, które chcemy udowodnić i doprowadzeniu do sprzeczności. Wykazujemy, że jeśli twierdzenie nasze jest nieprawdziwe, jesteśmy w stanie udowodnić jakąś tezę, która jest w sposób oczywisty fałszywa.
    Jednym z najbardziej znanych dowodów niewprost jest dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych. Dowód ten został zaproponowany przez Euklidesa z Aleksandrii, a my prezentujemy go w wersji podanej przez Ernsta Kummera. Twierdzenie 3.1
    Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
    Dowód
    Załóżmy, że istnieje jedynie skończenie wiele liczb pierwszych \( p_0,\dotsc,p_n \). Zdefiniujmy liczbę
    \( k = p_0\cdot p_1\cdot\dotsb\cdot p_n \)
    i rozważmy \( {k+1} \). Liczba \( {k+1} \) posiada dzielnik pierwszy, a ponieważ jedynymi pierwszymi liczbami są liczby \( p_0,\dotsc,p_n \), wnioskujemy, że \( {p_i} \) dzieli \( {k+1} \) dla pewnego \( i \). Liczba \( {p_i} \) dzieli również \( k \), a więc \( {p_i} \) dzieli \( (k+1)-k=1 \) co jest sprzecznością.
    Ćwiczenie 3.1
    Wykaż, że nie istnieje największa liczba naturalna.

    Ćwiczenie 3.2
    Wykaż, że \( \sqrt{2} \) jest liczbą niewymierną.

    Ścisłe uzasadnienie poprawności dowodów niewprost leży na gruncie logiki, której poświęcony jest następny wykład.

    Test 1

    Czy zbiór bocianów jest elementem zbioru wszystkich ptaków?

    Rachunek zdań

    Wprowadzenie



    Logika zdaniowa jest językiem, który pozwala opisywać zależności pomiędzy zdaniami. Przykładem może być zdanie:


    Jeśli \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą to \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą lub \( \mathrm {n} \) jest równe 2. W powyższym zdaniu spójniki jeśli [..] to, lub mówią o związkach które zachodzą pomiędzy zdaniami:
    1. \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą,
    2. \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą,
    3. \( \mathrm {n} \) jest równe 2.

    Oznaczmy powyższe zdania przez \( p,q,r \) (w takiej właśnie kolejności). Używając symboli, które zwyczajowo odpowiadają potocznemu rozumieniu spójników jeśli [..] to, lub oraz powyższych oznaczeń, otrzymamy formułę

    \( p \Rightarrow (q \vee r). \)

    Jeśli powyższą formułę uznamy za prawdziwą, to może nam ona posłużyć do otrzymania nowych wniosków. Na przykład, jeśli o jakiejś liczbie \( \mathrm {n} \) będziemy wiedzieć, że jest liczbą pierwszą oraz że nie jest nieparzysta, to klasyczny rachunek zdań pozwoli nam formalnie wywnioskować fakt, że liczba \(\mathrm {n} \) jest równa 2. Podsumowując, jeśli uznamy za prawdziwe następujące zdania:

    1. \( p \Rightarrow (q \vee r) \),
    2. \( p \),
    3. \( \neg q \) (przez \( \neg \) oznaczamy negację)

    to zgodnie z klasycznym rachunkiem zdań powinniśmy uznać za prawdziwe zdanie \( \mathrm {r} \), czyli \( \mathrm {n} \) jest równe 2. Powyższy schemat wnioskowania można również opisać formułą


    \( ((p \Rightarrow (q \vee r)) \wedge p \wedge (\neg q))\Rightarrow q. \)

    W powyższej formule symbol \( \wedge \) odpowiada spójnikowi \( \mathrm {i} \) (oraz).

    Dzięki rachunkowi zdań możemy precyzyjnie opisywać schematy wnioskowania i zdania złożone oraz oceniać ich prawdziwość.

    Język logiki zdaniowej

    Język logiki zdaniowej



    Zaczniemy od definicji języka logiki zdaniowej. Składa się on z formuł zdefiniowanych następująco:
    Definicja 2.1 [Formuła logiki zdaniowej]

    1. zmienna zdaniowa jest formułą (zmienne zdaniowe oznaczamy zwykle literami alfabetu rzymskiego np. \( p,q,r \)),
    2. jeśli \( {\phi} \) oraz \( {\psi} \) są formułami to \( (\phi \Rightarrow \psi) \) jest formułą (spójnik \( \Rightarrow \) nazywamy implikacją),
    3. jeśli \( {\phi} \) jest formułą to \( \neg \phi \) jest formułą (spójnik \( \neg \) nazywamy negacją),
    4. nic innego nie jest formułą.

    Powyższa definicja mówi, że formułami nazywamy te napisy, które dają się skonstruować ze zmiennych zdaniowych przy pomocy spójników \( \Rightarrow \) oraz \( \neg \).
    Uwaga 2.2.

    Zgodnie z powyższą definicją nie jest formułą napis \( p\Rightarrow q \), gdyż brakuje w nim nawiasów. Pomimo, iż poprawnie powinniśmy napisać \( (p\Rightarrow q) \) możemy przyjąć że nie będzie konieczne pisanie nawiasów, jeśli nawiasy można jednoznacznie uzupełnić. Często przyjmuje się również prawostronne nawiasowanie dla implikacji, czyli formuła \( p \Rightarrow q \Rightarrow r \) jest domyślnie nawiasowana w następujący sposób \( (p \Rightarrow (q \Rightarrow r)) \).

    Przykład 2.3 Poniższe napisy nie są formułami

    • \( p \Rightarrow \Rightarrow q \),
    • \( \neg \neg \neg \),
    • ten napis na pewno nie jest formułą,
    • \( (p \Rightarrow \neg q)) \).

    Poniższe napisy są formułami

    • \( (p \Rightarrow (r \Rightarrow q)) \),
    • \( \neg \neg \neg q \),
    • \( (p \Rightarrow \neg q) \).

    Ćwiczenie 2.1

    Rozmiarem formuły nazwiemy ilość występujących w niej spójników. Na przykład formuła \( \neg \neg q \) ma rozmiar 2, a formuła \( (p\Rightarrow q) \) ma rozmiar 1. Przypuśćmy, że jedyną zmienną zdaniową jaką wolno nam użyć jest \( \mathrm {p} \). Ile można skonstruować rożnych formuł o rozmiarze 3?

    Uwaga 2.4.

    Język logiki zdaniowej można równoważnie zdefiniować nie używając nawiasów za pomocą tzw. Odwrotnej Notacji Polskiej.

    Aksjomatyka Klasycznego Rachunku Zdań

    Aksjomatyka Klasycznego Rachunku Zdań



    Podobnie jak nie wszystkie zdania języka naturalnego mają sens, nie wszystkie formuły opisują prawdziwe schematy wnioskowania lub zdania, które bylibyśmy skłonni uznać za prawdziwe. W tym rozdziale skupimy się na tym, które spośród wszystkich formuł zdaniowych wyróżnić jako prawdziwe.

    Aksjomaty

    Wielu matematyków zgadza się dzisiaj co do tego, że zdania pasujące do poniższych schematów powinny być uznane za prawdziwe:

    Definicja 3.1 Aksjomaty klasycznego rachunku zdań

    1. \( (\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi)) \) (formuła ta jest nazywana aksjomatem K),
    2. \( (\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi)) \Rightarrow ((\phi \Rightarrow \nu) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \psi) ) \) (formuła ta jest nazywana aksjomatem S),
    3. \( (\neg \phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow ((\neg \phi \Rightarrow \neg \psi) \Rightarrow \phi) \) (tzw. schemat dowodu niewprost)

    Zdania pasujące do powyższych schematów to wszystkie zdania, które można otrzymać, podstawiając w miejsce \( \phi, \nu, \psi \) dowolne formuły.

    Reguła dowodzenia

    Przyglądnijmy się teraz jak posługujemy się implikacją we wnioskowaniu. W przykładzie z początku wykładu implikacja odpowiadała konstrukcji językowej:
    jeśli \( {\phi} \) to \( {\psi} \).
    W takim przypadku, jeśli akceptujemy powyższą implikacjię jako zdanie prawdziwe oraz jeśli zdanie \( {\phi} \) jako prawdziwe, to powinniśmy także zaakceptować \( {\psi} \). Przedstawiony sposób wnioskowania nosi nazwę reguły Modus Ponens (nazywana też regułą odrywania, często będziemy używać skrótu MP) i jest skrótowo notowany w poniższy sposób
    \( \frac{\phi \Rightarrow \psi, \phi} {\psi}. \)
    Reguła modus ponens posłuży nam do uzupełniania zbioru aksjomatów o ich konsekwencje logiczne, które również uznamy za prawdziwe. Aby precyzyjnie zdefiniować zbiór wszystkich konsekwencji logicznych aksjomatów, definiujemy poniżej pojęcie dowodu.

    Definicja 3.2

    Ciąg formuł \( \phi_0, \dots ,\phi_n \) jest dowodem formuły \( {\psi} \) wtedy i tylko wtedy, gdy:

    1. \( \phi_n \) jest formułą \( {\psi} \),
    2. dla każdego \( i\leq n \) formuła \( \phi_i \) jest aksjomatem lub istnieją \( j,k < i \) takie, że formuła \( \phi_i \) jest wynikiem zastosowania reguły modus ponens do formuł \( \phi_j, \phi_k \).

    W drugim punkcie powyższej definicji, jeśli formuła \( \phi_i \) nie jest aksjomatem (a więc powstaje przez zastosowanie MP), to formuły \( \phi_j,\phi_k \) muszą pasować do przesłanek reguły MP, a więc \( \phi_j \) musi być postaci \( \phi_k \Rightarrow \phi_i \) lub \( \phi_k \) postaci \( \phi_j \Rightarrow \phi_i \).
    Definicja 3.3
    Formułę nazywamy twierdzeniem klasycznego rachunku zdań jeśli istnieje jej dowód z aksjomatów klasycznego rachunku zdań 3.1

    Przykład

    Zastanówmy się na formułą postaci \( \phi \Rightarrow \phi \). Intuicja podpowiada, że taką formułę powinniśmy uznać za prawdziwą. Nie pasuje ona jednak do żadnego ze schematów aksjomatów 3.1. Formuła ta jest jednak twierdzeniem klasycznego rachunku zdań. Poniżej przedstawiamy jej dowód. Aby łatwiej dopasować formuły do schematów aksjomatów, użyliśmy nawiasów kwadratowych dla nawiasów, które pochodzą ze schematów.

    1. \( [\phi \Rightarrow [(q \Rightarrow \phi) \Rightarrow \phi)]\Rightarrow [[\phi \Rightarrow (q \Rightarrow \phi)] \Rightarrow [\phi \Rightarrow\phi]] \) formuła ta jest aksjomatem zgodnym ze schematem S,
    2. \( \phi \Rightarrow [(q \Rightarrow \phi) \Rightarrow \phi] \) aksjomat zgodny ze schematem K,
    3. \( (\phi \Rightarrow (q \Rightarrow \phi)) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \phi) \) z modus ponens z formuł 1 i 2,
    4. \( \phi \Rightarrow [q \Rightarrow \phi] \) aksjomat zgodny ze schematem K,
    5. \( (\phi \Rightarrow \phi) \) z modus ponens z formuł 3 i 4.

    Podsumowanie

    Klasyczny rachunek zdań, czyli zbiór formuł które uznajemy za prawdziwe, zdefiniowaliśmy, wyróżniając pewne formuły jako aksjomaty 3.1 i dorzucając do nich wszystkie formuły, które dają się z nich wywnioskować przy pomocy reguły Modus Ponens. Warto zwrócić uwagę, że pomimo tego, iż w doborze aksjomatów i reguł wnioskowania kierowaliśmy się intuicyjnym pojęciem implikacji i konsekwencji, klasyczny rachunek zdań jest teorią syntaktyczną, zbiorem pewnych napisów o których znaczeniu nie musimy nic mówić.

    Uwaga 3.4

    Warto przyglądnąć się przyjętym aksjomatom i zastanowić się jakim zdaniom odpowiadają i czy rzeczywiście bylibyśmy skłonni uznać je za prawdziwe. Pomocne może być interpretowanie formuł postaci \( \phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \) jako „jeśli prawdziwe jest \( {\phi} \) i prawdziwe jest \( \nu \) to prawdziwe jest \( {\psi} \)”. W kolejnych rozdziałach przekonamy się, że taka interpretacja jest uzasadniona.

    Matryca boolowska

    Matryca boolowska


    W poprzednim rozdziale zdefiniowaliśmy klasyczny rachunek zdań jako teorię aksjomatyczną. Jeśli pozwolimy sobie na używanie skończonych zbiorów i funkcji, możemy równoważnie zdefiniować klasyczny rachunek zdań za pomocą tzw. matrycy boolowskiej.
    Definicja 4.1
    Dwuelementową matrycą boolowską nazywamy zbiór dwuelementowy \( \mathbb{B}=\{0,1\} \) w którym 1 jest wyróżnioną wartością prawdy, wraz z dwoma funkcjami odpowiadającymi za interpretacje spójników \( \Rightarrow \) oraz \( \neg \) zdefiniowanymi następująco


    \( \Rightarrow \) 0 1
    0 1 1
    1 0 1
        
    \( \mathrm {p} \) \( \neg p \)
    0 1
    1 0

    \( \quad \mbox{(4.1)} \)

    Definicja 4.2

    Wartościowaniem nazywamy funkcję, która przypisuje zmiennym zdaniowym elementy zbioru \( \mathbb{B} \). Wartościowanie zmiennych można rozszerzyć na wartościowanie formuł interpretując spójniki \( \Rightarrow \) oraz \( \neg \) jako funkcje zgodnie z tabelami 4.1.

    Przykład 4.3

    Niech \( {v} \) będzie wartościowaniem zmiennych takim, że \( v(p)=0,v(q)=1, v(r)=0 \). Wtedy

    • formuła \( q \Rightarrow p \) jest wartościowana na 0 (będziemy to zapisywać jako \( v(q \Rightarrow p)=0 \)),
    • formuła \( r \Rightarrow (q \Rightarrow p) \) jest wartościowana na 1 (czyli \( v(r \Rightarrow (q \Rightarrow p))=1 \)),
    • formuła \( \neg p \Rightarrow r \) jest wartościowana na 0 (czyli \( v(\neg p \Rightarrow r)=0 \)).

    Ćwiczenie 4.1

    Przy wartościowaniu \( v \) z przykładu 4.3 jakie wartości przyjmują następujące formuły

    1. \( p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \),
    2. \( p \Rightarrow (p \Rightarrow q) \),
    3. \( \neg \neg q \Rightarrow p \),
    4. \( (\neg q\Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow \neg q) \).

    Ćwiczenie 4.2

         1. Podaj przykład wartościowania zmiennych tak aby poniższe formuły były wartościowane na 0

    (a) \( p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \)
    (b) \( (\neg p \Rightarrow q) \)
    (c) \( (p\Rightarrow q) \Rightarrow q \)

         2. Podaj przykład wartościowania zmiennych tak aby poniższe formuły były wartościowane na 1

    (a) \( \neg (p \Rightarrow q) \)
    (b) \( \neg (\neg p \Rightarrow \neg q) \)
    (c) \( (\neg q\Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow \neg q) \)

    Twierdzenie o pełności

    Zauważmy, że istnieją formuły, które dla każdego wartościowania zmiennych zdaniowych, zawsze przyjmują wartość 1 (np. \( p \Rightarrow p \)). Takie formuły będziemy nazywać tautologiami.

    Ćwiczenie 4.3
    Sprawdź czy poniższe formuły są tautologiami

    1. \( (\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi)) \),
    2. \( (\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \Rightarrow ((\phi \Rightarrow \nu \Rightarrow (\phi \Rightarrow \nu) ) \),
    3. \( (\neg \phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow (\neg \phi \Rightarrow \neg \psi) \Rightarrow \phi \),
    4. \( ((\phi \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p \).



    Nie przez przypadek pierwsze trzy formuły z poprzedniego zadania odpowiadają aksjomatom klasycznego rachunku zdań 3.1. Okazuje się że istnieje ścisły związek pomiędzy tautologiami a twierdzeniami klasycznego rachunku zdań. Mówi o tym ważny wynik Emila Posta

    Twierdzenie 4.4

    Post 1921 Formuła jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań wtedy i tylko wtedy kiedy jest tautologią.

    Dowód powyższego twierdzenia jest przedstawiony na wykładzie Logika dla informatyków Dzięki powyższemu twierdzeniu możemy w miarę łatwo stwierdzać, czy dana formuła jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań, sprawdzając, czy jest tautologią, co wymaga rozważenia jedynie skończonej (chociaż często niemałej) liczby wartościowań. Co więcej, mamy też możliwość dowodzenia, że jakaś formuła nie jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań. Uzasadnienie, że nie da się jakiejś formuły udowonić z aksjomatów poprzez stosowanie reguły MP wydaje się zadaniem trudnym, znacznie łatwiej jest poszukać wartościowania, które wartościuje formułę na 0 (znowu wystarczy sprawdzić jedynie skończenie wiele wartościowań).

    Ćwiczenie 4.4
    Udowodnij że każde twierdzenie klasycznego rachunku zdań jest tautologią.



    Inne spójniki

    Do tej pory jedynymi rozważanymi spójnikami była implikacja i negacja. W analogiczny sposób do 4.1 możemy wprowadzać kolejne spójniki. Często używane spójniki to koniunkcja (spójnik i) oznaczana przez \( \wedge \) oraz alternatywa (spójnik lub) oznaczana przez \( \vee \), które będziemy interpretować w następujący sposób:


    \( \wedge \) 0 1
     0   0   0 
     1   0   1 
        
    \( \vee \) 0 1
     0   0   1 
     1   1   1 

    \( \quad \mbox{(4.2)} \)



    Zgodnie z intuicją koniunkcja \( \phi \wedge\psi \) jest wartościowana na 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno \( {\phi} \) jak i \( {\psi} \) są wartościowane na 1. Alternatywa \( \phi \vee \psi \) jest wartościowana na 1, jeśli przynajmniej jedna z formuł \( \phi, \psi \) jest wartościowana na 1.

    Definicja 4.5

    Formuły \( {\phi} \) oraz \( {\psi} \) są równoważne (oznaczamy ten fakt przez \( \phi \equiv \psi \) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wartościowania formuła \( {\phi} \) przyjmuje tą samą wartość co formuła \( {\psi} \).

    Ćwiczenie 4.5

    Udowodnij, że następujące formuły są równoważne

    1. \( \phi \vee \psi \equiv \neg \phi \Rightarrow \psi \)
    2. \( \phi \wedge \psi \equiv \neg (\phi \Rightarrow \neg \psi) \)

    Z powyższego zadania wynika, że każdą formułę w której występują spójniki \( \wedge \) lub \( \vee \) można zastąpić równoważną formułą, w której jedynymi spójnikami są \( \Rightarrow \) oraz \( \neg \). Tak naprawdę więc nowe spójniki nie wprowadzają nic nowego poza użytecznymi skrótami w zapisywaniu formuł. Aby się oswoić z własnościami spójników, prześledzimy szereg ich praw.

    Ćwiczenie 4.6

    Udowodnij następujące równoważności

    1. \( \neg \neg p \equiv p \),
    2. \( p\Rightarrow q \equiv \neg p \vee q \),
    3. \( p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \equiv (p \wedge q) \Rightarrow r \),
    4. \( \neg( p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \),
    5. \( \neg( p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \),
    6. \( p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p\wedge r) \),
    7. \( p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p\vee r) \),
    8. \( (p \Rightarrow q) \Rightarrow (\neg p \Rightarrow \neg q) \).

    Ćwiczenie 4.7

    Sprawdź które z następujących formuł są tautologiami

    1. \( ( (p \vee r)\wedge( q \vee \neg r) )\Rightarrow (p \vee q) \),
    2. \( (p \vee q) \Rightarrow ( (p \vee r)\wedge( q \vee \neg r)) \),
    3. \( ( (p \wedge r)\vee( q \wedge \neg r) )\Rightarrow(p \wedge q) \),
    4. \( (p \wedge q) \Rightarrow ( (p \wedge r)\vee( q \wedge \neg r)) \).

    Binarne spójniki logiczne interpretowaliśmy jako funkcje z \( \mathbb{B}\times \mathbb{B} arrow \mathbb{B} \). Nie trudno przekonać się, że takich funkcji jest dokładnie 16. Dla każdej takiej funkcji możemy dodać spójnik, który będzie interpretowany dokładnie jako ta funkcja. W poniższej tabeli zamieszczamy wszystkie takie funkcje wraz ze zwyczajowymi oznaczeniami odpowiadających im spójników.

    Definicja 4.6

    W poniższej tabeli przedstawiamy wszystkie spójniki binarne.


    Numer
    funkcji
    \( p=0 \)
    \( q=0 \)
    \( p=0 \)
    \( {q=1} \)
    \( p=1 \)
    \( q=0 \)
    \( p=1 \)
    \( {q=1} \)
       
    0 0 0 0 0   \( F \)
    1 0 0 0 1   \( \wedge \)
    2 0 0 1 0   \( \neg (p \Rightarrow q) \)
    3 0 0 1 1   \( \mathrm{p} \)
    4 0 1 0 0   \( \neg (q \Rightarrow p) \)
    5 0 1 0 1   \( \mathrm{q} \)
    6 0 1 1 0   \( XOR \)
    7 0 1 1 1   \( \vee \)
    8 1 0 0 0   \( NOR \)
    9 1 0 0 1   \( \Leftrightarrow \)
    10 1 0 1 0   \( \neg q \)
    11 1 0 1 1   \( q \Rightarrow p \)
    12 1 1 0 0   \( \neg p \)
    13 1 1 0 1   \( p \Rightarrow q \)
    14 1 1 1 0   \( NAND \)
    15 1 1 1 1   \( T \)

    Spójnik binarny \( \circ \) będziemy nazywać przemiennym, jeśli zachodzi następująca równoważność

    \( p \circ q \equiv q \circ p \quad \mbox{(4.3)} \)

    Ćwiczenie 4.8

    Sprawdź następujące równoważności

    1. \( x NAND y \equiv \neg (x \wedge y) \)
    2. \( x NOR y \equiv \neg (x \vee y) \)
    3. \( x XOR y \equiv \neg (x \Leftrightarrow y) \)

    Ćwiczenie 4.9
    Ile spójników binarnych jest przemiennych? Wypisz je wszystkie.


    Ćwiczenie 4.10

    Udowodnij, że następujące spójniki są łączne

    1. \( \vee \)
    2. \( \wedge \)
    3. \( \Leftrightarrow \)
    4. \( XOR \)

    Możemy również rozważać spójniki 3 i więcej argumentowe. Spójnik \( k \)-argumetowy powinien odpowiadać funkcji \( \mathbb{B}^k arrow \mathbb{B} \).

    Przykład 4.7

    W poniższej tabeli przedstawiamy przykład spójnika trójargumentowego


    \( \mathrm {p} \) \( \mathrm {q} \) \( \mathrm {r} \) \( \circ (p, q, r) \)
     0   0   0   0 
    0 0 1 1
    0 1 0 1
    0 1 1 0
    1 0 0 1
    1 0 1 0
    1 1 0 0
    1 1 1 1

    Uwaga 4.1
    Różnych spójników \( k \)-argumentowych jest dokładnie \( 2^{2^k} \).

    Systemy funkcjonalnie pełne

    Systemy funkcjonalnie pełne


    Każda formuła odpowiada pewnej funkcji przekształcającej wartościowania zmiennych w niej występujących w element zbioru \( \mathbb{B} \). Na przykład formuła \( p \Rightarrow (q\Rightarrow r) \) wyznacza funkcję \( f_{p \Rightarrow (q\Rightarrow r)} \) opisaną poniższą tabelą

    \( \mathrm {p} \) \( \mathrm {q} \) \( \mathrm {r} \) \( f_{p arrow _(q arrow r)} \)
     0   0   0  1
    0 0 1 1
    0 1 0 1
    0 1 1 1
    1 0 0 1
    1 0 1 1
    1 1 0 0
    1 1 1 1

    Mówimy, wtedy że formuła \( {\phi} \) definuje funkcję \( f_{\phi} \).

    Definicja 5.1

    Skończony zbiór funkcji boolowskich \( {\Gamma} \) nazywamy funkcjonalnie pełnym, jeśli każdą funkcję boolowską da się zdefiniować przy pomocy formuły zbudowanej wyłącznie ze spójników odpowiadających funkcjom ze zbioru \( {\Gamma} \).

    Twierdzenie 5.2

    Zbiór \( \{\wedge, \vee, \neg\} \) jest funkcjonalnie pełny.

    Dowód

    Dla dowolnej funkcji boolowskiej skonstruujemy formułę która ją definiuje. Niech \( \displaystyle k\in \) oraz \( \displaystyle f:\mathbb{B}^k arrow \; \mathbb{B} \). W definiowanej formule będziemy używać zmiennych \( \displaystyle p_1, \dots,p_k \), a każdy element \( \displaystyle (w_1,\ldots,w_k) \in \mathbb{B}^k \) będzie odpowiadał wartościowaniu \( \displaystyle v_w \) takiemu, że \( \displaystyle v(p_i)=w_i \).

    Niech \( \displaystyle F \) będzie zbiorem tych argumentów, dla których funkcja \( \displaystyle f \) przyjmuje wartość 1. Dla dowolnego elementu \( \displaystyle x_i \in F \) skonstruujemy formułę \( \displaystyle \phi_i \) w taki sposób, aby była spełniona tylko dla wartościowania odpowiadającego elementowi \( \displaystyle x_i \). Niech \( \displaystyle x_i= (w_1,\dots,w_k) \), wtedy formułę \( \displaystyle \phi_i \) definiujemy jako \( \displaystyle l^i_1 \wedge l^i_2 \wedge \dots \wedge l^i_k \) gdzie

    \( \displaystyle l^i_j \begin{cases} p_j, & \mbox{gdy } w_j = 1 \displaystyle ; \\ \neg p_j, & \mbox{gdy } w_j = 0 \displaystyle .\end{cases} \)

    Łatwo sprawdzić, że formuła \( \displaystyle \phi_i \) jest spełniona tylko dla wartościowania odpowiadającego elementowi \( \displaystyle x_i \).

    Postępując w ten sposób dla każdego elementu zbioru \( \displaystyle F \) otrzymamy formuły \( \displaystyle \phi_1, \dots \phi_m \). Biorąc
    \( \displaystyle \phi_1 \vee \dots \vee \phi_m \)

    otrzymamy formułę która definiuje funkcję \( \displaystyle f \), oznaczmy ją przez \( \displaystyle \Phi \). Jeśli dla wartościowania \( \displaystyle v \) formuła \( \displaystyle \Phi \) jest spełniona to znaczy, że któraś z formuł \( \displaystyle \phi_i \) jest spełniona. Oznacza to że wartościowanie \( \displaystyle v \) odpowiada pewnemu elementowi \( \displaystyle x_i \) zbioru \( \displaystyle F \), wobec tego funkcja \( \displaystyle f(x_i)=1 \) co jest zgodne z tym, że spełniona jest \( \displaystyle \Phi \). W drugą stronę załóżmy że dla pewnego elementu \( \displaystyle a\in \mathbb{B}^k \) mamy \( \displaystyle f(a)=1 \). Wobec tego \( \displaystyle a\in F \). Wtedy \( \displaystyle a \) odpowiada pewnej formule \( \displaystyle \phi_i \), która jest spełniona dla wartościowania odpowiadającego \( \displaystyle a \). Wobec tego również cała formuła \( \displaystyle \Phi \) jest spełniona dla tego wartościowania (bo jeden z elementów alternatywy jest spełniony). Wynika stąd, że formuła \( \displaystyle \Phi \) definiuje funkcję \( \displaystyle f \). Na koniec zauważmy jeszcze że jedynymi spójnikami występującymi w formule \( \displaystyle \Phi \) są \( \displaystyle \neg, \vee, \wedge \).

    Twierdzenie 5.3

    Zbiory \( \{\wedge, \neg\} \), \( \{\vee, \neg\} \) są funkcjonalnie pełne.

    Dowód

    Aby pokazać, że \( \displaystyle \{\wedge, \neg\} \) jest funkcjonalnie pełny wystarczy pokazać, że przy pomocy spójników \( \displaystyle \{\wedge, \neg\} \) da się zdefiniować \( \displaystyle \vee \). Wtedy funkcjonalną pełność otrzymamy z twierdzenia 5.2. W ćwiczeniu 4.2 pokazaliśmy, że

    \( \displaystyle \neg (x \vee y) = \neg x \wedge \neg y. \)
    Wobec tego
    \( \displaystyle x \vee y =\neg(\neg x \wedge \neg y) \)

    a więc zdefiniowaliśmy \( \displaystyle \vee \) przy pomocy \( \displaystyle \neg, \wedge \).

    Analogicznie aby pokazać funkcjonalną pełność zbioru \( \displaystyle \{\vee, \neg\} \) zdefiniujemy \( \displaystyle \wedge \) przy pomocy spójników \( \displaystyle \vee, \neg \). Z <ćwiczenia 4.2 mamy
    \( \displaystyle \neg(x \wedge y)= \neg x \vee \neg y \)
    a więc
    \( \displaystyle x \wedge y=\neg( \neg x \vee \neg y). \)

    Ćwiczenie 5.1

    Udowodnij, że zbiór \( \displaystyle \{\Rightarrow, \neg\} \) jest funkcjonalnie pełny.

    Twierdzenie 5.4

    Zbiór \( \{NOR\} \) jest funkcjonalnie pełny.

    Dowód
    Pokażemy, że przy pomocy \( \displaystyle NOR \) można zdefiniować \( \displaystyle \neg \) oraz \( \displaystyle \vee \). Wtedy z twierdzenia twierdzenia 5.3 otrzymamy tezę twierdzenia.

    Łatwo sprawdzić, że
    \( \displaystyle p NOR p \equiv \neg. \)
    Wiemy, że
    \( \displaystyle p NOR q \equiv \neg (p\vee q). \)
    Wobec tego mamy również
    \( \displaystyle \neg(p NOR q) \equiv p\vee q. \)
    Możemy teraz wyrazić negację za pomocą \( \displaystyle NOR \), otrzymamy wtedy
    \( \displaystyle (p NOR q) NOR (p NOR q) \equiv p\vee q. \)

    Ćwiczenie 5.2

    Udowodnij, że zbiór \( \displaystyle \{NAND\} \) jest funkcjonalnie pełny.

    Ćwiczenie 5.3

    Zdefiniuj alternatywę przy pomocy samej implikacji.

    Ćwiczenie 5.4

    Jakie funkcje binarne da się zdefiniować przy pomocy samej implikacji?

    Ćwiczenie 5.5

    Udowodnij, że poniższe zbiory nie są funkcjonalnie pełne

    1. \( \{\wedge\} \)
    2. \( \{\vee\} \)
    3. \( \{\Leftrightarrow\} \)
    4. \( \{XOR\} \)

    Ćwiczenie 5.6

    Czy funkcje binarne, zdefiniowane za pomocą formuł zawierającyh jedynie przemienne spójniki, muszą być przemienne?


    Ćwiczenie 5.7

    (z wykładu prof. P.M.Idziaka) Niech \( F_n \) oznacza ilość boolowskich funkcji \( \mathrm {n} \) argumetnowych, a \( P_n \) ilość boolowskich funkcji \( \mathrm {n} \) argumentowych, takich że przy pomocy każdej z nich da się zdefiniować dowolną funkcję boolowską (czyli jeśli \( \circ \) jest takim spójnikiem to zbiór \( \{\circ\} \) jest funkcjonalnie pełny). Udowdnij istenienie poniższej granicy i wyznacz jej wartość
    \( \lim_{n arrow \infty} \frac{P_n}{F_n} \)

    Postacie normalne

    Postacie normalne



    Definicja 6.1

    Literałem nazywamy formułę, która jest zmienną zdaniową lub negacją zmiennej zdaniowej.

    Zauważmy, że formuła konstruowana w dowodzie twierdzenia 5.2 jest w pewnej standartowej postaci - formuła jest alternatywą formuł, które są koniunkcjami literałów. Przypomnijmy, że dla \( p \Rightarrow q \) zbudujemy formułę

    \( (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q). \)

    Definicja 6.2

    Formuła jest w dyzjunktywnej postaci normalnej (DNF), jeśli jest alternatywą formuł które są koniunkcjami literałów. Czyli wtedy, gdy jest postaci

    \( \phi_1\vee \dots \vee \phi_n \)

    oraz każda z formuł \( \phi_i \) jest koniunkcją literałów, czyli jest postaci

    \( l_l^i \wedge \dots \wedge l_k^i \)

    dla pewnych literałów \( l_l^i, \dots,l_k^i \)

    Twierdzenie 6.3

    Dla każdej formuły istnieje równoważna formuła w DNF.

    Dowód

    Wynika bezpośrednio z konstrukcji w dowodzie twierdzenia 5.2.

    Definicja 6.4

    Formuła jest w koniunktywnej postaci normalnej (CNF), jeśli jest koniunkcją formuł które są alternatywami literałów.

    Twierdzenie 6.5

    Dla każdej formuły istnieje równoważna formuła w CNF.

    Dowód

    Niech \( \displaystyle \Phi \) będzie dowolną formułą. Z twierdzenia twierdzenia 6.3 wynika, że dla formuły \( \displaystyle \neg \Phi \) istnieje dyzjunktywna postać normalna. Niech \( \displaystyle \Psi \) będzie taką formułą. Wtedy mamy

    \( \displaystyle \Phi \equiv \neg \Psi. \)

    Stosując wielokrotnie prawa de'Morgana dla formuły \( \displaystyle \neg \Psi \) otrzymamy formułę w koniunktywnej postaci normalnej. Indukcyjny dowód tego faktu pomijamy.

    Ćwiczenie 6.1

    Jak sprawdzić, czy formuła w CNF jest tautologią?

    Ćwiczenie 6.2

    Dla poniższych formuł wypisz ich najkrótsze równoważne formuły w CNF

    1. \( p \Leftrightarrow q \),
    2. \( p \Rightarrow (q \Rightarrow p) \),
    3. \( (p \Rightarrow q) \Rightarrow p \),
    4. \( (p \vee a \vee b) \wedge (\neg q \vee \neg a) \wedge(r \vee \neg b \vee \neg c) \wedge(c \vee p)) \),
    5. \( (p \wedge q) \vee (r \wedge s) \).

    Spełnialność

    Spośród wszystkich formuł wyróżnimy też zbiór formuł spełnialnych.

    Definicja 6.6

    Formuła jest spełnialna, jeśli istenieje takie wartościowanie, które wartościuje tą formułę na 1.

    Formuły spełnialne są w ścisłym związku z tautologiami.

    Twierdzenie 6.7

    Formuła \( {\phi} \) jest tautologią wtedy i tylko wtedy, kiedy formuła \( \neg \phi \) nie jest spełnialna.

    Dowód

    Przypuśćmy, że formuła \( {\phi} \) jest tautologią. Wtedy dla każdego wartościowania \( \mathrm{v} \) mamy \( v(\phi)=1 \). Stąd otrzymujemy, że dla każdego wartościowania \( \mathrm{v} \) mamy \( v(\neg \phi)=0 \), a więc nie istnieje wartościwanie, które spełnia \( \neg \phi \), czyli formuła ta nie jest spełnialna.

    Przypuśćmy, że formuła \( \neg \phi \) nie jest spełnialna, czyli nie istnieje wartościowanie \( \mathrm{v} \) takie, że \( v(\neg \phi)=0 \). Wynika stąd, że dla każdego wartościowania mamy \( v(\phi)=1 \), a więc \( {\phi} \) jest tautologią.

    Ćwiczenie 6.3

    Sprawdź spełnialność następujących formuł

    1. \( (\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee \neg r) \wedge (\neg q \vee \neg p) \)
    2. \( (\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee \neg r) \wedge (\neg q \vee p) \)

    Formuły z powyższego zadania, poza tym że są w koniunktywnej postaci normalnej, to jeszcze występujące w nich klauzule mają dokładnie dwa literały. Problem spełnialności takich formuł jest nazywany w literaturze problemem 2SAT. Dla takich formuł istnieją szybkie algorytmy pozwalające ocenić ich spełnialność. Dopuszczanie klauzul o długości 3, bardzo komplikuje problem. Do dziś nie wiadomo czy dla takich formuł istnieją szybkie algorytmy oceniające spełnialność. Więcej na ten temat można się dowiedzieć z wykładu Teoria złożoności.

    Logika intuicjonistyczna

    Logika intuicjonistyczna


    Niektórzy logicy mają wątpliwości co do tego, czy powinniśmy przyjmować schemat dowodu niewprost jako aksjomat. Poddanie w wątpliwość tego aksjomatu doprowadziło do powstnia tzw. logiki intuicjonistycznej. Ważnym powodem zajmowania się logiką intuicjonistyczną są jej zadziwiające związki z teorią obliczeń (patrz izomorfizm Curryego-Howarda).

    Implikacyjny fragment logiki intuicjonistycznej, który będziemy oznaczać przez \( I_\Rightarrow \) to zbiór tych formuł, które da się dowodnić przy pomocy reguły MP z aksjomatów S i K.

    Definicja 7.1

    Aksjomaty \( I_\Rightarrow \)

    1. \( (\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi)) \) (formuła ta jest nazywana aksjomatem K),
    2. \( (\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \Rightarrow ((\phi \Rightarrow \nu) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \nu) ) \) (formuła ta jest nazywana aksjomatem S).

    W pełnej wersji logiki intucjonistycznej pojawiają się również aksjomaty dla spójników \( \wedge, \vee \) oraz \( \neg \). Dla uproszczenia zajmiemy się jedynie formułami, w których jedynym spójnikiem jest implikacja. Dodatkowym argumentem uzasadniającym takie podejście jest fakt, że każde twierdzenie logiki intuicjonistycznej, w którym jedynymi spójnikami są \( \Rightarrow \), da się udowodnić przy pomocy aksjomatów 7.1. Zobaczymy, że analogiczne twierdzenie nie jest prawdą dla logiki klasycznej. Logika intuicjonistyczna jest bardziej skomplikowana od logiki klasycznej. W szczególności nie istnieje skończona matryca, za pomocą której moglibyśmy rozstrzygać czy dana formuła jest twierdzeniem logiki intuicjonistycznej.

    Twierdzenie 7.2

    Każde twierdzenie logiki intuicjonistycznej jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań.

    Dowód

    Każdy dowód twierdzenia logiki inuicjonistycznej jest równocześnie dowodem twierdzenia klasycznego rachunku zdań.

    Implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Istnieją formuły zbudowane jedynie przy pomocy \( \Rightarrow \), które nie należą do \( I_\Rightarrow \), pomimo że są twierdzeniami klasycznego rachunku zdań. Przykładem takiej formuły jest prawo Pierce'a:

    \( ((p \Rightarrow q) \Rightarrow p ) \Rightarrow p. \)

    W zadaniu 4.1 pokazaliśmy, że formuła ta jest w istocie tautologią więc w myśl twierdzenia Posta 4.4 również twierdeniem klasycznego rachunku zdań.
    W poniższych zadaniach udowodnimy poniższe twierdzenie

    Twierdzenie 7.3

    Prawo Pierce'a nie jest twierdzeniem intuicjonizmu.

    Zauważmy, że oznacza to również, że każdy dowód prawa Pierce'a w logice klasycznej korzysta z aksjomatu 3 3.1, a więc wymaga używania spójnika \( \neg \).
    Aby udowodnić twierdzenie 7.3, zdefiniujemy jeszcze jedną logikę którą nazwiemy \( I_3 \). Podobnie do 4.1 zdefiniujemy matrycę tym razem 3-elementową.

    Definicja 7.4

    Matrycą \( \mathbb{M}_3 \) będziemy nazywać zbiór trójelementowy \( M_3=\{0,1,2\} \), w którym 2 jest wyróżnioną wartością prawdy, wraz z funkcją odpowiadają za interpretacje \( \Rightarrow \) zdefiniowaną następująco


    \( \Rightarrow \) 0 1 2
     0   2   2   2 
     1   0   2   2 
     2   0   1   2 

    W przypadku rozważanej matrycy \( \mathbb{M}_3 \) wartościowanie będzie funkcją przypisującą zmiennym zdaniowym elementy zbioru \( M_3 \). Podobnie jak dla logiki klasycznej wartościowanie zmiennych rozszzerzamy na wartościowanie formuł zgodnie z tabelą 7.4.

    Przykład 7.5

    Dla wartościowania \( v \) takiego, że \( v(p)=2, v(q)=1, v(r)=0 \) formuła

    \( (p \Rightarrow q) \Rightarrow r \)

    przyjmuje wartość 0.

    Definicja 7.6

    Tautologią logiki \( I_3 \) będziemy nazywać każdą formułę implikacyjną, która przy każdym wartościowaniu zmiennych w \( M_3 \) przyjmuje wartość 2.

    Ćwiczenie 7.1

    Udowodnij, że aksjomaty S i K są tautologiami \( I_3 \).

    Ćwiczenie 7.2

    Udowodnij, że jeśli formuła postaci \( \phi \Rightarrow \psi \) oraz formuła \( {\phi} \) są tautologiami \( I_3 \), to formuła \( {\psi} \) jest tautologią \( I_3 \).

    Ćwiczenie 7.3

    Udowodnij, że każde twierdzenie logiki \( I_\Rightarrow \) jest tautologią \( I_3 \).


    Ćwiczenie 7.4

    Sprawdź, czy prawo Pierce'a jest tautologią \( I_3 \).


    Podsumujmy wyniki powyższych zadań. Wskazaliśmy logikę \( I_3 \) taką, że każda twierdzenie intuicjonizmu jest tautologią \( I_3 \). Skoro prawo Pierce'a nie jest tautologią \( I_3 \), to nie jest też twierdzeniem \( I_\Rightarrow \).

    UWAGA! W dalszej części będziemy się posługiwać wyłącznie logiką klasyczną.

    Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów

    Wprowadzenie


    Na początku rozdziału o logice zdaniowej rozważaliśmy zdanie

    Jeśli \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą to \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą lub \( \mathrm {n} \) jest równe 2.

    Opisaliśmy je wtedy formułą

    \( p \Rightarrow (q \vee r). \)
    w której \( p,q,r \) odpowiadały odpowiednio zdaniom

    1. \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą,
    2. \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą,
    3. \( \mathrm {n} \) jest równe 2.

    Podstawiając zamiast zdania \(\mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą zmienną zdaniową \( \mathrm {p} \) ukrywamy jednak część informacji. Zdanie to mówi przecież o pewnej liczbie \( \mathrm {n} \), co więcej zdania \( {p,q} \) i \( \mathrm {r} \) dotyczą tej samej liczby \( \mathrm {n} \). Zapiszmy więc \( p(n) \) zamiast \( {p} \) aby podkreślić fakt że prawdziwość \( {p} \) zależy od tego jaką konkretną wartość przypiszemy zmiennej \( \mathrm {n} \). Zdanie \( p(n) \) będzie prawdziwe jeśli za \( \mathrm {n} \) podstawimy jakąś liczbę pierwszą i fałszywe w przeciwnym przypadku. Zgodnie z tą konwencją nasze zdanie przyjmie postać

    \( p(n) \Rightarrow (q(n) \vee r(n)). \)

    Zwróćmy uwagę jednak, że trudno ocenić prawdziwość zdania \( \mathrm {p} \) dopóki nie podstawimy w miejsce \( \mathrm {n} \) jakiejś konkretnej liczby. Z drugiej strony jednak zdanie jakąkolwiek liczbę nie postawimy w miejsce \( \mathrm {n} \) zdanie będzie prawdziwe. Możemy więc przeformułować je jako

    Dla każdej liczby naturalnej \( \mathrm {n} \), jeśli \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą to \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą lub \( \mathrm {n} \) jest równe 2.

    Aby móc formalnie zapisywać zdania takie jak powyższe wprowadzimy kwantyfikator \( \forall \) który będzie oznaczał ,,dla każdego" oraz \( \exists \) który będzie oznaczał ,,istnieje". Każde wystąpienie kwantyfikatora będzie dotyczyło pewnej zmiennej. W naszym przykładzie napiszemy

    \( \forall_n p(n) \Rightarrow (q(n) \vee r(n)). \quad \mbox{(1.1)} \)

    Możemy teraz powiedzieć, że powyższa formuła jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych, gdzie \( p(n),q(n),r(n) \) będą oznaczać odpowiednio \(\mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą, \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą, \( \mathrm {n} \) jest równe 2.

    Przy tej samej interpretacji \( p(n),q(n) \) moglibyśmy wyrazić zdanie

    Istnieje parzysta liczba pierwsza.

    jako

    \( \exists_n p(n) \wedge \neg q(n) \quad \mbox{(1.2)} \)

    Język rachunku predykatów

    Język rachunku predykatów


    Podobnie jak dla rachunku zdań zaczniemy od zdefiniowania języka rachunku predykatów.
    Definicja 2.1.
    Alfabet języka rachunku predykatów składa się z:

    1. symboli stałych (a,b,c,)
    2. symboli zmiennych (x,y,z,)
    3. symboli funkcji \( (f^1, f^2, f^3, \dots ,g^1,g^2,g^3, \dots ,h^1, h^2, h^3, \dots) \)
    4. symboli predykatów \( (p^1, p^2, p^3, \dots ,q^1,q^2,q^3, \dots ,r^1, r^2, r^3, \dots) \)
    5. spójników logicznych: \( \Rightarrow,\neg \)
    6. kwantyfikatorów: \( \forall,\exists \)
    7. nawiasów i przecinków (niekonieczne)

    Przyjmujemy, że cztery pierwsze alfabety są nieskończone, w tym sensie że nigdy nam nie braknie ich symboli. Z każdym symbolem funkcyjnym oraz predykatywnym jest związana liczba (którą zapisujemy w indeksie górnym) która będzie oznaczała liczbę jego argumetów.
    Zwykle będą nam wystarczały symbole wymienione w nawiasach. Zanim przystąpimy do konstrukcji formuł zdefiniujemy tzw. termy.
    Definicja 2.2. [Termy]

    1. każdy symbol stałej jest termem
    2. każdy symbol zmiennej jest termem
    3. jeśli \( t_1,..,t_n \) są termami, a \( \alpha^n \) jest symbolem funkcyjnym, to \( \alpha^n(t_1,..,t_n) \) jest termem
    4. nic innego nie jest termem

    Przykład 2.3.
    Jeśli rozważymy język, w którym 1,2,3 są symbolami stałych, \( {x,y} \) są symbolami zmiennych a \( +^2,\times^2,-^1,s^1 \) są symbolami funkcji to poniższe napisy będą termami

    1. \( +^2(1,x) \)
    2. \( -^1(3) \)
    3. \( s^1(-^1(3)) \)
    4. \( \times^2(y,+^2(x,-^1(2))) \)

    Dla uproszczenia zapisu będziemy często pomijać liczby opisujące ilość argumentów symbolu. Symbole binarne będziemy czasem zapisywać w notacji infiksowej. Zgodnie z tą konwencją powyższe termy możemy zapisać jako

    1. \( 1+x \)
    2. \( -3 \)
    3. \( s(-3) \)
    4. \( y\times(x+(-3)) \)

    Kiedy będziemy mówić o modelach zobaczymy, że termy będą interpretowane jako elementy rozważanej dziedziny, np. jeśli tą dziedziną będą liczby naturalne to termy będą interpretowane jako liczby naturalne. Formuły rachunku predykatów zdefiniujemy w dwóch krokach. Zaczniemy od formuł atomowych.

    Definicja 2.4. [Formuły atomowe]

    Jeśli \( t_1,..,t_n \) są termami, a \( \beta^n \) jest symbolem predykatu, to \( \beta^n(t_1,..,t_n) \) jest formułą atomową.

    Przykład 2.5.

    Kontynuując przykład dotyczący termów przyjmijmy dodatkowo, że w rozważanym języku \( p^3, q^1, =^2 \) są symbolami predykatów wtedy formułami atomowymi będą

    1. \( p^3(1+x,-3,y\times(x+(-3))) \)
    2. \( q^1(1) \)
    3. \( =^2(y\times(x+(-3)),2) \)

    Stosując analogiczną konwencję jak dla termów powyższe formuły atomowe zapiszemy jako

    1. \( p(1+x,-3,y\times(x+(-3))) \)
    2. \( q(1) \)
    3. \( y\times(x+(-3))=2 \)

    Symbole predykatywne będą odpowiadały funkcjom, które elementom rozważanej dziedziny (lub parom, trójkom itd. elementów) przypisują wartość prawdy lub fałszu. Takie funkcje nazywamy predykatami. W przypadku liczb naturalnych możemy na przykład mówić o predykacie pierwszości \( p(n) \), który przyjmuje wartość prawdy jeśli \( n \) jest liczbą pierwszą i fałszu w przeciwnym przypadku. Podobnie możemy mówić o binarnym predykacie równości (zwyczajowo oznaczanym przez \( = \)). Dla argumentów \( {x,y} \) przyjmuje on wartość prawdy wtedy kiedy \( \mathrm{x} \) jest tą samą liczbą co \( \mathrm{y} \) i fałszu w przeciwnym przypadku. Formuły atomowe będą opisywały proste zdania typu \( \mathrm{x} \) jest liczbą pierwszą, \( \mathrm{x} \) dzieli \( \mathrm{y} \), \( \mathrm{x} \) jest równe \( \mathrm {y} \). Innymi słowy sprowadzają sie do stwierdzania czy dany zestaw argumentów ma pewną własność opisywaną predykatem.

    Uwaga 2.6.

    W oznaczeniach z poprzednich przykładów, napis \( y\times(x+(-3))=q(1) \) nie jest formułą atomową ani termem. Gdyby predykat \( \mathrm{q} \) oznaczał np. bycie liczbą nieparzystą to powyższy napis powinniśmy przeczytać jako

    \( y\times(x+(-3)) \) jest równe temu, że 1 jest liczbą nieparzystą.

    Nie wolno porównywać elementów dziedziny (opisywanych przez termy) z wartościami prawdy i fałszu.

    Z formuł atomowych będziemy budować bardziej złożone formuły zgodnie z poniższą definicją

    Definicja 2.7. [Formuły rachunku predykatów]

    1. Formuły atomowe są formułami.
    2. Jeśli \( \mathrm{A} \) i \( B \) są formułami, to \( (A \Rightarrow B) \) oraz \( \neg A \) są formułami.
    3. Jeśli \( \mathrm {A} \) jest formułą i \(\mathrm {x} \) jest zmienną, to \( \forall_x A \) jest formułą.
    4. Nic innego nie jest formułą.

    Przyjmujemy analogiczną konwencję dotyczącą nawiasowania jak dla rachunku zdań.

    Przykład 2.8.

    W oznaczeniach z poprzednich przykładów poniższe napisy nie są formułami rachunku predykatów

    • \( x+1 \)
    • \( (x=1) \Rightarrow 2 \)
    • \( \forall_x (x+y) \)
    • \( \forall_x (\neg x) \)

    Poniższe napisy są formułami rachunku predykatów

    • \( x=1 \)
    • \( x=1 \Rightarrow x=2 \)
    • \( \forall_x q(x+y) \)
    • \( \forall_x \neg (x=0) \)
    • \( \forall_x \forall_z \neg (x=0) \)
    • \( \forall_x \forall_y \neg (x=y) \)

    Ćwiczenie 2.1

    Z poniższych formuł wypisz wszytkie termy i formuły atomowe

    1. \( \forall_x \forall_y (s(x)=s(y) \Rightarrow x=y) \)
    2. \( \forall_x \neg s(x)=0 \)
    3. \( \forall_x (\neg (x=0) \Rightarrow (\exists_y s(y)=x)) \)
    4. \( \forall_x x+0=x \)
    5. \( \forall_x \forall_y x+s(y)=s(x+y) \)

    Często będziemy używać dodatkowych spójników \( \wedge, \vee, \Leftrightarrow \). Ponieważ wszystkie dadzą się zdefiniować przy pomocy \( \Rightarrow \) i \( \neg \) nie włączamy ich do języka, a napisy w których występują będziemy traktować jako skróty. Ustalmy poniższe definicje

    1. \( \phi \vee \psi \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \neg \phi \Rightarrow \psi \)
    2. \( \phi \wedge \psi \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \neg ( \phi \Rightarrow \neg \psi) \)
    3. \( \phi \Leftrightarrow \psi \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} (\phi \Rightarrow \psi) \wedge (\psi \Rightarrow \phi) \)

    Kwantyfikator egzystencjalny

    Wprowadzimy jeszcze jeden bardzo ważny skrót - kwantyfikator egzystencjalny, oznaczamy go przez \( \exists \) i definiujemy w następujący sposób

    \( \exists_x \phi \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \neg (\forall_x \neg \phi) \)

    Nieformalnie kwantyfikator egzystencjalny mówi o tym, że istnieje jakiś obiekt, który podstawiony w miejsce \( \mathrm{x} \) uczyni formułę \( {\phi} \) prawdziwą. Zdefiniowaliśmy go poprzez równoważne stwierdzenie które mówi że nieprawdą jest, że każdy obiekt podstawiony w miejsce \( \mathrm {x} \) falsyfikuje \( {\phi} \). Zgodnie z powyższą konwencją formułę ze wstępu

    \( \exists_n [p(n) \wedge \neg q(n)] \)

    powinniśmy rozumieć jako

    \( \neg \forall_n \neg (p(n) \wedge \neg q(n)). \)

    Kwantyfikatory ograniczone

    Kwantyfikatory ograniczone są skrótami które definujemy następująco

    1. \( \forall_{x:\phi} \psi \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \forall_x \phi \Rightarrow \psi \)
    2. \( \exists_{x:\phi} \psi \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \exists_x \phi \wedge \psi \)

    i czytamy

    1. dla każdego \(\mathrm {x} \) które spełnia \( {\phi} \) spełnione jest \( {\psi} \)
    2. istnieje \( \mathrm {x} \) spełniające \( {\phi} \) które spełnia \( {\psi} \)

    Zgodnie z tą konwencją formułę 1.1 możemy zapisać następująco

    \( \forall_{n:p(n)} q(n) \vee r(n). \)

    Podobnie formułę 1.2 zapiszemy jako

    \( \exists_{n:p(n)}\neg q(n) \)

    Ćwiczenie 2.2

    Wyeliminuj wszystkie skróty z napisu

    \( \exists_{x:\phi} \psi \)



    Zmienne wolne i związane

    Jeśli \( \mathrm {x} \) jest zmienną, a \( {\phi} \) jest formułą to każda pozycję w napisie \( {\phi} \) na której występuje symbol \(\mathrm {x} \) i nie jest poprzedzony bezpośrednio kwantyfikatorem, nazywamy wystąpieniem zmiennej \( \mathrm {x} \). Wystąpienia dzielimy na wolne i związanie. Wystąpienie jest związane jeśli znajduje się ,,pod działaniem" jakiegoś kwantyfikatora.

    Definicja 2.9.

    Rodzaj wystąpienia zmiennej w formule określamy zgodnie z poniższymi regułami:

    1. Jeśli \( {\gamma} \) jest formułą atomową to wszystkie wystąpienia zmiennych w napisie \( {\gamma} \) są wolne.
    2. Jeśli formuła jest postaci \( \phi \Rightarrow \psi \) lub \( \neg \phi \) to wystąpienia zmiennych pozostają takie same jak wystąpienia w w \( {\phi} \) oraz \( {\psi} \).
    3. Jeśli formuła jest postaci \( \forall_x \phi \) to wszystkie wystąpienia zmiennej \( \mathrm {x} \) w \( \forall_x \phi \) są związane, a wystąpienia innych zmiennych pozostają takie jak w \( \phi \).

    Przykład 2.10.

    Rozważamy język z przykładu 2.5 (patrz przykład 2.5.)

    1. w formule \( y\times(x+(-3))=x \) wszystkie wystąpienia zmiennych są wolne. Zmienna \( x \) ma dwa wystąpienia a zmienna \( y \) jedno.
    2. w formule \( \forall_x y\times(x+(-3))=x \) wszystkie wystąpienia zmiennej \( y \) są wolne, i wszystkie wystąpienia zmiennej \( x \) są związane     (nadal są tylko dwa wystąpienia \( x \) ponieważ zgodnie z definicją nie liczymy symbolu \( x \) w \( \forall_x \))
    3. w formule \( \forall_x \exists_y y\times(x+(-3))=x \) wszystkie wystąpienia zmiennych \( x \) oraz \( y \) są związane
    4. w formule \( x=2 \Rightarrow \exists_x x=2 \) zmienna \( x \) ma jedno wystąpienie wolne (pierwsze) i jedno związane (drugie).
    5. w formule \( \forall_x (x=2 \Rightarrow \exists_x x=2) \) obydwa wystąpienia zmiennej \( x \) są związane.

    Ćwiczenie2.3

    W podanych poniżej formułach podkreśl wszystkie wolne wystąpienia zmiennych.

    1. \( p(z) \Rightarrow \exists_z p(z) \)
    2. \( \forall_y ((\exists_z q(y,z)) \Rightarrow q(y,z)) \)
    3. \( q(x,y) \Rightarrow \forall_x (q(x,y)\Rightarrow (\forall_y q(x,y))) \)
    4. \( \forall_x \exists_y q(x,y) \Rightarrow \exists_x \forall_y q(x,y) \)
    5. \( (\exists_z p(z)) \Rightarrow (\forall_z q(z,z) \vee \exists_x q(z,x)) \)

    Definicja 2.11.

    Formułę \( {\phi} \) nazywamy domkniętą jeśli żadna zmienna nie ma wolnych wystąpień w \( {\phi} \).

    Ćwiczenie 2.4

    Które z formuł z ćwiczenia 2.3 są domknięte?

    Podstawienia

    Często będziemy w formułach zastępować wystąpienia zmiennych pewnymi termami. Częstym przykładem jest podstawienie w miejsce zmiennej pewnej stałej np. w formule \( \displaystyle \forall_x x+y >x \), wstawiając w miejsce \( \displaystyle y \) stałą \( \displaystyle 1 \), otrzymamy \( \displaystyle \forall_x x+1 >x \).

    Definicja 2.10.

    Przez \( [x arrow t]\phi \) będziemy oznaczać formułę powstałą przez zastąpienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej \( \displaystyle x \) w formule \( \displaystyle \phi \) termem \( \displaystyle t \). Pisząc \( [x arrow t]\phi \) zakładamy również, że w formule \( \displaystyle \phi \) żadna ze zmiennych występujących w termie \( \displaystyle t \) nie ma związanych wystąpień w \( \displaystyle \phi \).

    Aksjomatyka Rachunku Predykatów

    Aksjomatyka Rachunku Predykatów


    Rachunek predykatów podobnie jak klasyczny rachunek zdań może być wprowadzony aksjomatycznie. Pierwsza grupa aksjomatów to aksjomaty klasycznego rachunku zdań. Druga dotyczy kwantyfikatora \( \forall \) oraz jego interakcji z implikacją. Przypomnijmy, że kwantyfikator \( \exists \) traktujemy jako pewien skrót zapisu.

    Definicja 3.1. Schematy aksjomatów rachunku predykatów

    1. (Aksjomaty logiki zdaniowej) Każda formuła pasująca do któregokolwiek z poniższych schematów jest tautologią
    (a) \( (\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi)) \)
    (b) \( (\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi) \Rightarrow ((\phi \Rightarrow \nu) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \psi) ) \)
    (c) \( (\neg \phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow ((\neg \phi \Rightarrow \neg \psi) \Rightarrow \phi) \)
    2. (Aksjomaty dotyczące kwantyfikatora)
    (a) Dla dowolnej formuły \( \phi \) oraz termu \( t \) następująca formuła jest aksjomatem \( \forall_x \phi \Rightarrow (\phi [x arrow t]) \) (uwaga na podstawienie)
    (b) Dla dowolnej formuły \( \phi \) oraz zmiennej \(\mathrm {x} \), która nie ma wolnych wystąpień w \( \phi \) następująca formuła jest aksjomatem \( \phi \Rightarrow \forall_x \phi \)
    (c) Dla dowolnych formuł \( {\phi} \) i \( {\psi} \) aksjomatem jest formuła \( \forall_x(\phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow ((\forall_x \phi)\Rightarrow(\forall_x \psi)) \)

    Poza tym do aksjomatów dorzucamy również wszystkie generalizacje formuł pasujących do powyższych schematów. Generalizacja formuły jest to ta sama formuła poprzedzona blokiem kwantyfikatorów ogólnych - dla dowolej formuły \( \phi \) oraz dowolnych zmiennych \( x_1,\dots,x_k \) formuła \( \forall_{x_1} \dots \forall_{x_k} \phi \) jest generalizacją \( \phi \).

    Podobnie jak w rachunku zdań dowodem formuły \( {\phi} \) nazwiemy ciąg formuł \( \phi_0, \dots, \phi_n \) taki, że \( \phi_n \) jest tym samym napisem co \( {\phi} \) a każda formuła \( \phi_i \) dla \( i < n \) jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie poprzez zastosowanie reguły Modus Ponens z Wykładu 2.

    Definicja 3.2.

    Twierdzeniem rachunku predykatów nazywamy dowolną formułę którą da się dowieść z aksjomatów rachunku predykatów.

    Przykład 3.3.

    Formalne dowody twierdzeń rachunku predykatów są zwykle skomplikowane. Dlatego w rozważanym przykładzie poczynimy kilka uproszczeń. Będziemy się zajmować formułą \( \displaystyle p(t) \Rightarrow \exists_x p(x). \)

    Zamiast dowodzić dokładnie powyższą formułę, dowiedziemy podobny fakt, a mianowicie, że jeśli dołączymy do zbioru aksjomatów formułę \( \displaystyle p(t) \), to będziemy w stanie udowodnić \( \displaystyle \exists_x p(x) \). Twierdzenie o dedukcji, które można znaleźć w wykładzie Logika dla informatyków, mówi, że te podejścia są równoważne.

    W poniższym dowodzie pominiemy również dowód formuły \( \displaystyle \neg \neg \forall_x \neg p(x) \Rightarrow \forall_x \neg p(x) \). Formuła ta pasuje do schematu \( \displaystyle \neg \neg \phi \Rightarrow \phi \). Łatwo więc sprawdzić, że formuła \( \displaystyle \neg \neg \phi \Rightarrow \phi \) jest tautologią klasycznego rachunku zdań, a więc -- w myśl twierdzenia Posta (patrz Wykład 2, Twierdzenie 4.4) -- ma dowód. Po zastąpieniu w tym dowodzie zmiennej \( \displaystyle \phi \) formułą \( \displaystyle \forall_x \neg p(x) \), otrzymamy dowód formuły \( \displaystyle \neg \neg \forall_x \neg p(x) \Rightarrow \forall_x \neg p(x) \).

    Przestawiamy uproszczony dowód formuły \( \displaystyle p(t) \Rightarrow \exists_x p(x) \):

    1. \( \displaystyle \neg \neg \forall_x \neg p(x) \Rightarrow \forall_x \neg p(x) \) (patrz komentarz powyżej)
    2. \( \displaystyle (\forall_x \neg p(x)) \Rightarrow \neg p(t) \) (aksjomat 2a)
    3. \( \displaystyle [(\forall_x \neg p(x)) \Rightarrow \neg p(t)] \Rightarrow ([\neg \neg \forall_x \neg p(x)] \Rightarrow [(\forall_x \neg p(x)) \Rightarrow \neg p(t)]) \) (aksjomat 1a)
    4. \( \displaystyle [\neg \neg \forall_x \neg p(x)] \Rightarrow [(\forall_x \neg p(x)) \Rightarrow \neg p(t)] \) (MP z 2 i 3)
    5. \( \displaystyle ([\neg \neg \forall_x \neg p(x)] \Rightarrow [(\forall_x \neg p(x)) \Rightarrow \neg p(t)]) \Rightarrow [(\neg \neg \forall_x \neg p(x) \Rightarrow \forall_x \neg p(x)) \Rightarrow [(\neg \neg \forall_x \neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)]] \) (aksjomat 1b)
    6. \( \displaystyle (\neg \neg \forall_x \neg p(x) \Rightarrow \forall_x \neg p(x)) \Rightarrow [(\neg \neg \forall_x \neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)] \) (MP z 4 i 5)
    7. \( \displaystyle (\neg \neg \forall_x \neg p(x))\Rightarrow \neg p(t) \) (MP z 6 i 1)
    8. \( \displaystyle p(t) \Rightarrow ([\neg \neg \forall_x \neg p(x)]\Rightarrow p(t)) \) (aksjomat 1a)
    9. \( \displaystyle p(t) \) (dołączyliśmy tę formułę jako aksjomat)
    10. \( \displaystyle [\neg \neg \forall_x \neg p(x)]\Rightarrow p(t) \) (MP z 8 i 9)
    11. \( \displaystyle ([\neg \neg \forall_x \neg p(x)]\Rightarrow p(t)) \Rightarrow [((\neg \neg \forall_x \neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)) \Rightarrow \neg \forall_x \neg p(x)] \) (aksjomat 1c)
    12. \( \displaystyle (\neg \neg \forall_x \neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)) \Rightarrow \neg \forall_x \neg p(x) \) (MP z 10 i 11)
    13. \( \displaystyle \neg \forall_x \neg p(x) \) (MP z 7 i 12)

    Ostatnia formuła to dokładnie \( \displaystyle \exists_x p(x) \) po rozpisaniu skrótu \( \displaystyle \exists \).

    Przykład teorii w rachunku predykatów

    W oparciu o logikę predykatów możemy budować nowe teorie, dokładając inne, tzw. pozalogiczne aksjomaty. W językach wielu teorii pojawia się symbol predykatywny \( =^2 \), mający symbolizować równość. Ponieważ zwykle wymagamy aby te same własności były spełnione dla \( =^2 \), zostały wyodrębnione specjalne aksjomaty dla równości. Aksjomaty, te to wszystkie formuły oraz ich generalizacje odpowiadające poniższym schematom:

    1. \( t=t \), dla każdego termu \( t \)


    2. \( ( t_1=t_1' \wedge \ldots \wedge t_k= t_k' ) \Rightarrow f(t_1,\ldots,t_k) = f(t_1', \ldots,t_k') \), dla dowolnego symbolu funkcyjnego \( f \), oraz dowolnych termów \( t_1,\ldots,t_k, t_1', \ldots, t_k' \), gdzie \( k \) jest ilością argumentów symbolu \( f \)


    3. \( ( t_1=t_1' \wedge \ldots \wedge t_k= t_k' ) \Rightarrow ( p(t_1,\ldots,t_k) \Rightarrow p(t_1', \ldots,t_k') ) \), dla dowolnego symbolu predykatywnego \( p \), oraz dowolnych termów \( t_1,\ldots,t_k, t_1', \ldots, t_k' \), gdzie \( k \) jest ilością argumentów symbolu \( p \)

    Rozważmy język, w którym mamy jeden binarny symbol predykatywny \( =^2 \), jeden symbol stałej \( 0 \) oraz symbole funkcyjne \( s^1, +^2, \times^2 \). Zgodnie z przyjętą konwencją termy i formuły będziemy zapisywać infixowo. Do aksjomatów logicznych, oraz aksjomatów dla równości, dokładamy następujące aksjomaty:

    1. \( \forall_x \forall_y (s(x)=s(y) \Rightarrow x=y) \)
    2. \( \forall_x \neg s(x)=0 \)
    3. \( \forall_x (\neg (x=0) \Rightarrow (\exists_y s(y)=x)) \)
    4. \( \forall_x x+0=x \)
    5. \( \forall_x \forall_y x+s(y)=s(x+y) \)
    6. \( \forall_x x\times 0= 0 \)
    7. \( \forall_x \forall_y x\times s(y)=x \times y+y \)

    Teorią Q nazwiemy wszystkie formuły w ustalonym języku które da się udowodnić z aksjomatów logiki predykatów z dołączonymi aksjomatami równości oraz 1-7. Nietrudno się przekonać, że wszystkie twierdzenia teorii Q są prawdziwe w liczbach naturalnych, przy naturalnej interpretacji występujących symboli (\( s(x) \) interpretujemy jako \( x+1 \)). W następnym wykładzie (patrz Wykład 4) przedstawiamy aksjomatyczną teorię w rachunku predykatów nazywaną teorią mnogości ZFC.

    Modele

    Modele



    Dotychczas wprowadziliśmy rachunek predykatów aksjomatycznie. Zaletą takiego definiowania jest niewielka ilość potrzebnych pojęć. Z drugiej strony jednak dowody z aksjomatów są żmudne i nie sprzyjają budowaniu intuicji. W przypadku rachunku zdań widzieliśmy, że ten sam zbiór formuł można równoważnie zdefiniować za pomocą matrycy Boolowskiej z Wykładu 2. Niestety w przypadku rachunku predykatów nie istnieje taka skończona struktura, która pozwalałaby nam stwierdzać czy formuła jest twierdzeniem. Zobaczymy jednak, że pewne struktury warto rozważać. Mówiąc o modelach będziemy musieli użyć naiwnej teorii zbiorów opisanej w pierwszym rozdziale. Decydujemy się na to nadużycie w celu zdobycia dobrych intuicji i sprawności w posługiwaniu się kwantyfikatorami.

    Przykład 4.1.

    Rozważmy następujące zdanie
    \( \forall_x \exists_y x \prec y \)

    Sytuacja 1.

    Przypuśćmy, że to zdanie mówi o liczbach naturalnych, a \( x \prec y \) jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy liczba \( \mathrm {x} \) jest silnie mniejsza od liczby \( \mathrm {y} \). Wtedy zdanie to powinniśmy uznać za nieprawdziwe, gdyż dla liczby 0 nie istnieje silnie mniejsza liczba naturalna.

    Sytuacja 2.

    Przypuśćmy, że to zdanie mówi o liczbach całkowitych, a \( x \prec y \) jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy liczba \( \mathrm {x} \) jest silnie mniejsza od liczby \( \mathrm {y} \). Wtedy zdanie to powinniśmy uznać prawdziwe. Istotnie, dla każdej liczby całkowitej \( \mathrm {x} \) możemy dobrać liczbę \( \mathrm {y} \) (na przykład równą \( x-1 \)) która jest od niej silnie mniejsza.

    Sytuacja 3.

    Przypuśćmy, że to zdanie mówi o liczbach naturalnych, a \( x \prec y \) jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy liczba \(\mathrm {x} \) jest równa liczbie \( \mathrm {y} \). Wtedy zdanie to powinniśmy uznać prawdziwe (do każdej liczby \( \mathrm {x} \) możemy dobrać liczbę \( \mathrm {y} \) tak aby była równa \( \mathrm {x} \)).

    Powyższe przykłady pokazują różne interpretacje tej samej formuły. Wydaje się również że prawdziwość zdania zmienia się w zależności od interpretacji. Aby mówić o interpretacji danej formuły powinniśmy powiedzieć w jakim zbiorze będziemy interpretować zmienne i stałe (w naszym przykładzie były to kolejno zbiory \( N, Z, N \)) oraz jak interpretujemy symbole funkcyjne i predykatywne (w naszym przykładzie występował jedynie symbol predykatywny \( \prec \) który był interpretowany kolejno jako silna mniejszość, silna mniejszość, równość). Poniżej definiujemy formalnie pojęcie modelu.

    Definicja 4.2. [Model]

    Modelem języka rachunku predykatów nazywamy \( M=(D,I) \), gdzie:

    1. \( D \) - jest niepustym zbiorem (dziedziną).
    2. \( \mathrm {I} \) - jest interpretacją symboli języka taką, że:
    (a) dla symboli stałych: \( I(c)\in D \) (symbole stałych są interpretowane jako elementy dziedziny)
    (b) dla symboli funkcyjnych: \( I(f):D^k \rightarrow D \), gdzie \( \mathrm {k} \) jest ilością argumentów \( \mathrm {f} \) (symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje z potęgi dziedziny w dziedzinę)
    (c) dla symboli predykatów: \( I(p):D^k \rightarrow {0,1} \), gdzie \( k \) jest ilością argumentów \( \mathrm {p} \) (symbole predykatywne są interpretowane jako funkcje przekształcające ciągi elementów z dziedziny w prawdę lub fałsz)

    Definicja 4.3.

    Mówimy, że model \( M \) jest odpowiedni dla formuły \( {\phi} \) jeśli są w nim zdefiniowane interpretacje wszystkich symboli stałych funkcji oraz predykatów występujących w formule \( {\phi} \).

    Zanim ustalimy co to znaczy że formuła jest prawdziwa w modelu zdefiniujemy tzw. wartościowanie zmiennych

    Definicja 4.4.

    Wartościowanie zmiennych modelu \( M=(D,I) \) to funkcja która zmiennym przypisuje wartości dziedziny.
    Jeśli ustalimy już wartościowanie zmiennych w modelu to możemy też mówić o wartościach przyjmowanych przez termy.
    Definicja 4.5. [Wartościowanie termów]

    Przy ustalonym modelu \( M=(D,I) \) wartościowanie zmiennych \( \sigma \) możemy rozszerzyć na wszytekie termy. Oznaczymy je przez \( \hat{\sigma} \). Rozszerzenie definiujemy w następujący sposób

    1. jeśli term \( \mathrm {t} \) jest zmienną, \( \hat{\sigma}(t) = \sigma(t) \)
    2. jeśli term \( \mathrm {t} \) jest stałą, to \( \hat{\sigma}(t)=I(t) \) (stałe wartościujemy zgodnie z interpretacją w modelu)
    3. jeśli term \( \mathrm {t} \) jest postaci \( f(t_0,..,t_n) \), to

    \( \hat{\sigma}(f(t_0,..,t_n))= I(f)(\hat{\sigma}(t_0),..,\hat{\sigma}(t_n)) \)

    czyli aby poznać wartość termu najpierw obliczamy wartości poddtermów a potem obliczamy wartość funkcji odpowiadającej w modelu \( M \) symbolowi \( \mathrm {f} \) na wartościach poddtermów. Funkcję wartościującą termy będziemy często oznaczali tym samym symbolem co wartościowanie zmiennych.

    Przykład 4.6.

    Przypuśćmy, że w rozważanym języku symbol \( o \) jest symbolem stałej, symbole \( s,+,\times \) są symbolami funkcji, symbole \( < ,= \) są symbolami predykatów, \( {x,y,z} \) są zmiennymi. Ustalmy model w którym dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, a symbole są interpretowane zgodnie z ich zwyczajowym znaczeniem (\( \mathrm {s} \) będziemy interpretować jako jednoargumentową funkcję która każdej liczbie przypisuje liczbę większą o jeden, \( o \) interpretujemy jako 0). Jeśli ustalimy ocenę zmiennych tak, że \( \sigma(x)=2, \sigma(y)=3, \sigma(z)=5 \) to

    1. term \( {x+y} \) będzie wartościowany na 5
    2. term \( s(x) \) będzie wartościowany na 3
    3. term \( o \) będzie wartościowany na 0 (zgodnie z interpretacją stałych)
    4 term \( s(o) \times s(z) \) będzie wartościowany na 6

    Definicja 4.7. [Waluacja formuł]

    Zdefiniujemy teraz prawdziwość formuł w ustalonym modelu \( M=(D,I) \) przy ustalonym wartościowaniu zmiennych \( {\sigma} \).

    1. Jeśli formuła jest postaci \( p(t_0,..,t_n) \) (czyli jest formułą atomową), to jest ona prawdziwa wtedy i tylko wtedy jeśli wartością predykatu odpowiadającego w modelu \( M \) symbolowi \( \mathrm {p} \) (czyli \( I(p) \)) na elementach dziedziny odpowiadających termom \( t_0, \dots, t_n \) jest prawdą.
    2. Jeśli formuła jest postaci \( A\Rightarrow B \), to jest ona prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy formuła \( \mathrm {A} \) jest wartościowana na fałsz lub formuła \( B \) jest wartościowana na prawdę (zgodnie z tabelą dla implikacji)
    3. Jeśli formuła jest postaci \( \neg A \) to jest ona prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy formuła \( \mathrm {A} \) jest wartościowana na fałsz (zgodnie z tabelą dla negacji)
    4. Jeśli formuła jest postaci \( \forall_x \; A \), to jest ona prawdziwa jeśli prawdziwe jest \( \mathrm {A} \) i dla każdego wartościowania zmiennych różniącego się od \( {\sigma} \) co najwyżej interpretacją symbolu \( \mathrm {x} \) prawdziwe jest \( \mathrm {A} \).
    5. Jeśli formuła jest postaci \( \exists_x \; A \), to jest ona prawdziwa jeśli istnieje ocena zmiennych różniąca się od \( {\sigma} \) co najwyżej interpretacją symbolu \( \mathrm {x} \) taka, że przy tej ocenie prawdziwe jest \( \mathrm {A} \).

    Interpretacje kwantyfikatorów, jest w gruncie rzeczy bardzo intuicyjna. Formuła \( \forall_x A \) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego elementu dziedziny ,,podstawionego" w miejsce \( \mathrm {x} \) w formule \( \mathrm {A} \) prawdziwa jest formuła \( \mathrm {A} \) (uwaga! podstawiamy jedynie w miejsca wolnych wystąpień \( \mathrm {x} \)). Analogicznie formuła \( \exists_x A \) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taki element dziedziny, który ,,podstawiony" w miejsce \( \mathrm {x} \) w formule \( \mathrm {A} \) uczyni ją prawdziwa. Dotąd rozważaliśmy kwantyfikator \( \exists \) jako skrót pewnego napisu, jednak ze względu na jego naturalną interpretacje zdecydowaliśmy się dodać go do definicji waluacji formuł. W ćwiczeniu 4 pokażemy, że zdefiniowana powyżej waluacja formuł z kwantyfikatorem egzystencjalnym jest zgodna z waluacją zdefiniowanego wcześniej skrótu.

    Przykład 4.8.

    Możemy teraz powiedzieć, że formuła

    \( \forall_y (x < y \vee x=y) \)

    jest prawdziwa w modelu z Przykładu 4.6 przy ocenie zmiennych \( \sigma_1 \) takiej, że \( \sigma_1(x)=0 \), oraz że jest fałszywa w tym samym modelu dla przy ocenie zmiennej \( \sigma_2 \) takiej, że \( \sigma_2(x)=7 \) (bo na przykład wartościując \( \mathrm {y} \) na 3 formuła \( x < y \vee x=y \) nie będzie prawdziwa).

    Istnieją jednak formuły które są prawdziwe w modelu z Przykładu 4.6 niezależnie od oceny zmiennych. Przykładem może być
    \( \forall_y (x < y+x \vee y=o). \)

    Definicja 4.9.

    Formuła \( {\phi} \) jest prawdziwa w modelu \( M \) jeśli jest prawdziwa w tym modelu przy każdej ocenie zmiennych. Mówimy wtedy, że model \( M \) jest modelem formuły \( {\phi} \).

    Ciekawe, że istnieją również formuły które są prawdziwe we wszystkich modelach. Rozważmy formułę

    \( (\forall_x p(x)) \Rightarrow (\exists_x p(x)). \quad \mbox{(4.1)} \)

    Rozważmy dowolny model \( M \) odpowiedni dla powyższej formuły (odpowiedni to znaczy taki który ustala interpretację wszystkich symboli stałychm, funkcji i predykatów występujących w formule, w tym przypadku symbolu predykatywnego \( \mathrm {p} \)). Jeśli w tym modelu nie jest prawdziwa formuła \( (\forall_x p(x)) \) to cała implikacja 4.1 jest prawdziwa a więc wszystkie te modele są modelami formuły 4.1. Pozostają więc do rozważenia te modele w których prawdziwe jest \( (\forall_x p(x)) \). Weźmy dowolny taki model i oznaczmy go przez \( M \). Aby pokazać, że \( (\exists_x p(x)) \) jest prawdziwe w \( M \) wystarczy wskazać że istnieje w dziedzinie taka wartość, że podstawiona w miejsce \( \mathrm {x} \) uczyni predykat oznaczony przez \( \mathrm {p} \) prawdziwym. Formuła \( (\forall_x p(x)) \) jest prawdziwa w \( M \) więc każda wartość podstawiona pod \( \mathrm {x} \) czyni predykat odpowiadający \( \mathrm {p} \) prawdziwym. Ponieważ dziedzina modelu \( M \) zgodnie z definicją 4.2 nie może być pusta więc istnieje przynajmniej jeden element dziedziny. Ponieważ w dziedzinie istnieje przynajmiej jeden element, oraz że formuła \( {p(x)} \) jest prawdziwy niezależnie od tego co podstawimy w miejsce \( \mathrm {x} \), to rzeczywiście istnieje taki element dziedziny, który podstawiony w miejsce \( \mathrm {x} \) uczyni formułę \( {p(x)} \) prawdziwą. A więc formuła \( \exists_x p(x) \) również jest prawdziwa. Wobec tego cała implikacja 4.1 jest prawdziwa w \( M \). Pokazaliśmy więc, że formuła 4.1 jest prawdziwa w każdym modelu.

    Definicja 4.10.

    Formułę rachunku predykatów nazywamy tautologią rachunku predykatów jeśli jest prawdziwa w każdym odpowiednim dla niej modelu .

    Podobnie jak klasycznym rachunku zdań, w rachunku predykatów również tautologie okazują się tym samym co twierdzenia. Mówi o tym następujące klasyczne twierdzenie udowodnione przez Kurta Gödela.

    Formuła rachunku predykatów jest tautologią rachunku predykatów wtedy i tylko wtedy gdy jest twierdzeniem rachunku predykatów.

    Dowód powyższego twierdzenia jest przedstawiony na wykładzie Logika dla informatyków. Zauważmy, że zgodnie z powyższym twierdzeniem aby udowodnić, że formuła nie jest twierdzeniem rachunku predykatów wystarczy wskazać model w którym nie jest prawdziwa.

    Ćwiczenie 4.1

    Rozważmy model \( M \), którego dziedziną będą liczby naturalne, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem \( \mathrm {p} \), który przyjmuje wartość prawdy jeśli pierwszy z jego argumentów dzieli drugi. Napisz formuły które w modelu \( M \) są równowążne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej)

    1. \( \mathrm {x} \) jest równe \( \mathrm {y} \)
    2. \( \mathrm {x} \) jest zerem
    3. \(\mathrm {x} \) jest jedynką
    4. \( \mathrm {x} \) jest liczbą pierwszą
    5. \( \mathrm {x} \) jest kwadratem pewnej liczby pierwszej
    6. \( \mathrm {x} \) jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych
    7. \( \mathrm {x} \) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych
    8. \(\mathrm {x} \) jest potęgą liczby pierwszej
    9. dla każdych dwóch liczb istnieje ich największy wspólny dzielnik
    10. dla każdych dwóch liczb istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotność
    11 liczby \( \mathrm {x} \) i \( \mathrm {y} \) są względnie pierwsze


    Ćwiczenie 4.2

    Rozważmy model \( M \), którego dziedziną będą wszytkie punkty, odcinki i okręgi płaszyczny, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem \( \mathrm {p} \), który przyjmuje wartość prawdy jeśli jego argumenty mają przynajmniej jeden punkt wspólny. Napisz formuły które w modelu \( M \) są równowążne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej)

    1. \( \mathrm {x} \) jest równe \( \mathrm {y} \)
    2. \( \mathrm {x} \) jest nadzbiorem \( \mathrm {y} \)
    3. \( \mathrm {x} \) jest punktem
    4. \( \mathrm {x} \) jest odcinkiem
    5. \( \mathrm {x} \) jest okręgiem
    6. \( \mathrm {x} \) jest równoległe do \( \mathrm {y} \)
    7. \( \mathrm {x} \) i \( \mathrm {y} \) mają dokładenie jeden punkt wspólny
    8. okręgi \( \mathrm {x} \) i \( \mathrm {y} \) są do siebie styczne
    9. okręgi \( \mathrm {x} \) i \( \mathrm {y} \) są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg \( \mathrm {x} \) jest okręgiem wewnętrznym
    10. okręgi \( \mathrm{x} \) i \( \mathrm {y} \) są do siebie zewnętrzenie styczne
    11. punkt \(\mathrm {x} \) jest końcem odcinka \( \mathrm {y} \)
    12. odcinek \(\mathrm {x} \) jest styczny do okręgu \( \mathrm {y} \)
    13. okręgi \( \mathrm{x} \) i \( \mathrm {y} \) mają taką samą średnicę
    14. okrąg \( \mathrm {x} \) ma średnicę mniejszą niż okrąg \( \mathrm {y} \)


    Ćwiczenie 4.3

    Napisz formuły które mówią:

    • każdy odcinek ma dokładnie dwa końce
    • dla każdego okręgu wszystkie jego średnice przecinają się w dokładnie jednym punkcie
    • dla dowolnego odcinka istnieje dłuższy odcinek, który go zawiera
    • dla dowolnych trzech punktów niewspółliniowych istnieje okrąg który przechodzi przez wszystkie trzy punkty
    • istnieją dwa okręgi, które przecinają się w dokładnie 5 punktach.

    Ćwiczenie4.4
    Dla każdej z poniższych formuł znajdź model w którym jest prawdziwa oraz model w którym jest fałszywa

    1. \( \forall_x \forall_y p(x,y) \Rightarrow p(y,x) \)
    2. \( (\forall_x \exists_y p(x,y)) \Rightarrow \exists_y \forall_x p(x,y) \)
    3. \( (\forall_x (p(x)\vee q(x))) \Rightarrow (\forall_x(p(x)) \vee \forall_x q(x)) \)
    4. \( \forall_y [(\forall_x (p(x) \Rightarrow q(x)) \wedge q(y)) \Rightarrow p(z)] \)
    5. \( \forall_x \forall_y(p(x,y) \Rightarrow \exists_z (p(x,z)\wedge p(z,y)) \)

    Ćwiczenie 4.5

    Udowodnij, że w dowolnym ustalonym modelu \( M \) prawdziwe są następujące formuły

    1. \( \forall_x p(x) \Rightarrow (p(c)) \)
    2. \( p(c) \Rightarrow \forall_x p(c) \)
    3. \( \forall_x(p(x) \Rightarrow q(x)) \Rightarrow ((\forall_x p(x))\Rightarrow(\forall_x q (x))) \)
    4. \( \exists_x p(x) \Leftrightarrow \neg \forall_x \neg p(x) \)
    5. \( \neg \forall_x p(x) \Leftrightarrow \exists_x \neg p(x) \)
    6. \( \forall_x r(x, f(x)) \Rightarrow \forall_x \exists_y r(x,y) \)

    Ćwiczenie 4.6

    Rozważmy formułę \( \forall_x (\neg g(x,x) \Leftrightarrow g(b,x)) \) (golibroda \( b \) goli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami). Udowodnij, że nie istnieje model dla powyższej formuły.

    Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach

    Wstęp



    Aksjomatyczna teoria mnogości powstała jako odpowiedź na paradoksy powstające w teorii naiwnej. Jest ona oparta o uzupełniony aksjomatami rachunek predykatów. Aksjomaty to formuły, o których zakładamy, że są prawdziwe. Słowo \( \alpha \xi \iota \omega \mu \alpha \), z którego wywodzi się aksjomat, oznaczało wśród filozofów greckich tezę, która jest oczywista i nie potrzebuje dowodu. Aksjomaty teorii mnogości to formuły, które definiują podstawowe własności zbiorów - przyjmujemy je bez dowodów i w oparciu o nie wyprowadzamy bardziej skomplikowane własności. Dlatego właśnie niezwykle istotne jest, aby aksjomaty były możliwie najprostsze w formie i aby ich "prawdziwość" była oczywista. Przyjęcie złej aksjomatyki może doprowadzić do sytuacji, w której udaje się poprawnie dowodzić twierdzenia zupełnie sprzeczne z intuicją. Aksjomaty to podstawy naszej teorii -- jeśli podstawy są nieodpowiednie, stworzona na nich teoria może być zupełnie nieprzydatna.

    Istnieje wiele różnych aksjomatyzacji teorii mnogości. Aksjomatyka, którą przedstawiamy w tym wykładzie, została zaproponowana, w podstawowej wersji, przez Ernsta Zermelo i uzupełniona później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela. Stąd też pochodzi jej nazwa ZF (aksjomatyka Zermelo-Fraenkla). Jeden spośród aksjomatów prezentowanych w tym wykładzie zasługuje na szczególną uwagę, jest to aksjomat wyboru. Ten pozornie oczywisty aksjomat pociąga za sobą konsekwencje sprzeczne z intuicją. Aksjomat ten często wyróżniany jest z podstawowego zestawu i aksjomatyka bez niego oznaczana jest przez ZF, a z nim przez ZFC (gdzie ostatnia litera pochodzi od nazwy dodatkowego aksjomatu: Axiom of Choice).

    Podstawowe definicje

    Podstawowe definicje


    Aksjomatyczna teoria mnogości jest oparta o rachunek predykatów posługujący się jedynym symbolem predykatowym. Symbol ten jest dwuargumentowy i oznaczamy go przez

    \( \in \)

    Predykat ten jest najczęściej interpretowany w modelu jako symbol przynależności do zbioru. Zbiór, który jest wartością zmiennej po lewej stronie symbolu jest elementem zbioru, który jest wartością zmiennej występującej po prawej.
    Dla ułatwienia posługiwania się formalizmem związanym z aksjomatyczną teorią mnogości używamy wielu skrótów pozwalających na bardziej zwięzłe zapisywanie formuł. Często używany symbol \( \notin \) jest skrótem mówiącym, że dwa elementy nie są ze sobą w relacji \( \in \), to znaczy

    \( x \notin y \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \lnot x\in y. \)

    Kolejny skrót oznaczamy przez \( = \) i definiujemy go w następujący sposób,

    \( x = y \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \forall z ( z\in x\iff z\in y). \)

    Zgodnie z intuicją wyniesioną z naiwnej teorii zbiorów skrót ten definiuje dwa zbiory jako równe, jeśli dla każdego wartościowania zmiennej \( z \) element jest w zbiorze \( x \) wtedy i tylko wtedy, kiedy jest w zbiorze \( y \). Nieformalnie, dwa zbiory są równe jeśli posiadają dokładnie te same elementy. W naszym języku nie mamy możliwości zdefiniowania pojedynczego bytu w modelu, gdyż nie mamy wpływu na to, jak interpretowane są predykaty. Będziemy mówić, że zbiór posiadający daną cechę jest unikalny, jeśli wszystkie zbiory posiadające tą cechę są równe.
    Podobnie do równości jesteśmy w stanie zdefiniować zawieranie, czyli inkluzji zbiorów

    \( x \subset y \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \forall z ( z\in x \Longrightarrow z\in y). \)

    Inkluzja ta spełnia własności, które pochodzą z naiwnej teorii mnogości. Przede wszystkim, dwa zbiory są sobie równe wtedy i tylko wtedy, kiedy jeden jest podzbiorem drugiego, a drugi pierwszego.

    Fakt 2.1.

    Następująca formuła jest prawdziwa w aksjomatycznej teorii mnogości

    \( \forall x \forall y ( x = y \iff x\subset y \land y\subset x). \)

    Dowód

    Zastępując skróty przez odpowiadające im napisy, otrzymujemy:

    \( \forall x \forall y [ \forall z ( z\in x\iff z\in y) \iff \forall z ( z\in x \Longrightarrow z\in y)\land \forall z ( z\in y \Longrightarrow z\in x)]. \)

    Używając podstawowych własności rachunku predykatów, otrzymujemy:

    \( \forall x \forall y [\forall z ( z\in x\iff z\in y) \iff \forall z ( (z\in x \Longrightarrow z\in y)\land ( z\in y \Longrightarrow z\in x))] \)

    i dalej

    \( \forall x \forall y [\forall z ( z\in x\iff z\in y) \iff \forall z (z\in x\iff z\in y)], \)

    co jest tautologią rachunku predykatów.

    W bardzo podobny sposób możemy pokazać, że

    \( \forall x \forall y \forall z (x\subset y \land y\subset z ) \Longrightarrow x\subset z. \)

    Czyli, że zawieranie zbiorów zdefiniowane w rachunku predykatów jest przechodnie.

    Aksjomat zbioru pustego

    Aksjomat zbioru pustego


    Formuły, które daje się udowodnić wyłącznie na gruncie rachunku predykatów nie są interesujące. Aby na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości udało się udowodnić nawet podstawowe fakty, potrzebujemy aksjomatów. Pierwszy aksjomat gwarantuje, oczywiste w naiwnej teorii mnogości, istnienie zbioru pustego.

    Aksjomat zbioru pustego Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem zbioru pustego, jest prawdą

    \( \exists x \forall y\; y\notin x, \)

    a zbiór \( x \) spełniający ten warunek nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez \( \emptyset \).

    Aksjomat zbioru pustego mówi, że istnieje zbiór nieposiadający elementów. Dokładnie, definiująca go formuła mówi, że każdy \( y \) nie należy do \( \emptyset \). Symbol \( \emptyset \) oznacza dokładnie jeden zbiór, czego dowodzą poniższe fakty.

    W następującym fakcie pokażemy, że istnieje nie więcej niż jeden zbiór pusty. Aksjomat zbioru pustego gwarantuje nam istnienie przynajmniej jednego zbioru pustego i w związku z tym zbiór pusty jest dokładnie jeden.

    Fakt 3.1.

    Istnieje co najwyżej jeden zbiór pusty, czyli następująca formuła jest prawdziwa

    \( \forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow x=y. \)

    Dowód

    Niewątpliwie

    \( \forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow (\forall z\,(z\notin x\land z\notin y )) \)

    skąd możemy wnioskować, że

    \( \forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow (\forall z\,z\in x\iff z\in y ) \)

    gdzie prawa strona implikacji jest definicją równości zbiorów. Intuicyjnie dowód przebiega następująco. Dwa zbiory są sobie równe, jeśli każdy element albo należy do obu z nich równocześnie, albo do żadnego. Weźmy dwa zbiory puste i dowolny element. Element ten nie należy do żadnego z tych zbiorów. Wnioskujemy, że zbiory te muszą być sobie równe.

    Aksjomat Pary

    Aksjomat Pary


    Aby aksjomatyczna teoria mnogości była podobna do naiwnej teorii, którą chcemy naśladować, powinna gwarantować istnienie więcej niż jednego zbioru. Niestety, aksjomat zbioru pustego gwarantuje istnienie tylko jednego zbioru. Jednoelementowy model \( \{a\} \), gdzie \( a\notin a \), spełnia aksjomat zbioru pustego. Wprowadzenie następnego aksjomatu gwarantuje istnienie "nieskończonej ilości" zbiorów. Jest to aksjomat mówiący, że dla dowolnych dwóch bytów możemy stworzyć zbiór zawierający je i żadnych innych elementów. Stwierdzenie to jest prawdziwe w naiwnej teorii mnogości i zgodne z intuicją.

    Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem pary, jest prawdą

    \( \forall x \forall y \exists z \forall w\;\ w\in z \iff (w = x\lor w =y). \)

    Zbiór \( z \) którego istnienie gwarantuje ten aksjomat jest oznaczany przez \( \{x,y\} \). W przypadku kiedy \( x=y \) stosujemy skrót \( \{x,x\} = \{x\} \).

    Podobnie jak dowodziliśmy unikalności zbioru pustego, możemy wykazać, że dla ustalonych zbiorów \( x \) i \( y \) istnieje dokładnie jeden zbiór \( \{x,y\} \). Weźmy dwa zbiory \( z_1 \) i \( z_2 \) takie, że dla każdego \( w \) mamy \( w\in z_1 \iff (w=x\lor w = y) \) i \( w\in z_2 \iff (w=z\lor w=y) \). Natychmiast otrzymujemy \( w\in z_1 \iff w\in z_2 \), co dowodzi, że \( z_1=z_2 \) i że dla dowolnych dwóch zbiorów istnieje dokładnie jeden zbiór zawierający wyłącznie te zbiory jako elementy.

    Aksjomat pary razem z aksjomatem zbioru pustego gwarantują, że modele dla aksjomatycznej teorii mnogości zawierają nieskończenie wiele zbiorów. Każdy model zawiera, na mocy aksjomatu zbioru pustego, zbiór pusty oznaczony przez \( \emptyset \). Na mocy aksjomatu pary w modelu istnieje również zbiór \( \{\emptyset\} \) różny od zbioru pustego. Używając aksjomatu pary, jeszcze raz możemy skonstruować następny, różny od poprzednich zbiór \( \{\{\emptyset\}\} \). Tą procedurę możemy powtarzać dowolną ilość razy, konstruując za każdym razem nowy zbiór. Aksjomat pary nie gwarantuje istnienia zbiorów więcej niż dwuelementowych. Na podstawie aksjomatu zbioru pustego posiadamy zbiór zeroelementowy, aksjomat pary gwarantuje istnienie zbiorów jedno- i dwuelementowych.

    Ćwiczenie 4.1

    Skonstruuj model dla dwu pierwszych aksjomatów posiadający wyłącznie zbiory zero, jedno oraz dwuelementowe.


    Aksjomat Sumy

    Aksjomat Sumy



    Aby teoria mnogości mogła się rozwijać, potrzebujemy gwarancji istnienia zbiorów trzy-, cztero- i więcej elementowych. Tę i wiele innych własności gwarantuje aksjomat sumy. Aksjomat ten mówi, że jeśli posiadamy zbiór zbiorów, to można utworzyć nowy zbiór składający się z elementów tych zbiorów. Postać tego aksjomatu jest techniczna, ale w połączeniu z aksjomatem pary pozwala on między innymi stworzyć zbiór równoważny sumie zbiorów z naiwnej teorii mnogości.

    Aksjomat sumy. Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem sumy, jest prawdą
    \( \forall x \exists y \forall z \; (z\in y) \iff (\exists w\; w\in x \land z\in w). \)

    Zbiór \( y \), którego istnienie gwarantuje ten aksjomat oznaczamy przez \( \bigcup x \).

    Aksjomat sumy oznacza, że dla dowolnego zbioru istnieje zbiór składający się dokładnie z elementów elementów tego zbioru. Podobnie jak powyżej bardzo proste rozumowanie gwarantuje, że zbiór \( \bigcup x \) jest unikalny dla każdego \( x \). Aksjomat sumy pozwala nam sumować zbiory w sposób nieco inny niż ten, który dawała naiwna teoria mnogości. Wykażemy kilka podstawowych własności dotyczących sum zbiorów.

    Fakt 5.1.

    Następująca formuła jest prawdą

    \( \bigcup \emptyset = \emptyset. \)

    Dowód

    Dla dowolnego zbioru \( z \) na mocy definicji \( \bigcup\emptyset \) mamy \( z\in\bigcup\emptyset \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( \exists w\; w\in\emptyset \land z\in w \). Ponieważ nic nie należy do zbioru pustego, ten ostatni warunek nigdy nie jest spełniony, co dowodzi, że dla dowolnego \( z \) mamy \( z\notin\bigcup\emptyset \). Natychmiastowym wnioskiem z tego jest, że \( \bigcup\emptyset = \emptyset \), co należało pokazać.

    Kolejny fakt jest nieco bardziej skomplikowany.

    Fakt 5.2. Następująca formuła jest prawdą

    \( \bigcup \{\emptyset\} = \emptyset. \)

    Dowód

    Dla dowolnego zbioru \( z \) na mocy definicji \( \bigcup\{\emptyset\} \) mamy \( z\in\bigcup\{\emptyset\} \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( \exists w\; w\in\{\emptyset\} \land z\in w \). Pierwsza część koniunkcji jest spełniona wtedy i tylko wtedy, kiedy \( w=\emptyset \), ale wtedy druga część koniunkcji \( z\in\emptyset \) jest nieprawdą. Wnioskujemy z tego, że każdego \( z \) mamy \( z\notin\bigcup\{\emptyset\} \) i \( \bigcup\{\emptyset\} = \emptyset \).

    Jeśli jeden zbiór jest podzbiorem drugiego zbioru, to również ich sumy powinny pozostać w takiej samej zależności. Formalnie fakt ten przedstawia się następująco:

    Fakt 5.3.

    Następująca formuła jest prawdą

    \( \forall x \forall y \;x\subset y \Longrightarrow \bigcup x\subset \bigcup y. \)

    Dowód

    Chcemy pokazać, że dla dowolnego \( z \), jeśli \( z\in\bigcup x \), to \( z\in\bigcup y \). Ustalmy dowolne \( z \) takie, że \( z\in\bigcup x \). To implikuje, że istnieje zbiór \( w \) spełniający \( w\in x \) i \( z\in w \). Na mocy założenia mówiącego, że \( x\subset y \) wnioskujemy, że \( w\in y \), a co za tym idzie \( \exists w\; w\in y \land z\in w \), czyli \( z\in\bigcup y \), co należało pokazać.

    Kolejną własność podajemy w formie ćwiczenia.

    Ćwiczenie 5.1

    Wykaż, że dla dowolnego zbioru \( x \) mamy \( x=\bigcup\{x\} \).

    Przy pomocy aksjomatu sumy, posiłkując się aksjomatem pary, możemy zdefiniować sumę zbiorów znaną z naiwnej teorii mnogości. Aby zsumować dwa zbiory \( x \) i \( y \), tworzymy zbiór \( \{x,y\} \), a następnie używamy w stosunku do niego aksjomatu sumy.

    \( x\cup y \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \bigcup\{x,y\}. \) Suma ta posiada identyczne własności jak suma naiwna.

    Fakt 5.4.

    Element występuje w sumie dwóch zbiorów wtedy i tylko wtedy, kiedy występuje w którymś z nich. Formalnie, następująca formuła jest prawdą

    \( \forall x\forall y\forall z \; z\in x\cup y \iff (z\in x \lor z\in y). \)

    Dowód

    Ustalmy dowolne \( x, y \) i \( z \). Dla dowodu implikacji w prawą stronę załóżmy, że \( z\in x\cup y \), to znaczy, że \( z\in \bigcup\{x,y\} \), czyli, że istnieje element \( \{x,y\} \) taki, że \( z \) do niego należy. Tym elementem może być \( x \) lub \( y \), więc \( z\in x \lor z\in y \) -- pokazaliśmy implikację w prawą stronę. Dla dowodu implikacji w drugą stronę zakładamy, że \( z\in x\lor z\in y \). Wtedy niewątpliwie istnieje element \( \{x,y\} \) zawierający w sobie \( z \) i \( z\in\bigcup\{x,y\}=x\cup y \). Dowodzi to implikacji w drugą stronę i równocześnie całego faktu.

    Ćwiczenie 5.2

    Udowodnij następujące własności dotyczące sumy zbiorów. Dla dowolnych zbiorów \( x \), \( y \):

    1. \( x\cup y = y\cup x \),
    2. \( x\subset x\cup y \),
    3. \( y\subset x\cup y \),
    4. \( x\cup x = x \),
    5. \( x\cup \emptyset = x \).

    Aksjomat sumy gwarantuje istnienie zbiorów więcej niż dwuelementowych w modelu. Skończone zbiory składające się z pewnej liczby elementów będziemy oznaczać, podobnie jak zbiory dwuelementowe, używając nawiasów klamrowych. Na przykład czteroelementowy zbiór składający się ze zbiorów \( x,y,z,w \) będzie oznaczany przez \( \{x,y,z,w\} \). Na podstawie aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu pary możemy skonstruować zbiór \( \{\{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\}\}\} \) i otrzymać
    \( \bigcup\{\{\emptyset, \{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\}\}\} = \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\}\} \)

    zbiór czteroelementowy. Rzeczą, której aksjomat sumy nie gwarantuje, jest istnienie zbiorów nieskończonych.

    Ćwiczenie 5.3.

    Skonstruuj model dla trzech pierwszych aksjomatów posiadający wyłącznie zbiory skończone.


    Schemat aksjomatu wyróżniania

    Schemat aksjomatu wyróżniania



    Zanim przejdziemy do wprowadzenia aksjomatu gwarantującego istnienie zbiorów nieskończonych, wprowadzimy jeszcze jeden aksjomat. Zasada zwana Aksjomatem Wyróżniania nie jest, formalnie rzecz biorąc aksjomatem - jest schematem aksjomatu albo rodziną aksjomatów o bardzo podobnej strukturze. Aksjomat ten mówi, że z każdego zbioru możemy wybrać podzbiór elementów spełniających konkretną własność, jeśli tylko własność tę można zdefiniować w języku rachunku predykatów.

    Aksjomat Wyróżniania Dla dowolnej formuły \( \varphi \) nieposiadającej zmiennych wolnych innych niż \( z \) następująca formuła jest prawdą

    \( \forall x \exists y \forall z\; z\in y \iff (z\in x \land \varphi). \)

    Zbiór, którego istnienie gwarantuje ta formuła, jest często oznaczany przez \( \{z\in x\,:\, \varphi\} \).

    W powyższym aksjomacie formuła \( \varphi \) definiuje własność, na podstawie której kwalifikujemy elementy do podzbioru zbioru \( x \). Schemat aksjomatu wyróżniania będziemy nazywać w skrócie aksjomatem wyróżniania. Aksjomat ten jest bardzo ważnym i mocnym narzędziem. Zwróćmy uwagę, że aksjomat ten pozwala nam tworzyć wyłącznie zbiory mniejsze od tych, których istnienie jest wcześniej gwarantowane - oczywistym wnioskiem z definicji jest, że \( \{z\in x\,:\, \varphi\}\subset x \).

    Aksjomat wyróżniania jest nieco kłopotliwy w użyciu w formie zaprezentowanej powyżej. Poniższa własność jest konsekwencją tego aksjomatu, a jest dużo prostsza w zastosowaniach. Dla dowolnej formuły \( \varphi \) nieposiadającej zmiennych wolnych innych niż \( z \) i \( x_1 \) następująca formuła jest prawdą:

    \( \forall x_1 \forall x \exists y \forall z\; z\in y \iff (z\in x \land \varphi). \quad \mbox{(*)} \)

    Powyższa własność wynika z aksjomatu wyróżniania. Dowód tego faktu korzysta z powyżej zdefiniowanych aksjomatów i aksjomatu zbioru potęgowego (który zostanie wprowadzony dalej w tym wykładzie) i jest przedstawiony w wykładzie Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania.

    Rozważmy zbiór \( \bigcup x_1 \), którego istnienie, dla każdego zbioru \( x_1 \), gwarantuje aksjomat sumy. Jest to zbiór takich \( z \), że istnieje \( w \) spełniające \( z\in w\in x_1 \). Mówiąc prościej, jest to zbiór bytów występujących w którymkolwiek z elementów \( x_1 \). Naturalną konsekwencją wydaje się definicja zbioru elementów występujących w każdym z elementów \( x_1 \). Definicja takiego zbioru jest możliwa właśnie dzięki aksjomatowi wyróżniania. Zbiór taki oznaczamy przez \( \bigcap x_1 \) i definiujemy jako

    \( \bigcap x_1 = \{y\in\bigcup x_1\,:\, \forall z\; z\in x_1\Longrightarrow y\in z\}. \)

    Aby wykazać istnienie tego zbioru, korzystamy z konsekwencji aksjomatu wyróżniania \( \mbox{(*)} \) w następującej formie:

    \( \forall x_1 \forall x \exists y \forall z\; z\in y \iff (z\in x \land (\forall w\; w\in x_1\Longrightarrow z\in w)). \)
    Jeśli w powyższej formule zastosujemy \( \bigcup x_1 \) jako \( x \), to otrzymujemy dowód istnienia \( \bigcap x_1 \).

    Naturalnie zbiór \( \bigcap x \) jest podzbiorem zbioru \( \bigcup x \) i co za tym idzie \( \bigcap\emptyset \subset \bigcup \emptyset = \emptyset \), czyli \( \bigcap \emptyset = \emptyset \). Co więcej konstrukcja ta pozwala nam zdefiniować kolejną, znaną z naiwnego podejścia do teorii mnogości, operację
    \( x\cap y \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \bigcap\{x,y\}. \)
    Przecięcie dwóch zbiorów to zbiór tych elementów, które występują w obu zbiorach równocześnie. Rozumując analogicznie do dowodu Faktu 5.4 (patrz fakt 5.4.), można pokazać, że, podobnie jak dla unii, przecięcie ma znaczenie identyczne z tym używanym w naiwnej teorii mnogości:

    \( \forall x\forall y \forall z\; z\in x \cap y \iff (z\in x \land z\in y). \quad \mbox{(+)} \)

    Ćwiczenie 6.1

    Udowodnij następujące własności dotyczące przecięcia zbiorów. Dla dowolnych zbiorów \( x \), \( y \) i \( z \)

    1. \( x\cap y = y\cap x \),
    2. \( x\supset x\cap y \),
    3. \( y\supset x\cap y \),
    4. \( x\cap x = x \),
    5. \( x\cap \emptyset = \emptyset \),
    6. \( x\cap(y\cup z) = (x\cap y)\cup (x\cap z) \),
    7. \( x\cup(y\cap z) = (x\cup y)\cap(x\cup z) \).

    Dowiedziemy teraz prostego faktu dotyczącego przecięć zbiorów. Fakt ten wyrazimy najpierw intuicyjnie, a następnie jako formułę, która będzie prawdziwa w naszej aksjomatyce:

    Fakt 6.1.

    Przecięcie niepustego zbioru \( x \) jest największym pod względem inkluzji zbiorem zawartym w każdym elemencie \( x \). To znaczy, że następująca formuła jest prawdą:

    \( \forall x \; x\neq\emptyset \Longrightarrow ( \forall y\; (\forall z\; z\in x \Longrightarrow y\subset z)\Longrightarrow y\subset \bigcap x) \)

    Dowód

    Ustalmy niepusty zbiór \( x \) i zbiór \( y \) taki, że \( y \) jest podzbiorem każdego elementu \( x \). Weźmy dowolny element zbioru \( y \) i nazwijmy go \( z \). Ponieważ \( y \) jest podzbiorem każdego elementu \( x \), to prawdą jest, że \( \forall w\; w\in x \Longrightarrow z\in w \). Ponieważ zbiór \( x \) nie jest pusty otrzymujemy \( z\in \bigcup x \), a ponieważ \( z \) spełnia formułę powyżej \( z\in \bigcap x \). Pokazaliśmy, że każdy element \( y \) jest elementem \( \bigcap x \), czyli że \( y\subset \bigcap x \), czego należało dowieść.

    Kolejny fakt dowodzi, że, zgodnie z intuicją, przecięcie większej rodziny zbiorów jest mniejsze.

    Fakt 6.2.

    Jeśli zbiór \( x \) jest niepustym podzbiorem zbioru \( y \), to \( \bigcap y \) jest podzbiorem \( \bigcap x \). Równoważnie następująca formuła jest prawdą

    \( \forall x \forall y (x\subset y \land x\neq \emptyset) \Longrightarrow \bigcap y \subset \bigcap x. \)
    Dowód

    Ustalmy zbiór \( x\neq\emptyset \) i zbiór \( y \) spełniające \( x \subset y \). Z definicji zbioru zbioru \( \bigcap y \) wnioskujemy, że \( \bigcap y \) jest podzbiorem każdego elementu zbioru \( y \). Ponieważ \( x\subset y \) zbiór \( \bigcap y \) jest również podzbiorem każdego elementu zbioru \( x \). Stosując Fakt 6.1, natychmiast otrzymujemy, że \( \bigcap y\subset \bigcap x \) -- co należało pokazać.

    Kolejny fakt ilustruje zależność pomiędzy elementami zbioru, jego unią i przecięciem.

    Fakt 6.3.

    Zbiór \( \bigcap x \) jest podzbiorem, a zbiór \( \bigcup x \) nadzbiorem każdego elementu zbioru \( x \). Równoważnie następująca formuła jest prawdziwa:

    \( \forall x\forall y\; y\in x \Longrightarrow \bigcap x\subset y \subset \bigcup x. \)

    Dowód

    Ustalmy dowolne zbiory \( x \) i \( y \) takie, że \( y\in x \). Dla dowodu pierwszej inkluzji ustalmy dowolne \( z\in\bigcap x \). Definicja \( \bigcap x \) implikuje, że \( z \) jest elementem każdego z elementów \( x \), w szczególności \( z\in y \), czyli \( \bigcap x\subset y \).

    Dla dowodu drugiej inkluzji ustalmy dowolne \( z\in y \). Ponieważ istnieje element \( x \), którego \( z \) jest elementem, to \( z\in\bigcup x \). To dowodzi, że \( y\subset \bigcup x \) i druga inkluzja jest dowiedziona.

    Przy pomocy aksjomatu wyróżniania jesteśmy w stanie zdefiniować różnicę dwóch zbiorów. Dla zbiorów \( x \) i \( x_1 \) ich różnica to zbiór elementów, które występują w pierwszym i nie występują w drugim zbiorze. Istnienie zbioru będącego różnicą dwu zbiorów dowodzimy przy użyciu równania (*). Piszemy:
    \( x\setminus x_1 \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \{z\in x\,:\, z\notin x_1\}. \)
    W powyższym przykładzie formuła \( \varphi \) występująca w definicji aksjomatu wyróżniania to \( z\notin x_1 \). Aby umotywować zgodność z intuicją dotyczącą różnicy zbiorów, wykażemy następujący fakt.

    Fakt 6.4.

    Zbiór \( x\setminus y \) jest największym zbiorem zawartym w \( x \) i przecinającym się pusto z \( y \). Równoważnie, następująca formuła jest prawdą

    \( \forall x\forall y \forall z\; (z\subset x \land z\cap y = \emptyset )\Longrightarrow z\subset x\setminus y. \)

    Dowód

    Ustalmy dowolne zbiory \( x,y,z \) takie, że \( z\subset x \land z\cap y = \emptyset \) i dowolne \( w\in z \). Wtedy \( w\in x \), ponieważ \( z\subset x \) i \( w\notin y \), ponieważ \( z\cap y = \emptyset \). To implikuje, że \( w\in x\setminus y \), co należało pokazać.

    Ćwiczenie 6.2

    Udowodnij następujące własności dotyczące różnicy zbiorów. Dla dowolnych zbiorów \( x, y \) i \( z \):

    1. \( x\setminus(x\setminus y) = x\cap y \),
    2. \( x\setminus (y\cap z) = (x\setminus y)\cup (x\setminus z) \),
    3. \( x\setminus y = y \setminus x \Longrightarrow x=y \).

    Aksjomat Nieskończoności

    Aksjomat Nieskończoności

    Następujący aksjomat gwarantuje istnienie zbiorów nieskończonych. Działanie tego aksjomatu jest podobne do działania indukcji matematycznej omawianej wcześniej. Intuicyjnie aksjomat ten gwarantuje nam istnienie przynajmniej jednego zbioru zawierającego wszystkie liczby naturalne. Zbiór taki musi być nieskończony.

    Aksjomat Nieskończoności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem nieskończoności, jest prawdą:

    \( \exists x\; (\emptyset\in x \land (\forall y\; y\in x\Longrightarrow y\cup\{y\}\in x )). \)

    Rozważmy zbiór \( x \), którego istnienie jest gwarantowane przez aksjomat nieskończoności. Niewątpliwie \( \emptyset\in x \). Na podstawie drugiej części definicji wnioskujemy, że \( \emptyset\cup \{\emptyset\}=\{\emptyset\}\in x \). Stosując drugą część definicji raz jeszcze, otrzymujemy dalej \( \{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\in x \). Powtarzając tę operację za każdym razem, otrzymujemy nowy element zbioru \( x \). Intuicyjnie, wymagania stawiane zbiorowi \( x \) w definicji gwarantują, że, na zasadzie podobnej do zasady indukcji matematycznej, będzie on posiadał "nieskończenie" wiele elementów. Zbiór ten może posiadać inne elementy niż te, które udają się skonstruować za pomocą procedury wymienionej powyżej.

    Zbiór, którego istnienie gwarantuje aksjomat nieskończoności, jest używany do konstruowania liczb naturalnych. W konstrukcji liczb naturalnych opartej na liczbach porządkowych wprowadzonych po raz pierwszy przez Johna von Neumanna wyżej wymienione zbiory to kolejne liczby naturalne.

    \( \begin{array} {ll} \text{liczba naturalna zero to zbiór } & \emptyset \\ \text{liczba naturalna jeden to zbiór } & \{\emptyset\} \\ \text{liczba naturalna dwa to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \\ \text{liczba naturalna trzy to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ \text{i tak dalej\dots} & \text{ } \end{array} \)

    W powyższej konstrukcji liczba naturalna to bardzo konkretny zbiór. Zbiór będący liczbą naturalną ma, intuicyjnie mówiąc, tyle elementów, jaka jest wartość tej liczby, choć nie każdy zbiór posiadający tyle elementów jest liczbą naturalną. Wykład 7 jest w całości poświęcony konsekwencjom tego aksjomatu; uzyskany tam zbiór liczb naturalnych jest najmniejszym \( x \) spełniającym warunki aksjomatu nieskończoności.

    Aksjomat Zbioru Potęgowego

    Aksjomat Zbioru Potęgowego

    Aksjomat nieskończoności pozwala nam tworzyć zbiory nieskończone. Dzięki poniższemu aksjomatowi możemy tworzyć zbiory wszystkich podzbiorów danego zbioru. Jak będzie to przedstawione w wykładzie: "Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum", tworzenie zbioru składającego się z wszystkich podzbiorów danego zbioru jest prostym sposobem na tworzenie jeszcze liczniejszych zbiorów. W wykładzie tym wykażemy, że nawet dla zbiorów nieskończonych zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru jest liczniejszy niż sam zbiór.

    Aksjomat Zbioru Potęgowego Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem zbioru potęgowego, jest prawdą:

    \( \forall x \exists y \forall z \; z\in y \iff z\subset x. \)

    Zbiór potęgowy \( y \), którego istnienie gwarantuje ten aksjomat, oznaczamy przez \( \mathcal{P}(x) \) lub przez \( 2^x \).

    Aksjomat zbioru potęgowego gwarantuje, że dla każdego zbioru \( x \) istnieje zbiór \( \mathcal{P}(x) \) zawierający wyłącznie wszystkie podzbiory \( x \). Bardzo łatwo zauważyć, że dla dowolnego zbioru \( x \) mamy \( \emptyset\in\mathcal{P}(x) \) oraz \( x\in\mathcal{P}(x) \). Oznaczanie zbioru potęgowego przez \( 2^x \) ma głębsze znaczenie, które zostanie przedstawione w zbiór funkcji \( x^y \). Na razie możemy jedynie dla zbiorów skończonych odpowiedzieć na dwa pytania:

    Ćwiczenie 8.1

    Czy następujące fakty są prawdziwe:

    1. Jeśli \( x \) jest skończonym, \( n \)-elementowym zbiorem, to \( \mathcal{P}(x) \) posiada dokładnie \( 2^n \) elementów?
    2. Jeśli \( x \) jest zbiorem będącym liczbą naturalną (oznaczmy ją nieformalnie jako \( n \)), to zbiór \( \mathcal{P}(x) \) jest zbiorem będącym liczbą naturalną oznaczoną nieformalnie jako \( 2^n \)?


    Wykażemy kilka prostych faktów dotyczących zbiorów potęgowych.

    Fakt 8.1.

    Dla dowolnego zbioru \( x \) mamy \( x=\bigcup \mathcal{P}(x) \), ale istnieje taki zbiór, że \( \mathcal{P}(\bigcup x)\neq x \).

    Dowód

    Dla dowodu równości \( x=\bigcup\mathcal{P}(x) \), ustalmy dowolne \( z\in x \). Wnioskujemy, że \( z\in\{z\}\in\mathcal{P}(x) \) i w związku z tym \( z\in\bigcup\mathcal{P}(x) \), czyli \( x\subset\bigcup\mathcal{P}(x) \). Dla dowodu inkluzji w drugą stronę ustalamy \( z\in\bigcup\mathcal{P}(x) \). To oznacza, że istnieje \( y\in\mathcal{P}(x) \) takie, że \( z\in y \). To z kolei implikuje, że \( z\in y\subset x \), czyli \( z\in x \) i \( \bigcup\mathcal{P}(x)\subset x \). Oba te fakty razem dowodzą, że \( x=\bigcup\mathcal{P}(x) \), co dowodzi pierwszej części tezy. Zbiór \( x \), dla którego \( \mathcal{P}(\bigcup x)\neq x \), to zbiór \( \{\{\emptyset\}\} \). Zbiór

    \( \mathcal{P}(\bigcup\{\{\emptyset\}\})= \mathcal{P}(\{\emptyset\}) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\neq \{\{\emptyset\}\}, \)

    co potwierdza fakt, że istnieją zbiory, dla których \( \mathcal{P}(\bigcup x)\neq x \).

    Kolejny fakt dowodzi, że inkluzja przenosi się na zbiory potęgowe.

    Fakt 8.2.

    Większe zbiory mają więcej podzbiorów, czyli następująca formuła jest prawdą:

    \( \forall x\forall y\; x\subset y\Longrightarrow \mathcal{P}(x)\subset\mathcal{P}(y). \)

    Dowód
    Aby dowieść faktu, ustalamy dowolne \( x \), \( y \) takie, że \( x\subset y \) oraz dowolne \( z \) takie, że \( z\in\mathcal{P}(x) \). To implikuje, że \( z\subset x \) i korzystając z założenia, otrzymujemy \( z\subset x\subset y \), co oznacza, że \( z\in\mathcal{P}(y) \).

    Następujące własności zbiorów potęgowych przedstawiamy w formie ćwiczeń

    Ćwiczenie 8.2

    Dla dowolnego zbioru \( x \) zachodzi \( x\subset \mathcal{P}(\bigcup x) \).

    Ćwiczenie 8.3

    Jakie implikacje zachodzą pomiędzy dwoma warunkami \( \bigcup x\subset x \) i \( x\subset \mathcal{P}(x) \).

    Ćwiczenie 8.4

    Czy następujące równości są prawdziwe dla dowolnych zbiorów \( x \) i \( y \)?

    1. \( \mathcal{P}(\bigcup(x\cap y))= \mathcal{P}(\bigcup x)\cap\mathcal{P}(\bigcup y) \),
    2. \( \bigcap\mathcal{P}(x\cap y) = \bigcap\mathcal{P}(x)\cap\bigcap\mathcal{P}(y) \).

    Schemat Aksjomatu Zastępowania

    Schemat Aksjomatu Zastępowania


    Kolejnym aksjomatem lub raczej schematem aksjomatu jest aksjomat zastępowania. Aksjomat ten, wraz z aksjomatem zbioru pustego, implikuje aksjomat wyróżniania i dlatego aksjomat wyróżniania jest często omijany w liście aksjomatów. Intuicyjna interpretacja tego aksjomatu jest następująca. Jeśli pewna własność, opisana formułą, ma cechy funkcji, to obrazem każdego zbioru, względem tej własności, jest również zbiór.

    Aksjomat Zastępowania Dla dowolnej formuły \( \varphi \) nieposiadającej zmiennych wolnych innych niż \( w \) i \( v \) następująca formuła jest prawdą:

    \( (\forall w \exists u \forall v\; \varphi \Longrightarrow u=v) \Longrightarrow (\forall x \exists y\forall v\; (v\in y \iff \exists w\; w\in x \land \varphi)) \)

    Aksjomat zastępowania posiada specyficzną formę. Istnienie zbioru \( y \) jest zagwarantowane pod warunkiem, że formuła \( \varphi \) spełnia wymaganą własność. Formuła \( \varphi \) musi działać jak "funkcja częściowa", to znaczy, że jeśli jest spełniona dla zbiorów \( w,v \), to nie może być prawdą dla żadnych innych zbiorów \( w,v' \). Nieformalnie, formuła \( \varphi \) przyporządkowuje jednoznacznie pewnym zbiorom inne zbiory. Pod tym warunkiem istnieje zbiór bytów przyporządkowany bytom z danego zbioru \( x \). Zupełnie nieformalnie możemy stwierdzić, że dla zdefiniowanej formułą częściowej funkcji, jeśli jako dziedzinę weźmiemy dowolny zbiór \( x \), to przeciwdziedzina tej funkcji również jest zbiorem.

    Aksjomat zastępowania nie był jednym z aksjomatów zaproponowanych przez Ernsta Zermelo. Został on dodany później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela i jest stosowany obecnie jako część aksjomatyki, którą nazywamy potocznie ZF. Pokażemy teraz, że aksjomat zastępowania implikuje aksjomat wyróżniania.

    Rozpoczynając dowód, ustalamy \( x \) i \( \varphi \), do których chcielibyśmy zastosować aksjomat wyróżniania. Jedyną zmienną wolną w \( \varphi \) jest \( z \) i aksjomat wyróżniania gwarantuje istnienie zbioru \( y \) będącego podzbiorem \( x \) i składającego się dokładnie z tych elementów, dla których \( \varphi \) jest prawdą. Aby istnienie zbioru \( y \) zostało zagwarantowane przez aksjomat zastępowania, musimy zmienić formułę \( \varphi \). Nowa formuła \( \varphi' \) wygląda następująco

    \( \exists z\; \varphi \land z=w=v. \)

    Formuła \( \varphi' \) posiada dwie zmienne wolne \( w \) i \( v \) i spełnia warunek jednoznaczności, gdyż jeśli jest prawdą dla \( w \) i \( v \), to niewątpliwie \( w=v \). Co więcej formuła jest prawdą dla wyłącznie tych \( w=v \), dla których \( \varphi \) jest prawdą przy założeniu, że \( z=w=v \). Stosując aksjomat zastępowania dla tego samego \( x \), dla którego chcielibyśmy stosować aksjomat wyróżniania, otrzymujemy zbiór tych \( v \), dla których \( \varphi' \) jest prawdą dla pewnego \( w\in x \). Ale skoro tak, to \( w=z=v \) i \( \varphi \) jest prawdą dla \( z \), co dowodzi, że otrzymaliśmy dokładnie ten sam zbiór. Dowiedliśmy, że aksjomat zastępowania implikuje aksjomat wyróżniania.

    Aksjomat Regularności

    Aksjomat Regularności


    W skład zestawu aksjomatów zaproponowanych przez Ernsta Zermelo i uzupełnionych później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela wchodzą dodatkowe dwa aksjomaty. Pierwszym z nich jest aksjomat regularności.

    Aksjomat Regularności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem regularności, jest prawdą:

    \( \forall x\; (x\neq\emptyset \Longrightarrow \exists y\; (y\in x \land y\cap x = \emptyset )). \)

    (Zwróćmy uwagę, że występujący w formule napis \( y\cap x =\emptyset \), można zastąpić równoważnym napisem \( \neg \exists z\; z \in y \wedge z \in x \), unikając tym samym symbolu \( \cap \). ) Aksjomat regularności nazywamy czasem aksjomatem ufundowania. Gwarantuje on, że zbiory budowane są zgodnie z intuicją. Mówi, że każdy zbiór posiada element przecinający się pusto z nim samym. W szczególności, używając aksjomatu regularności możemy pokazać, że żaden zbiór nie zawiera samego siebie.

    Fakt 10.1.

    Żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem, równoważnie, następująca formuła jest prawdziwa:

    \( \forall x\; x\notin x. \)

    Dowód

    Dla dowodu niewprost załóżmy, że nasz fakt jest nieprawdziwy i ustalmy \( x \) takie, że \( x\in x \). Na podstawie aksjomatu pary możemy stworzyć zbiór \( \{x\} \). Istnienie takiego zbioru przeczy jednak aksjomatowi regularności, ponieważ jedynym elementem \( \{x\} \) jest \( x \) i \( \{x\}\cap x \neq \emptyset \), ponieważ \( x\in \{x\}\cap x \). Sprzeczność z aksjomatem w dowodzie niewprost gwarantuje, że fakt jest prawdziwy.

    Aksjomat Wyboru

    Aksjomat Wyboru


    Ostatnim aksjomatem jest aksjomat wyboru. Jest to aksjomat, który wywołał dużą liczbę kontrowersji. Wielu znakomitych matematyków początku XX wieku uważało, że nie należy go dopuścić do zestawu podstawowych aksjomatów. W chwili obecnej większość matematyków uważa, że aksjomat wyboru jest prawdziwy, nawet jeśli jego konsekwencje są bardzo nieintuicyjne. System aksjomatów przedstawionych powyżej oznaczamy przez ZF -- skrót pochodzący od pierwszych liter nazwisk jego twórców. Zestaw aksjomatów z przedstawionym poniżej aksjomatem wyboru oznaczamy przez ZFC, gdzie C jest symbolicznym zapisem dodatkowego aksjomatu (Axiom of Choice). Prezentujemy poniżej jedną z wielu równoważnych postaci aksjomatu.

    Aksjomat Wyboru. Następująca formuła jest prawdziwa:

    \( \forall x\ ( \emptyset\notin x\land \forall y\forall z\ (z\in x\land y\in x) \Longrightarrow (z=y \lor z\cap y = \emptyset))\Longrightarrow \exists w \forall v\ (v \in x \Longrightarrow \exists u\ v\cap w=\{u\}) \)

    Aksjomat wyboru mówi, że jeśli \( x \) jest zbiorem nie zawierającym zbioru pustego oraz takim, że każde dwa jego elementy są rozłączne, to istnieje zbiór \( w \), który z każdym z elementów \( x \) ma dokładnie jeden element wspólny. Intuicyjnie znaczy to, że mając rodzinę rozłącznych zbiorów, możemy stworzyć zbiór, wybierając po jednym elemencie z każdego zbioru.

    Własność gwarantowana przez aksjomat wyboru może wydawać się intuicyjnie oczywista. Niestety konsekwencje, jakie pociąga za sobą przyjęcie tego aksjomatu, zniechęciły wielu matematyków. Jedną z konsekwencji aksjomatu wyboru jest twierdzenie znane jako Paradoks Banacha-Tarskiego - nie jest to sprzeczność logiczna jak paradoks Bertrandta Russella, a jedynie bardzo nieintuicyjny fakt. Twierdzenie to mówi, że trójwymiarową kulę można podzielić na sześć części, z których, za pomocą obrotów i translacji, da się skonstruować dwie kule identyczne z tą pierwszą.

    Podsumowanie

    Podsumowanie



    Wszystkie dowody pojawiające się w kolejnych wykładach bazują na aksjomatyce ZF lub ZFC. Część dowodów przedstawionych podczas pozostałych wykładów nie korzysta z aksjomatu wyboru. Z kontekstu, w jakim są prezentowane, jest oczywiste, czy dany dowód wymaga, czy też nie wymaga tego aksjomatu.

    Iloczyn kartezjański i relacje

    Para uporządkowana

    Para uporządkowana



    Bardzo często będziemy chcieli mieć do czynienia ze zbiorem, który niesie w sobie informację o dwóch innych zbiorach, informację tak trafnie zakodowaną, aby można było odzyskać z niej każdą z jego składowych. Do tego celu wprowadzimy zbiór nazywany parą uporządkowaną dwóch innych zbiorów.

    Definicja 1.1.

    Niech \( \displaystyle x \) oraz \( \displaystyle y \) będą zbiorami. Przez parę uporządkowaną \( \displaystyle (x,y) \) rozumiemy zbiór

    \( \displaystyle \{ \{x\}, \{x,y\}\} \)

    Parę uporządkowaną można zdefiniować inaczej na wiele sposobów. Chodzi jednak o to, aby ze zbioru, który jest parą, można było odzyskać jednoznacznie każdą z jego składowych. Tak więc moglibyśmy zaakceptować każdą inną inną definicję pod warunkiem, że będzie spełnione następujące twierdzenie:

    Twierdzenie 1.2.

    Dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle a,b,c,d \) zachodzi:

    \( \displaystyle (a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a=c \hspace {0.1mm} \wedge b= d \)

    Dowód

    Dowód przeprowadzimy tylko ze strony lewej do prawej, bo w odwrotnym kierunku jest to fakt oczywisty. Niech zatem dwie pary \( \displaystyle (a,b) \) i \( \displaystyle (c,d) \) będą równe. Ponieważ \( \displaystyle \{a\} \in (a,b) \), więc \( \displaystyle \{a\} \in (c,d) \). Mamy zatem \( \displaystyle \{a\} = \{c\} \) lub \( \displaystyle \{a\} = \{c,d\} \). W pierwszym przypadku \( \displaystyle a=c \), ale w drugim również jest tak, mamy bowiem, że \( \displaystyle c \in \{a\} \). Pierwszą część twierdzenia mamy za sobą, bo już wiemy, że pierwsze współrzędne równych par są równe.

    \( \displaystyle (a,b) = (a,d). \)

    Następnie przeprowadzamy dowód przez przypadki. Jeżeli jest tak, że \( \displaystyle a=b \), to \( \displaystyle (a,b)=\{\{a\}\} \). Zatem \( \displaystyle \{\{a\}\} = \{\{a\},\{a,d\}\} \), co daje, że \( \displaystyle \{a,d\}=\{a\} \), a zatem \( \displaystyle d=a \). W przeciwnym przypadku, gdy \( \displaystyle a \neq b \) mamy, że \( \displaystyle \{a,b\} \in \{\{a\},\{a,d\}\} \). Daje to dwie możliwości albo \( \displaystyle \{a,b\} = \{a\} \), co nie może mieć miejsca, bo mielibyśmy, że \( \displaystyle a=b \) albo zaś \( \displaystyle \{a,b\} = \{a,d\} \). To drugie prowadzi do naszej tezy \( \displaystyle b=d \).

    Ćwiczenie 1.3

    Dla każdej pary \( \displaystyle x=(a,b) \) udowodnij, że

    \( \displaystyle \bigcap \bigcap x= a. \)

    Ćwiczenie 1.4

    Udowodnij, że dla dowolnej pary uporządkowanej \( \displaystyle x \) zbiór

    \( \displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) \)

    jest pusty, gdy współrzędne par są różne, a w przeciwnym przypadku jest zbiorem jednoelementowym zawierającym współrzędną pary \( \displaystyle x \).

    Ćwiczenie 1.5

    Pokaż, że z każdej pary \( \displaystyle x \) można otrzymać jej drugą współrzędną, posługując się jedynie parą \( \displaystyle x \), mnogościowymi operacjami \( \displaystyle \bigcup, \bigcap, \cup,\cap,\setminus,\mathcal{P}() \) oraz stałą \( \displaystyle \emptyset \).


    Iloczyn kartezjański

    Iloczyn kartezjański


    Zanim wprowadzimy definicję zbioru wszystkich par uporządkowanych elementów dwóch zbiorów (zwanego dalej iloczynem kartezjańskim), należy nam się krótkie wprowadzenie. Otóż niech \( \displaystyle x\in X \) oraz \( \displaystyle y \in Y \). Łatwo zauważyć, że zarówno \( \displaystyle \{x,y\} \), jak i \( \displaystyle \{x\} \) są podzbiorami \( \displaystyle X \cup Y \). Zatem \( \displaystyle \{x,y\} \in \mathcal{P} (X \cup Y) \) oraz \( \displaystyle \{x\} \in \mathcal{P} (X \cup Y) \). Więc \( \displaystyle \{\{x\},\{x,y\}\} \subseteq \mathcal{P} (X \cup Y) \), co daje, że \( \displaystyle (x,y) \in \mathcal{P} (\mathcal{P} (X \cup Y)) \).

    Istnienie i konstrukcja iloczynu kartezjańskiego zostało dokładnie omówione w dodatkowym rozdziale "Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania". Proponuję przestudiowanie dodatkowego rozdziału dopiero po zapoznaniu się z rozdziałami wcześniejszymi, pomimo braku precyzji w następnej definicji.

    Definicja 2.1.

    Niech \( \displaystyle x,y \) będą zbiorami. Iloczynem kartezjańskim (produktem) \( \displaystyle x \times y \) nazywamy zbiór

    \( \displaystyle \{z\in \mathcal{P}( \mathcal{P}( x \cup y)): \exists_{a \in x} \exists_{b \in y} \;\; (a,b) =z\}. \)

    Będziemy używać specjalnej notacji \( \displaystyle x^2 \) na zbiór \( \displaystyle x \times x \).

    Ćwiczenie 2.2

    Pokaż następujące elementarne własności iloczynu kartezjańskiego:

    \( \displaystyle \begin{align*} x \times \emptyset & = \emptyset \quad \mbox{(2.1)} \\ x \times (y \cup z) & = (x \times y) \cup (x \times z) \quad \mbox{(2.2)} \\ x \times (y \cap z) & = (x \times y) \cap (x \times z) \quad \mbox{(2.3)} \\ x \times (y \setminus z) & = (x \times y) \setminus (x \times z) \quad \mbox{(2.4)} \end{align*} \)

    Ćwiczenie 2.3

    Produkt kartezjański \( \displaystyle \times \) jest monotoniczny ze względu na każdą współrzędną osobno, to znaczy:

    \( \displaystyle \begin{align*} x \subset y & \hspace {0.1mm} \Rightarrow & (x \times z) \subset (y \times z) \quad \mbox{(2.5)} \\ x \subset y & \hspace {0.1mm} \Rightarrow & (z \times x) \subset (z \times y) \quad \mbox{(2.6)} \end{align*} \)

    Ćwiczenie 2.4

    Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle A,B,C \), prawdziwa jest następująca implikacja:

    \( \displaystyle A\times B = A\times C \Rightarrow B=C \)

    Relacje

    Relacje



    Definicja 3.1.

    Relacją nazywamy każdy podzbiór iloczynu \( \displaystyle x \times y \).

    Operacje na relacjach:

    Definicja 3.2.

    Niech \( \displaystyle R \subset A \times B \) oraz \( \displaystyle S \subset B \times C \).

    \( \displaystyle S \circ R  := \{(x,z)\in A \times C : \exists_{y\in B} (x,y)\in R \hspace {0.1mm} \wedge (y,z)\in S \} \)

    \( \displaystyle R^{-1} := \{(y,x)\in B \times A : \;\; (x,y)\in R \} \)
    \( \displaystyle R_L := \{x\in A : \exists_{y\in B} \;\; (x,y) \in R\} \)
    \( \displaystyle R_P := \{y\in B : \exists_{x\in A} \;\; (x,y) \in R\} \)

    Ćwiczenie 3.3

    Niech relacja \( \displaystyle R \subset A \times B, S \subset B \times C \) oraz \( \displaystyle T \subset C \times D \). Pokazać elementarne własności operacji na relacjach:

    \( \displaystyle \begin{array}{rllll} T \circ ( S \circ R ) & = & (T \circ S)\circ R \quad \mbox{(3.1)} \\ (S \circ R )^{-1} & = & R^{-1} \circ S^{-1} \quad \mbox{(3.2)} \\ R & \subset & R_L \times R_P \quad \mbox{(3.3)} \\ (S \circ R)_L & \subset & R_L \quad \mbox{(3.4)} \\ (S \circ R)_P & \subset & S_P \quad \mbox{(3.5)} \\ (R^{-1} )_L & = & R_P \quad \mbox{(3.6)} \end{array} \)

    Ćwiczenie 3.4

    Niech relacja \( \displaystyle R \subset B \times C,\; S \subset B \times C \) oraz \( \displaystyle T \subset A \times B \). Pokaż własności:

    \( \displaystyle \begin{array}{rlllll} (R \cup S )^{-1} & = & R^{-1} \cup S^{-1} \quad \mbox{(3.7)} \\ (R \cap S )^{-1} & = & R^{-1} \cap S^{-1} \quad \mbox{(3.8)} \\ (R^{-1})^{-1} & = & R \quad \mbox{(3.9)} \\ (R \cup S ) \circ T & = & (R \circ T) \cup (S \circ T) \quad \mbox{(3.10)} \\ (R \cap S ) \circ T & \subset & (R \circ T) \cap (S \circ T) \quad \mbox{(3.11)}\end{array} \)

    Ćwiczenie 3.5

    Podaj przykład relacji, dla których poniższa równość nie jest prawdziwa.

    \( \displaystyle (R \cap S ) \circ T = (R \circ T) \cap (S \circ T). \)

    Niech \( \displaystyle R=\{(1,3)\}, S= \{(2,3)\}, T=\{(0,1),(0,2)\} \), wtedy

    1. \( \displaystyle R\cap S=\emptyset \), więc \( \displaystyle (R\cap S)\circ T=\emptyset \).
    2. \( \displaystyle T\circ R =\{(0,3)\} \) i \( \displaystyle T \circ S=\{0,3\} \), a więc \( \displaystyle (R \circ T) \cap (S \circ T) =\{0,3\} \)

    Ćwiczenie 3.6

    Udowodnij, że zbiór \( \displaystyle A \) jest relacją wtedy i tylko wtedy, gdy

    \( \displaystyle A \subset (\bigcup \bigcup A) \times (\bigcup \bigcup A). \)

    Relacje równoważności

    Relacje równoważności


    W tym podrozdziale poznamy ważną klasę (zbiór) relacji zwaną klasą relacji równoważności(w innych podręcznikach mogą się państwo spotkać z nazwą relacja abstrakcji). Relacje takie będą służyły do definiowania pojęć abstrakcyjnych, o czym przekonamy się w wielu miejscach tego i innych wykładów. Bardzo dobrym ćwiczeniem pokazującym abstrakcyjne metody definiowania pojęć będzie wykład 8 "Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek", w którym zaprzęgniemy relacje abstrakcji do definiowania liczb.

    Rozpoczynamy rozdział od koniecznej definicji.

    Definicja 4.1.

    Dla zbioru \( \displaystyle X \) definiujemy relację \( \displaystyle 1_X \subset X \times X \) jako \( \displaystyle \{ z \in X \times X : \exists_{x\in X} \;\; (x,x)=z \} \).

    Definicja 4.2.

    Relację \( \displaystyle R \subset X \times X \) nazywamy relacją równoważnością o polu \( \displaystyle X \), jeżeli:

    • zawiera relacje \( \displaystyle 1_X \) (zwrotność \( \displaystyle R \)),
    • \( \displaystyle R^{-1} \subset R \) (symetria \( \displaystyle R \)),
    • \( \displaystyle R \circ R \subset R \) (przechodniość \( \displaystyle R \)).

    Ćwiczenie 4.3

    Pokazać, że definicje zwrotności, symetryczności i przechodniości relacji o polu \( \displaystyle X \) są odpowiednio równoważne następującym własnościom:

    • \( \displaystyle \forall_{ x\in X} (x,x) \in R \),
    • \( \displaystyle \forall_{ x,y \in X} (x,y) \in R arrow (y,x) \in R \),
    • \( \displaystyle \forall_{ x,y,z\in X} (x,y)\in R \wedge (y,z) \in R arrow (x,z)\in R \).

    Definicja 4.4.

    Niech \( \displaystyle R \) będzie relacją równoważności o polu \( \displaystyle X \). Klasą równoważności elementu \( \displaystyle x\in X \) jest zbiór

    \( \displaystyle [x]_R := \{y \in X : (x,y) \in R\}. \)

    Definicja 4.5.

    Zbiór klas równoważności relacji \( \displaystyle R \) będący elementem zbioru \( \displaystyle \mathcal{P} ( \mathcal{P} (X \times X)) \) oznaczamy przez \( \displaystyle X/R \).

    Twierdzenie 4.6.

    Niech \( \displaystyle R \) będzie relacją równoważności o polu \( \displaystyle X \). Następujące warunki są równoważne:

    1. \( \displaystyle [x]_R \cap [y]_R \neq \emptyset \),
    2. \( \displaystyle [x]_R = [y]_R \),
    3. \( \displaystyle (x,y) \in R \).

    Dowód

    Pokażemy, że \( \displaystyle (1)arrow (2) \). Niech wspólny element dwóch klas \( \displaystyle [x]_R \) oraz \( \displaystyle [y]_R \) nazywa się \( \displaystyle z \). Ze względu na pełną symetrię tezy wystarczy pokazać, że \( \displaystyle [x]_R \subseteq [y]_R \). Niech zatem \( \displaystyle p\in [x]_R \). Mamy więc \( \displaystyle (x,p) \in R \). Z założenia jest również \( \displaystyle (y,z) \in R \) oraz \( \displaystyle (x,z) \in R \). Z symetrii otrzymujemy \( \displaystyle (z,x) \in R \). Zatem \( \displaystyle (y,z) \in R \) i \( \displaystyle (z,x) \in R \) i \( \displaystyle (x,p) \in R \). Natychmiast z przechodniości otrzymujemy, że \( \displaystyle (y,p) \in R \).
    Pokażemy, że \( \displaystyle (2)arrow (3) \). Ze zwrotności mamy, że \( \displaystyle y\in [y]_R \), co z założenia \( \displaystyle (2) \) daje \( \displaystyle y\in [x]_R \), a to tłumaczy się na \( \displaystyle (x,y) \in R \). Pokażemy, że \( \displaystyle (3)arrow (1) \). Wystarczy pokazać, że wspólnym elementem klas \( \displaystyle [x]_R \) oraz \( \displaystyle [y]_R \) jest \( \displaystyle y \). Dla pierwszej z nich wynika to z założenia \( \displaystyle (3) \), a dla drugiej ze zwrotności \( \displaystyle R \).

    W następnym twierdzeniu zobaczymy, jak rodzina relacji równoważności jest odporna na przecinanie. Pokażemy mianowicie, że przecięcie dowolnej liczby relacji równoważności jest nadal relacją równoważności.

    Twierdzenie 4.7.

    Niech \( \displaystyle \kappa \neq \emptyset \) będzie pewną rodziną (zbiorem) relacji równoważności o tym samym polu \( \displaystyle X \). Mamy że:

    1. \( \displaystyle \bigcap \kappa \) jest relacją równoważności o polu \( \displaystyle X \),
    2. \( \displaystyle [x]_{ \bigcap \kappa } = \bigcap \{[x]_R : R\in \kappa\} \).

    Dowód
    \( \displaystyle (1) \) Zwrotność \( \displaystyle \bigcap \kappa \) jest oczywista, ponieważ \( \displaystyle 1_X \) zawiera się w każdej relacji rodziny \( \displaystyle \kappa \). Symetria. Weźmy \( \displaystyle (x,y)\in \bigcap \kappa \). Dla każdej relacji \( \displaystyle R\in\kappa \) jest \( \displaystyle (x,y)\in R \). Z symetrii każdej \( \displaystyle R \) jest więc \( \displaystyle (y,x)\in R \), co daje \( \displaystyle (y,x)\in \bigcap \kappa \). Przechodniość. Niech \( \displaystyle (x,y)\in \bigcap \kappa \) oraz \( \displaystyle (y,z)\in \bigcap \kappa \). Dla każdej relacji \( \displaystyle R\in\kappa \) jest więc \( \displaystyle (x,y)\in R \) i \( \displaystyle (y,z)\in R \). Z przechodniości każdej relacji \( \displaystyle R \) mamy, że \( \displaystyle (x,z) \in R \), co daje \( \displaystyle (x,z)\in \bigcap \kappa \).
    \( \displaystyle (2) \) Niech \( \displaystyle y \in [x]_{ \bigcap \kappa } \). Mamy zatem, że \( \displaystyle (x,y) \in \bigcap \kappa \), co daje \( \displaystyle (x,y)\in R \) dla każdej relacji \( \displaystyle R\in\kappa \). To zaś daje, że \( \displaystyle y \in [x]_R \) dla każdej \( \displaystyle R \in \kappa \), co jest równoważne z \( \displaystyle y\in\bigcap \{[x]_R : R\in \kappa\} \).

    W szczególności przecięcie wszystkich relacji równoważności o polu \( \displaystyle X \) daje \( \displaystyle 1_X \). Jest ona najsilniejszą relacją równoważności. Najsłabszą jest \( \displaystyle X^2 \).

    Rozkłady zbiorów

    Definicja 4.8.

    Niech \( \displaystyle X \neq \emptyset \). Rodzinę \( \displaystyle r \in \mathcal{P} ( \mathcal{P} (X)) \) nazywamy rozkładem zbioru \( \displaystyle X \), gdy:

    1. \( \displaystyle \forall_{C \in r} \;\; C \neq \emptyset \),
    2. \( \displaystyle \bigcup r =X \),
    3. \( \displaystyle (C \in r \hspace {0.1mm} \wedge D \in r \hspace {0.1mm} \wedge C \neq D )\hspace {0.1mm} \Rightarrow C\cap D =\emptyset \).

    Lemat 4.9.

    Dla relacji równoważności \( \displaystyle R \) o polu \( \displaystyle X \) zbiór \( \displaystyle X/R \) jest rozkładem \( \displaystyle X \).

    Dowód

    \( \displaystyle (1) \) Każda klasa jest niepusta, bo zawiera element, który ją wyznacza. \( \displaystyle (2)\displaystyle \bigcup X/R \subseteq X \), bo każda klasa jest podzbiorem \( \displaystyle X \). Odwrotnie każdy \( \displaystyle x \in [x]_R \in X/R \). \( \displaystyle (3) \) Dwie klasy, gdy są różne, muszą być rozłączne co udowodniliśmy w twierdzeniu 4.6.

    Definicja 4.10.

    Niech \( \displaystyle r \) będzie rozkładem zbioru \( \displaystyle X \). Definiujemy relacje \( \displaystyle R_r \subset X \times X \) następująco:

    \( \displaystyle (x,y) \in R_r \) wtw \( \displaystyle \exists_{C\in r} \;\; x \in C \; \hspace {0.1mm} \wedge \; y\in C. \)

    Lemat 4.11.

    Dla rozkładu \( \displaystyle r \in \mathcal{P} ( \mathcal{P} (X)) \) relacja \( \displaystyle R_r \) jest:

    1. równoważnością,
    2. \( \displaystyle X/{R_r} = r. \)

    Dowód

    \( \displaystyle (1) \) Relacja \( \displaystyle R_r \) jest zwrotna, każdy bowiem \( \displaystyle x\in X \) musi leżeć w pewnym zbiorze \( \displaystyle C \) rozkładu \( \displaystyle r \). Symetria \( \displaystyle R_r \) nie wymaga dowodu. Przechodniość \( \displaystyle R_r \). Niech \( \displaystyle (x,y) \in R_r \) i \( \displaystyle (y,z) \in R_r \). Istnieją zatem dwa zbiory \( \displaystyle C \) i \( \displaystyle D \) rozkładu \( \displaystyle r \) takie, że \( \displaystyle x,y \in C \) oraz \( \displaystyle y,z \in D \). Przecięcie \( \displaystyle C \) i \( \displaystyle D \) jest więc niepuste, zatem \( \displaystyle C=D \), co daje tezę \( \displaystyle (x,z) \in R_r \).
    \( \displaystyle (2) \) Inkluzja w prawo \( \displaystyle \subseteq \). Niech \( \displaystyle C \in X/{R_r} \). Klasa \( \displaystyle C \) jest zatem wyznaczona przez pewien element \( \displaystyle x \) taki, że \( \displaystyle C= [x]_{R_r} \). Niech \( \displaystyle D\in r \) będzie zbiorem rozkładu \( \displaystyle r \), do którego należy \( \displaystyle x \). Łatwo wykazać, że \( \displaystyle C=D \). Inkluzja w lewo \( \displaystyle \supset \). Niech \( \displaystyle C \in r \). \( \displaystyle C \) jest niepusty, więc istnieje \( \displaystyle x \in C \). Klasa \( \displaystyle [x]_{R_r} =C \).

    Ćwiczenie 4.12

    Niech \( \displaystyle X \) będzie niepustym zbiorem oraz niech \( \displaystyle Y \subset X \). Zdefiniujemy relację \( \displaystyle R \subset \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X) \) następująco: dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle A,B \subset X \) mamy

    \( \displaystyle (A,B)\in R \Leftrightarrow A\frac{.}{} B \subset Y. \)

    (\( \displaystyle A\frac{.}{}B \) oznacza różnicę symetryczną zbiorów, czyli \( \displaystyle A\frac{.}{} B = (A\setminus B)\cup (B \setminus A) \)). Udowodnij, że relacja \( \displaystyle R \) jest relacją równoważności.


    Ćwiczenie 4.13

    Udowodnij, że dla relacji równoważności \( \displaystyle R,S \) na zbiorze \( \displaystyle X \), relacja \( \displaystyle R\cup S \) jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy

    \( \displaystyle \forall_{x\in X}( [x]_R \subset [x]_S \vee [x]_R \supset [x]_S). \quad \mbox{(4.1)} \)

    Podaj przykłady relacji równoważności \( \displaystyle R,S \) takich, że \( \displaystyle R\cup S \) jest relacją równoważności oraz \( \displaystyle R ⊈ S \) i \( \displaystyle S ⊈ R \).


    Domykanie relacji

    W praktyce matematycznej często potrzebne jest rozważanie domknięć relacji ze względu na wiele przeróżnych własności. W podrozdziale tym dokonamy charakteryzacji domknięć. Pokażemy między innymi, kiedy takie domykanie jest możliwe.

    Definicja 4.14.

    Niech \( \displaystyle \alpha \) będzie rodziną relacji o polu \( \displaystyle X \), czyli niech \( \displaystyle \alpha \in \mathcal{P} ( \mathcal{P} (X^2)) \). Rodzina \( \displaystyle \alpha \) jest zamknięta na przecięcia, gdy:

    1. \( \displaystyle X^2 \in \alpha, \)
    2. jeżeli \( \displaystyle \emptyset \neq \alpha ' \subset \alpha \) to \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \in \alpha. \)

    Poniżej podamy definicję domknięcia relacji w pewnej klasie (zbiorze) relacji. Definiujemy intuicyjnie najmniejszą relację zawierającą daną należącą do klasy.

    Definicja 4.15.

    Relacja \( \displaystyle S \subset X^2 \) jest domknięciem relacji \( \displaystyle R \subset X^2 \) w klasie (zbiorze) relacji \( \displaystyle \alpha, \) gdy:

    1. \( \displaystyle R \subset S, \)
    2. \( \displaystyle S \in \alpha, \)
    3. dla każdej relacji \( \displaystyle T \) jeżeli \( \displaystyle R \subset T \) oraz \( \displaystyle T \in \alpha \) to \( \displaystyle S \subset T. \)

    Lemat 4.16.

    Domknięcie relacji (w dowolnej klasie), jeżeli istnieje, to jest jedyne.

    Dowód

    Gdyby istniały dwa domknięcia pewnej relacji, to ze względu na warunek \( \displaystyle (3) \) wzajemnie by się zawierały.

    Twierdzenie 4.17.

    Następujące warunki są równoważne:

    1. Klasa relacji \( \displaystyle \alpha \) jest domknięta na przecięcia.
    2. Każda relacja ma domknięcie w klasie relacji \( \displaystyle \alpha \).

    Dowód

    \( \displaystyle (1) arrow (2) \). Niech \( \displaystyle R \) będzie relacją. Utwórzmy zbiór relacji \( \displaystyle \alpha ' \) jako \( \displaystyle \{S\in\mathcal{P} (X^2) : R\subset S \hspace {0.1mm} \wedge S\in\alpha \} \). Takie \( \displaystyle \alpha ' \) nie jest puste, bowiem relacja totalna \( \displaystyle X^2 \) należy do \( \displaystyle \alpha ' \). Pokażmy, że \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \) jest domknięciem \( \displaystyle R \) w \( \displaystyle \alpha \). Istotnie \( \displaystyle R\subset \bigcap \alpha ' \). Z założenia mamy też \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \in \alpha \). Minimalność \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \) stwierdzamy przez: niech \( \displaystyle R \subset S' \) takie że \( \displaystyle S' \in \alpha \). Takie \( \displaystyle S' \) musi leżeć w zbiorze \( \displaystyle \alpha ' \), jest więc \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \subset S' \).
    \( \displaystyle (2) arrow (1) \). Po pierwsze \( \displaystyle X^2 \) leży w zbiorze \( \displaystyle \alpha \), bo wystarczy domknąć \( \displaystyle X^2 \). Niech \( \displaystyle \alpha ' \) będzie niepustym podzbiorem \( \displaystyle \alpha \). Niech \( \displaystyle S_0 \) będzie domknięciem \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \) w \( \displaystyle \alpha \). Wiemy, że dla dowolnej relacji \( \displaystyle S' \), o ile \( \displaystyle \bigcap \alpha ' \subset S' \) i \( \displaystyle S'\in \alpha \) to \( \displaystyle S_0 \subset S' \). Połóżmy za \( \displaystyle S' \) dowolny element z \( \displaystyle \alpha ' \). Założenia implikacji pozostają automatycznie spełnione, jest więc tak, że \( \displaystyle S_0 \subset S' \) dla dowolnej \( \displaystyle S' \) wyjętej z \( \displaystyle \alpha ' \). W takim razie \( \displaystyle S_0 \subset \bigcap \alpha ' \). Ponieważ mamy też \( \displaystyle \bigcap \alpha '\subset S_0 \), bo \( \displaystyle S_0 \) było domknięciem, jest więc \( \displaystyle \bigcap \alpha '= S_0 \), a to oznacza, że \( \displaystyle S_0 \in \alpha \).

    Ćwiczenie 4.18

    Pokazać jak wyglądają domknięcia w klasie relacji, zwrotnych, symetrycznych i przechodnich.

    Pokazać, stosując twierdzenie 4.17, że nie istnieje domknięcie spójne ani antysymetryczne. (Relacja \( \displaystyle R \) jest spójna, gdy \( \displaystyle \forall x,y (x,y) \in R \hspace {0.1mm} \vee (y,x)\in R \). Relacja \( \displaystyle R \) jest antysymetryczna, gdy z faktu, że \( \displaystyle (x,y) \in R \) oraz \( \displaystyle (y,x) \in R \), da się pokazać, że \( \displaystyle x=y \)).

    Ćwiczenie 4.19

    Dla relacji \( \displaystyle R \) niech \( \displaystyle R^\alpha \), \( \displaystyle R^\beta \), \( \displaystyle R^\gamma \) oznaczają odpowiednio zwrotne, symetryczne, przechodnie domknięcie relacji \( \displaystyle R \). Czy prawdą jest, że:

    1. dla dowolnej relacji \( \displaystyle R \) relacja \( \displaystyle ((R^\alpha)^\beta)^\gamma \) jest relacją równoważności,
    2. dla dowolnej relacji \( \displaystyle R \) zachodzi

    \( \displaystyle ((R^\alpha)^\beta)^\gamma =((R^\gamma)^\beta)^\alpha. \)

    W każdym z powyższych przypadków proszę podać dowód lub kontrprzykład.

    Iloczyn kartezjański i podobne konstrukcje

    Iloczyn kartezjański i podobne konstrukcje


    W definicji iloczynu kartezjańskiego (patrz Wykład 5: "Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów" Definicja 2.1) jest pewna nieścisłość. Konstrukcja iloczynu kartezjańskiego odwołuje się do aksjomatu wyróżniania w wersji nieuprawomocnionej. Konstrukcja, którą zobaczą państwo w tym rozdziale, usuwa tę poprzednią niedogodność.

    Twierdzenie 5.1.

    Dla dowolnych dwóch zbiorów \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) istnieje zbiór \( \displaystyle x\times y \) zawierający wszystkie pary postaci \( \displaystyle (w,z) \), gdzie \( \displaystyle w\in x \) i \( \displaystyle z\in y \).

    Dowód

    Ustalmy dwa dowolne zbiory \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \). Jeśli \( \displaystyle x=\emptyset \) lub \( \displaystyle y=\emptyset \), to \( \displaystyle x\times y = \emptyset \) istnieje na podstawie aksjomatu zbioru pustego. W przeciwnym przypadku \( \displaystyle x\cup y \) jest zbiorem jednoelementowym \( \displaystyle \{z\} \), to \( \displaystyle x\times y=\{\{\{z\}\}\} \) istnieje na podstawie aksjomatu pary. W dalszej części dowodu zakładamy, że zbiory \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) są niepuste i że \( \displaystyle x\cup y \) ma więcej niż jeden element. Na podstawie aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu unii i aksjomatu wycinania następujące zbiory istnieją:

    \( \displaystyle \begin{align*} A & =\{z\in\mathcal{P}(x)\,|\, \exists w\; z =\{w\}\}, \\ B & =\{z\in\mathcal{P}(x\cup y)\,|\, \exists w \exists v\; (w \neq v \land z=\{v,w\})\}, \\ C & =\{z\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(y))\,|\, \exists v\; z=\{\{v\}\}=(v,v)\}. \end{align*} \)

    Nasze założenia gwarantują, że żaden z powyższych zbiorów nie jest pusty. Kontynuując, możemy stworzyć:

    \( \displaystyle \begin{align*} D_0 & =\{z\in\mathcal{P}(A\cup B)\,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land z=\{\{w\},\{w,v\}\}=(w,v)\}, \end{align*} \)

    w którym to zbiorze mamy pewność, że \( \displaystyle w \) jest elementem \( \displaystyle x \). Kontynuujemy, definiując:

    \( \displaystyle \begin{align*} D_0' & =\{z\in\mathcal{P}(D_0\cup C)\,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land z=\{(w,v),(v,v)\}\}, \end{align*} \)

    gdzie mamy pewność, że \( \displaystyle w \) jest elementem \( \displaystyle x \), a \( \displaystyle v \) elementem \( \displaystyle y \) oraz:

    \( \displaystyle \begin{align*} D_0'' & =\{z\in\mathcal{P}(D_0\cup C)\,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land z=\{(w,v),(w,w )\}\}, \end{align*} \)

    gdzie mamy pewność, że \( \displaystyle w\in A\cap B \). Kończąc:

    \( \displaystyle \begin{align*} x\times y & =\{z\in\bigcup D_0' \,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land z=(w,v)\}\cup \{z\in\bigcup D_0'' \,|\, \exists w\; z=(w,w)\}. \end{align*} \)

    Twierdzenie 5.2.

    Jeśli \( \displaystyle x,y \) i \( \displaystyle z \) są zbiorami i \( \displaystyle z\subseteq x\times y \), to zbiorem jest również ogół \( \displaystyle v \) takich, że istnieje \( \displaystyle w \) spełniające \( \displaystyle (v,w)\in z \). Zbiór takich \( \displaystyle v \) oznaczamy przez \( \displaystyle \pi_1(z) \) i nazywamy projekcją na pierwszą współrzędną.

    Dowód

    Zbiór \( \displaystyle \pi_1(z) \) istnieje na podstawie aksjomatów ZF i jest równy:

    \( \displaystyle \pi_1(z) = \bigcup\{w\in\bigcup z\,|\, \exists u\; w=\{u\}\}. \)

    W tej chwili jesteśmy gotowi dowieść własność zapowiedzianą w Wykładzie 4 (patrz Wykład 4: "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach"). Dla dowolnej formuły \( \displaystyle \varphi' \) nieposiadającej zmiennych wolnych innych niż \( \displaystyle z' \) i \( \displaystyle x_1' \), następująca formuła jest prawdą:

    \( \displaystyle \forall x_1' \forall x' \exists y' \forall z'\; z'\in y' \iff (z'\in x' \land \varphi'). \)

    Aby dowieść tę własność, ustalmy dowolną formułę \( \displaystyle \varphi' \) i dowolny zbiór \( \displaystyle x_1' \). Stosujemy aksjomat wyróżniania do \( \displaystyle x=x\times \{x_1'\} \) (który istnieje na mocy Twierdzenia 5.1 i do formuły

    \( \displaystyle \exists z' \exists x_1'\; z=(z',x_1')\land\varphi', \)

    otrzymując zbiór \( \displaystyle y \). Wymagany zbiór \( \displaystyle y' \) istnieje na mocy Twierdzenia 5.2 i jest równy \( \displaystyle \pi_1(y) \).

    Przykładem zastosowania powyższego twierdzenia może być otrzymanie drugiej projekcji z iloczynu kartezjańskiego. Aby otrzymać \( \displaystyle \pi_2(z) \), stosujemy powyższe twierdzenie do \( \displaystyle x_1'=z \), \( \displaystyle x=\bigcup\bigcup{z} \) i wyrażenia \( \displaystyle \varphi' \) mówiącego \( \displaystyle \exists w\; (w,z')\in x_1' \).

    Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha

    Wprowadzenie



    W poniższym wykładzie wprowadzamy formalnie pojęcie funkcji. Bardzo duży fragment współczesnej matematyki dotyczy właśnie badania własności funkcji. W teorii zbiorów funkcje są relacjami, które spełniają dodatkowy warunek jednoznaczności. Każda funkcja jest więc zbiorem par. W teorii zbiorów, której pojęciem pierwotnym jest należenie do zbioru, reprezentowanie funkcji za pomocą zbiorów jest pewną koniecznością. W praktyce jednak patrzymy na funkcje raczej jako na operacje, działające na elementach pewnych zbiorów. Często do opisu funkcji używamy wzorów, np. \( f(a)=a^2 \). Warto jednak podkreślić różnicę pomiędzy wzorem a funkcją. Przykładowy wzór może opisywać wiele funkcji, w zależności od tego, z jakiego zbioru elementy będziemy podstawiać w miejsce \( a \), a nawet od tego, jak będziemy rozumieć podnoszenie do kwadratu (np. przez \( a^2 \) oznaczaliśmy iloczyn kartezjański \( a\times a \), ale równocześnie dla liczby naturalnej \( n \) przez \( n^2 \) będziemy oznaczać jej kwadrat). W kolejnych wykładach przekonamy się również, że istnieją funkcje, których nie da się opisać żadnym wzorem.

    Warto wspomnieć, że rozważa się również teorie, w których pierwotnymi pojęciami są właśnie funkcje i składanie funkcji. Okazuje się, że bardzo wiele twierdzeń klasycznej matematyki (opartej na teorii zbiorów) da się udowodnić na ich gruncie. Takiemu właśnie podejściu poświęcony jest wykład Teoria kategorii dla informatyków.

    Funkcja jako relacja

    Funkcja jako relacja


    W poprzednim wykładzie wyróżniliśmy pewną grupę relacji (relacje zwrotne, symetryczne i przechodnie), które to relacje nazwaliśmy relacjami równoważności. Podobnie teraz wyróżnimy pewne relacje, które nazwiemy funkcjami. Podkreślmy jeszcze raz, że funkcja jako relacja jest zbiorem, którego elementami są pary.

    Definicja 2.1.

    Relację \( f\subset X \times Y \) nazywamy funkcją ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \), jeśli ma następujące własności:

    1. \( \forall_{x\in X} \forall_{y\in Y}\forall_{z\in Y}((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f) \Rightarrow (y=z). \quad \mbox{(2.1)} \)

    2. \( f_L = X. \)

    Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \) będziemy oznaczać przez \( Y^X \).

    Czyli funkcja to relacja taka, że do każdego elementu \( x \) ze zbioru \( X \) można dobrać dokładnie jeden element \( y\in Y \) taki, że \( (x,y)\in f \). Pierwsza własność mówi dokładnie tyle, że jeśli do jakiegoś elementu \( x \) możemy dobrać elementy \( y \) i \( z \) takie, aby obydwa były w relacji z \( x \), to muszą one być sobie równe, a więc do każdego elementu zbioru \( X \) można dobrać co najwyżej jeden element będący z nim w relacji \( f \). Druga własność mówi, że do każdego elementu ze zbioru \( X \) da się dobrać przynjamniej jeden element będący z nim w relacji \( f \). Często będziemy używać skrótowego zapisu \( f:X \rightarrow Y \), który będzie oznaczał, że \( f \) jest funkcją ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \) (a więc \( f_L=X \) i \( f_P\subset Y \)). Mówimy też, że funkcja \( f \) odwzorowuje zbiór \( X \) w zbiór \( Y \).

    W definicji funkcji konieczne było odwołanie się do zbioru, na którym funkcja jest określona. Zwróćmy uwagę, że dla konkretnej relacji nie możemy powiedzieć, czy jest ona funkcją, czy nie, gdyż zależy to od tego, jaki zbiór przyjmiemy za \( X \). Na przykład relacja \( r=\{(0,0), (1,1)\} \) jest funkcją ze zbioru \( \{0,1\} \) w zbiór \( \{0,1\} \), ale nie jest funkcją ze zbioru \( N \) w zbiór \( \{0,1\} \). Czasem wygodniej jest rozważać funkcje po prostu jako relacje, dlatego wprowadzamy pojęcie funkcji częściowej.

    Definicja 2.2.

    Relację \( f \) nazywamy funkcją częściową, jeśli ma następującą własność:

    \( \forall_{x} \forall_{y}\forall_{z}((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f) \Rightarrow (y=z). \quad \mbox{(2.1)} \)

    Zwróćmy uwagę, że równie dobrze powyższą własność moglibyśmy sformułować następująco:

    \( \forall_{x\in f_L} \forall_{y\in f_P}\forall_{z \in f_P}((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f) \Rightarrow (y=z). \)

    Sformułowanie to jest równoważne z (patrz definicja 2.2.), gdyż we wszysktich przypadkach, w których poprzednik implikacji jest prawdziwy, mamy \( x\in f_L, y\in f_P, z \in f_P \).

    Fakt 2.1.

    Każda funkcja częściowa \( f \) jest funkcją ze zbioru \( f_L \) w zbiór \( f_P \). Dla dowolnych zbiorów \( X,Y \) każda relacja, która jest funkcją ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \), jest funkcją częściową.

    Wobec powyższego faktu, w przypadkach, kiedy nie jest istotne, na jakim zbiorze funkcja jest zdefiniowana, będziemy rozważać odpowiadającą jej funkcję częściową. Dla dowolnej funkcji częściowej \( f \) wprowadzamy poniższe oznaczenia, których będziemy również używać dla funkcji. Dla dowolnego \( x \), jeśli istnieje taki element \( y \), dla którego \( (x,y)\in f \), to oznaczamy go przez \( f(x) \), podobnie fakt \( (x,y) \in f \) notujemy jako \( f(x)=y \). Mówimy wtedy, że funkcja częściowa \( f \) przyporządkowuje elementowi \( x \) element \( y \). Elementy \( f_L \) nazywamy argumentami funkcji częściowej \( f \), a elementy \( f_P \) wartościami funkcji częściowej \( f \).

    Przykład 2.3.

    Poniżej przedstawiamy przykłady relacji, które są funkcjami częściowymi:

    1. \( \emptyset \) (poprzednik implikacji (patrz definicja 2.2.), jest zawsze fałszywy więc implikacja (patrz definicja 2.2.), jest zawsze prawdziwa),
    2. \( \{ (\emptyset,\emptyset) \} \),
    3. \( \{ (0,0), (1,0),(2,1)\} \),
    4. \( X \times \{0\} \) dla dowolnego zbioru \( X \),
    5. \( \mathbb{I}_{X} \)

    oraz relacje, które funkcjami częściowymi nie są:

    1. \( \{(0,0), (0,1)\} \),
    2. \( X\times \{0,1\} \), dla dowolnego niepustego zbioru \( X \).

    Ćwiczenie 2.1

    1. Udowodnij, że złożenie funkcji częściowych jest funkcją częściową.
    2. Udowodnij, że jeśli \( f:X \rightarrow Y \) i \( g:Y \rightarrow Z \), to relacja \( g\circ f \) jest

    funkcją ze zbioru \( X \) w zbiór \( Z \).


    Ćwiczenie 2.2

    Czy na każdym zbiorze \( X \) istnieje relacja równoważności, która jest funkcją z \( X \) w \( X \)?

    Obrazy i przeciwobrazy

    Obrazy i przeciwobrazy


    Czasem warto spojrzeć na funkcję z szerszej perspektywy. Rozważmy pewną funkcję \( f:X \rightarrow
    Y \). Funkcja ta w naturalny sposób wyznacza pewną funkcję przekształcającą podzbiory zbioru \( X \) w podzbiory zbioru \( Y \), przyporządkowując zbiorowi \( A\subset X \), zbiór elementów zbioru \( Y \), które są wartościami funkcji \( f \) dla pewnych argumentów ze zbioru \( A \). Funkcję tą formalnie definujemy w poniższy sposób.

    Definicja 3.1.

    Każda funkcja \( f:X \rightarrow Y \) wyznacza pewną funkcję \( \vec{f} : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(Y) \) tak, że dla dowolnego zbioru \( A\subset X \)

    \( \vec{f}(A)= \{y\in Y: \exists_{x\in A} f(x)=y\}. \)

    Dla dowolnego zbioru \( A\subset X \) zbiór \( \vec{f}(A) \) nazywamy obrazem zbioru \( A \) przez funkcję \( f \).

    Przykład 3.2.

    Niech \( f:N \rightarrow N \) będzie określona wzorem \( f(x)=2\cdot x \). Wtedy

    1. \( \vec{f}(N) \) jest zbiorem liczb parzystych,
    2. \( \vec{f} (\emptyset)= \emptyset \),
    3. \( \vec{f} (\{1\})= \{2\} \),
    4. \( \vec{f} (\{1,2\})= \{2,4\} \),
    5. obrazem zbioru liczb parzystych przez funkcję \( f \) jest zbiór liczb podzielnych przez 4.

    W podobny sposób definiujemy przeciwobrazy zbiorów przez funkcję. Przeciwobrazem zbioru \( B \subset Y \) przez funkcję \( f:X \rightarrow Y \) nazwiemy zbiór tych elementów zbioru \( X \), którym funkcja przypisuje wartości ze zbioru \( B \).

    Definicja 3.3.

    Każda funkcja \( f:X \rightarrow Y \) wyznacza pewną funkcję \( \vec{f}^{-1} : \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) w następujący sposób. Dla dowolnego zbioru \( B\subset Y \)

    \( \vec{f}^{-1}(B)= \{x\in X: \exists_{y\in B} f(x)=y\}. \)

    Dla dowolnego zbioru \( B\subset Y \) zbiór \( \vec{f}^{-1}(B) \) nazywamy przeciwobrazem zbioru \( B \) przez funkcję \( f \).

    Przykład 3.4.

    Niech \( f:N \rightarrow N \) będzie określona wzorem \( f(x)=2\cdot x \). Wtedy

    1. \( \vec{f}^{-1}(N)=N \),
    2. \( \vec{f}^{-1} (\emptyset)= \emptyset \),
    3. \( \vec{f}^{-1} (\{1\})= \emptyset \),
    4. \( \vec{f}^{-1} (\{1,2\})= \{1\} \),
    5. przeciwobrazem zbioru liczb nieparzystych przez funkcję \( f \) jest zbiór pusty,
    6. przeciwobrazem zbioru liczb podzielnych przez 4, przez funkcję \( f \) jest zbiór liczb parzystych,
    7. przeciwobrazem zbioru liczb parzystych przez funkcję \( f \) jest \( N \).

    Fakt 3.1.

    Nietrudno zauważyć, że dla dowolnej funkcji częściowej \( f \)

    \( \vec{f}(\emptyset)=\emptyset=\vec{f}^{-1}(\emptyset). \)

    W poniższych ćwiczeniach badamy podstawowe własności obrazów i przeciwobrazów dowolnych funkcji.

    Ćwiczenie 3.1

    Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dla dowolnych zbiorów \( A_1,A_2 \subset X \) udowodnij następujące fakty:

    1. \( \vec{f}(A_1 \cup A_2)= \vec{f}(A_1) \cup \vec{f}(A_2) \),
    2. \( \vec{f}(A_1 \cap A_2) \subset \vec{f}(A_1) \cap \vec{f}(A_2) \),
    3. \( \vec{f}(X \setminus A_1) \supset \vec{f}(X) \setminus \vec{f}(A_1) \).



    Ćwiczenie 3.2

    Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dowolnej rodziny \( \kappa \) podzbiorów \( X \) (czyli \( \kappa \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \)) udowodnij następujące fakty:

    1. \( \vec{f}(\bigcup \kappa)= \bigcup\{\vec{f}(A): A\in \kappa\} \),
    2. \( \vec{f}(\bigcap \kappa) \subset \bigcap\{\vec{f}(A): A\in \kappa\} \).


    Ćwiczenie 3.3

    Skonstruuj kontrprzykłady dla poniższych inkluzji:

    1. \( \vec{f}(A_1 \cap A_2) \supset \vec{f}(A_1) \cap \vec{f}(A_2) \),
    2. \( \vec{f}(X \setminus A_1) \subset \vec{f}(X) \setminus \vec{f}(A_1) \),
    3. \( \vec{f}(\bigcap \kappa) \supset \bigcap\{\vec{f}(A): A\in \kappa\} \).

    Znacznie bardziej regularnie zachowują się przeciwobrazy funkcji. Podstawowe własności są tematem następnych ćwiczeń.

    Ćwiczenie 3.4

    Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dla dowolnych zbiorów \( B_1,B_2 \subset Y \) udowodnij następujące fakty:

    1. \( \vec{f}^{-1}(B_1 \cup B_2)= \vec{f}^{-1}(B_1) \cup \vec{f}^{-1}(B_2) \),
    2. \( \vec{f}^{-1}(B_1 \cap B_2) = \vec{f}(B_1) \cap \vec{f}(B_2) \),
    3. \( \vec{f}^{-1}(Y \setminus B_1) = \vec{f}^{-1}(Y) \setminus \vec{f}^{-1}(B_1) \).



    Ćwiczenie 3.5
    Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i dowolnej rodziny \( \kappa \) podzbiorów \( Y \) (czyli \( \kappa \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)) \)) udowodnij następujące fakty:

    1. \( \vec{f}^{-1}(\bigcup \kappa)= \bigcup\{\vec{f}^{-1}(B): B\in \kappa\} \),
    2. \( \vec{f}^{-1}(\bigcap \kappa) \subset \bigcap\{\vec{f}^{-1}(B): B\in \kappa\} \).


    Istnieje ścisły związek pomiędzy funkcjami a relacjami równoważności. Każda funkcja wyznacza pewną relację binarną w poniższy sposób.

    Definicja 3.5.

    Dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) definujemy relację binarną \( \sim_{f} \subset X^2 \) następująco:

    \( (x_1,x_2) \in \sim_{f} \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2). \)

    W myśl powyższej definicji elementy \( x_1,x_2 \in X \) są w relacji \( \sim_{f} \), jeśli funkcja \( f \) na tych elementach przyjmuje te same wartości. W poniższym ćwiczeniu dowodzimy, że relacja ta jest relacją równoważności na zbiorze \( X \). Relacja ta pełni ważną rolę w podstawowych konstrukcjach liczb, które będą tematem wykłady "Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych".

    Ćwiczenie 3.6

    Udowodnij, że dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) relacja \( \sim_{f} \) jest relacją równoważności na zbiorze \( X \).

    Iniekcja i suriekcja

    Iniekcja i suriekcja


    Istotną własnością funkcji jest to, czy różnym elementom może ona przypisać tę samą wartość. Na przykład, w przypadku szyfrowania używamy takich funkcji, które dają się odszyfrować, a więc generują różne kody dla różnych wiadomości. Takie funkcje, których wartości są różne na różnych argumentach nazywamy iniekcjami. Ponieważ ta własność nie zależy od zbioru, na którym funkcja jest zdefiniowana, zdefiniujemy ją dla wszystkich funkcji częściowych.

    Definicja 4.1.

    Funkcję częściową \( f \) nazywamy iniekcją, jeśli różnym elementom przyporządkowuje różne wartości. Formalnie, jeśli spełnia następujący warunek:

    \( \forall_{y \in f_P} \forall_{x_1,x_2 \in f_L} (f(x_1)=y \wedge f(x_2)=y) \Rightarrow x_1=x_2 \)

    Powyższy warunek mówi dokładnie tyle, że jeśli elementom \( x_1,x_2 \) funkcja przypisuje tę samą wartość \( y \), to te elementy muszą być równe.

    Przykład 4.2.

    Następujące funkcje częściowe są iniekcjami:

    1. \( \emptyset \),
    2. \( \{(\emptyset,\emptyset)\} \),
    3. \( \{ (0,1),(1,0)\} \),
    4. funkcja, która każdej liczbie naturalnej przypisuje liczbę dwukrotnie większą.

    Przykłady funkcji częściowych, które nie są iniekcjami:

    1. \( \{ (\emptyset, \emptyset), (\{\emptyset\}, \emptyset)\} \),
    2. \( \{ (0, 0), (1,0)\} \),
    3. funkcja, która każdej liczbie naturalnej przypisuje największą

    liczbę parzystą nie większą od niej.

    W poniższym ćwiczeniu pokazujemy, że jeśli funkcja częściowa nie "zlepia" ze sobą dwóch różnych argumentów, to jest "odwracalna".

    Ćwiczenie 4.1.

    Udowodnij, że funkcja częściowa \( f \) jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy \( f^{-1} \) jest funkcją częściową.

    Ćwiczenie 4.2.

    Udowodnij, że funkcja \( f:X \rightarrow Y \) jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja częściowa \( g \) taka, że \( g \circ f=\mathbb{I}_{X} \).

    Ćwiczenie 4.3

    Czy funkcja częściowa stała może być iniekcją? (funkcja częściowa jest stała, jeśli ma jednoelementowy zbiór wartości).

    Przypuśćmy, że \( f \) nie jest suriekcją na \( Y \), istnieje wtedy \( y\in Y \), dla którego \( \vec{f}^{-1}(\{y\}) = \emptyset \). Wobec tego dla dowolnego \( B\subset Y\setminus \{y\} \) mamy

    \( \vec{f}^{-1}(B)= \vec{f}^{-1}(B) \cup \vec{f}^{-1}(\{y\})= \vec{f}^{-1}(B \cup \{y\}), \)

    a więc funkcja \( \vec{f}^{-1} \) nie jest iniekcją.

    Przypuśćmy teraz, że \( f \) jest suriekcją na \( Y \). Weźmy dwa różne zbiory \( A,B \subset Y \). Skoro są różne, to istnieje element \( y_1\in A \setminus B \) lub \( y_2 \in B \setminus A \). Zajmiemy się pierwszym przypadkiem, drugi jest symetryczny. Skoro \( y_1\notin B \), to \( \vec{f}^{-1}(\{y_1\}) \cap \vec{f}^{-1}(B) = \emptyset \). Ponieważ, \( f \) jest suriekcją, to \( \vec{f}^{-1}(\{y_1\}) \neq \emptyset \), więc istnieje element \( x\in \vec{f}^{-1}(\{y_1\}) \). Mamy więc element \( x \) taki, że \( x\in \vec{f}^{-1}(\{y_1\}) \subset \vec{f}^{-1}(A) \) oraz \( x\notin \vec{f}^{-1}(B) \), więc zbiory \( \vec{f}^{-1}(A) \) i \( \vec{f}^{-1}(B) \) są różne. Wobec tego funkcja \( \vec{f}^{-1} \) jest iniekcją.

    Ćwiczenie 4.5

    Udowodnij, że dla dowolnej funkcji \( f:X \rightarrow Y \), \( f \) jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja \( \vec{f}^{-1} \) jest suriekcją na \( \mathcal{P}(X) \).

    Funkcję nazywamy bijekcją pomiędzy zbiorami \( X \) i \( Y \), jeśli każdemu elementowi zbioru \( X \) przypisuje dokładnie jeden element zbioru \( Y \), i w dodatku każdy element zbioru \( Y \) występuje w jakimś przypisaniu. Oznacza to dokładnie, że funkcja ta jest zarówno iniekcją jak i suriekcją na zbiór \( Y \).

    Definicja 4.5.

    Funkcję częściową \( f \) nazywamy bijekcją ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \), jeśli są spełnione poniższe warunki:

    1. \( f:X \rightarrow Y \),
    2. \( f \) jest iniekcją,
    3. \( f \) jest suriekcją na \( Y \).

    Każda funkcja bijektywna pomiędzy zbiorem \( X \) a \( Y \) dobiera elementy tych zbiorów w pary.

    Twierdzenie 4.6.

    Funkcja \( f \) jest bijekcją ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( f^{-1} \) jest bijekcją (a więc także funkcją) ze zbioru \( Y \) w zbiór \( X \).

    Dowód

    Z ćwiczenia 4 wynika, że relacja \( f^{-1} \) jest iniekcją (bo \( f \) jest iniekcją). Z własności przeciwobrazów wynika, że \( \vec{f}^{-1}(Y)=X \). Pozostaje pokazać, że funkcja częściowa \( f^{-1} \) jest określona na całym \( Y \). Weźmy dowolny element \( y\in Y \). Ponieważ \( f \) jest suriekcją, to istnieje \( x\in X \), dla którego \( (x,y)\in f \). Wtedy \( (y,x)\in f^{y} \), a więc \( y \) należy do dziedziny \( f^{-1} \). Wobec dowolności wyboru \( y \) dziedziną \( f^{-1} \) jest cały zbiór \( Y \). Podsumowując, \( f^{-1}:Y \rightarrow Y \) jest iniekcją oraz \( \vec{f}^{-1}(Y)=X \), a więc \( f^{-1} \) jest bijekcją ze zbioru \( Y \) w zbiór \( X \). Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że \( f=(f^{-1})^{-1} \).

    Twierdzenie 4.7.

    Jeśli funkcje częściowe \( f,g \) są iniekcjami, to ich złożenie jest iniekcją.

    Dowód

    Jeśli funkcja częściowa \( g\circ f \) jest pusta to jest iniekcją. W przeciwnym razie weźmy dwie dowolne (niekoniecznie różne) pary należące do niej, które mają taką samą drugą współrzędną \( (x_1,y), (x_2,y) \in g\circ f \). Skoro należą one do złożenia \( f \) z \( g \), to istnieją elementy \( z_1,z_2 \) w dziedzinie relacji \( f \) takie, że \( (x_1,z_1), (x_2,z_2) \in f \) oraz \( (z_1,y), (z_2,y) \in g \). Z iniektywności funkcji częściowej \( g \) otrzymujemy, że \( z_1=z_2 \), oznaczmy ten element przez \( z \). Mamy więc \( (x_1,z), (x_2,z) \in f \). Z iniektywności funkcji częściowej \( f \) dostajemy \( x_1=x_2 \), co dowodzi, że funkcja częściowa \( g \circ f \) jest iniekcją.

    Ćwiczenie 4.6

    Udowodnij że w twierdzeniu 4.7. (patrz twierdzenie 4.7.) implikacja w przeciwną stronę nie jest prawdziwa.

    Twierdzenie 4.8.

    Dla dowolnych funkcji \( f:X \rightarrow Y ,g:Y \rightarrow Z \), jeśli \( f \) jest suriekcją na \( Y \) i \( g \) jest suriekcją na \( Z \), to \( g\circ f \) jest suriekcją na \( Z \).

    Dowód

    Weźmy dowolny \( z \in Z \). Ponieważ funkcja \( g \) jest suriekcją na \( Z \), to istnieje element \( y\in Y \) taki, że \( (y,z) \in g \). Skoro funkcja \( f \) jest suriekcją na \( Y \), to istnieje \( x\in X \) taki, że \( (x,y) \in f \). Z faktów \( (x,y) \in f \) oraz \( (y,z) \in g \) otrzymujemy \( (x,z) \in g \circ f \). Dobraliśmy więc do \( z \) element \( x\in X \), z którym jest on w relacji \( g \circ f \). Wobec dowolności wyboru \( z \) funkcja \( g \circ f \) jest suriekcją.

    Ćwiczenie 4.7

    Udowodnij, że w twierdzeniu 4.8. implikacja w przeciwną stronę nie jest prawdziwa.

    Ćwiczenie 4.8

    W ćwiczeniu 3 pokazaliśmy, że poniższe równości nie są prawdziwe dla wszystkich funkcji. Udowodnij, że:

    1.dla funkcji \( f:X \rightarrow Y \) równość \( \vec{f}(A_1 \cap A_2) = \vec{f}(A_1) \cap \vec{f}(A_2) \) jest prawdą dla dowolnych zbiorów \( A_1,A_2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( f \) jest iniekcją,
    2. dla funkcji \( f:X \rightarrow Y \) równość \( \vec{f}(X \setminus A_1) = \vec{f}(X) \setminus \vec{f}(A_1) \) jest prawdą dla dowolnego zbioru \( A_1 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( f \) jest iniekcją,
    3. dla funkcji \( f:X \rightarrow Y \) równość \( \vec{f}(X \setminus A_1) = Y \setminus \vec{f}(A_1) \) jest prawdą dla dowolnego zbioru \( A_1 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( f \) jest bijekcją.



    Ćwiczenie 4.9

    Udowodnij, że funkcja \( f:N^2 \rightarrow N \) określona w następujący sposób

    \( f(x,y)= \frac{(x+y+1)\cdot(x+y)}{2}+x \)

    jest iniekcją.

    Twierdzenie o faktoryzacji

    Twierdzenie o faktoryzacji



    W tym rozdziale udowodnimy ważne twierdzenie dobrze ilustrujące rolę, którą spełniają iniekcje i suriekcje wśród wszystkich funkcji.

    Twierdzenie 5.1.

    Dla każdej funkcji \( f:X \rightarrow Y \) istnieje zbiór \( Z \) oraz funkcje \( g:X \rightarrow Z ,h:Z \rightarrow Y \) takie, że \( f= h \circ g \), \( g \) jest suriekcją i \( h \) jest iniekcją.

    Dowód

    Niech \( Z \) będzie zbiorem klas abstrakcji relacji \( \sim_{f} \). Wtedy definujemy \( g \) jako funkcję, która każdemu elementowi zbioru \( x \) przypisuje jego klasę abstrakcji względem relacji \( \sim_{f} \), czyli

    \( g= \{(x,k)\in X\times \mathcal{P}(X):x\in X \wedge k=[x]_{\sim_{f}} \}. \)

    Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja \( g \) jest suriekcją na zbiór \( Z \), gdyż klasy abstrakcji nie mogą być puste. Funkcję \( h \) defniujemy jako funkcję przypisującą klasom abstrakcji relacji \( \sim_{f} \) wartość funkcji na dowolnym elemencie tej klasy, czyli

    \( h= \{(k,y)\in \mathcal{P}(X)\times Y: \exists_{x\in X} k=[x]_{\sim_{f}} \wedge f(x)=y\}. \)

    Zauważmy, że \( h \) rzeczywiście jest funkcją, gdyż, zgodnie z definicją relacji \( \sim_{f} \), funkcja \( f \) przypisuje wszystkim elementom danej klasy te same wartości.

    Pokażemy teraz, że \( h \) jest iniekcją. Weźmy dowolne dwie klasy \( k_1,k_2 \in Z \) i przypuśćmy, że \( h(k_1)=h(k_2) \). Niech \( x_1,x_2 \in X \) będą takimi elementami, że \( [x_1]_{\sim_{f}}=k_1 \) oraz \( [x_2]_{\sim_{f}}=k_2 \). Zgodnie z definicją \( h \) mamy \( h(k_1)= f(x_1) \) oraz \( h(k_2)=f(x_2) \). Założyliśmy, że \( h(k_1)=h(k_2) \), więc również \( f(x_1)=f(x_2) \). Wynika stąd, że \( x_1 \sim_{f} x_2 \), a więc \( [x_1]_{\sim_{f}}=[x_2]_{\sim_{f}} \), co oznacza dokładnie, że \( k_1 = k_2 \). Pokazaliśmy więc, że \( h \) jest iniekcją.

    Pozostaje pokazać, że \( f= h \circ g \). Dla dowolnego elementu \( x\in X \) mamy

    \( g(x)=[x]_{\sim_{f}} \)

    oraz

    \( h([x]_{\sim_{f}})= f(x). \)

    Wobec czego otrzymujemy \( h(g(x))=f(x). \)

    Skoro własność ta zachodzi dla każdego \( x\in X \), otrzymujemy \( f= h\circ g \).

    Ćwiczenie 5.1

    Dla poniższych funkcji podaj przykład funkcji \( g,h \) oraz zbioru \( Z \) z twierdzenia 5.1 o faktoryzacji (patrz twierdzenie 5.1.)

    1. Niech \( K \) będzie zbiorem okręgów na płaszczyźnie, funkcja \( f:K \rightarrow R \) niech przypisuje okręgom długości ich średnic,

    2. \( f:N^2 \rightarrow R \) w taki sposób, że \( f(x,y)=\frac{x}{y} \).

    Produkt uogólniony

    Produkt uogólniony



    W wykładzie "Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów" zdefiniowaliśmy iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów. Poniższa definicja uogólnia tamte rozważania, definiując produkt dowolnej (nawet nieskończonej) rodziny zbiorów.

    Definicja 6.1.

    Produktem uogólnionym zbioru \( X \) nazwiemy zbiór \( \mathbb{P} X \) zdefiniowany następująco:

    \( \mathbb{P} X \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \{f \in \mathcal{P}(X \times \bigcup X): (f:X arrow \bigcup X) \wedge\forall_{x\in X} f(x) \in x\}. \)

    Czyli zbiór \( \mathbb{P} X \) to zbiór wszystkich tych funkcji, które zbiorom z rodziny \( X \) przypisują ich elementy.

    Zauważmy, że istnienie produktu uogólnionego dla każdego zbioru \( X \) wynika z aksjomatu wyróżniania. Znacznie ważniejszą własnością jednak jest niepustość produktu uogólnionego. Z aksjomatu wyboru w "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach" wynika, że produkt uogólniony dowolnej niepustej rodziny niepustych zbiorów jest zawsze niepusty. W konkretnych przypadkach można wykazać niepustość, nie odwołując się do aksjomatu wyboru (np. \( \{\{0\}\} \)).

    W poniższym twierdzeniu pokazujemy, że produkt uogólniony jest w dużej mierze zgodny ze zdefiniowanym wcześniej iloczynem kartezjańskim. Jest to przy okazji pierwszy przykład konstrukcji funkcji bijektywnej, która pozwala "tłumaczyć" elementy jednego zbioru na drugi, co z kolei usprawiedliwia wymienne posługiwanie się nimi.

    Twierdzenie 6.2.

    Dla dowolnych różnych zbiorów \( A, B \) istnieje bijekcja pomiędzy zbiorami \( \mathbb{P} \{A,B\} \) a zbiorem \( A\times B \).

    Dowód

    Jeśli któryś ze zbiorów \( A, B \) jest pusty, to \( \mathbb{P} \{A,B\} = A\times B= \emptyset \), a więc istnieje pomiędzy nimi bijekcja (ćwiczenie: jaka?). Poniżej rozważamy przypadek, gdy oba zbiory są niepuste.

    Zdefiniujemy funkcję \( F: \mathbb{P} \{A,B\} arrow A\times B \). Dla dowolnej funkcji \( h\in \mathbb{P} \{A,B\} \) niech \( F(h)=(h(A),h(B)) \). Zauważmy najpierw, że para \( (h(A),h(B)) \) jest rzeczywiście elementem zbioru \( A\times B \), ponieważ z definicji zbioru \( \mathbb{P} \{A,B\} \) mamy \( h(A)\in A \) oraz \( h(B) \in B \).

    Pokażemy, że funkcja \( F \) jest iniekcją. Weźmy dowolne funkcje \( g,h \in \mathbb{P} \{A,B\} \), dla których \( F(g)=F(h) \). Z definicji funkcji \( F \) otrzymujemy \( (g(A),g(B))= (h(A),h(B)) \), a to jest spełnione tylko wtedy, gdy \( g(A)=h(A) \) i \( g(B)=h(B) \). Przypomnijmy, że dziedziną funkcji \( g \) i \( h \) jest zbiór \( \{A,B\} \). Skoro przyjmują te same wartości na elementach dziedziny, to są sobie równe, a to wobec dowolności wyboru \( g \) i \( h \) oznacza, że \( F \) jest iniekcją.

    Pozostało pokazać, że \( F \) jest suriekcją. Weźmy dowolną parę \( (a,b) \in A \times B \) i rozważmy funkcję \( g=\{(A,a), (B,b)\} \). Ponieważ zbiory \( A \) i \( B \) są różne, to \( g \) jest funkcją określoną na zbiorze \( \{A,B\} \). Dodatkowo \( g \) spełnia warunek \( g(A)\in A \) i \( g(B)\in B \), a więc \( g\in \mathbb{P} \{A,B\} \). Zauważmy, że \( F(g)=(g(A),g(B))=(a,b) \). Wskazaliśmy więc element dziedziny funkcji \( F \), dla którego wartością jest właśnie \( (a,b) \). Wobec dowolności wyboru \( (a,b) \in A \times B \) dowiedliśmy, że \( F \) jest suriekcją.

    Ćwiczenie 6.1

    Udowodnij, że założenie o różności zbiorów \( A \) i \( B \) w powyższym twierdzeniu jest konieczne.

    Twierdzenie Knastra-Tarskiego

    Twierdzenie Knastra-Tarskiego


    W tym rozdziale przedstawimy podstawową wersję twierdzenia

    Knastra-Tarskiego o punktach stałych funkcji monotonicznych oraz kilka przykładów zastosowań.

    Definicja 7.1.

    Funkcję \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) nazwiemy monotoniczną ze względu na inkluzję, jeśli

    \( \forall_{x\subset X} \forall_{y \subset X} (x\subset y \Rightarrow f(x) \subset f(y)). \)

    Funkcje monotoniczne ze względu na inkluzję zachowują relację inkluzji pomiędzy przekształcanymi zbiorami. Nie oznacza to jednak wcale, że argument funkcji musi byc podzbiorem wartości funkcji na tym argumencie.

    Ćwiczenie 7.1

    Podaj przykład funkcji monotonicznej \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) \), dla której nieprawdą jest, że dla każdego zbioru \( A\subset X \), zachodzi \( f(A) \supset A \).

    Definicja 7.2.

    Element \( x \in X \) jest punktem stałym funkcji \( f:X \rightarrow X \), jeśli

    \( f(x)=x. \)

    Ćwiczenie 7.2

    Podaj przykłady punktów stałych następujących funkcji:

    1. \( f: R \rightarrow R \) jest określona wzorem \( f(x)= \frac{x}{2} \),
    2. \( f:\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \) jest określona wzorem \( f(x) = \{\bigcup x,\bigcap x \} \),
    3. \( f:\mathcal{P}(X^2)\rightarrow \mathcal{P}(X^2) \) jest określona wzorem \( f(r) =r^{-1} \).



    Zwróćmy uwagę, że istnieją funkcje, które nie mają punktów stałych. Prostym przykładem może być funkcja \( \{(0,1),(1,0)\} \).

    Ćwiczenie 7.3

    Niech \( X \) będzie niepustym zbiorem. Udowodnij, że dla funkcji \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow\mathcal{P}(X) \) zdefiniowanej wzorem \( f(A)= X \setminus A \) nie istnieje punkt stały.

    Definicja 7.3.

    Punkt \( x_0 \subset X \) jest najmniejszym punktem stałym funkcji \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow
    \mathcal{P}(X) \), jeśli \( f(x_0)=x_0 \) oraz

    \( \forall_{x_1\subset X} f(x_1)= x_1 \Rightarrow x_0 \subset x_1. \)

    Czyli wtedy, kiedy każdy inny punkt stały jest jego nadzbiorem.

    Definicja 7.4.

    Punkt \( x_0 \subset X \) jest największym punktem stałym funkcji \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow
    \mathcal{P}(X) \), jeśli \( f(x_0)=x_0 \) oraz

    \( \forall_{x_1\subset X} f(x_1)= x_1 \Rightarrow x_0 \supset x_1. \)

    Czyli wtedy, kiedy każdy inny punkt stały jest jego podzbiorem.

    Poniższy przykład ilustruje, że istnienie najmniejszego i największego punktu stałego wcale nie jest oczywiste.

    Przykład 7.5.

    Dla funkcji \( f:\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \) określonej wzorem \( f(A) = \{\bigcap A\} \) punktami stałymi są \( \emptyset \) oraz singletony zawierające podzbiory zbioru \( X \) (czyli zbiory postaci \( \{A\} \) dla \( A\subset X \)). Jeśli \( X \) jest niepusty, to istnieją przynajmniej dwa różne punkty stałe będące singletonami. Nie istnieje wtedy punkt stały będący ich nadzbiorem, gdyż musiałby zawierać przynajmniej dwa elementy. Wobec tego nie istnieje największy punkt stały funkcji \( f \).

    Każda monotoniczna funkcja \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) posiada najmniejszy i największy punkt stały.

    Dowód

    Niech \( L=\{x \subset X: f(x) \supset x\} \). Pokażemy, że \( \bigcup L \) jest największym punktem stałym funkcji \( f \). Zauważmy, że dla każdego \( x\in L \) z monotoniczności \( f \) otrzymujemy

    \( f(\bigcup L) \supset f(x) \supset x. \)

    Wobec tego również

    \( f(\bigcup L) \supset \bigcup L, \quad \mbox{(7.1)} \)

    skąd otrzymujemy, że \( \bigcup L \in L \). Przekształcając obie strony poprzedniego równania przez \( f \) dzięki monotoniczności tej funkcji, otrzymamy

    \( f(f(\bigcup L)) \supset f(\bigcup L). \)

    Wobec czego również \( f(\bigcup L) \in L \). Ponieważ każdy element \( L \) jest podzbiorem \( \bigcup L \), to również \( f(\bigcup L) \subset \bigcup L \). Stąd i z równania 7.1 otrzymujemy

    \( f(\bigcup L) = \bigcup L, \)

    a więc \( \bigcup L \) jest punktem stałym funkcji \( f \). Co więcej, wszystkie punkty stałe należą do zbioru \( L \), wobec czego każdy z nich jest podzbiorem \( \bigcup L \), co oznacza dokładnie, że \( \bigcup L \) jest największym punktem stałym.

    Analogicznie wykażemy istnienie najmniejszego punktu stałego. Niech \( U=\{x \subset X: f(x) \subset x\} \). Pokażemy, że \( \bigcap U \) jest najmniejszym punktem stałym. Z monotoniczności \( f \) mamy dla każdego \( x\in U \)

    \( f(\bigcap U) \subset f(x) \subset x, \)

    skąd otrzymujemy

    \( f(\bigcap U) \subset \bigcap U, \quad \mbox{(7.2)} \) wobec czego \( \bigcap U \in U \). Przekształcając obie strony ostatniego równania przez \( f \), dzięki monotoniczności tej fukcji, otrzymamy

    \( f(f(\bigcap U)) \subset f(\bigcap U), \)

    skąd wynika, że \( f(\bigcap U) \in U \). Ponieważ \( \bigcap U \) jest podzbiorem każdego elementu \( U \), więc również \( \bigcap U \subset f(\bigcap U) \). Stąd i z równania 7.2 otrzymujemy \( f(\bigcap U) = \bigcap U \). Oznacza to, że \( \bigcap U \) jest punktem stałym funkcji \( f \). Ponieważ wszystkie punkty stałe należą do zbioru \( U \), to \( \bigcap U \) jest najmniejszym punktem stałym.

    Przykład 7.7.

    Niech \( X \) będzie zbiorem induktywnym (czyli takim, którego istnienie jest gwarantowane przez aksjomat nieskończoności). Zdefiniujmy funkcję \( f:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) w następujący sposób. Dla dowolnego \( A\subset X \) niech

    \( f(A) \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} A\cup \{x \cup \{x\}: x\in A\} \cup \{\emptyset\}. \)

    Zwróćmy uwagę, że \( f(A)\subset X \) dzięki temu, że zbiór \( X \) jest induktywny. Z definicji łatwo wynika, że funkcja \( f \) jest monotoniczna. Wobec tego z twierdzenia 7.6 wynika, że ma najmniejszy i największy punkt stały. Zauważmy, że z definicji funkcji \( f \) wynika, że każdy punkt stały tej funkcji jest zbiorem induktywnym. Największy punkt stały łatwo wskazać, gdyż jest to cały zbiór \( X \). Znacznie ciekawszy jest najmniejszy punkt stały, nazwijmy go \( \omega \). Jest to najmniejszy zbiór induktywny będący podzbiorem \( X \). W wykładzie "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje" dotyczącym liczb naturalnych pokażemy, że zbiór \( \omega \) jest również podzbiorem każdego innego zbioru induktywnego (dociekliwi mogą spróbować udowodnić to już teraz).

    Ćwiczenie 7.4

    Niech \( X \) będzie ustalonym zbiorem i \( R\subset X^2 \) będzie dowolną relacją. Zdefiniujmy funkcję \( f:\mathcal{P}(X^2) \rightarrow X^2 \) następująco: \( f(S)= (S \circ S) \cup R \). Udowodnij, że funkcja \( f \) jest monotoniczna. Co jest najmniejszym, a co największym punktem stałym funkcji \( f \)?

    Ćwiczenie 7.5

    Niech \( f:\mathcal{P}(\mathcal{P}(N)) \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(N)) \) będzie zdefiniowana tak, że dla każdego \( A\subset N \)

    \( f(A)= \{x \cup y: x,y\in A\} \cup \{\{n\}: n\in N\}. \)

    Czyli funkcja \( f \) przekształca rodziny zbiorów liczb w rodziny zbiorów liczb. Udowodnij, że funkcja \( f \) jest monotoniczna. Co jest najmniejszym punktem stałym funkcji \( f \)? Czy \( \emptyset \) jest elementem tego punktu stałego?

    Lemat Banacha

    Lemat Banacha


    Twierdzenie Knastra-Tarskiego posłuży nam do udowodnienia lematu

    Banacha, który z kolei wykorzystamy w wykładzie "Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum" dotyczącym teorii mocy.

    Twierdzenie 7.8.

    Dla dowolnych zbiorów \( X,Y \) oraz funkcji \( f:X \rightarrow Y \) i \( g:Y \rightarrow X \) istnieją zbiory \( A_1,A_2 \subset X \) oraz \( B_1,B_2 \subset Y \) takie, że:

    1. \( \{A_1,A_2\} \) jest podziałem zbioru \( X \),
    2. \( \{B_1,B_2\} \) jest podziałem zbioru \( Y \),
    3. \( \vec{f}(A_1)= B_1 \),
    4. \( \vec{g}(B_2)= A_2 \).

    Dowód

    Rozważmy funkcję \( F:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) zdefiniowaną następująco. Dla dowolnego \( A\subset X \) niech

    \( F(A)= X\setminus \vec{g}(Y\setminus \vec{f}(A)). \)

    Pokażemy najpierw, że \( F \) jest monotoniczna. Weźmy dowolne zbiory \( C_1,C_2 \subset X \) takie, że \( C_1 \subset C_2 \). Wtedy

    \( \vec{f}(C_1) \subset \vec{f}(C_2), \)

    więc

    \( Y \setminus \vec{f}(C_1) \supset Y\setminus \vec{f}(C_2) \)

    \( \vec{g}( Y \setminus \vec{f}(C_1)) \supset \vec{g}(Y\setminus \vec{f}(C_2)) \)

    \( X \setminus \vec{g}( Y \setminus \vec{f}(C_1)) \subset X \setminus \vec{g}(Y\setminus \vec{f}(C_2)), \)

    a więc \( F(C_1) \subset F(C_2) \).

    Skoro \( F \) jest monotoniczna, to na mocy twierdzenia 7.6 Knastra-Tarskiego posiada najmniejszy punkt stały. Oznaczmy go przez \( A_1 \). Zdefiniujemy teraz pozostałe zbiory z tezy twierdzenia. Niech:

    \( A_2\stackrel{\textrm{def}}{\equiv} X \setminus A_1, \)

    \( B_1 \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \vec{f}(A_1), \)

    \( B_2 \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} Y \setminus B_1. \)

    Z definicji zbiorów \( A_1,A_2,B_1,B_2 \) natychmiast wynika, że zbiory \( \{A_1,A_2\} \) oraz \( \{B_1,B_2\} \) tworzą odpowiednio podziały zbiorów \( X \) i \( Y \). Również z definicji spełniony jest punkt trzeci tezy (czyli \( B_1 \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \vec{f}(A_1) \)). Pozostaje pokazać, że zachodzi punkt czwarty. Skoro \( A_1 \) jest punktem stałym funkcji \( F \), to

    \( A_1= X\setminus \vec{g}(Y\setminus \vec{f}(A_1)). \)

    Podstawiając kolejno w powyższym wzorze zdefiniowane zbiory, otrzymujemy:

    \( A_1= X\setminus \vec{g}(Y\setminus B_1), \)

    \( A_1= X\setminus \vec{g}( B_2). \)

    Odejmując obie strony od \( X \), otrzymamy:

    \( X \setminus A_1 = \vec{g}( B_2). \)

    Ponieważ jednak lewa strona w powyższej równości jest z definicji równa \( A_2 \), to otrzymujemy: \( A_2 = \vec{g}( B_2). \)

    Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje

    Wstęp



    Liczby naturalne to jedna z najbardziej podstawowych idei matematycznych. Operacje dodawania i mnożenia liczb naturalnych są najczęściej uznawane za najprostsze operacje matematyczne. W aksjomatycznym podejściu do teorii mnogości wszystkie "oczywiste fakty" dotyczące liczb naturalnych należy wywieść z aksjomatów. W pierwszej części tego wykładu wykażemy, że aksjomatyka ZF gwarantuje istnienie zbioru liczb naturalnych. Druga część poświęcona jest dowodzeniu własności tych liczb.

    W teorii mnogości liczby naturalne, podobnie jak wszystkie inne byty, muszą być zbiorami. Od aksjomatyki teorii mnogości niewątpliwie należy wymagać, aby gwarantowała ich istnienie. W aksjomatyce ZF opisanej w wykładzie "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach" jako liczby naturalne przyjmuje się zbiory, do których istnienia niezbędny jest aksjomat zbioru pustego, aksjomat pary i aksjomat sumy. Konstrukcja liczb naturalnych przedstawiona w dalszej części wykładu została zaproponowanych przez Johna von Neumanna jak specyficzny przypadek liczb porządkowych, które będą dokładniej przedstawione w wykładzie "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady".

    Liczby naturalne definiujemy następująco. Liczbą naturalną zero jest zbiór pusty \( \emptyset \). Każdą następną liczbę naturalną otrzymujemy z poprzedniej w prosty sposób:

    jeśli \( n \) jest liczbą naturalną, to następną po niej liczbą jest \( n'\stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \{n\} \cup n \)

    Początkowe liczby naturalne to:

    \( \begin{array} {ll} \text{liczba naturalna zero to zbiór } & \emptyset , \\ \text{liczba naturalna jeden to zbiór } & \{\emptyset\} , \\ \text{liczba naturalna dwa to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \\ \text{liczba naturalna trzy to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}, \\ \text{i tak dalej\dots} & \text{ } \end{array} \)

    Liczby naturalne to zbiory, których istnienie jest zagwarantowane przez aksjomaty ZF. Intuicyjnie, patrząc na nie widzimy, że posiadają tyle elementów jaka jest "wartość" liczby. Zero, to zbiór pusty, jeden, to zbiór którego jedynym elementem jest \( \emptyset \) i tak dalej.

    Zbiory induktywne

    Zbiory induktywne



    Aksjomaty ZF gwarantują więcej. Nie tylko każda z liczb naturalnych istnieje, ale również istnieje zbiór zawierający je wszystkie. Najmniejszy z takich zbiorów nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Aby wykazać istnienie tego zbioru, niezbędny jest aksjomat nieskończoności. Przytoczymy jego brzmienie zgodnie z wykładu "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach".

    Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem nieskończoności, jest prawdą:

    \( \exists x\; (\emptyset\in x \land (\forall y\; y\in x \Longrightarrow y\cup\{y\}\in x )). \) Każdy zbiór \( x \) spełniający warunek występujący w aksjomacie nieskończoności nazywamy zbiorem induktywnym. Aksjomat nieskończoności nie nakłada żadnych ograniczeń górnych na zbiory induktywne -- mogą być one dowolnie wielkie. Zbiorem liczb naturalnych będziemy nazywać najmniejszy ze zbiorów induktywnych. Wcześniej jednak musimy udowodnić, że zbiór taki istnieje. Następujące fakty pozwolą nam go zdefiniować.

    Lemat 2.1.

    Jeśli \( x \) jest niepustym zbiorem zbiorów induktywnych to \( \bigcap x \) jest również zbiorem induktywnym.

    Dowód

    Aby wykazać, że \( \bigcap x \) jest zbiorem induktywnym, musimy wykazać, że:

    • \( \emptyset \in \bigcap x \)

    oraz że

    • \( \forall y\; y\in \bigcap x \Longrightarrow y\cup\{y\}\in \bigcap x \).

    Ponieważ każdy z elementów \( x \) jest zbiorem induktywnym, to \( \forall z\; z\in x\Longrightarrow \emptyset\in z \), czyli zbiór pusty jest w każdym z elementów \( x \). Jeśli jakiś zbiór jest w każdym elemencie zbioru, to jest również w jego przecięciu, czyli \( \emptyset \in \bigcap x \). Pozostaje wykazać drugi fakt, weźmy dowolny \( y\in\bigcap x \). Natychmiastową konsekwencją jest, że dla każdego \( z \), elementu \( x \) mamy \( y\in z \). Skoro każdy element \( x \) jest zbiorem induktywnym, to dla każdego \( z \) w \( x \) mamy \( y\cup\{y\}\in z \) i, z definicji przecięcia, \( y\cup \{y\}\in\bigcap x \). W ten sposób udowodniliśmy oba warunki i równocześnie lemat.

    Przechodzimy do dowodu głównego twierdzenia. Mówi ono, że istnieje zbiór induktywny będący podzbiorem wszystkich zbiorów induktywnych.

    Twierdzenie 2.2.

    Istnieje najmniejszy, pod względem inkluzji, zbiór induktywny.

    Dowód

    Na mocy aksjomatu nieskończoności istnieje co najmniej jeden zbiór induktywny -- oznaczmy go przez \( x \). Rozważmy wszystkie podzbiory \( \mathcal{P}(x) \) tego zbioru i wybierzmy z nich, na mocy aksjomatu wyróżniania, zbiory induktywne -- powstały w ten sposób podzbiór \( \mathcal{P}(x) \) nazwijmy \( y \). Zbiór \( y \) jest niepusty, ponieważ \( x\in y \) jest zagwarantowane przez fakt, że \( x\subset x \) i założenie mówiące, że \( x \) jest zbiorem induktywnym. Wnioskujemy, że zbiór \( y \) spełnia założenia Lematu 2.1 i w związku z tym \( \bigcap y \) jest zbiorem induktywnym.

    Postulujemy, że zbiór \( \bigcap y \) jest najmniejszym zbiorem induktywnym. Aby to wykazać, pokażemy, że dla dowolnego zbioru induktywnego \( z \) mamy \( \bigcap y\subset z \). Ustalmy dowolny zbiór induktywny \( z \), na mocy Lematu 2.1, zastosowanego do zbioru \( \{x,z\} \) otrzymujemy, że \( x\cap z \) jest zbiorem induktywnym. W związku z tym \( x\cap z \in y \) i dalej \( \bigcap y\subset x\cap z \subset z \). To dowodzi, że zbiór \( \bigcap y \) jest podzbiorem każdego zbioru induktywnego, czyli najmniejszym pod względem inkluzji zbiorem induktywnym.

    Natychmiastowym wnioskiem jest, że zbiór taki jest jedyny.

    Wniosek 2.3.

    Istnieje unikalny, najmniejszy pod względem inkluzji, zbiór induktywny.

    Dowód

    Ustalmy dwa dowolne, najmniejsze pod względem inkluzji zbiory induktywne \( x \) i \( y \). Wtedy \( x\subset y \) i \( y\subset x \), skąd wnioskujemy, że \( x=y \), co należało wykazać.

    Tak skonstruowany zbiór nazywamy zbiorem liczb naturalnych.

    Definicja 2.4.
    Najmniejszy pod względem inkluzji zbiór induktywny nazywamy zbiorem liczb naturalnych i oznaczamy, przez \( \mathbb{N} \). Elementy tego zbioru nazywamy liczbami naturalnymi.
    Skonstruowaliśmy, przy pomocy aksjomatów ZF zbiór posiadający pewne własności i nazwaliśmy go zbiorem liczb naturalnych. Zbiór ten niewątpliwie zawiera liczbę zero, zdefiniowaną wcześniej jako zbiór pusty. Zawiera również liczbę jeden \( 1=0'=\{\emptyset\} \), ponieważ zawiera \( 0 \) i dla każdego elementu zawiera również jego następnik. Każda, z intuicyjnie oczywistych własności liczb naturalnych, musi być wykazana na gruncie aksjomatów ZF zanim uznamy ją za prawdziwą. Pozostała część tego wykładu poświęcona jest dowodzeniu podstawowych faktów dotyczących liczb naturalnych.

    Indukcja matematyczna

    Indukcja matematyczna


    Podstawową metodą dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych jest zasada indukcji matematycznej. Używając aksjomatów, możemy wykazać, że indukcja matematyczna działa. Formalnie, dla dowolnej własności, którą chcemy dowodzić przez indukcję, definiujemy zbiór elementów, które ją spełniają. Jeśli zbiór ten spełnia wymagane własności, jest on równy zbiorowi liczb naturalnych, czyli własność jest prawdą dla wszystkich liczb naturalnych. W formalny sposób przedstawia to poniższe twierdzenie.

    Twierdzenie 3.1. [o indukcji matematycznej]

    Dla dowolnego zbioru \( P \) jeśli \( P\subset\mathbb{N} \)

    • \( \emptyset\in P \)

    oraz

    • \( \forall x\; x\in P \Longrightarrow x'=x\cup\{x\}\in P, \)

    to \( P=\mathbb{N} \).

    Dowód

    Ustalmy dowolny zbiór \( P \) spełniający założenia twierdzenia. Zbiór \( P \) jest zbiorem induktywnym, a więc, na mocy definicji zbioru liczb naturalnych, \( \mathbb{N}\subset P \). Równocześnie założyliśmy, że \( P\subset\mathbb{N} \) i w związku z tym \( P=\mathbb{N} \), co dowodzi twierdzenia.

    Własności liczb naturalnych

    Własności liczb naturalnych


    Pierwszym twierdzeniem, które udowodnimy przy użyciu indukcji matematycznej jest twierdzenie mówiące, że każdy element liczby naturalnej jest również liczbą naturalną.

    Twierdzenie 4.1.

    Każdy element liczby naturalnej jest również liczbą naturalną. Formalnie:
    \( \forall x\; x\in\mathbb{N} \Longrightarrow \forall y\;( y\in x \Longrightarrow y\in\mathbb{N}). \)

    Dowód

    Dowiedziemy tego faktu przez indukcję. Oznaczmy przez \( P \) zbiór tych wszystkich elementów \( \mathbb{N} \) które spełniają naszą własność:

    \( P = \{n\in\mathbb{N}\,:\, \forall y\; y\in n \Longrightarrow y\in\mathbb{N}\} \)

    Innymi słowy, jest to zbiór liczb naturalnych, dla których dowodzony fakt jest prawdą. Aby móc zastosować Twierdzenie 3.1., musimy wykazać trzy własności zbioru \( P \). Niewątpliwie \( P\subset\mathbb{N} \), skoro \( P \) jest zbiorem niektórych liczb naturalnych. Przechodzimy teraz do pierwszego kroku indukcyjnego.

    • Po pierwsze musimy wykazać, że \( \emptyset\in P \). Aby to sprawdzić, musimy stwierdzić, czy każdy element zbioru \( \emptyset \) jest liczbą naturalną. Ponieważ \( \emptyset \) nie posiada żadnych elementów nie trzeba niczego dowodzić.
    • Załóżmy teraz, że \( n\in P \). To oznacza, że każdy element \( n \) jest liczbą naturalną. Rozważmy \( n'=n\cup \{n\} \). Każdy element \( n \) jest liczbą naturalną, na mocy założenia indukcyjnego, również jedyny element \( \{n\} \) równy \( n \) jest liczbą naturalną, ponieważ \( n\in P\subset \mathbb{N} \). W związku z tym każdy z elementów unii \( n\cup\{n\} \) jest również liczbą naturalną. To implikuje, że \( n' \) należy do \( P \).

    Udowodniliśmy wszystkie przesłanki Twierdzenia 3.1. i w związku z tym twierdzenie to gwarantuje, że \( P=\mathbb{N} \), czyli że każdy z elementów dowolnej liczby naturalnej jest również liczbą naturalną.

    Dowiedziemy teraz paru własności dotyczących liczb naturalnych. Wiemy, że liczbami naturalnymi są \( 0=\emptyset \) oraz następniki liczb naturalnych. Niewątpliwie \( 0 \) nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej, ponieważ następnik dowolnego zbioru posiada przynajmniej jeden element - dla \( n \) mamy \( n\in n' \). Poniższy fakt pokazuje własność przeciwną.

    Fakt 4.2.

    Każda liczba naturalna jest albo zbiorem pustym, albo następnikiem liczby naturalnej. Formalnie:

    \( \forall x\; x\in\mathbb{N} \Longrightarrow (x = \emptyset \lor \exists y\; (y\in\mathbb{N} \land x=y')) \)

    Dowód

    Aby dowieść tego faktu skorzystamy z twierdzenia o indukcji matematycznej. Zdefiniujemy zbiór \( P \) jako zbiór elementów spełniających nasze założenia:

    \( P = \{n\in\mathbb{N}\,:\, n=\emptyset \lor \exists m\; (m\in\mathbb{N} \land n=m')\}. \)

    Aby skorzystać z twierdzenia o indukcji wykażemy, że:

    • Zbiór pusty jest elementem \( P \) -- jest to oczywista konsekwencja definicji \( P \).
    • Jeśli \( n\in P \) to również \( n'\in P \). Aby to wykazać, załóżmy, że \( n\in P\subset \mathbb{N} \). Oczywiście \( n' \) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej - \( n \).

    Na podstawie twierdzenia o indukcji \( P=\mathbb{N} \), czyli fakt jest prawdziwy.

    Kolejny fakt mówi o zależnościach pomiędzy różnymi liczbami naturalnymi.

    Fakt 4.3.

    Dla dowolnej liczby naturalnej \( n \) i dowolnego zbioru \( y \), jeśli \( y\in n \), to \( y\subset n \).

    Dowód

    Dowód przeprowadzimy indukcyjnie, czyli w oparciu o Twierdzenie 3.1.. Zdefiniujmy zbiór \( P \) jako zbiór tych wszystkich \( n \), elementów \( \mathbb{N} \), które spełniają nasze założenie -- formalnie:

    \( P=\{n\in\mathbb{N}\,:\, \forall y\; y\in n \Longrightarrow y\subset n\}. \)

    Aby skorzystać z indukcji, należy wykazać dwa fakty:

    • Oczywiście \( 0=\emptyset\in P \), ponieważ \( \emptyset\in\mathbb{N} \) i warunek \( y \in \emptyset \) jest fałszem, dla wszystkich \( y \).
    • Załóżmy teraz że \( n\in P \) i dowiedźmy, że \( n' \) jest również elementem \( P \). W tym celu ustalmy dowolny \( y \) taki, że \( y\in n' = n\cup\{n\} \). Rozważamy dwa przypadki - albo \( y\in n \), albo \( y\in\{n\} \) (równoważnie \( y=n \)). Jeśli \( y\in n \), to, na mocy założenia indukcyjnego, \( y\subset n \), a ponieważ \( n\subset n\cup\{n\} \), wnioskujemy, że \( y\subset n' \), co należało wykazać. W drugim przypadku \( y=n \), ale, ponieważ \( n'=n\cup\{n\} \), otrzymujemy natychmiast, że \( y=n\subset n' \), co należało wykazać.

    No mocy twierdzenia o indukcji matematycznej \( P=\mathbb{N} \) i fakt jest dowiedziony dla wszystkich liczb naturalnych.

    Kilka podobnych własności liczb naturalnych podajemy jako ćwiczenie:

    Ćwiczenie 4.1

    Jeśli \( m \) i \( n \) są liczbami naturalnymi, to:

    1. jeżeli \( m'=n' \), to \( m=n \),
    2. jeżeli \( m\subset n \) i \( m\neq n \), to \( m\in n \),
    3. \( m\subset n \) lub \( n\subset m \) - czyli wszystkie liczby naturalne są porównywalne przez inkluzję
    4. \( m\in n \) albo \( m=n \) albo \( m\ni n \) - czyli dla dowolnych dwóch różnych liczb naturalnych jedna jest elementem drugiej.

    Przedstawimy kolejno rozwiązania do powyższych podpunktów:




    Porządek na liczbach naturalnych

    Porządek na liczbach naturalnych


    Wśród naiwnie interpretowanych liczb naturalnych mamy zdefiniowany porządek mniejszości. Aby zdefiniować taki porządek w aksjomatycznie skonstruowanym zbiorze liczb naturalnych musimy go wyrazić za pomocą symboli predykatowych. Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych \( m \) i \( n \) piszemy:

    \( m\leq n \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} m\subset n \)

    oraz

    \( m < n \stackrel{\textrm{def}}{\equiv} m\in n. \)

    Przy takim zdefiniowaniu relacji Fakt 4.3. i poprzednie ćwiczenie natychmiast gwarantują, że dla dowolnych liczb naturalnych \( m \) i \( n \):

    • \( m < n \Longrightarrow m\leq n \),
    • \( (m\leq n \land m\neq n) \Longrightarrow m < n \),
    • \( m \leq n \lor n\leq m \),
    • \( m < n \lor m=n \lor n < m \) - gdzie dokładnie jeden z warunków jest prawdziwy.

    Kolejne własności dotyczące porządku na liczbach naturalnych podajemy w formie ćwiczenia:

    Ćwiczenie 5.1

    Dla dowolnych liczb naturalnych \( k,m \) i \( n \) następujące warunki są spełnione:

    1. \( m=n\iff (m\leq n \land n\leq m) \),
    2. \( \lnot (n < n) \),
    3. \( (k\leq m \land m\leq n) \Longrightarrow k\leq n \),
    4. \( (k < m \land m\leq n) \Longrightarrow k < n \),
    5. \( (k\leq m \land m < n) \Longrightarrow k < n \),
    6. \( (k < m \land m < n) \Longrightarrow k < n \).

    Ustalmy dowolne liczby naturalne \( k,m \) i \( n \)






    Często używać będziemy zbioru wszystkich liczb naturalnych mniejszych niż dana liczba. Okazuje się, że zdefiniowaliśmy już takie zbiory - każda liczba naturalna to zbiór liczb silnie mniejszych od niej.

    Wniosek 5.1.

    Każda liczba naturalna \( n \) to zbiór liczb istotnie mniejszych od \( n \). Formalnie:
    \( \forall n\; n\in\mathbb{N}\Longrightarrow ( \forall z\; z\in n \iff (z\in\mathbb{N} \land z < n)). \)
    Dowód

    Dla dowolnego ustalonego \( n \) i \( z \) implikacja w lewą stronę jest oczywista (z definicji \( < \)). Implikacja w prawą stronę jest natychmiastową konsekwencją Twierdzenia 4.1. i definicji \( < \).

    Ćwiczenie 5.2

    Ile jest funkcji \( f:\mathbb{N}arrow\mathbb{N} \) takich, że \( \vec{f}(n) = f(n) \), dla każdej liczby naturalnej \( n \).


    Następujące twierdzenie mówi, że każdy zbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą w porządku \( \leq \). Pozwala ono dowody przez indukcję zamieniać na dowody niewprost. Zamiast przeprowadzać dowód indukcyjny dla zbioru \( P \), rozważyć możemy zbiór \( \mathbb{N}\setminus P \). Na mocy poniższego twierdzenia zbiór taki posiada element minimalny, który jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej, co pozwala na uzyskanie sprzeczności.

    Twierdzenie 5.2. [Zasada minimum]

    Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy, to znaczy taki, że wszystkie elementy w tym zbiorze są od niego większe lub równe.

    Dowód

    Faktu tego dowodzimy indukcyjnie. Na początku ustalmy zbiór \( P \):

    \( P=\{n\in\mathbb{N}\,:\, \forall x (x\subset\mathbb{N} \land x\cap n \neq \emptyset) \Longrightarrow \bigcap x\in x\}. \)

    Zbiór \( P \) zawiera takie liczby naturalne, że dla dowolnego zbioru liczb naturalnych \( x \) jeśli \( x\cap n\neq \emptyset \) (czyli w zbiór \( x \) zawiera liczbę naturalną silnie mniejszą od \( n \)), to zbiór \( \bigcap x \) jest elementem \( x \). Wykażmy, indukcyjnie, że \( P=\mathbb{N} \).

    • Niewątpliwie \( 0\in P \), ponieważ, dla dowolnego, \( x \) fałszem jest \( x\cap\emptyset\neq\emptyset \).
    • Załóżmy, że \( n\in P \) i ustalmy zbiór \( x \) taki, że \( x\subset \mathbb{N} \) i \( x\cap n'\neq \emptyset \). Ponieważ \( n'=n\cup\{n\} \) naturalnie jest rozważyć dwa przypadki. Jeśli \( x\cap n\neq \emptyset \), otrzymujemy \( \bigcap x\in x \) na mocy założenia indukcyjnego. W przeciwnym przypadku \( x\cap n = \emptyset \), czyli \( x\cap n'=\{n\} \). Otrzymujemy wtedy \( n\in x \). Równocześnie, dla każdego \( z\in x \) mamy \( n\in z \) lub \( n=z \) (na mocy identyczności pokazanych wcześniej) ponieważ \( z\in n \) -trzecia możliwość jest zabroniona na mocy \( x\cap n = \emptyset \). To wykazuje, że dla każdego \( z\in\mathbb{N} \) mamy, na mocy własności liczb naturalnych, \( n\subset z \). Używając własności przecięcia dostajemy \( n\subset \bigcap x \), a ponieważ \( n\in x \) otrzymujemy \( \bigcap x\subset n \) - to daje \( \bigcap x = n\in x \) - co należało wykazać.

    Aby dowieść twierdzenie, ustalmy niepusty zbiór \( x \subset \mathbb {N} \). Niewątpliwie istnieje \( n\in\mathbb{N} \) takie, że \( n\in x \). Wtedy \( n'\cap x\neq\emptyset \), ponieważ \( n\in n'\cap x \). Na mocy dowiedzionego chwilę wcześniej faktu wnioskujemy, że \( \bigcap x\in x\subset\mathbb{N} \). Czyli że \( \bigcap x \) jest najmniejszą liczbą naturalną występującą w \( x \).

    Oczywistym faktem jest, że nie istnieje największa liczba naturalna. Aksjomatyczny dowód tego faktu przebiega niewprost. Jeśli \( n \) jest liczbą naturalną, to \( n' \) jest również liczbą naturalną i \( n'> n \), więc \( n \) nie mogła być większa od wszystkich liczb. Niemniej jednak, jeśli pewien podzbiór liczb naturalnych jest ograniczony z góry, to posiada element największy.

    Twierdzenie 5.3. [Zasada maksimum]

    Jeśli \( x \) jest niepustym zbiorem liczb naturalnych ograniczonym z góry, tzn.:

    \( \exists y\; y\in\mathbb{N} \land \forall z\; z\in x \Longrightarrow z \leq y, \)

    to \( x \) posiada element największy, tzn.:

    \( \exists y\; y\in x \land \forall z\; z\in x \Longrightarrow z\leq y. \)

    Dowód

    Faktu tego dowodzimy przez indukcję. Zdefiniujmy zbiór \( P \) jako zbiór tych ograniczeń górnych dla których zachodzi nasza teza:

    \( P = \{n\in\mathbb{N}\,:\, \forall x\; ( x\neq \emptyset \land x\subset n ) \Longrightarrow \bigcup x \in x\}. \)

    Zbiór \( P \) jest zdefiniowany jako zbiór tych liczb naturalnych \( n \), że dla każdego zbioru \( x \) składającego się z liczb silnie mniejszych od \( n \) zbiór ten posiada największy element (którym jest \( \bigcup x \)). Przechodzimy do indukcyjnego dowodu tego faktu.

    • Niewątpliwie \( 0=\emptyset\in P \), ponieważ \( \emptyset \) nie posiada żadnych niepustych podzbiorów.
    • Załóżmy, że \( n\in P \) i ustalmy dowolne, niepuste \( x\subset n' \). Jeśli \( n\in x \), to, ponieważ pozostałe elementy \( n' \) są podzbiorami \( n \), otrzymujemy \( \bigcup x = \bigcup n' = n\in x \). Jeśli \( n\notin x \), to \( x\subset n \) i, na mocy założenia indukcyjnego otrzymujemy \( \bigcup x\in x \).

    Ustalmy teraz dowolny niepusty zbiór liczb naturalnych \( x \) ograniczony z góry przez liczbę naturalną \( y \). Natychmiast otrzymujemy, że \( x\subset y' \) i na mocy dowiedzionej wcześniej własności \( \bigcup x\in x\subset \mathbb{N} \), czyli \( \bigcup x \) jest liczbą naturalną i elementem \( x \). Niewątpliwie \( \bigcup x \) jest nadzbiorem każdego z elementów \( x \), co dowodzi, że \( \bigcup x \) jest elementem maksymalnym zbioru \( x \).

    Definiowanie przez indukcję

    Definiowanie przez indukcję



    Następujące twierdzenie pozwala nam zdefiniować dodawanie, mnożenie i wiele ważnych operacji na liczbach naturalnych. Twierdzenie to mówi, że jeśli wiemy, jak zdefiniować pewną operację dla zera oraz jak zdefiniować ją dla następnika danej liczby, to możemy zdefiniować ją równocześnie dla wszystkich liczb.

    Twierdzenie 6.1. [o definiowaniu przez indukcję]

    Niech \( A \) i \( B \) będą zbiorami, a \( f: A \rightarrow B \) i \( g:B\times \mathbb{N}\times A \rightarrow B \) funkcjami. Istnieje unikalna funkcja \( h:\mathbb{N}\times A \rightarrow B \) taka, że:

    \( h(0, a) = f(a), \mbox{ dla każdego }a \in A, \)
    \( h(n', a) = g(h(n, a), n, a), \mbox{ dla każdego }a \in A \mbox{ i }n \in \mathbb{N}. \)

    Dowód

    Dowód istnienia funkcji \( h \) będzie się opierał na analizie elementów następującego zbioru:

    \( H = \{e\,:\, \exists m\; m\in\mathbb{N} \land e:m'\times A \rightarrow B \land \mbox{(*)} \}, \)

    gdzie

    \( e(0, a) = f(a), \mbox{ dla każdego }a \in A, \)
    \( e(g(n, a), n, a), \mbox{ dla każdego }a \in A \mbox{ i }n \in m \quad \mbox{(*)} \)

    Zbiór \( H \) jest to zbiór funkcji, które częściowo rozwiązują nasz problem -- funkcje ze zbioru \( H \) działają dla liczb naturalnych mniejszych niż pewne, ustalone \( m \). Funkcja \( h \), której istnienia dowodzimy, powinna działać dla wszystkich liczb naturalnych.

    W pierwszej części dowiedziemy, że zbiór \( H \) jest niepusty i, co więcej, zawiera przynajmniej jedną funkcję \( e:m'\times A \rightarrow B \) dla każdej liczby naturalnej \( m \). Dowód jest indukcyjny -- zdefiniujmy zbiór \( P \) jako zbiór tych liczb, dla których istnieją odpowiednie funkcje w \( H \):

    \( P = \{m\in\mathbb{N}\,:\, \exists e\; e:m'\times A \rightarrow B \land e\in H\}. \)

    Dowiedziemy indukcyjnie, że \( P=\mathbb{N} \):

    • Niewątpliwie \( 0\in P \) ponieważ funkcja \( e:\{0\}\times A \rightarrow B \) zdefiniowana jako \( e(0,a)=f(a) \) jest elementem \( H \).
    • Załóżmy, że \( m\in P \). To oznacza, że istnieje funkcja \( e:m'\times A \rightarrow B \) spełniająca (*). Funkcja \( e' \)

    zdefiniowana jako:

    \( e'(n, a) = \begin{cases} e(n, a), & \mbox{jeśli } n \in m', \\ g(e(n, a), n, a), & \mbox{jeśli} n = m', \end{cases} \)

    przeprowadza \( m''\times A \) w \( B \) i należy do \( H \), gwarantując, że \( m'\in P \).

    Na podstawie twierdzenia o indukcji istnieje funkcja \( e:m'\times A \rightarrow B \) należąca do \( H \), dla każdego \( m\in\mathbb{N} \).

    Kolejną rzeczą jako wykażemy jest to, że dowolne funkcje \( e\in H \) i \( e'\in H \) dla tych samych argumentów zwracają takie same wyniki (oczywiście zakładając, że argumenty należą do przecięcia dziedzin tych funkcji). Nasz dowód przebiega niewprost. Załóżmy że funkcje \( e,e'\in H \) są takie, że istnieje \( n\in\mathbb{N} \) i \( a\in A \) spełniające \( e(n,a)\neq e'(n,a) \). Zastosujmy Twierdzenie 5.2. do zbioru tych wszystkich \( n \), dla których istnieje \( a\in A \) spełniające \( e(n,a)\neq e'(n,a) \) (na mocy naszego założenia zbiór ten jest niepusty). Otrzymujemy najmniejszą liczbę naturalną \( n \) taką, że \( e(n,a)\neq e'(n,a) \). Liczba \( n \) nie może być równa \( 0 \), bo wtedy \( e(0,a) = f(a) = e'(0,a) \), więc, na mocy Faktu 4.2. \( n=k' \), dla pewnego \( k \). Ponieważ \( k < n \), więc \( e(k,a)=e'(k,a) \) i otrzymujemy sprzeczność dzięki:

    \( e(n,a) = e(k',a)=g(e(k,a),k,a) = g(e'(k,a),k,a) = e'(k',a) = e'(n,a). \)

    Dowód twierdzenia kończymy, definiując \( h = \bigcup H \). Na mocy wcześniejszego faktu \( h \) jest funkcją, a na mocy faktu, który dowodziliśmy indukcyjnie dziedziną \( h \) jest zbiór liczb naturalnych. Warunki stawiane \( h \) są spełnione w sposób oczywisty dzięki definicji zbioru \( H \).

    Aby wykazać unikalność funkcji \( h \) załóżmy, że istnieje funkcja \( h'\neq h \) spełniająca tezę twierdzenia. Wnioskujemy, że istnieje \( n\in\mathbb{N} \) i \( a\in A \) takie, że \( h(n,a)\neq h'(n,a) \). Wtedy jednak \( h' \) zawężone do \( n' \) jest elementem zbioru \( H \), co stoi w sprzeczności z faktem wykazanym o \( H \).

    Operacje na liczbach naturalnych

    Operacje na liczbach naturalnych


    Definiowanie przez indukcję pozwala nam na wprowadzenie podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach naturalnych. Jako pierwszą z tych operacji wprowadzimy dodawanie.

    Dodawanie liczb naturalnych

    Dodawanie jest funkcją dwuargumentową przekształcającą \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) w \( \mathbb{N} \). Aby wykazać istnienie dodawania, korzystamy z twierdzenia o indukcji, kładąc za \( A \) i \( B \) zbiór liczb naturalnych \( \mathbb{N} \) i definiując \( f(n)=n \) oraz \( g(m,n,p) = m' \). Na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcję istnieje funkcja \( h:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} \) taka, że \( h(0,m) = m \) i \( h(n',m)= h(n,m)' \). Funkcja ta to dodawanie liczb naturalnych i będziemy używać zwyczajnej notacji \( h(n,m) = n+m \). Zgodnie z intuicją, dla dowolnej liczby naturalnej \( n \) mamy \( n' = n+1 \).

    Jedyną udowodnioną w tej chwili własnością funkcji zapisywanej przez \( + \) są wynikające wprost z definicji własności. Wiemy, że,

    \( 0+n = n, \)

    dla każdego liczby naturalnej \( n \) oraz że,

    \( n'+m = (n+m)', \) dla dowolnych liczb \( n \) i \( m \). Poniżej przedstawiamy parę podstawowych faktów dotyczących dodawania liczb naturalnych.

    Fakt 7.1.

    Jeśli suma dwóch liczb jest równa \( 0 \), to obie liczby muszą być równe \( 0 \).

    Dowód

    Załóżmy, że dla dwu liczb naturalnych \( n \) i \( m \) zachodzi \( n+m=0 \). Jeśli liczba \( n \) jest następnikiem jakiejś liczby naturalnej, to również \( n+m \) jest następnikiem jakiejś liczby i w związku z tym \( n+m\neq 0 \). Na podstawie Faktu 4.2. wnioskujemy, że \( n=0 \). Wtedy \( 0+m=m \) i otrzymujemy \( m=0 \), co należało wykazać.

    Kolejny fakt mówi o łączności dodawania liczb naturalnych.

    Fakt 7.2.

    Dodawanie liczb naturalnych jest łączne. Formalnie:

    \( \forall k \forall m \forall n\; (k\in\mathbb{N} \land m\in \mathbb{N} \land n\in \mathbb{N}) \Longrightarrow k+(m+n)=(k+m)+n. \)

    Dowód

    Dowód jest indukcją ze względu na \( k \).

    • Jeśli \( k=0 \), to \( 0+(m+n) = m+n \) oraz \( 0+m=m \) i w związku z tym \( (0+m)+n = m+n \), co należało pokazać.
    • Zakładamy, że równość jest prawdziwa dla \( k \) (dla

    dowolnych \( m \) i \( n \)). Ustalmy dowolne liczby naturalne \( m \) i \( n \), wtedy:

    \( k'+(m+n) = (k+(m+n))' = ((k+m) + n)' = (k+m)' +n = (k'+m) +n \)

    gdzie druga równość wynika z założenia indukcyjnego, a wszystkie pozostałe równości z definicji funkcji \( + \).

    Dzięki twierdzenie o indukcji matematycznej dodawanie jest łączne dla wszystkich liczb naturalnych.

    Dalsze własności dodawania liczb naturalnych prezentujemy jako ćwiczenie.

    Ćwiczenie 7.1

    Dla dowolnych liczb naturalnych \( k,m \) i \( n \) udowodnij:

    1. \( n+0=n \),
    2. \( k'+m=k+m' \),
    3. \( k+m = m+k \), czyli dodawanie jest przemienne,
    4. jeśli \( k+n = m+n \), to \( k=m \), czyli dodawanie jest skracalne,
    5. jeśli \( k>m \), to istnieje \( n>0 \) takie, że \( k=m+n \).





    Ćwiczenie 7.2

    Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych \( k \) i \( n \):

    1. jeśli \( n \neq 0 \), to \( k+ n > k \),
    2. \( k + n \geq k \).


    Mnożenie liczb naturalnych

    Podobnie do dodawania możemy zdefiniować mnożenie. Stosujemy twierdzenie o definiowaniu przez indukcję do \( A=B=\mathbb{N} \) oraz \( f(n) = 0 \) i \( g(m,n,p) = m + p \). Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję gwarantuje istnienie funkcji \( h:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N} \) takiej, że:

    \( h(0,m) = 0 \)

    oraz:

    \( h(n',m) = h(n,m) + m. \)

    Funkcję \( h \) definiującą mnożenie oznaczamy w notacji infiksowej symbolem \( \cdot \) tak, że \( n\cdot m = h(n,m) \). Podobnie jak dla dodawania musimy wykazać własności dotyczące mnożenia liczb naturalnych, posługując się wyłącznie powyższą definicją.

    Fakt 7.3.

    Dla dowolnej liczby naturalnej \( k \) mamy \( k\cdot 1 = k \).

    Dowód

    Dowód tego faktu jest indukcją ze względu na \( k \). Jeśli \( k=0 \), to \( 0\cdot 1 = 0 \). Jeśli równość jest prawdą dla \( k \), to \( k'\cdot 1 = k\cdot 1 + 1 \), co, na mocy założenia indukcyjnego, jest równe \( k+1=k' \). Dowiedliśmy kroku indukcyjnego, a co za tym idzie całej identyczności.

    Ćwiczenie 7.3

    Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych \( k,m \) i \( n \) zachodzi:

    1. \( k\cdot (m+n) = k\cdot m +k\cdot n \) - dodawanie jest rozdzielne względem mnożenia z prawej strony,
    2. \( (k+m)\cdot n = k\cdot n + m\cdot n \) - dodawanie jest rozdzielne względem mnożenia z lewej strony,
    3. \( k\cdot(m\cdot n) = (k\cdot m)\cdot n \) - mnożenie jest łączne,
    4. \( k\cdot 0 = 0, \)
    5. \( k\cdot m = 0 \) wtedy i tylko wtedy, kiedy \( k=0\lor m=0, \)
    6. \( k\cdot m = m\cdot k \) - mnożenie jest przemienne,
    7. jeśli \( k\cdot n = m\cdot n \) i \( n\neq 0 \) to \( k=m \).







    Ćwiczenie 7.4

    Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych \( k \) i \( n \).

    1. jeśli \( n > 1 \) i \( k\neq 0 \), to \( k\cdot n > k \),
    2. jeśli \( n\neq 0 \), to \( k\cdot n \geq k \).


    Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek

    Liczby całkowite

    Liczby całkowite



    W poprzednim wykładzie skonstruowaliśmy przy pomocy aksjomatu nieskończoności liczby naturalne. Określiliśmy dla nich podstawowe operacje, takie jak dodawanie i mnożenie. Teraz własności tych operacji będą użyte do dalszych konstrukcji liczbowych. Pokażemy, że mając liczby naturalne zbudowane na bazie liczby \( \displaystyle 0 \), czyli zbioru pustego, możemy definiować bardziej skomplikowane twory liczbowe takie, jak liczby całkowite, wymierne i w końcu liczby rzeczywiste. Wszystkie te obiekty mają ogromne zastosowanie w praktyce matematycznej i informatycznej. Będziemy później w innych wykładach odwoływać się do niebanalnej reprezentacji tych obiektów, które stworzymy w tym rozdziale.

    Konstrukcja liczb całkowitych

    Definicja 1.1.

    Niech \( \displaystyle \approx \) będzie relacją określoną na \( \displaystyle \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) następująco:

    \( \displaystyle (n,k)\approx (p,q) \) wtw \( \displaystyle n+q = k+p. \)

    Ćwiczenie 1.2

    Relacja \( \displaystyle \approx \) jest relacją równoważności o polu \( \displaystyle \mathbb{N} \times \mathbb{N} \).

    Ćwiczenie 1.3

    Wykaż, że dla dowolnej pary \( \displaystyle (n,k)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N} \) istnieje para \( \displaystyle (p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \) taka, że \( \displaystyle (n,k)\approx (p,q) \) oraz \( \displaystyle p=0 \) lub \( \displaystyle q=0 \).

    Definicja 1.4.

    Niech \( \displaystyle \mathbb{Z} = \mathbb{N} \times\mathbb{N} / \approx \)

    Ćwiczenie1.5

    Które z liczb całkowitych \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx} \) są relacjami równoważności na \( \displaystyle \mathbb{N} \)?

    Definicja 1.6.

    Element zero \( \displaystyle 0 \in \mathbb{Z} \) to element \( \displaystyle [ (0,0) ]_{\approx} \).
    Element przeciwny do danego: jeżeli \( \displaystyle x = [ (n,k) ]_{\approx} \), to przez \( \displaystyle -x = [ (k,n) ]_{\approx} \)

    Dodawanie: \( \displaystyle [ (n,k) ]_{\approx} + [ (p,q) ]_{\approx} = [ (n+p,k+q) ]_{\approx} \).

    Mnożenie: \( \displaystyle [ (n,k) ]_{\approx} \cdot [ (p,q) ]_{\approx} = [ (n \cdot p + k \cdot q \;,\; n \cdot q + k \cdot p ) ]_{\approx} \){Dla przejrzystości zapisu będziemy czasami pomijać znak \( \displaystyle \cdot \), pisząc \( \displaystyle xy \), zamiast \( \displaystyle x\cdot y \)}.

    Odejmowanie: \( \displaystyle x-y = x+ (-y) \)

    Proszę o zwrócenie uwagi na pewną kolizję oznaczeń. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia i odejmowania) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Jest to ewidentna kolizja oznaczeń, którą wykonujemy z pełną świadomością. W praktyce matematycznej i informatycznej przyjęło się używać te same znaki działań, wiedząc, że mają one zgoła inne znaczenie. Również element \( \displaystyle 0 \) będziemy oznaczać identycznie jak \( \displaystyle 0 \) w liczbach naturalnych, pomimo że jest to zupełnie inny zbiór. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby naturalne w całkowite) takie, które zachowuje działania na liczbach, co upewni nas, że stosowanie tych samych oznaczeń nie grozi konfliktem.

    Ćwiczenie 1.7

    Pokazać, że działania na liczbach całkowitych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:


    Ćwiczenie 1.8

    Pokaż własności działań dodawania i mnożenia. Dla dowolnych liczb całkowitych \( \displaystyle x,y,z \) zachodzą równości:

    1. \( \displaystyle x+y = y+x \) (przemienność dodawania),
    2. \( \displaystyle x \cdot y = y \cdot x \) (przemienność mnożenia),
    3. \( \displaystyle x \cdot y = z \cdot y \) oraz \( \displaystyle y\neq 0 \) to \( \displaystyle x=z \) (prawo skracania),
    4. \( \displaystyle x \cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z \) (rozdzielność).


    Porządek liczb całkowitych

    Definicja 1.9.

    Liczba \( \displaystyle [ (n,k) ]_{\approx} \leq [ (p,q) ]_{\approx} \) zachodzi, gdy \( \displaystyle n+q \leq p+k \).

    Ćwiczenie 1.10

    Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta. <

    Niech \( \displaystyle (n,k),(m,l),(p,q),(r,s) \) będą parami liczb naturalnych takimi, że \( \displaystyle (n,k)\approx (m,l) \) oraz \( \displaystyle (p,q)\approx (r,s) \). Załóżmy dodatkowo, że \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx}\leq[(p,q)]_{\approx} \). Wykażemy, iż w takim przypadku również \( \displaystyle [(m,l)]_{\approx}\leq [(r,s)]_{\approx} \), czyli że porządek na liczbach całkowitych jest niezależny od wyboru reprezentantów dla klas równoważności. Skoro \( \displaystyle [(n,k)]_{\approx}\leq[(p,q)]_{\approx} \), to \( \displaystyle n+q \leq p+k \) i z wykładu o liczbach naturalnych wiemy, że istnieje liczba naturalna \( \displaystyle t \) taka, że \( \displaystyle n+q+t = p+k \). Równocześnie nasze założenia gwarantują, że \( \displaystyle n+l=k+m \) i \( \displaystyle p+s=q+r \), czyli że:

    \( \displaystyle n+l+q+r = k+m+p+s. \)

    Korzystając z udowodnionej własności \( \displaystyle t \) podstawiamy liczby do wzoru, otrzymując:

    \( \displaystyle n+l+q+r=n+m+q+t+s, \)

    co z kolei możemy skrócić przez \( \displaystyle n+q \), otrzymując:

    \( \displaystyle l+r = m+s+t \text{ co oznacza } l+r\geq m+s. \)

    Czyli \( \displaystyle [(m,l)]_{\approx}\leq[(r,s)]_{\approx} \), co należało wykazać.

    Ćwiczenie 1.11

    Pokaż, że porządek liczb całkowitych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.


    Definicja 1.12.

    Rozważmy funkcje \( \displaystyle i:\mathbb{N} arrow \mathbb{Z} \) zadaną wzorem:

    \( \displaystyle i(n) = [ (n,0)]_{\approx}. \)

    Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru \( \displaystyle \mathbb{N} \) w zbiór \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Jako ćwiczenie pokażemy, że funkcja \( \displaystyle i \) jest iniektywna i zgodna z działaniami. Dzięki włożeniu \( \displaystyle i \) będziemy utożsamiali liczbę naturalną \( \displaystyle n \) z odpowiadającą jej liczbą całkowitą \( \displaystyle i(n) \). W ten sposób każdą liczbę naturalną możemy traktować jak całkowitą.

    Ćwiczenie 1.13

    Pokaż, że funkcja \( \displaystyle i \) jest iniekcją. Pokaż, że \( \displaystyle i \) jest zgodne z działaniami i porządkiem, to znaczy:

    1. \( \displaystyle i(0) =0 \),
    2. \( \displaystyle i(n+m) = i(n)+i(m) \),
    3. \( \displaystyle i(n \cdot m) = i(n) \cdot i(m) \),
    4. jeżeli \( \displaystyle n \leq k \), to \( \displaystyle i(n) \leq i(k) \).


    Liczby wymierne

    Liczby wymierne



    Niech \( \displaystyle \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{\emptyset\} \). Określamy relację \( \displaystyle \sim \) na zbiorze \( \displaystyle \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^* \) następująco:

    \( \displaystyle (a,b) \sim (c,d) \) wtw \( \displaystyle a \cdot d = c \cdot b. \)

    Ćwiczenie 2.1

    Relacja \( \displaystyle \sim \) jest równoważnością.


    Definicja 2.2.

    Niech \( \displaystyle \mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times\mathbb{Z}^* / \sim. \)

    OZNACZENIE: Będziemy tradycyjne oznaczać ułamek \( \displaystyle \frac{a}{b} \). Oznacza on zbiór \( \displaystyle [ (a,b) ]_{\sim} \).

    Ćwiczenie 2.3

    Dla jakich liczb wymiernych \( \displaystyle [(a,b)]_{\sim} \) mamy \( \displaystyle \bigcup\bigcup [(a,b)]_{\sim} = \mathbb{Z} \)?

    Działania na ułamkach

    Definiujemy stałe i standardowe działania na ułamkach.

    • Zero w liczbach wymiernych \( \displaystyle 0 \in \mathbb{Q} \) to \( \displaystyle [(0, 1) ]_{\sim} \).
    • Jedynka w liczbach wymiernych \( \displaystyle 1 \in \mathbb{Q} \) to ułamek \( \displaystyle [(1, 1) ]_{\sim} \).
    • \( \displaystyle - [ (a,b) ]_{\sim} = [(-a, b) ]_{\sim}. \)
    • Dodawanie \( \displaystyle [ (a,b) ]_{\sim} + [ (c,d) ]_{\sim} = [(ad +bc, bd) ]_{\sim} \).
    • Odejmowanie \( \displaystyle [ (a,b) ]_{\sim} - [ (c,d) ]_{\sim} = [(ad - bc, bd)]_{\sim} \).
    • Mnożenie \( \displaystyle [ (a,b) ]_{\sim} \cdot [ (c,d) ]_{\sim} = [(ac, bd) ]_{\sim} \).
    • Dzielenie, \( \displaystyle [ (a,b) ]_{\sim} : [ (c,d) ]_{\sim} = [(ad, bc) ]_{\sim} \) gdy \( \displaystyle [ (c,d) ]_{\sim} \neq [(0, d) ]_{\sim} \).

    Tak jak poprzednio w przypadku liczb całkowitych będziemy starali się utożsamiać liczby całkowite z pewnymi ułamkami.

    Proszę tak jak poprzednio o zwrócenie uwagi na kolizję oznaczeń. Jest to zamierzona kolizja oznaczeń, którą wprowadzamy z pełną świadomością. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia, odejmowania i liczby przeciwnej) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby całkowite w wymierne) takie, które zachowuje działania na liczbach. Upewni nas to, że stosowanie tych samych oznaczeń de facto nie grozi konfliktem.

    Ćwiczenie 2.4

    Pokazać, że działania na liczbach wymiernych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:


    Porządek ułamków.

    Definicja 2.5.

    \( \displaystyle \frac{a}{b} \geq \frac{c}{d} \), gdy \( \displaystyle (a\cdot d - b \cdot c) \cdot b \cdot d \geq 0. \)

    Ćwiczenie 2.6

    Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.


    Ćwiczenie 2.7

    Pokaż, że porządek liczb wymiernych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.


    Do rozważań nad konstrukcją liczb rzeczywistych potrzebna nam będzie definicja wartości bezwzględnej

    Definicja 2.8.

    \( \displaystyle | x |\ = \left\{ \begin{array}{rll} x, & \text{ gdy } x\geq 0, \\ -x, & \text{ w przeciwnym przypadku}. \end{array}\right. \)

    Ćwiczenie 2.9

    Pokaż warunek trójkąta, czyli:

    \( \displaystyle | x+y | \leq | x | + | y |. \)


    Definicja 2.10.

    Rozważmy teraz funkcje \( \displaystyle j:\mathbb{Z} arrow \mathbb{Q} \) identyfikującą liczby całkowite jako pewne specjalne liczby wymierne zadaną wzorem:

    \( \displaystyle j(a) = [ (a,1)]_{\sim}. \)

    Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru \( \displaystyle \mathbb{Z} \) w zbiór \( \displaystyle \mathbb{Q} \). Jest iniektywna, zgodna z działaniami i zachowująca stałe. Pokazanie tych własności będzie treścią następnego ćwiczenia.

    Ćwiczenie 2.11

    Pokaż własności włożenia \( \displaystyle j \):

    1. \( \displaystyle j(0) = 0 \),
    2. \( \displaystyle j(1)=1 \),
    3. \( \displaystyle j(a+b) = j(a)+j(b) \),
    4. \( \displaystyle j(a-b) = j(a)-j(b) \),
    5. \( \displaystyle j(a \cdot b) = j(a) \cdot j(b) \),
    6. jeżeli \( \displaystyle x \leq y \), to \( \displaystyle j(x) \leq j(y) \).


    Dzięki włożeniu \( \displaystyle j \) będziemy utożsamiali liczbę całkowitą \( \displaystyle a \) z odpowiadającą jej liczbą wymierną \( \displaystyle j(a) = [ (a,1)]_{\sim} \).

    Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych

    Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych



    Definicja 3.1.

    Ciągiem elementów zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy każdą funkcje \( \displaystyle a: \mathbb{N} \rightarrow A \). Przez \( \displaystyle a_n \) oznaczamy element ciągu \( \displaystyle a(n) \).

    Konstrukcja liczb rzeczywistych pochodzi od Georga Cantora. Genialny pomysł Georga Cantora polega na rozważaniu nieskończonych ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Augustina Louis Cauchy'ego. Wiemy z analizy (patrz wykład Szeregi liczbowe), że ciągi takie są zbieżne. Dlatego ciąg ten można uważać za aproksymacje liczby rzeczywistej. Będziemy za liczbę rzeczywistą brać wszystkie takie ciągi aproksymacji, które w sensie poniższych definicji będą dowolnie bliskie siebie.

    Definicja 3.2.

    Ciągiem Cauchy'ego zbioru liczb wymiernych \( \displaystyle \mathbb{Q} \) nazywamy każdy taki ciąg \( \displaystyle a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \) który spełnia warunek (Cauchy'ego):

    \( \displaystyle \forall_{\varepsilon \in \mathbb{Q} \hspace{0.1mm} \wedge \varepsilon >0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{p,k \in \mathbb{N}} \;\; ( p>n_0 \wedge k >n_0 \hspace{0.1mm} \Rightarrow | a_p - a_k | < \varepsilon ) \)

    Definicja 3.3.

    Ciąg \( \displaystyle a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \) nazywamy ograniczonym, gdy spełnia:

    \( \displaystyle \exists_{M>0} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; | a_n | < M \)

    Fakt 1

    Ciągi Cauchy'ego są ograniczone.

    Dowód

    Do ciągu Cauchy'ego \( \displaystyle a \) będziemy dobierać ograniczenie \( \displaystyle M \). Weźmy dodatnią liczbę wymierną \( \displaystyle \varepsilon \). Dla niej, zgodnie z Definicją 3.2, znajdziemy tak duże \( \displaystyle n_0 \), że dla wszystkich liczb naturalnych \( \displaystyle p,k \), poczynając od \( \displaystyle n_0 +1 \) będzie zachodzić: \( \displaystyle | a_p - a_k | < \varepsilon \). Połóżmy za \( \displaystyle M \) największą z pośród liczb \( \displaystyle | a_0 | ,\ldots | a_{n_0} | \) oraz \( \displaystyle | a_{n_0 +1} | + \varepsilon \) powiększoną o \( \displaystyle 1 \). Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowane \( \displaystyle M \) majoryzuje moduły wszystkich liczb ciągu.

    Poniżej wprowadzimy relacje równoważności na zborze ciągów Cauchy'ego, taką która skleja ciągi, które leżą dowolnie blisko. Każdy taki ciąg będzie inną aproksymacją tej samej liczby rzeczywistej. Zbiór wszystkich takich aproksymacji będzie dla nas właśnie liczbą rzeczywistą.

    Definicja 3.4.

    Niech \( \displaystyle X=\{ a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} : a \) jest ciągiem Cauchy'ego \( \displaystyle \} \).

    Definicja 3.5.

    Na zbiorze \( \displaystyle X \) ciągów Cauchy'ego określamy relację następująco: dwa ciągi \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) są równoważne, co zapisujemy jako \( \displaystyle a \simeq b \), gdy:

    \( \displaystyle \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_0 \hspace{0.1mm} \Rightarrow | a_n - b_n | < \varepsilon ). \)

    Twierdzenie 3.6.

    Relacja \( \displaystyle \simeq \) określona na \( \displaystyle X \) jest relacją równoważności.

    Dowód

    Zwrotność i symetria relacji \( \displaystyle \simeq \) są oczywiste. Zajmijmy się dowodem przechodniości. Niech \( \displaystyle a \simeq b \) oraz \( \displaystyle b\simeq c \). Oznacza to:

    \( \displaystyle \begin{align*} \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_1 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_1 \hspace{0.1mm} \Rightarrow | a_n - b_n | < \varepsilon ) \quad \mbox{(3.1)} \\ \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_2 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_0 \hspace{0.1mm} \Rightarrow | b_n - c_n | < \varepsilon ) \quad \mbox{(3.2)} \end{align*} \)

    Weźmy \( \displaystyle \varepsilon >0 \). Będziemy dobierać niezależnie liczby \( \displaystyle n_1 \) i \( \displaystyle n_2 \) do \( \displaystyle \varepsilon /2 \) dla pierwszej i drugiej pary ciągów. Mamy zatem parę nierówności: dla \( \displaystyle n>n_1 \) zachodzi \( \displaystyle | a_n - b_n | < \varepsilon/2 \) oraz dla \( \displaystyle n>n_2 \) zachodzi \( \displaystyle | b_n - c_n | < \varepsilon/2 \). Biorąc większą z tych dwóch liczb, będziemy oczywiście jednocześnie spełniać obie nierówności. Zatem dla \( \displaystyle n>\max(n_1 , n_2) \) zachodzą \( \displaystyle | a_n - b_n | < \varepsilon/2 \) oraz \( \displaystyle | b_n - c_n | < \varepsilon/2 \). Używając nierówności trójkąta, mamy:

    \( \displaystyle | a_n - c_n | \leq | a_n - b_n | + | b_n - c_n | < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon, \)

    co kończy dowód.

    Definicja 3.7.

    Przez liczby rzeczywiste będziemy rozumieli zbiór \( \displaystyle X/\simeq \) i oznaczamy przez \( \displaystyle \mathbb{R} \).

    Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą dowolnie blisko siebie. Na każdy taki ciąg można patrzeć jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej.

    Ćwiczenie 3.8

    Ile razy należy poprzedzić znakiem \( \displaystyle \bigcup \) zbiór \( \displaystyle \mathbb{R} \), aby otrzymać \( \displaystyle \mathbb{N} \)?

    Działania na \( \displaystyle \mathbb{R} \)

    Definicja 3.9.

    Dla ciągów \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) ciąg \( \displaystyle a+ b \) oraz \( \displaystyle a \cdot b \) oznaczają ciągi zadane jako \( \displaystyle (a +b)(i) = a(i) + b(i) \), dla każdego \( \displaystyle i \). Tak samo definiujemy mnożenie: \( \displaystyle (a \cdot b)(i) = a(i) \cdot b(i) \).

    Definicja 3.10.

    Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po współrzędnych, to znaczy:

    • dodawanie \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} + [b]_{\simeq} = [a+b]_{\simeq} \),
    • mnożenie \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} \cdot [b]_{\simeq} = [a \cdot b]_{\simeq} \).

    Ćwiczenie 3.11

    Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej "Granica i ciągłość funkcji". Pokazać, że definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i niezależna od wyboru reprezentantów:


    Porządek na \( \displaystyle \mathbb {R} \)

    Definicja 3.12.

    Relacja \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq} \) na zbiorze liczb rzeczywistych \( \displaystyle \mathbb{R} \) jest zdefiniowana jako:

    \( \displaystyle \exists_{\varepsilon > 0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{k>n_0} \;\; a_k +\varepsilon < b_k. \)

    Będziemy mówili, że liczba wymierna \( \displaystyle \varepsilon > 0 \) rozdziela dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu \( \displaystyle a_{n_0 +1} \).

    Definicja 3.13.

    Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb rzeczywistych \( \displaystyle x \leq y \), gdy \( \displaystyle x < y \) (patrz definicja 3.12.) lub gdy \( \displaystyle x=y \) (patrz Definicja 3.5).

    Twierdzenie 3.14.

    Porządek na \( \displaystyle \mathbb{R} \) jest liniowy.

    Dowód

    Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \), jeżeli \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq} \) to \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq} \) lub \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} > [b]_{\simeq} \). Niech zatem \( \displaystyle [ a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq} \). Zgodnie z definicją \( \displaystyle \simeq \) oznacza to:

    \( \displaystyle \exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n \hspace{0.1mm} \wedge | a_p -b_p | \geq \varepsilon. \)

    Dobierzmy do \( \displaystyle \varepsilon/3 \) liczby \( \displaystyle n_a \) i \( \displaystyle n_b \) odpowiednio dla ciągów \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \) tak, aby dla wszystkich \( \displaystyle k,r > \max(n_a ,n_b) \) zachodziło \( \displaystyle | a_k - a_r | < \varepsilon/3 \) oraz \( \displaystyle | b_k - b_r | < \varepsilon/3 \). Zgodnie z formulą powyżej dla \( \displaystyle \max(n_a ,n_b) \) musi istnieć \( \displaystyle p_0 > \max(n_a ,n_b) \) takie, że \( \displaystyle | a_{p_0} -b_{p_0} | \geq \varepsilon \). Ustalmy, że to \( \displaystyle a_{p_0} < b_{p_0} \) (gdy będzie odwrotnie rozumowania jest identyczne). Weźmy zatem dowolne \( \displaystyle k>p_0 \). Zachodzą następujące nierówności:

    \( \displaystyle \begin{align*} a_{p_0} + \varepsilon & \leq b_{p_0}, \quad \mbox{(3.3)} \\ a_k - \varepsilon/3 & < a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.4)} \\ b_k - \varepsilon/3 & < b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.5)} \end{align*} \)

    Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od \( \displaystyle p_0 \) liczba wymierna \( \displaystyle \varepsilon/3 \), będzie rozdzielała obydwa ciągi Cauchy'ego. Mianowicie:

    \( \displaystyle a_k + \varepsilon/3 < a_{p_0} + 2 \varepsilon/3 \leq b_{p_0} - \varepsilon/3 < b_{p_0}. \)

    Włożenie \( \displaystyle \mathbb{Q} \) w \( \displaystyle \mathbb{R} \)

    Rozważmy funkcje \( \displaystyle k:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \) zadaną następująco: dla liczby wymiernej \( \displaystyle q\in \mathbb{Q} \) liczba rzeczywista \( \displaystyle k(q) \) jest klasą równoważności ciągu stale równego \( \displaystyle q \), czyli \( \displaystyle k(q) = [b]_{\simeq} \), gdzie \( \displaystyle b(n) = q \). Tak więc liczby wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja \( \displaystyle k \) jest naturalnym włożeniem zbioru \( \displaystyle \mathbb{Q} \) w zbiór \( \displaystyle \mathbb{R} \). Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem:

    1. \( \displaystyle k(a+b) = k(a)+k(b) \),
    2. \( \displaystyle k(a-b) = k(a)-k(b) \),
    3. \( \displaystyle k(a \cdot b) = k(a) \cdot k(b) \),
    4. jeżeli \( \displaystyle a < b \), to \( \displaystyle k(a) < k(b) \).

    Dzięki włożeniu \( \displaystyle k \) będziemy utożsamiali liczbę wymierną \( \displaystyle q \) z odpowiadającą jej liczbą rzeczywistą \( \displaystyle k(q) \).

    Rozwijanie liczb rzeczywistych przy podstawie \( \displaystyle 2 \)

    Twierdzenie 3.15.

    Dla każdej liczby rzeczywistej \( \displaystyle 0\leq x < 1 \) istnieje ciąg \( \displaystyle a_x \in 2^{\mathbb{N}} \) taki, że ciąg jego sum częściowych \( \displaystyle b_x: \mathbb{N} \rightarrow
    \mathbb{Q} \), dany jako \( \displaystyle b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} \), spełnia:

    1. \( \displaystyle b_x \) jest ciągiem Cauchy'ego,
    2. \( \displaystyle [ b_x ]_{\simeq} = x \).

    Taki ciąg \( \displaystyle a_x \) nazywamy rozwinięciem liczby \( \displaystyle x \) przy podstawie \( \displaystyle 2 \).

    Dowód

    Dla liczby rzeczywistej \( \displaystyle x \) podamy indukcyjną konstrukcję ciągu \( \displaystyle a \) będącego rozwinięciem dwójkowym liczby \( \displaystyle x \) i równolegle ciągu \( \displaystyle b \) jego sum częściowych. Jeżeli \( \displaystyle 0 \leq x < 1/2 \), to definiujemy \( \displaystyle a_0 = 0 \), w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy \( \displaystyle 1/2 \leq x < 1 \), definiujemy \( \displaystyle a_0 =1 \). Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg \( \displaystyle a \) do wyrazu \( \displaystyle k \). Wyraz \( \displaystyle k+1 \) definiujemy:

    1. \( \displaystyle a_{k+1} = 1, \) jeżeli \( \displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} \leq x \),
    2. \( \displaystyle a_{k+1} = 0, \) jeżeli \( \displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1} }+ \frac{1}{2^{k+2}} > x \).

    Ciąg \( \displaystyle b \) definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy \( \displaystyle b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} \).

    Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego \( \displaystyle k \) zachodzi:

    \( \displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} \leq x \leq \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+1}}. \quad \mbox{(3.6)} \)

    Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16. Z powyższej nierówności mamy pierwszy fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych \( \displaystyle b \) jest ciągiem Cauchy'ego.

    Ćwiczenie 3.16

    Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy Twierdzenia 3.15. Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15. poprzedzającego to ćwiczenie.

    Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału \( \displaystyle [0,1) \) przy podstawie \( \displaystyle 2 \). Na każdym etapie konstrukcji sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę \( \displaystyle 0 \) lub \( \displaystyle 1 \) rozwinięcia. Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 można wykonać przy dowolnej innej podstawie \( \displaystyle k\geq 2 \). W takim wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na \( \displaystyle k \) podprzedziałów i stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z \( \displaystyle k \) cyfr ze zbioru \( \displaystyle \{0,\ldots k-1\} \). Przykładowo, gdy za \( \displaystyle k \) wybierzemy \( \displaystyle k=10 \), dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne danej liczby rzeczywistej.

    Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie \( \displaystyle k=2 \) otrzymane przy pomocy Twierdzenia 3.15 zawsze jest takie, że zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które stale od pewnego miejsca mają cyfrę \( \displaystyle 9 \). <

    Twierdzenie 3.17.

    Rozwinięcia \( \displaystyle a \) uzyskane przy pomocy konstrukcji twierdzenia 3.15 dla liczby \( \displaystyle 0\leq x < 1 \) jest zawsze takie, że:

    \( \displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0. \)

    Dowód

    Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli \( \displaystyle \exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 0 \). Weźmy najmniejsze takie \( \displaystyle k \) i nazwijmy \( \displaystyle k_0 \). Mamy zatem \( \displaystyle a_{k_0} = 0 \) oraz wszystkie późniejsze wyrazy \( \displaystyle a_i =1 \) dla \( \displaystyle i>k_0 \). Rozwijana liczba \( \displaystyle x \) spełniać będzie dla każdego \( \displaystyle p\geq 1 \) nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie:

    \( \displaystyle b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots +\frac{1}{2^{k_0 +p+1}} \leq x \leq b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots +\frac{1}{2^{k_0+ p+1}} + \;\; \frac{1}{2^{k_0 p+ 1}}. \)

    Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: \( \displaystyle b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +1}} \). Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które nieformalnie zapiszemy jako \( \displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 0 1 1 1 \ldots \) rozwinięcie \( \displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 1 0 0 0 \ldots \). To właśnie to drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15

    Twierdzenie 3.18.

    Istnieje bijekcja pomiędzy odcinkiem \( \displaystyle [0;1) \) a zbiorem \( \displaystyle \{a\in 2^{\mathbb{N}}: \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0\} \)

    Dowód

    Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w Twierdzeniu 3.15. Istnienie funkcji przypisującej liczbie rzeczywistej \( \displaystyle x \) jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam opisane. Własność tego rozwinięcia \( \displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0 \) została pokazana w Twierdzeniu 3.17. Pozostaje uzasadnić iniektywność takiego przypisania. Niech \( \displaystyle x \neq y \). Załóżmy, że \( \displaystyle x < y \). Rozważmy zatem ciągi \( \displaystyle a \) oraz \( \displaystyle a' \) rozwinięć dwójkowych \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \). Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez \( \displaystyle b \) i \( \displaystyle b' \). Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli \( \displaystyle [ b ]_{\simeq} = x , [b']_{\simeq} = y \). Ciągi \( \displaystyle b \) i \( \displaystyle b' \) muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle a' \) muszą być różne.

    Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie w teorii mocy, o którym mowa będzie w wykładzie "Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum". Pokazuje bowiem, że liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem \( \displaystyle 2^\mathbb{N} \).

    Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum

    Teoria mocy

    Teoria mocy


    Zadaniem teorii mocy, do której wstęp znajdą państwo w tym wykładzie, będzie uogólnienie pojęcia ilości elementów zbioru. Dla zbiorów skończonych powołaliśmy do życia liczby naturalne wykład "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje", przy pomocy których możemy rachować i opisywać ilościowe własności innych zbiorów. Niestety to nam nie wystarcza. Są zbiory, których liczbę elementów nie sposób opisać żadną liczbą naturalną. Zgodziliśmy się wszak, przyjmując aksjomat nieskończoności, na istnienie takich niezwykłych zbiorów . Aksjomat ten wraz z innymi, na przykład, aksjomatem zbioru potęgowego, będzie miał dla nas wiele niespodzianek. Powołamy do życia zbiory nieskończone, a co więcej pokażemy, że istnieją różne rodzaje nieskończoności. Jedne zbiory nieskończone będą bardziej nieskończone od innych. Aby umieć porównywać liczby elementów zbiorów nieskończonych, wprowadzimy podstawowe definicje. Z punktu widzenia tych definicji na całą teorię mocy można patrzeć jak na teorie bijekcji i iniekcji (lub dualnie surjekcji - patrz wykład "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady").

    Definicja 1.1

    Zbiory \( \displaystyle A \) i \( \displaystyle B \) nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bijekcja \( \displaystyle f:A \rightarrow B \). Równoliczność zbiorów oznaczamy przez \( \displaystyle A \sim_m B \).

    \( \displaystyle \sim_m \) ma podobne własności do relacji równoważności.

    Twierdzenie 1.2

    Równoliczność ma własności:

    1. \( \displaystyle A \sim_m A \).
    2. jeżeli \( \displaystyle A \sim_m B \), to \( \displaystyle B \sim_m A \).
    3. jeżeli \( \displaystyle A \sim_m B \) i \( \displaystyle B \sim_m C \), to \( \displaystyle A \sim_m C \).

    Trywialne dowody tych faktów pozostawimy jako ćwiczenia.

    Ćwiczenie 1.3

    Udowodnij własności 1, 2, 3. z Twierdzenia 1.2.

    Twierdzenie 1.4

    Podstawowe własności relacji równoliczności:

    1. \( \displaystyle A \sim_m B \) i \( \displaystyle C \sim_m D \) oraz \( \displaystyle A \cap C = B \cap D = \emptyset \), to \( \displaystyle A \cup C \sim_m B \cup D \).
    2. \( \displaystyle A \sim_m B \) i \( \displaystyle C \sim_m D \), to \( \displaystyle A^C \sim_m B^D \).
    3. \( \displaystyle (A^B)^C \sim_m A^{ B \times C} \).
    4. \( \displaystyle (A \times B)^C \sim_m A^C \times B^C \).
    5. Gdy \( \displaystyle B \cap C = \emptyset \), to \( \displaystyle A^{B \cup C} \sim_m A^B \times A^C \).
    6. \( \displaystyle P(A) \sim_m 2^A \).

    Znowu dowody twierdzeń z 1.4 podamy jako ćwiczenia.

    Ćwiczenie 1.5

    Dowiedź Twierdzenia 1.4.


    Definicja 1.6

    Zbiór \( \displaystyle A \) nazywamy skończonym, gdy \( \displaystyle A \sim_m n \), dla pewnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \).

    Zbiór \( \displaystyle A \) nazywamy nieskończonym, gdy \( \displaystyle A \) nie jest skończony.

    Jako zadania podamy dwa następujące proste fakty:

    Ćwiczenie 1.7

    Podzbiór zbioru skończonego jest skończony. Obraz przez funkcje zbioru skończonego jest skończony.


    Podamy twierdzenie, podobne do twierdzenia, które zobaczą państwo w wykładzie 11 "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady" Twierdzenie 4.1. Wersja ogólniejsza będzie dotyczyła sytuacji, kiedy zbiór \( \displaystyle N_0 \) jest nieskończony, ale niekoniecznie jest podzbiorem \( \displaystyle \mathbb{N} \). W takim wypadku do dowodu tego twierdzenia będzie potrzebny aksjomat wyboru. W uproszczonej wersji, która podana jest poniżej, aksjomat ten nie będzie nam potrzebny.

    Twierdzenie 1.8

    Jeżeli \( \displaystyle N_0 \) jest nieskończonym podzbiorem \( \displaystyle \mathbb{N} \), to \( \displaystyle N_0 \sim_m \mathbb{N} \).

    Dowód

    Przy pomocy definiowania przez indukcję (patrz wykład 7 "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje" Twierdzenie 6.1), zbudujmy bijekcję \( \displaystyle h \) pomiędzy zbiorem \( \displaystyle \mathbb{N} \) a \( \displaystyle N_0 \). Zbiór \( \displaystyle N_0 \) będąc nieskończonym jest niepusty, więc z zasady minimum (patrz wykład 7: "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje" Twierdzenie 5.2) posiada element najmniejszy. Niech:

    \( \displaystyle h(0) = \) najmniejszy element w \( \displaystyle N_0 , \)

    \( \displaystyle h(n') = \) najmniejszy element, który w \( \displaystyle N_0 \) jest istotnie większy niż \( \displaystyle h(n)\displaystyle \).

    Łatwo zauważyć, że dla obraz, dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle \overrightarrow{h} (n) \) jest odcinkiem początkowym \( \displaystyle N_0 \). Równocześnie, na mocy poprzedniego ćwiczenia, wiemy, że obraz ten jest skończony. Ponieważ zbiór \( \displaystyle N_0 \) jest nieskończony, więc zawsze istnieją w nim elementy poza \( \displaystyle \overrightarrow{h} (n) \). Elementy te muszą być większe od \( \displaystyle h(n) \), co gwarantuje, że funkcja \( \displaystyle h \) jest zdefiniowana dla całego \( \displaystyle \mathbb{N} \). Funkcja \( \displaystyle h \) jest oczywiście iniekcją, ponieważ dla \( \displaystyle n < m \) mamy \( \displaystyle h(n) < h(m) \). Funkcja \( \displaystyle h \) jest bijekcją, ponieważ łatwo możemy pokazać, że jeśli \( \displaystyle n\in N_0 \), to \( \displaystyle n\in\overrightarrow{h} (n') \).

    Zbiory przeliczalne

    Zbiory przeliczalne



    Podamy poniżej dwie równoważne, jak się okaże, definicje przeliczalności.

    Definicja 2.1

    Zbiór \( \displaystyle X \) jest przeliczalny, gdy \( \displaystyle X \sim_m N_0 \), dla pewnego \( \displaystyle N_0 \subset \mathbb{N} \).

    Definicja 2.2

    Zbiór \( \displaystyle X \) daje się ustawić w ciąg, gdy istnieje surjekcja \( \displaystyle f: \mathbb{N} \rightarrow X \).

    Twierdzenie 2.3

    Niepusty zbiór \( \displaystyle X \) daje się ustawić w ciąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny.

    Dowód

    Jeśli \( \displaystyle X \) jest przeliczalny przy bijekcji \( \displaystyle f: N_0 \rightarrow X \), to niewątpliwie daje się ustawić w ciąg - uzupełniamy bijekcje jednym elementem wyjętym z niepustego \( \displaystyle X \). Jeśli \( \displaystyle X \) daje sie ustawić w ciąg przy użyciu funkcji \( \displaystyle f: \mathbb{N} \rightarrow X \) , to z surjektywności mamy, że \( \displaystyle \overrightarrow{f}^{-1} (\{x\}) \) jest niepusty dla każdego \( \displaystyle x \). Zdefiniujmy funkcje \( \displaystyle g:X \rightarrow \mathbb{N} \) jako \( \displaystyle g(x) = \bigcap\overrightarrow{f}^{-1} (\{x\}) \). Funkcja ta wybiera najmniejsze elementy z przeciwobrazów elementów \( \displaystyle X \), jest zatem iniekcją, a więc bijekcja pomiędzy \( \displaystyle X \) a podzbiorem \( \displaystyle \mathbb{N} \).

    Znowu, tak jak w przypadku Twierdzenia 1.8, radziłbym zapoznać sie z wykładem 11 "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady" dotyczącym aksjomatu wyboru i jego konsekwencji. W szczególności pożyteczne byłoby przeczytanie podrozdziału 3.1 Twierdzenia dotyczące zbiorów i zawartego w nim Ćwiczenia 3.1. Znajdą tam państwo uogólnienie poprzedniego twierdzenia na sytuacje, gdzie nie zakłada się przeliczalności zbioru \( \displaystyle X \).

    Twierdzenie 2.4

    \( \displaystyle X \) jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle X \) jest skończony lub równoliczny z \( \displaystyle \mathbb{N} \).

    Proponuję dowód wykonać jako proste ćwiczenie.

    Ćwiczenie 2.5

    Dowiedź Twierdzenia 2.4.


    Lemat 2.6

    Własności zbiorów przeliczalnych:

    1. Podzbiór przeliczalnego zbioru jest przeliczalny.
    2. Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna.
    3. \( \displaystyle \mathbb{N}^2 \) jest przeliczalny.
    4. Iloczyn kartezjański zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny.
    5. \( \displaystyle \mathbb{N}^k \) dla \( \displaystyle k\geq 1 \) jest przeliczalny.
    6. Niech \( \displaystyle x \in \mathcal{P} ( \mathcal{P} (X)) \) będzie skończoną rodziną zbiorów przeliczalnych. Wtedy \( \displaystyle \prod x \) jest przeliczalny.
    7. Jeżeli \( \displaystyle X \) przeliczalny oraz \( \displaystyle r \in \mathcal{P} ( \mathcal{P} (X)) \)jest rozkładem, to \( \displaystyle r \) jest przeliczalny.

    Twierdzenie jest proste i dlatego proponuję wykonać dowody samodzielnie jako ćwiczenie.

    Ćwiczenie 2.7

    Dowiedź Lematu 2.6.


    Twierdzenie 2.8

    Zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne.

    Dowód

    Jest to prosta konsekwencja punktu 7 Lematu 2.6. Zbiór \( \displaystyle \mathbb{Z} = \mathbb{N} \times \mathbb{N} / \approx \) oraz zbiór \( \displaystyle \mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times\mathbb{Z}^* / \sim \) są rozkładami zbiorów przeliczalnych.

    Dla kontrastu udowodnimy, że zbiór liczb rzeczywistych przeliczalny nie jest.

    Twierdzenie 2.9 [Cantora]

    Zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny.

    Dowód

    Podany poniżej dowód pochodzi od Georga Cantora. Pokażemy, że odcinek liczb rzeczywistych \( \displaystyle [0,1] \) nie jest przeliczalny. Cały zbiór \( \displaystyle \mathbb{R} \) jako większy też nie może być przeliczalny. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że jest przeciwnie. Załóżmy zatem, że istnieje surjektywny ciąg \( \displaystyle f: \mathbb{N} \rightarrow [0,1] \). Zdefiniujemy indukcyjnie dwa ciągi punktów \( \displaystyle a: \mathbb{N} \rightarrow [0,1] \) i \( \displaystyle b: \mathbb{N} \rightarrow [0,1] \) odcinka \( \displaystyle [0,1] \) o własności \( \displaystyle a_i < b_i \) tak, aby \( \displaystyle i \)-ty element ciągu \( \displaystyle f \) nie należał do odcinka domkniętego \( \displaystyle [a_{i+1} , b_{i+1}] \). Tak więc kładziemy początkowo \( \displaystyle a_0 =0 \) i \( \displaystyle b_0 =1 \). Przypuśćmy, że zdefiniowane są już obydwa ciągi, dla \( \displaystyle i\leq n \). Odcinek \( \displaystyle [a_i,b_i] \) dzielimy na trzy równe części i za \( \displaystyle a_{i+1} \) i \( \displaystyle b_{i+1} \) wybieramy końce tego spośród nich, do którego nie należy element \( \displaystyle f_i \) ciągu \( \displaystyle f \).

    Jako ćwiczenie podamy sprawdzenie następujących własności ciągów \( \displaystyle a_i \) i \( \displaystyle b_i \):

    1. Ciąg \( \displaystyle a \) jest słabo rosnący, czyli \( \displaystyle a_i \leq a_{i+1} \).
    2. Ciąg \( \displaystyle b \) jest słabo malejący, czyli \( \displaystyle b_i \geq b_{i+1} \).
    3. \( \displaystyle b_i - a_i = \frac{1}{3^i} \).
    4. \( \displaystyle | b_{i+1} - b_i | \leq ( \frac{2}{3} )^i \).
    5. \( \displaystyle | a_{i+1} - a_i | \leq ( \frac{2}{3} )^i \).

    Własności te implikują fakt, że zarówno \( \displaystyle a_i \) jak i \( \displaystyle b_i \) są ciągami Cauchy'ego; jak i to, że są równoważne w sensie definicji liczb rzeczywistych. Zatem istnieje liczba rzeczywista \( \displaystyle x \) zadana jednocześnie przez aproksymacje \( \displaystyle a \) i \( \displaystyle b \), czyli \( \displaystyle x= [a] = [b] \). Ze względu na na 1. i 2. \( \displaystyle a_i \leq x \leq b_i \), dla każdego \( \displaystyle i \). To przeczy samej definicji wybierania odcinków, którą przeprowadzono tak, by elementy ciągu \( \displaystyle f \) nie leżały w żadnym z nich. Zatem \( \displaystyle f \) nie mógł być surjekcją.

    Podamy poniżej definicje nierówności na mocach zbiorów.

    Definicja 2.10

    \( \displaystyle A \leq_m B \) wtw istnieje iniekcja \( \displaystyle f:A \to B \).

    \( \displaystyle A < _m B \) wtw \( \displaystyle A \leq_m B \) i nieprawda, że \( \displaystyle A \sim_m B \).

    Twierdzenie 2.11

    Następujące warunki są równoważne:

    1. Dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle A,B \) zachodzi \( \displaystyle A \leq_m B \) i \( \displaystyle B \leq_m A \), to \( \displaystyle A \sim_m B \).
    2. Dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle A,B \) zachodzi \( \displaystyle A \leq_m B \) i \( \displaystyle B \subset A \), to \( \displaystyle A \sim_m B \).
    3. Dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle A,B,C \) zachodzi \( \displaystyle A < _m B \) i \( \displaystyle B < _m C \), to \( \displaystyle A < _m C \).

    Dowód

    \( \displaystyle (2) \hspace {0.1mm} \Rightarrow (1) \). Niech \( \displaystyle A \leq_m B \) i \( \displaystyle B \leq_m A \). Niech \( \displaystyle f: B \to A \) iniekcja oraz niech \( \displaystyle B_0 = \overrightarrow{f} (B) \). Mamy więc \( \displaystyle A \sim_m B_0 \) oraz \( \displaystyle B_0 \subset A \). Stosując \( \displaystyle (2) \) do \( \displaystyle A, B_0 \), otrzymujemy \( \displaystyle A \sim_m B_0 \), co wobec \( \displaystyle B \sim_m B_0 \) daje \( \displaystyle A \sim_m B \).

    \( \displaystyle (1) \hspace {0.1mm} \Rightarrow (3) \). Z założeń (3) mamy, że \( \displaystyle A < _m B \) i \( \displaystyle B < _m C \). Można je osłabić, otrzymując \( \displaystyle A \leq_m B \) i \( \displaystyle B \leq_m C \). Z przechodniości \( \displaystyle \leq_m \) (co odpowiada składaniu iniekcji) otrzymujemy \( \displaystyle A \leq_m C \). Pozostaje dowieść, że nieprawdą jest \( \displaystyle A \sim_m C \). Gdyby \( \displaystyle A \sim_m C \), to mielibyśmy \( \displaystyle B \leq_m A \). Stosując \( \displaystyle (1) \) dla \( \displaystyle A,B \), mielibyśmy \( \displaystyle A \sim_m B \), co przeczy \( \displaystyle A < _m B \).

    \( \displaystyle (3) \hspace {0.1mm} \Rightarrow (2) \). Niech \( \displaystyle A \leq_m B \) i \( \displaystyle B \subset A \), co daje też \( \displaystyle B \leq_m A \). Gdyby nieprawdą było, że \( \displaystyle A \sim_m B \), to mielibyśmy zarówno \( \displaystyle A < _m B \) jak i \( \displaystyle B < _m A \), co na mocy \( \displaystyle (3) \) dawałoby sprzeczność \( \displaystyle A < _m A \).

    W twierdzeniu powyżej pokazaliśmy równoważność trzech warunków, nie pokazując, czy którykolwiek z nich jest prawdziwy. Teraz pokażemy \( \displaystyle (1) \). Twierdzenie to znane jest pod nazwą twierdzenia Cantora-Bernsteina. Zatem twierdzenie to wyraża słabą antysymetrię relacji porządku na mocach zbiorów. Zobaczymy, że jest ono niezwykle przydatne do uzasadnienia wielu faktów teorii mocy, co bez tego twierdzenia często pociągałoby konieczność przeprowadzania długich i skomplikowanych dowodów.

    Twierdzenie 2.12 [Cantora - Bernsteina]

    Jeżeli \( \displaystyle A \leq_m B \) i \( \displaystyle B \leq_m A \) to \( \displaystyle A \sim_m B \).

    Dowód

    Przygotowania do tego dowodu zostały podjęte wcześniej. Służył do tego Wykład 6 poświęcony między innymi obrazom zbiorów przez funkcje. Nietrywialnym było dowiedzenie twierdzenia Knastera-Tarskiego, a przy jego pomocy lematu Banacha. Ten wysiłek zwróci się nam teraz (patrz wykład 6: "Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha"). Niech zatem \( \displaystyle f:A\to B \) i \( \displaystyle g: B\to A \) będą iniekcjami. Na mocy lematu Banacha (patrz wykład 6: "Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha", Lemat Banacha), istnieją rozłączne zbiory \( \displaystyle A_1 ,A_2 \) wzajemnie uzupełniające się do \( \displaystyle A \) jak i rozłączne zbiory \( \displaystyle B_1 ,B_2 \) wzajemnie uzupełniające się do \( \displaystyle B \) takie, że \( \displaystyle \overrightarrow{f} (A_1) = B_1 \) i symetrycznie \( \displaystyle \overrightarrow{g} (B_2) = A_2 \). Możemy zatem na rozłącznych zbiorach \( \displaystyle A_1, A_2 \) skleić dwie iniekcje \( \displaystyle f|_{A_1} \) i \( \displaystyle g^{-1}|_{A_2} \) będące zawężeniami oryginalnych funkcji. Otrzymane sklejenie \( \displaystyle f|_{A_1} \cup g^{-1}|_{A_2} \) jest bijekcją.

    Poniżej poznamy twierdzenie pochodzące od Cantora, pokazujące, że można budować zbiory o dowolnie wielkiej mocy. Z niego i z twierdzenia Cantora-Bernstaina pokażemy, że zbiorów jest tak dużo, że same nie tworzą zbioru. Fakt ten jest już nam znany \( \displaystyle x \notin x \) (patrz wykład 4: "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach", Fakt 10.1) i jest konsekwencja aksjomatu regularności. Niemniej przeprowadzimy prosty dowód, odwołujący się do faktów z teorii mocy. Dowód poniższy jest dowodem przekątniowym. W wykładach dotyczących teorii obliczeń i logiki znajdą państwo wiele takich dowodów.

    Twierdzenie 2.13 [Cantora]

    \( \displaystyle A < _m \mathcal{P} (A) \).

    Dowód

    Łatwo zauważyć, że istnieje iniekcja wkładająca \( \displaystyle A \) w \( \displaystyle \mathcal{P} (A) \). Przykładowo możemy wziąć funkcje przypisującą elementowi \( \displaystyle x \) zbioru \( \displaystyle A \) singleton \( \displaystyle \{x\} \). Załóżmy, że istnieje bijekcja \( \displaystyle f: A \rightarrow \mathcal{P} (A) \). Obrazami elementów ze zbioru \( \displaystyle A \) są podzbiory \( \displaystyle A \). Utwórzmy zbiór \( \displaystyle C= \{z\in A: z \notin f(z)\} \). Ze względu na surjektywność \( \displaystyle f \) musi istnieć taki element \( \displaystyle z_0 \in A \), że \( \displaystyle f(z_0) = C \). Rozstrzygnijmy problem, czy \( \displaystyle z_0 \in f(z_0) \). Jeżeli tak, to \( \displaystyle z_0 \in C \), a zatem \( \displaystyle z_0 \notin f(z_0) \) sprzeczność. Jeżeli nie to, \( \displaystyle z_0 \notin f(z_0) \), a zatem \( \displaystyle z_0 \in C \), czyli \( \displaystyle z_0 \in f(z_0) \) sprzeczność.

    Twierdzenie 2.14 [Cantora]

    Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

    Dowód

    Gdyby taki zbiór istniał, mielibyśmy trudności z przypisaniem mu mocy. Mianowicie, niech ten zbiór nazywa się \( \displaystyle A \). W takim razie \( \displaystyle \mathcal{P} (A) \subset A \), bo każdy podzbiór \( \displaystyle A \) jest zbiorem. Trywialnie mamy w drugą stronę \( \displaystyle A \leq_m \mathcal{P} (A) \). Zatem z twierdzenia Cantora-Bernsteina otrzymujemy \( \displaystyle A \sim_m \mathcal{P} (A) \), co jest sprzeczne z twierdzeniem Cantora.

    Twierdzenie 2.15

    Każdy zbiór nieskończony zawiera podzbiór przeliczalny równoliczny z \( \displaystyle \mathbb{N} \).

    Dowód

    Dowód tego bardzo intuicyjnego faktu odwołuje się do aksjomatu wyboru. Proszę o zapoznanie się z dowodem tego twierdzenia w wykładzie 11, Twierdzenie 4.1, oraz o zapoznanie się z innymi faktami tego rozdziału, które wymagają aksjomatu wyboru (patrz wykład 11: "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady", Twierdzenie 4.1>).

    Zbiory mocy continuum

    Zbiory mocy continuum



    Definicja 3.1

    Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym, gdy nie jest przeliczalny.

    Ćwiczenie 3.2

    Zbiory \( \displaystyle 2^{\mathbb{N}} \) oraz \( \displaystyle \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \) nie są przeliczalne.


    Definicja 3.3

    Mówimy, że zbiór jest mocy continuum, gdy jest równoliczny z \( \displaystyle \mathbb{R} \).

    Lemat 3.4

    Każdy przedział obustronnie otwarty jest mocy continuum.

    Dowód

    Na początku pokażemy, że istnieje bijekcja pomiędzy przedziałem otwartym liczb rzeczywistych \( \displaystyle (-1,1) \) a \( \displaystyle \mathbb R \). Bijekcją taką jest \( \displaystyle x \rightarrow \frac{x}{1-x^2} \). (Jako ćwiczenie spróbuj narysować wykres tej funkcji.) Następnie łatwo zauważyć, że każde dwa przedziały otwarte są równoliczne. (Jako ćwiczenie napisz wzór na funkcję liniową pomiędzy dwoma zadanymi otwartymi przedziałami.)

    Lemat 3.5

    Jeżeli \( \displaystyle A \subset \mathbb{R} \) i \( \displaystyle A \) zawiera pewien przedział otwarty, to \( \displaystyle A \) jest mocy continuum.

    Dowód

    Prosta konsekwencja Twierdzenia 2.12 Cantora-Bernsteina.

    Następne dwa lematy pokazują, że zbiory mocy kontinuum są odporne na dodawanie i ujmowanie zbiorów przeliczalnych. Po każdej takiej operacji moc zbioru jest taka, jak była. Proszę o zapoznanie się z prostymi dowodami tych lematów. Może to być pomocne w rozwiązywaniu zadań.

    Lemat 3.6

    Jeżeli \( \displaystyle B \subset A \) jest przeliczalnym podzbiorem zbioru \( \displaystyle A \) mocy continuum, to
    \( \displaystyle A \setminus B \) jest mocy continuum.

    Dowód

    Załóżmy bez straty ogólności, że \( \displaystyle B \subset A \). Zauważmy, że \( \displaystyle A \setminus B \) jest nieprzeliczalny. Inaczej przeczyłoby to Twierdzeniu 2.9 o nieprzeliczalności \( \displaystyle \mathbb R \). W takim razie \( \displaystyle A \setminus B \) jest nieskończony. Można zatem odnaleźć w nim na mocy Twierdzenia 2.15 (stosując aksjomat wyboru, zapoznaj się z dowodem tego twierdzenie w wykładzie 11, "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady", Twierdzenie 4.1) nieskończony zbiór przeliczalny \( \displaystyle B' \). Mamy więc \( \displaystyle B \cup B' \) jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym. Istnieje zatem bijekcja \( \displaystyle f: B \cup B' \rightarrow B' \). Mając ją, możemy określić bijekcję \( \displaystyle h: A \rightarrow A \setminus B \) następująco:

    \( \displaystyle h(x) =\left\{\begin{array}{lll} f(x) , & x \in B\cup B', \\ x, & x \notin B\cup B'. \end{array} \right. \)

    Lemat 3.7

    Jeżeli \( \displaystyle B \) jest przeliczalnym, a \( \displaystyle A \) jest mocy continuum, to \( \displaystyle A \cup B \) jest mocy continuum.

    Dowód

    Opiszmy słowami dowód podobny do poprzedniego. Na początku należy odnaleźć w \( \displaystyle A \) zbiór nieskończony przeliczalny \( \displaystyle B_0 \). Zbiór ten musi być równoliczny z \( \displaystyle B\cup B_0 \). W takim razie można bijektywnie schować zbiór \( \displaystyle B\cup B_0 \) w zbiorze \( \displaystyle B_0 \). Następnie należy zdefiniować bijekcję między \( \displaystyle A \cup B \) a \( \displaystyle A \) tak, aby na fragmencie z poza \( \displaystyle B_0 \) była identycznością, a na \( \displaystyle B \cup B_0 \) była poprzednią bijekcją. Sklejenie takich bijekcji na zbiorach rozłącznych jest bijekcją.

    Twierdzenie poniższe będzie mieć dla nas fundamentalne znaczenie. Porównuje ono moc dwóch podstawowych dla nas zbiorów \( \displaystyle \mathbb N \) i \( \displaystyle \mathbb R \). Do dowodu posłużymy się konstrukcją rozwinięcia dwójkowego przeprowadzonego w Twierdzeniu 3.15 z Wykładu 8 (patrz "Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek", Twierdzenie 3.15). Twierdzenie 3.18 tego rozdziału pokazuje bijekcje pomiędzy pewnymi specjalnymi ciągami ze zbioru \( \displaystyle 2^\mathbb N \) a przedziałem \( \displaystyle [0,1) \). Przed przeczytaniem tego dowodu zapoznaj sie z Twierdzeniami 3.15, 3.17, 3.18 z Wykładu 8 (patrz "Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek").

    Twierdzenie 3.8

    \( \displaystyle 2^{\mathbb{N}} \) jest mocy continuum.

    Dowód

    Zbiór \( \displaystyle 2^\mathbb N \) rozbijmy na dwa rozłączne podzbiory. Zbiór \( \displaystyle X \) taki, jak w Twierdzeniu 3.18 wykładu 8 to znaczy \( \displaystyle X= \{a\in 2^{\mathbb{N}}: \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0\} \) oraz zbiór \( \displaystyle X' = \{a \in 2^{\mathbb{N}}: \exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 1\} \) będący jego uzupełnieniem. Łatwo zauważyć, że \( \displaystyle X' \) jest przeliczalny, bo można go przedstawić jako przeliczalną sumę zbiorów skończonych. \( \displaystyle X' \) składa się z ciągów, które od pewnego miejsca są stale równe \( \displaystyle 1 \). Zauważmy, że jest jedynie \( \displaystyle 2^{k_0} \) takich ciągów, które od \( \displaystyle k_0 +1 \) miejsca są stale równe \( \displaystyle 1 \). Zbiór \( \displaystyle X \), jak pokazaliśmy w Twierdzeniu 3.18 w wykładzie 8, jest równoliczny z przedziałem \( \displaystyle [0,1) \), a więc przeliczalny. Nasz zbiór \( \displaystyle 2^\mathbb N = X \cup X' \) jako suma zbioru continuum i przeliczalnego na mocy Lematu 3.7 jest mocy continuum.

    Twierdzenie 3.9

    \( \displaystyle \mathbb{N} < _m \mathcal{P} (\mathbb{N}) \sim_m 2^{\mathbb{N}} \sim_m \mathbb{R}. \)

    Rodzi się naturalne pytanie. Czy istnieje taki zbiór, którego moc dałoby się ulokować pomiędzy mocą zbioru liczb naturalnych a mocą continuum. Czyli, czy istnieje \( \displaystyle A \) takie, że

    \( \displaystyle \mathbb N < _m A < _m \mathbb R \quad \mbox{(3.1)} \)

    Cantor przypuszczał, że takiego zbioru (mocy) nie ma i że następnym w hierarchii mocy zbiorem po \( \displaystyle \mathbb N \) jest \( \displaystyle \mathbb R \). Przypuszczenie Cantora nazywa się hipotezą continuum. Hipoteza ta była intensywnie badana przez matematyków. W roku 1939 Kurt Gödel pokazał niesprzeczność tej hipotezy z aksjomatami teorii mnogości. Można zatem przyjąć, że taki zbiór jak w hipotezie kontinuum istnieje i nie doprowadzi to teorii mnogości do sprzeczności, o ile sama nie jest sprzeczna. W roku 1963 Paul Joseph Cohen pokazał niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości. Oznacza to, że nie można hipotezy udowodnić na gruncie tej teorii, ale nie można też udowodnić jej zaprzeczenia.

    Na koniec podamy jako ćwiczenie inną bardzo elegancką i nieodwołującą się do pojęcia liczb naturalnych definicję nieskończoności.

    Definicja 3.10

    (definicja nieskończoności Dedekinda) Zbiór \( \displaystyle X \) jest nieskończony w sensie Dedekinda, gdy istnieje podzbiór właściwy \( \displaystyle X_0 \) zbioru \( \displaystyle X \), który jest z nim równoliczny. Zbiór jest skończony, w sensie Dedekinda, jeśli nie jest nieskończony w sensie Dedekinda.

    Ćwiczenie 3.11

    Pokaż, że zbiór jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończony w sensie Dedekinda.



    Ćwiczenia

    Ćwiczenia



    Ćwiczenie 4.1

    Wykaż, że \( \displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) jest równoliczne z \( \displaystyle 2^{\mathbb{R}} \).

    Ćwiczenie 4.2

    Wykaż, że \( \displaystyle \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \sim_m 2^{\mathbb{N}} \)

    Ćwiczenie 4.3

    Jakiej mocy może być zbiór punktów nieciągłości silnie rosnącej funkcji z \( \displaystyle \mathbb{R} \) do \( \displaystyle \mathbb{R} \)?


    Ćwiczenie 4.4

    Jaka jest moc zbioru wszystkich silnie rosnących funkcji z \( \displaystyle \mathbb{N} \) w \( \displaystyle \mathbb{N} \)?

    Ćwiczenie 4.5

    Czy na płaszczyźnie istnieje okrąg taki, że każdy jego punkt ma przynajmniej jedną współrzędną niewymierną?

    Ćwiczenie 4.6

    Zbiór \( \displaystyle A\subset \mathbb{Q} \) nazywamy wypukłym, jeśli dla dowolnych \( \displaystyle a,b\in A \), jeśli \( \displaystyle c\in\mathbb{Q} \) i \( \displaystyle a < c < b \), to \( \displaystyle c\in A \). Ile jest zbiorów wypukłych w \( \displaystyle \mathbb{Q} \)?

    Ćwiczenie 4.7

    Ile elementów posiada największy, pod względem mocy, łańcuch w \( \displaystyle (\mathcal{P}(\mathbb{N}),\subset) \)?

    Ćwiczenie 4.8

    Jaka jest moc zbioru bijekcji z \( \displaystyle \mathbb{N} \) do \( \displaystyle \mathbb{N} \)?

    Ćwiczenie 4.9

    Jakiej mocy jest zbiór porządków na \( \displaystyle \mathbb{N} \), które są równocześnie funkcjami \( \displaystyle \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)?

    Ćwiczenie 4.10

    Dowolna rodzina \( \displaystyle X\subset \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) taka, że dla dowolnych dwóch różnych elementów \( \displaystyle X \) ich przecięcie jest co najwyżej jednoelementowe, jest przeliczalna.

    Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości

    Zbiory uporządkowane

    Zbiory uporządkowane



    Definicja 1.1. Porządkiem (w wielu podręcznikach jest używana jest również nazwa poset, pochodząca od angielskiego skrótu partially ordered set) nazywamy parę \( \displaystyle (X,R) \), gdzie \( \displaystyle X \) jest zbiorem, a \( \displaystyle R \subset X^2 \) jest relacją:

    1. zwrotną,
    2. przechodnią,
    3. antysymetryczną, to znaczy jeżeli \( \displaystyle (x,y) \in R \) oraz \( \displaystyle (y,x) \in R \), to \( \displaystyle x=y \).

    Jeżeli dodatkowo relacja \( \displaystyle R \) jest spójna (to znaczy taka, że \( \displaystyle \forall_{x,y \in X} \;\; (x,y)\in R \) lub \( \displaystyle (y,x)\in R \) ), to porządek nazywamy liniowym.

    Często oznaczamy relacje porządkującą jako \( \displaystyle \leq \). Oznaczamy też \( \displaystyle x < y \), gdy \( \displaystyle x \leq y \) oraz \( \displaystyle x\neq y \).

    Definicja 1.2.

    Element \( \displaystyle a \) nazywamy maksymalnym w porządku \( \displaystyle (X,\leq ) \), gdy \( \displaystyle \forall_{x\in X} \;\; a\leq x \hspace {0.1mm} \Rightarrow a=x \).

    Element \( \displaystyle a \) nazywamy minimalnym w porządku \( \displaystyle (X,\leq ) \), gdy \( \displaystyle \forall_{x\in X} \;\; x \leq a \hspace {0.1mm} \Rightarrow a=x \).

    Element \( \displaystyle a \) nazywamy największym w porządku \( \displaystyle (X,\leq ) \), gdy \( \displaystyle \forall_{x\in X} \;\; x \leq a \).

    Element \( \displaystyle a \) nazywamy najmniejszym w porządku \( \displaystyle (X,\leq ) \), gdy \( \displaystyle \forall_{x\in X} \;\; a \leq x \).

    Definicja 1.3.

    Niech \( \displaystyle A \subset X \) oraz \( \displaystyle b\in X \). Mówimy, że \( \displaystyle b \) jest majorantą zbioru \( \displaystyle A \), gdy \( \displaystyle \forall_{a\in A} \;\; a\leq b \).

    Niech \( \displaystyle A \subset X \) oraz \( \displaystyle b\in X \). Mówimy, że \( \displaystyle b \) jest minorantą zbioru \( \displaystyle A \), gdy \( \displaystyle \forall_{a \in A} \;\; b \leq a \).

    Definicja 1.4.

    \( \displaystyle A \subset X \). Element \( \displaystyle a_0 \in X \) nazywamy supremum zbioru \( \displaystyle A \), gdy:

    1. \( \displaystyle \forall_{a\in A} \;\; a \leq a_0 \),
    2. \( \displaystyle (\forall_{a\in A} \;\; a \leq b) \hspace {0.1mm} \Rightarrow a_0 \leq b \).

    Łatwo zauważyć, że supremum, o ile istnieje, jest jedyne i jest najmniejszą z majorant. Jeżeli istnieje supremum dla \( \displaystyle A \) będziemy je oznaczać \( \displaystyle \bigvee A \).

    Definicja 1.5.

    \( \displaystyle A \subset X \). Element \( \displaystyle b_0 \in X \) nazywamy infimum zbioru \( \displaystyle A \), gdy:

    1. \( \displaystyle \forall_{a\in A} \;\; b_0 \leq a \)
    2. \( \displaystyle (\forall_{a \in A} \;\; b \leq a ) \hspace {0.1mm} \Rightarrow b \leq b_0 \)

    Tak jak w przypadku supremum infimum, o ile istnieje, jest jedyne i jest największą z minorant zbioru. Jeżeli istnieje infimum dla \( \displaystyle A \), będziemy je oznaczać \( \displaystyle \bigwedge A \).

    Ćwiczenie 1.6

    Niech \( \displaystyle X \) będzie ustalonym zbiorem i niech \( \displaystyle A\subset \mathcal{P}(X) \). Zdefiniujmy relację \( \displaystyle \sqsubseteq \subset A\times A \) następująco:

    \( \displaystyle a \sqsubseteq b \Leftrightarrow a\subseteq b. \)

    Udowodnij, że \( \displaystyle (A,\sqsubseteq) \) jest zbiorem uporządkowanym.

    Uwaga 1.7.

    Nadużywając notacji, będziemy czasem używać symbolu \( \displaystyle \subset \) dla oznaczenia relacji \( \displaystyle \sqsubseteq \) zdefiniowanej w poprzednim ćwiczeniu. Zwracamy przy tym uwagę, że nie ma czegoś takiego jak relacja \( \displaystyle \subset \), gdyż musiałaby ona być określona w zbiorze wszystkich zbiorów, który nie istnieje. W przypadku jednak, gdy rozważamy jedynie podzbiory ustalonego zbioru \( \displaystyle X \), możemy mówić o relacji bycia podzbiorem. Czasem dla podkreślenia, że mówimy o podzbiorach ustalonego zbioru, będziemy pisać \( \displaystyle \subset_X \).

    Ćwiczenie 1.8

    Dla dowolnego zbioru \( \displaystyle A \), jego zbiór potęgowy \( \displaystyle \mathcal{P}(A) \) jest uporządkowany przez inkluzję. Czy dla dowolnej niepustej rodziny \( \displaystyle r \subset \mathcal{P}(A) \) istnieje supremum i infimum?


    Ćwiczenie 1.9

    W zbiorze liczb naturalnych zdefiniujemy relację \( \displaystyle | \subset \mathbb{N}^2 \) następująco:

    \( \displaystyle \forall_{a,b\in \mathbb{N}} [a|b \Leftrightarrow \exists_{c\in \mathbb{N}} c\cdot a =b]. \)

    Udowodnij, że relacja ta porządkuje zbiór \( \displaystyle \mathbb{N} \). Czy w tak uporządkowanym zbiorze istnieją elementy najmniejszy i największy?

    Ćwiczenie 1.10

    W zbiorze funkcji z \( \displaystyle \mathbb{N} \) w \( \displaystyle \mathbb{N} \) (czyli \( \displaystyle \mathbb{N}^\mathbb{N} \)) zdefiniujmy relację \( \displaystyle R \) następująco:
    \( \displaystyle \forall_{f,g\in \mathbb{N}^\mathbb{N}} [ f R g \Leftrightarrow \exists_{h\in \mathbb{N}^\mathbb{N}} h \circ f = g \circ h]. \)

    Sprawdź, czy relacja ta jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna.


    Ćwiczenie 1.11

    Niech \( \displaystyle I=[0,1] \subset \mathbb R \). W zbiorze \( \displaystyle I^I \) zdefiniujemy relację \( \displaystyle R \) następująco:

    \( \displaystyle \forall_{f,g \in I^I} [f R g \Leftrightarrow \exists_{x\in I} f(x) \leq g(x)]. \)

    Sprawdź, czy relacja \( \displaystyle R \) jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna.


    Ćwiczenie 1.12

    Niech \( \displaystyle I=[0,1] \subset \mathbb R \). W zbiorze \( \displaystyle I^I \) zdefiniujemy relację \( \displaystyle R \) następująco:

    \( \displaystyle \forall_{f,g \in I^I} [f R G \Leftrightarrow \forall_{x\in I} f(x) \leq g(x)]. \)

    Udowodnij, że relacja \( \displaystyle R \) porządkuje zbiór \( \displaystyle I \). Czy w porządku istnieją elementy najmniejszy i największy?

    Ćwiczenie 1.13

    Podaj przykład przeliczalnego porządku, w którym istnieje element najmniejszy i największy.

    Ćwiczenie 1.14

    Podaj przykład porządku, w którym istnieje element maksymalny, który nie jest elementem największym. Czy istnieje taki porządek, żeby element maksymalny był jedyny?

    Ćwiczenie 1.15

    Podaj przykład zbioru liniowo uporządkowanego \( \displaystyle (X,\leq) \), w którym istnieje podzbiór niemający supremum.

    Takim zbiorem jest \( \displaystyle \mathbb{N} \) uporządkowany naturalną relacją \( \displaystyle \leq \). Wtedy cały zbiór \( \displaystyle \mathbb{N} \) nie ma supremum, gdyż takie supremum musiałoby być największą liczbą naturalną, a taka nie istnieje.

    Ćwiczenie 1.16

    Udowodnij, że zbiorze uporządkowanym \( \displaystyle (X,\leq) \) istnieje \( \displaystyle \bigvee \emptyset \) wtedy i tylko wtedy, gdy w \( \displaystyle X \) istnieje element najmniejszy.

    Ćwiczenie 1.17

    Udowodnij, że zbiorze uporządkowanym \( \displaystyle (X,\leq) \), jeśli każdy podzbiór ma supremum, to każdy podzbiór ma infimum.

    Ćwiczenie 1.18

    Podaj przykład porządku \( \displaystyle (X,\leq) \) takiego, że podzbiór \( \displaystyle A\subset X \) ma supremum wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.

    Przykładem takiego porządku są skończone podzbiory liczb naturalnych, uporządkowane przez inkluzję; oznaczymy ten porządek przez \( \displaystyle (\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N}),\subset) \). Dla dowolnego skończonego zbioru \( \displaystyle A\subset \mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N}) \) mamy \( \displaystyle \bigcup A \in \mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N}) \), a więc zbiór ten ma supremum w \( \displaystyle \mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N}) \). Jeśli zbiór \( \displaystyle A \) jest nieskończony, to \( \displaystyle \bigcup A \) jest nieskończony, a więc \( \displaystyle \bigcup A \notin \mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N}) \), co oznacza, że w \( \displaystyle \mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N}) \) nie istnieje supremum zbioru \( \displaystyle A \) (gdyby istniało, to w zbiorze \( \displaystyle (\mathcal{P}(\mathbb{N}),\subset) \) istniałyby dwa suprema zbioru \( \displaystyle A \), co jest niemożliwe).

    Definicja 1.19

    \( \displaystyle L \subset X \) jest łańcuchem w porządku \( \displaystyle (X,\leq) \), gdy każde dwa elementy \( \displaystyle L \) są porównywalne w sensie \( \displaystyle \leq \). Oznacza to, że porządek indukowany na zbiorze \( \displaystyle L \), czyli \( \displaystyle (L, R \cap L \times L) \) jest porządkiem liniowym.

    Definicja 1.20.

    Zbiór \( \displaystyle A \subset X \) jest antyłańcuchem w porządku \( \displaystyle (X,\leq) \), gdy żadne dwa różne elementy \( \displaystyle A \) nie są porównywalne w sensie \( \displaystyle \leq \). Formalnie, jeśli następująca formuła jest prawdziwa:

    \( \displaystyle \forall_{a,b\in A} (a \leq b \Rightarrow a=b). \)

    Ćwiczenie 1.21

    Sprawdź, czy suma antyłańcuchów musi być antyłańcychem oraz czy suma łańcuchów musi być łańcuchem.

    Ćwiczenie 1.22

    Czy antyłańcuch może być łańcuchem?

    Ćwiczenie 1.23

    Podaj przykład porządku, w których nie istnieje największy w sensie inkluzji łańcuch ani antyłańcuch.

    Ćwiczenie 1.24

    Kiedy w porządku \( \displaystyle (X,\leq) \) istnieje największy w sensie inkluzji łańcuch.

    Ćwiczenie 1.25

    Kiedy w porządku \( \displaystyle (X,\leq) \) istnieje największy w sensie inkluzji antyłańcuch.

    Ćwiczenie 1.26

    Czy porządek, w którym każdy łańcuch jest skończony, musi być skończony? Czy taki porządek może zawierać łańcuchy o dowolnie dużej skończonej mocy?

    Ćwiczenie 1.27

    Rozważmy zbiór \( \displaystyle 7=\{0,1,2,3,4,5,6\} \) uporządkowany relacją podzielności (czyli \( \displaystyle a|b \Leftrightarrow \exists_{c\in 7} a \cdot c =b \)). Wypisz wszystkie łańcuchy maksymalne w sensie inkluzji. Wypisz wszystkie antyłańcuchy maksymalne w sensie inkluzji.

    Zbiory liniowo uporządkowane

    Zbiory liniowo uporządkowane


    Definicja 2.1.

    Porządki liniowe \( \displaystyle (X,\leq ) \) i \( \displaystyle (Y,\leq ) \) nazywamy podobnymi, gdy istnieje bijekcja \( \displaystyle f:X \to Y \) rosnąca, czyli taka, że jeżeli \( \displaystyle x \leq y \), to \( \displaystyle f(x) \leq f(y) \).

    Ćwiczenie 2.2

    Dla podobieństwa \( \displaystyle f \), jeżeli \( \displaystyle f(x) \leq f(y) \), to \( \displaystyle x \leq y \)

    Definicja 2.3.

    Porządek \( \displaystyle (X,\leq ) \) nazywamy gęstym, gdy \( \displaystyle \forall_{x,y\in X} \;\; x < y \hspace {0.1mm} \Rightarrow \exists_{z\in X} \;\; x < z < y \)

    Ćwiczenie 2.4

    Gęstość jest przenoszona przez podobieństwo.

    Ćwiczenie 2.5

    W zbiorze \( \displaystyle \mathbb{N}^\mathbb{N} \) rozważymy dwie relacje porządkujące zdefiniowane następująco:
    \( \displaystyle \begin{align*} f \sqsubseteq_1 g \Leftrightarrow \forall_{n \in \mathbb{N}} f(n) \leq g(n), \\ f \sqsubseteq_2 g \Leftrightarrow [f=g \vee \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} (f(n) < g(n)\wedge \forall_{n < n_0} f(n) =g(n))]. \end{align*} \)

    Sprawdź, czy te porządki są podobne.


    Definicja 2.6.

    Niech \( \displaystyle (X,\leq ) \) będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda w \( \displaystyle (X,\leq ) \) nazywamy parę zbiorów \( \displaystyle X_1 , X_2 \subset X \), taką że:

    1. \( \displaystyle X_1 \cup X_2 = X \).
    2. \( \displaystyle X_1 \cap X_2 = \emptyset \).
    3. \( \displaystyle \forall_{x_1 \in X_1, x_2 \in X_2 } \;\; x_1 < x_2 \).
    4. \( \displaystyle X_1 \neq \emptyset \) i \( \displaystyle X_2 \neq \emptyset \).

    Definicja 2.7.

    Przekrój \( \displaystyle X_1 , X_2 \) daje skok, jeżeli \( \displaystyle X_1 \) ma element największy i \( \displaystyle X_2 \) ma element najmniejszy.

    Ćwiczenie 2.8

    Liniowy porządek \( \displaystyle (X,\leq ) \) jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój nie daje skoku.

    Ćwiczenie 2.9

    W zbiorze \( \displaystyle \{0,1\}^\mathbb{N} \) rozważymy relację porządkującą zdefiniowaną następująco:

    \( \displaystyle \begin{align*} f \sqsubseteq g \Leftrightarrow [f=g \vee \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} (f(n_0) < g(n_0)\wedge \forall_{n < n_0} f(n) =g(n))]. \end{align*} \)

    Sprawdź, czy ten porządek jest gęsty.

    Definicja 2.10.

    Przekrój \( \displaystyle X_1 , X_2 \) daje lukę, jeżeli \( \displaystyle X_1 \) nie ma elementu największego i \( \displaystyle X_2 \) nie ma elementu najmniejszego.

    Definicja 2.11.

    Porządek liniowy \( \displaystyle (X,\leq ) \) nazywamy ciągłym wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój nie daje luki.

    Twierdzenie 2.12.

    W porządku ciągłym \( \displaystyle (X,\leq ) \) każdy niepusty zbiór ograniczony od góry ma supremum.

    Dowód

    Niech \( \displaystyle A \neq \emptyset \) będzie zbiorem ograniczonym od góry. Łatwo zauważyć, że jeżeli jakieś ograniczenie zbioru \( \displaystyle A \) należy do \( \displaystyle A \), to jest jego supremum. Załóżmy zatem, że żadne ograniczenie do \( \displaystyle A \) nie należy. Utwórzmy parę zbiorów: \( \displaystyle X_1 = \{y\in X: \exists_{x\in A} \;\; y \leq x\} \) oraz \( \displaystyle X_2 = \{y\in X: \forall_{x\in A} \;\; y >x\} \). Pierwszy \( \displaystyle X_1 \) jest domknięciem w dół zbioru \( \displaystyle A \), czyli wraz z każdym jego elementem dołączamy do niego wszystkie mniejsze. Zatem \( \displaystyle \emptyset \neq A \subset X_1 \). Do \( \displaystyle X_2 \) należą wszystkie ograniczenia górne zbioru \( \displaystyle A \) więc musi on być niepusty. Z konstrukcji wynika \( \displaystyle X_1 \cup X_2 = X \). Korzystając z ciągłości, otrzymujemy, że \( \displaystyle X_1 \) ma element największy lub \( \displaystyle X_2 \) ma element najmniejszy. Gdy \( \displaystyle X_1 \) posiada element największy \( \displaystyle b \), to jest on supremum \( \displaystyle A \). Istotnie, element \( \displaystyle b \) góruje nad \( \displaystyle X_1 \), więc tym bardziej nad \( \displaystyle A \). Gdy element \( \displaystyle b' \) góruje nad \( \displaystyle A \), to góruje też nad \( \displaystyle X_1 \), zatem jeżeli należy do \( \displaystyle X_1 \), musi być równy \( \displaystyle b \), gdy zaś należy do \( \displaystyle X_2 \), to \( \displaystyle b' > b \). W drugim przypadku, gdy w \( \displaystyle X_1 \) nie ma elementu największego, supremum \( \displaystyle A \) jest najmniejszy element \( \displaystyle b \) z \( \displaystyle X_2 \) . Istotnie, \( \displaystyle b \) góruje nad \( \displaystyle A \). Jeżeli jakiś \( \displaystyle b' \) góruje nad \( \displaystyle A \), to również nad \( \displaystyle X_1 \). \( \displaystyle b' \) nie może należeć do \( \displaystyle X_1 \), bo w \( \displaystyle X_1 \) nie ma największego. Należy więc do \( \displaystyle X_2 \), zatem \( \displaystyle b \leq b ' \). Proszę o zwrócenie uwagi na fakt, że możliwe jest, aby zarówno \( \displaystyle X_1 \) miał element największy, jak i \( \displaystyle X_2 \) miał element najmniejszy. Wtedy supremum jest ten pochodzący z \( \displaystyle X_1 \).

    Twierdzenie 2.13.

    W porządku liniowym \( \displaystyle (X,\leq ) \), jeżeli każdy niepusty zbiór ograniczony od góry ma supremum, to porządek jest ciągły.

    Dowód

    Weźmy przekrój Dedekinda \( \displaystyle X_1 , X_2 \subset X \). \( \displaystyle X_1 \) jest ograniczony od góry przez elementy z \( \displaystyle X_2 \). \( \displaystyle X_1 \), ma więc supremum \( \displaystyle a \). Jeżeli \( \displaystyle a\in X_1 \), to \( \displaystyle X_1 \) ma element największy. W przeciwnym przypadku \( \displaystyle a \in X_2 \). Gdyby \( \displaystyle a > x_2 \) dla pewnego \( \displaystyle x_2 \in X_2 \), to zbiór \( \displaystyle X_1 \) miałby mniejsze ograniczenie górne niż \( \displaystyle a \). To jest niemożliwe, musi więc być \( \displaystyle a \leq x_2 \) dla każdego \( \displaystyle x_2 \in X_2 \). Zatem \( \displaystyle a \) jest najmniejszy w \( \displaystyle X_2 \).

    Ćwiczenie 2.14

    W porządku liniowym \( \displaystyle (X,\leq ) \) każdy niepusty zbiór ograniczony od dołu ma infimum wtedy i tylko wtedy, gdy porządek jest ciągły.

    Ćwiczenie 2.15.

    Udowodnij, że ciągłość jest przenoszona przez podobieństwo.


    Ćwiczenie 2.16

    Pokaż, że zbiór \( \displaystyle \mathbb{N} \) liczb naturalnych jest ciągły.


    Ćwiczenie 2.17

    Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \( \displaystyle A,B\in \mathbb R \) takich, że \( \displaystyle A < B \) istnieje liczba wymierna \( \displaystyle q\in \mathbb{Q} \) taka, że \( \displaystyle A\leq q \leq B \).

    Ćwiczenie 2.18

    Pokaż, że zbiór \( \displaystyle \mathbb{Q} \) nie jest ciągły.


    Twierdzenie 2.19.

    \( \displaystyle \mathbb{R} \) jest ciągła.

    Dowód

    Przed przystąpieniem do dowodu przejrzyj dowód twierdzenia Cantora 2.9 z wykładu 9 o nieprzeliczalności \( \displaystyle \mathbb{R} \) (patrz Wykład 9: "Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum", Twierdzenie Cantora). Niech \( \displaystyle (X_1 , X_2) \) będzie przekrojem w \( \displaystyle \mathbb{R} \). Zbiory \( \displaystyle X_1 , X_2 \) są niepuste. Wybierzmy dwie liczby wymierne \( \displaystyle x_0 \) w \( \displaystyle X_1 \) i \( \displaystyle y_0 \) w \( \displaystyle X_2 \). (Sprawdź jako ćwiczenie, że z każdego przekroju da się wybrać liczby wymierne). Skonstruujmy dwa ciągi \( \displaystyle x: \mathbb{N} \rightarrow X_1 \) oraz \( \displaystyle y: \mathbb{N} \rightarrow X_2 \) zdefiniowane indukcyjnie. \( \displaystyle x_0, y_0 \) są zadane.

    \( \displaystyle x_{i+1} = \left\{ \begin{array} {ll} \frac{x_i + y_i}{2}, & \hbox{gdy } \frac{x_i + y_i}{2} \in X_1 ; \\ x_i , & \hbox{gdy; } \frac{x_i + y_i}{2} \notin X_1. \end {array} \right. . \;\;\;\;\;\;\;y_{i+1} =\left\{ \begin{array} {ll} \frac{x_i + y_i}{2}, & \hbox{gdy } \frac{x_i + y_i}{2} \in X_2 ; \\ y_i , & \hbox{gdy } \frac{x_i + y_i}{2} \notin X_2. \end {array} \right. . \)

    Jako ćwiczenie podamy sprawdzenie następujących własności ciągów \( \displaystyle x_i \) i \( \displaystyle y_i \):

    1. ciąg \( \displaystyle x \) jest słabo rosnący czyli \( \displaystyle x_i \leq x_{i+1} \),
    2. ciąg \( \displaystyle y \) jest słabo malejący czyli \( \displaystyle y_i \geq y_{i+1} \),
    3. \( \displaystyle y_i - x_i = \frac{y_0 - x_0}{2^i} \),
    4. \( \displaystyle | x_{i+1} - x_i | \leq \frac{y_0 - x_0}{2^{i+1}} \),
    5. \( \displaystyle | y_{i+1} - y_i | \leq \frac{y_0 - x_0}{2^{i+1}} \).

    Własności te implikują fakt, że zarówno \( \displaystyle x_i \) jak i \( \displaystyle y_i \) są ciągami Cauchy'ego, jak i to, że są równoważne w sensie definicji liczb rzeczywistych. Zatem istnieje liczba rzeczywista \( \displaystyle G \) zadana jednocześnie przez aproksymacje \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \), czyli \( \displaystyle G= [x]_{\simeq} = [y]_\simeq \). Gdy \( \displaystyle G\in X_1 \), to \( \displaystyle X_1 \) ma element największy. W przeciwnym wypadku \( \displaystyle G\in X_2 \) i wtedy \( \displaystyle X_2 \) ma element najmniejszy.

    Ćwiczenie 2.20

    Udowodnij, że porządki \( \displaystyle (\mathbb R, \leq) \) i \( \displaystyle (\mathbb R\setminus \mathbb{Q}, \leq) \) nie są podobne.

    Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady

    Wstęp


    Poniższy wykład poświęcony jest konsekwencjom aksjomatu wyboru. Aksjomat wyboru jest niewątpliwie najbardziej kontrowersyjnym z aksjomatów ZFC. Wielu znanych matematyków poddawało go w wątpliwość. W chwili obecnej znakomita większość uważa, że aksjomat wyboru jest prawdziwy, nawet jeśli niektóre z jego konsekwencji są sprzeczne z intuicją.

    W tym wykładzie przedstawiamy szereg twierdzeń, które są równoważne lub wynikają z aksjomatu wyboru. Zanim przejdziemy do wypowiedzi tych faktów, wprowadzimy jeszcze jeden koncept.

    Zbiory dobrze uporządkowane

    Zbiory dobrze uporządkowane


    Definicja dobrego porządku nie zależy od aksjomatu wyboru. W aksjomatyce ZF istnieje wiele zbiorów dobrze uporządkowanych. Jednak w obecności aksjomatu wyboru zbiory dobrze uporządkowane nabierają zupełnie nowego znaczenia.

    Definicja 2.1.

    Częściowy porządek \( (A,\sqsubseteq) \) jest dobrym porządkiem, jeśli

    • jest porządkiem liniowym,
    • każdy niepusty podzbiór \( A \) zawiera element najmniejszy względem \( \sqsubseteq \).

    Mówimy wtedy, że zbiór \( A \) jest dobrze uporządkowany przez \( \sqsubseteq \).

    Istnienie zbiorów dobrze uporządkowanych nie jest nowością. Zdefiniowany w wykładzie 7 "Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje" zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany na mocy dowiedzionych tam twierdzeń. Łatwo zauważyć, że również każda liczba naturalna \( n \) wraz z relacją inkluzji jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Ogólnie, następujący fakt jest prawdziwy

    Fakt 2.2.

    Dla dowolnego dobrego porządku \( (A,\sqsubseteq) \) i dla dowolnego zbioru \( B\subset A \) zbiór ten jest dobrze uporządkowany przez relację \( \sqsubseteq\cap B\times B \).

    Dowód

    Relacja \( \sqsubseteq\cap B\times B \) to relacja \( \sqsubseteq \) zawężona do elementów zbioru \( B \). Mamy dla każdego \( a,b\in B \)

    \( a\sqsubseteq b \iff a (\sqsubseteq\cap B\times B) b. \)

    Oczywistym wnioskiem jest, że zbiór \( B \) jest uporządkowany liniowo przez \( \sqsubseteq\cap B\times B \). Pozostaje wykazać, że każdy podzbiór zbioru \( B \) ma element najmniejszy. Ustalmy dowolne \( C\subset B \), ponieważ \( B\subset A \) zbiór \( C \) jest również podzbiorem \( A \) i z definicji zbioru dobrze uporządkowanego wynika, że \( C \) posiada element najmniejszy względem \( \sqsubseteq \). Ponieważ \( C\subset B \), to ten sam element jest elementem najmniejszym w \( C \) względem \( \sqsubseteq\cap B\times B \), co kończy dowód faktu.

    Dokładnej analizie własności zbiorów dobrze uporządkowanych jest poświęcony wykład 12 "Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną". W dalszej części wykładu ograniczamy się do własności tych porządków bezpośrednio powiązanych z aksjomatem wyboru.

    Aksjomat wyboru i twierdzenia mu równoważne

    Aksjomat wyboru i twierdzenia mu równoważne


    Tę część wykładu zaczniemy od przytoczenia aksjomatu wyboru w postaci, w jakiej został wprowadzony w wykładzie 4 "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach".

    Aksjomat Wyboru. Następująca formuła jest prawdziwa:

    \( \forall x\; ( \emptyset\notin x\land \forall y\forall z\; (z\in x\land y\in x) \Longrightarrow (z=y \lor z\cap y = \emptyset)) \Longrightarrow \exists w \forall v\;(v\in x \Longrightarrow \exists u\;v\cap w=\{u\}). \)

    Rysunek 1

    Aksjomat ten mówi, że jeśli \( x \) jest rodziną niepustych, parami rozłącznych zbiorów, to istnieje zbiór mający z każdym elementem \( x \) dokładnie jeden element wspólny. Zbiór \( w \), którego istnienie gwarantuje aksjomat wyboru, "wybiera" z każdego elementu rodziny dokładnie jeden element (rysynek 1). Zbiory jako pionowe, nieregularne obszary, zbiór wybierający jako poziomy zbiór przecinający każdy z nich na dokładnie jednym elemencie.

    W dalszej części wykładu prezentujemy kilka twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru. To znaczy, że na gruncie aksjomatyki ZF, bez aksjomatu wyboru, założenie prawdziwości któregokolwiek z tych twierdzeń implikuje prawdziwość aksjomatu wyboru i vice versa. Bardzo istotną częścią dowodów jest wykazanie, że twierdzenia te są dokładnie równoważne aksjomatowi wyboru na gruncie ZF. Na gruncie aksjomatyki ZFC twierdzenia te dają się udowodnić przy użyciu aksjomatu wyboru.

    Aby wykazać równoważność między aksjomatem wyboru a poniższymi twierdzeniami, pokażemy, że każde twierdzenie implikuje następne i że ostatnie implikuje aksjomat wyboru. Jest to najprostszy sposób na wykazanie równoważności.

    Twierdzenia dotyczące zbiorów

    Pierwsze, równoważne aksjomatowi wyboru, twierdzenie mówi o istnieniu funkcji wybierającej. W aksjomacie wyboru, z rodziny zbiorów wybieraliśmy elementy przez utworzenie zbioru. Aby możliwe było wybranie dokładnie jednego elementu z każdego zbioru, niezbędne było założenie o rozłączności tych zbiorów. Poniższe twierdzenie mówi o istnieniu funkcji wybierającej elementy ze zbiorów.

    Twierdzenie 3.1.

    Dla dowolnej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja, która każdemu zbiorowi w tej rodzinie przyporządkowuje któryś z jego elementów. Formalnie

    \( \forall x\; \emptyset\notin x \Longrightarrow \exists f\; f:x \rightarrow \bigcup x \land( \forall y\; y\in x \Longrightarrow f(y)\in y). \)

    Poniżej przedstawiamy dowód, na gruncie ZF, że aksjomat wyboru implikuje powyższe twierdzenie.

    Dowód

    Aksjomat wyboru implikuje Twierdzenie 3.1 (patrz Twierdzenie 3.1.) Ustalmy dowolny, niezawierający zbioru pustego, zbiór \( x \). Skonstruujemy zbiór \( x_1 \), do którego stosować będziemy aksjomat wyboru. Zbiór

    \( x_1 = \{\{y\}\times y\,:\, y\in x\} \)

    jest rodziną zbiorów parami rozłącznych - elementy pochodzące z różnych zbiorów \( x \) różnią się w \( x_1 \) na pierwszej współrzędnej. Do zbioru \( x_1 \) stosujemy aksjomat wyboru i otrzymujemy zbiór \( w\subset x\times \bigcup x \). Ponieważ z każdego zbioru \( x_1 \) wybraliśmy dokładnie jeden element, to \( w \) jest funkcją z \( x \) do \( \bigcup x \). Definicja \( x_1 \) gwarantuje również, że \( w(y)\in y \) dla każdego \( y\in x \). Wnioskujemy, że \( w \) może być wzięte jako \( f \) i że aksjomat wyboru implikuje Twierdzenie 3.1 (patrz Twierdzenie 3.1.).

    Kolejny fakt, równoważny aksjomatowi wyboru, przedstawiamy w formie ćwiczenia:

    Ćwiczenie 3.1

    Wykaż, że stwierdzenie "dla każdej surjekcji \( f:x \rightarrow y \) istnieje iniekcja \( g:y \rightarrow
    x \) taka, że \( f\circ g \) jest funkcją identycznościową na \( y \)" jest równoważne aksjomatowi wyboru na gruncie ZF.

    Twierdzenia dotyczące porządków

    Kolejne dwa twierdzenia dotyczą częściowych porządków. Pierwsze z nich gwarantuje istnienie maksymalnych łańcuchów.

    Twierdzenie 3.2. [Zasada maksimum Felixa Hausdorff'a]

    W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje maksymalny, pod względem inkluzji, łańcuch. Zgodnie z przyjętą strategią postępowania wykażemy, że Twierdzenie 3.1 implikuje zasadę maksimum Felixa Hausdorffa.

    Dowód

    Twierdzenie 3.1 implikuje zasadę maksimum Felixa Hausdorffa. Dowód tej implikacji opiera się na Twierdzeniu Bourbakiego-Witta z Wykładu 10 (patrz Twierdzenie Bourbakiego-Witta). Ustalmy dowolny zbiór częściowo uporządkowany \( (A,\sqsubseteq) \). Jeśli \( A=\emptyset \), to zbiór ten posiada dokładnie jeden łańcuch i fakt jest dowiedziony. Jeśli \( A\neq\emptyset \), oznaczmy przez \( (B,\subset) \) zbiór częściowo uporządkowany składający się z łańcuchów w \( (A,\sqsubseteq) \) uporządkowanych przez inkluzję

    \( B = \{C\subset A\,:\, C \) jest uporządkowany liniowo przez \( \sqsubseteq\}. \)

    Zbiór częściowo uporządkowany \( (B,\subset) \) jest łańcuchowo zupełny. Aby to pokazać, ustalmy dowolny, uporządkowany liniowo przez inkluzję zbiór \( D\subset B \). Jeśli \( \bigcup D \) należy do \( B \), to jest to niewątpliwie supremum zbioru \( D \). Aby wykazać, że \( \bigcup D \) jest elementem \( B \), należy wykazać, że jest on uporządkowany liniowo przez \( \sqsubseteq \). Weźmy dwa elementy \( \bigcup D \) - \( x \) i \( y \). Istnieje \( C_x\in D \) i \( C_y\in D \) takie, że \( x\in C_x \), a \( y\in C_y \). Ponieważ \( D \) jest łańcuchem, to, bez straty ogólności, możemy założyć, że \( C_x\subset C_y \). Wtedy, zarówno \( x \) jak i \( y \), należą do \( C_y \) i ponieważ \( C_y\in B \), wnioskujemy, że \( x \) i \( y \) są porównywalne. Wykazaliśmy, że dowolne dwa elementy \( \bigcup D \) są porównywalne, czyli że \( \bigcup D \) jest uporządkowany liniowo przez \( \sqsubseteq \).

    Na mocy Twierdzenia 3.1 definiujemy funkcję wyboru \( f \) dla zbioru \( \mathcal{P}(A)\setminus\{\emptyset\} \) zwracającą, dla każdego niepustego podzbioru \( A \), jego element. Twierdzenie Bourbakiego-Witta będziemy stosować do funkcji \( g \) przeprowadzającej \( B \) w \( B \) i zdefiniowanej następująco:

    \( g(C)=\left\{\begin{array}{lll} C\cup \{f(C')\}, & \quad \textrm{jeśli } C', \textrm{zbiór elementów porównywalnych z każdym elementem } C, \textrm{jest niepusty} \\ C , & \quad \textrm{w przeciwnym przypadku}. \end{array} \right. \)

    Funkcja \( g \) dostaje jako argument łańcuch w \( (A,\sqsubseteq) \) oznaczony przez \( C \) i przy pomocy funkcji \( f \) rozszerza (jeśli jest to możliwe) \( C \) o jeden element porównywalny ze wszystkimi elementami \( C \), otrzymując w ten sposób nowy, większy łańcuch.

    Zbiór \( (B,\subset) \) i funkcja \( g \) spełniają założenia Twierdzenia Bourbakiego-Witta i, na jego mocy, istnieje punkt stały \( g \), czyli zbiór \( D \) taki, że \( g(D) = D \). To gwarantuje, że zbiór \( D' \) elementów porównywalnych z każdym elementem \( D \) jest pusty, czyli że \( D \) jest maksymalnym pod względem inkluzji łańcuchem w \( A \).

    Równoważną wersję zasady Felixa Hausdorffa pozostawiamy jako ćwiczenie.

    Ćwiczenie 3.2

    Wykaż, na gruncie ZF, że następujące stwierdzenie jest równoważne zasadzie Felixa Hausdorffa: "W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym każdy łańcuch jest zawarty w maksymalnym, pod względem inkluzji, łańcuchu".

    Kolejne z równoważnych aksjomatowi wyboru twierdzeń nosi nazwę Lematu Maxa Augusta Zorna. Nazwa ta ma korzenie historyczne i dlatego pozostawiamy ją w tym brzmieniu.

    Twierdzenie 3.3. [Lemat Maxa Augusta Zorna]

    Jeśli w pewnym zbiorze częściowo uporządkowanym, każdy łańcuch jest ograniczony od góry, to istnieje w nim element maksymalny.

    Dowodzimy kolejną implikację

    Dowód

    Zasada maksimum Felixa Hausdorffa implikuje Lemat Maxa Augusta Zorna. Dowód tej implikacji jest bardzo prosty. Wybierzmy dowolny zbiór częściowo uporządkowany spełniający założenia Lematu Maxa Augusta Zorna, czyli taki, że każdy łańcuch jest w nim ograniczony od góry. Na mocy zasady maksimum Felixa Hausdorffa istnieje w tym zbiorze łańcuch maksymalny pod względem inkluzji. Łańcuch ten posiada ograniczenie górne, które musi być elementem łańcucha i równocześnie elementem maksymalnym zbioru. Jeśliby tak nie było, to dodając element istotnie większy od tego ograniczenia do łańcucha danego przez zasadę maksimum Hausdorffa, uzyskalibyśmy łańcuch istotnie większy pod względem inkluzji.

    Kolejne ćwiczenie mówi o istnieniu maksymalnego antyłańcucha.

    Ćwiczenie 3.3

    Udowodnij, używając lematu Maxa Augusta Zorna, że w każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje antyłańcuch maksymalny pod względem inkluzji.

    Poniższe ćwiczenie dotyczy rozszerzeń porządków.

    Ćwiczenie 3.4

    Wykaż, używając lematu Maxa Augusta Zorna, że każdy częściowy porządek da się rozszerzyć do porządku liniowego. To znaczy, że dla każdego zbioru częściowo uporządkowanego \( (A,\sqsubseteq) \) istnieje liniowy porządek \( ≼ \) na \( A \) taki, że

    \( x \sqsubseteq y \Longrightarrow x ≼ y. \)

    dla dowolnych \( x \) i \( y \) w \( A \).

    W Wykładzie 5 "Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów" pokazaliśmy, że dla dowolnej relacji istnieje najmniejsza relacja równoważności zawierająca tą relację. W poniższym ćwiczeniu pokażemy, że dla niektórych relacji istnieje maksymalna, pod względem inkluzji, relacja równoważności zawarta w nich

    Ćwiczenie 3.5

    Użyj lematu Maxa Augusta Zorna, aby wykazać, że dla każdej relacji \( \rho \subset A\times A \), jeśli \( 1_{A}\subset\rho \), to istnieje maksymalna pod względem inkluzji relacja równoważności zawarta w \( \rho \).

    Kolejny warunek równoważny dotyczy zbiorów dobrze uporządkowanych.

    Twierdzenie Ernsta Zermelo

    Twierdzenie Zermelo jest jedną z równoważnych postaci aksjomatu wyboru, w którą wyjątkowo trudno uwierzyć.

    Twierdzenie 3.4. [Zermelo]

    Dla każdego zbioru istnieje relacja, która jest dobrym porządkiem na tym zbiorze. Kolejny dowód to

    Dowód

    Lemat Maxa Augusta Zorna implikuje Twierdzenie Ernsta Zermelo. Ustalmy dowolny zbiór niepusty \( A \) (dla zbioru pustego porządek pusty porządkuje go dobrze). Rozważmy zbiór \( B \) składający się z podzbiorów \( A \), które mogą być dobrze uporządkowane, wraz z dobrymi porządkami

    \( B = \{(C,\sqsubseteq)\,:\, C\subset A \land \sqsubseteq \) jest dobrym porządkiem na \( C \} \) i zdefiniujmy relację na elementach \( B \) w następujący sposób

    \(\begin{array}{ll} \displaystyle (C,\sqsubseteq) ≼ (C',\sqsubseteq') \iff & C\subset C' \land \begin{cases}\forall c \forall d\ (c\in C\land d\in C) \Longrightarrow (c\sqsubseteq d \iff c\sqsubseteq' d) \textrm{ oraz } \\ \forall c \forall d\ (c\in C\land d\in C'\setminus C) \Longrightarrow c\sqsubseteq' d \end{cases} \end{array}\)

    czyli dwa elementy \( B \) są porównywalne wtedy i tylko wtedy, jeśli zbiory, na których, są określone są porównywalne w sensie inkluzji i porządek zdefiniowany na większym zbiorze jest rozszerzeniem porządku zdefiniowanego na mniejszym przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych. Aby zastosować Lemat Maxa Augusta Zorna do zbioru częściowo uporządkowanego \( (B, ≼ ) \) musimy wykazać, że każdy łańcuch w tym zbiorze ma ograniczenie górne.

    Niech \( D\subset B \) będzie łańcuchem w sensie \( ≼ \). Zdefiniujmy \( C_0 \) jako unię wszystkich pierwszych współrzędnych elementów \( D \) i \( \sqsubseteq_0 \) jako unię drugich współrzędnych elementów \( D \). Niewątpliwie \( C_0\subset A \). Ponieważ \( D \) jest łańcuchem w sensie \( ≼ \), to relacja \( \sqsubseteq_0 \) jest porządkiem liniowym na \( C_0 \). Aby wykazać, że \( \sqsubseteq_0 \) jest dobrym porządkiem na \( C_0 \), ustalmy dowolny \( E\subset C_0 \). Niewątpliwie istnieje element \( (C,\sqsubseteq)\in D \) taki, że \( E\cap C\neq\emptyset \). Ponieważ \( (C,\sqsubseteq)\in B \), to \( C \) jest dobrze uporządkowany przez \( \sqsubseteq \) i w związku z tym \( E\cap C \) posiada element najmniejszy w \( C,\sqsubseteq) \) - oznaczmy go przez \( x \). Element \( x \) będzie również najmniejszym elementem \( E \) w \( C_0 \). Aby to wykazać, ustalmy \( y\in E \). Jeśli \( y\in C \), to niewątpliwie \( x\sqsubseteq y \) i w związku z tym \( x\sqsubseteq_0 y \). Jeśli \( y\notin C \), to \( y \in C'\setminus C \) dla jakiegoś \( (C',\sqsubseteq')\in D \). Ponieważ \( D \) jest łańcuchem wnioskujemy, że \( C\subset C' \) i na mocy definicji \( ≼ \), że \( x\sqsubseteq' y \), czyli \( x\sqsubseteq_0 y \), co należało wykazać.

    Stosując Lemat Maxa Augusta Zorna wnioskujemy, że w zbiorze częściowo uporządkowanym \( (B, ≼ ) \) istnieje element maksymalny \( (D,\sqsubseteq) \). Jeśli \( D = A \), to \( \sqsubseteq \) jest wymaganym dobrym porządkiem na \( A \). Aby wykazać, że tak musi być, załóżmy niewprost, że \( D ⊊ A \), czyli że istnieje \( d\in A\setminus D \). Wtedy zbiór \( D\cup\{d\} \) wraz z dobrym porządkiem \( \sqsubseteq' \) zdefiniowanym jako

    \( a\sqsubseteq' b \iff b=d \lor (a\in D\land b\in D \land a\sqsubseteq b) \)

    jest większy w sensie relacji \( ≼ \), co przeczy maksymalności \( D \). Uzyskana w dowodzie niewprost sprzeczność kończy rozumowanie.

    Twierdzenie Ernsta Zermelo jest sprzeczne z intuicją wielu matematyków. Gwarantuje ono między innymi istnienie dobrego porządku na liczbach rzeczywistych, czyli takiego liniowego uporządkowania liczb rzeczywistych, w którym każdy zbiór posiada element najmniejszy. Porządek taki jest trudnym do wyobrażenia konceptem matematycznym.

    Aby zamknąć ciąg rozumowań, wystarczy wykazać, że Twierdzenie Zermelo implikuje aksjomat wyboru.

    Dowód

    Twierdzenie Zermelo implikuje aksjomat wyboru. Niech \( x \) będzie dowolnym zbiorem spełniającym założenia aksjomatu wyboru, to znaczy takim, że \( \emptyset\notin x \) i że wszystkie elementy \( x \) są parami rozłączne. Niech \( \sqsubseteq \) będzie istniejącym, na podstawie Twierdzenia Zermelo, dobrym uporządkowaniem zbioru \( \bigcup x \). Zbiór wybierający