Przedziały. Kresy

DEFINICJA 1.1.
Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \) nazywamy zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi elementami plus nieskończoność \( \displaystyle +\infty \) oraz minus nieskończoność \( \displaystyle -\infty \) tak, że w zbiorze liczb rzeczywistych zachowany jest naturalny porządek zadany przez relację nierówności, natomiast element plus nieskończoność następuje po każdej liczbie rzeczywistej, a element minus nieskończoność poprzedza dowolną liczbę rzeczywistą.

DEFINICJA 1.2.

Niech \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \) będą dowolnymi elementami zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \). Jeśli \( \displaystyle a < b, \) to każdy ze zbiorów:

\( \begin{array}{rll} \displaystyle [a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a\leq x\leq b\} \\ (a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a < x < b \} \\ [a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a \leq x < b \} \\ (a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a < x\leq b \} \end{array} \)

nazywamy przedziałem o końcach \( \displaystyle a \), \( \displaystyle b \), przedziałem - odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym, prawostronnie domkniętym.

Niech \( \displaystyle A \) będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \).

DEFINICJA 1.3.

Ograniczeniem górnym zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy dowolny element zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \) nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru \( \displaystyle A \).

DEFINICJA 1.4.

Ograniczeniem dolnym zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy dowolny element zbioru \( \displaystyle \overline{\mathbb{R}} \) nie większy od dowolnego elementu zbioru \( \displaystyle A \).

DEFINICJA 1.5.

Najmniejsze ograniczenie górne zbioru \( \displaystyle A\subset \overline{\mathbb{R}} \) nazywamy kresem górnym zbioru \( \displaystyle A \) (lub: supremum zbioru \( \displaystyle A \)) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle \sup A \).

DEFINICJA 1.6.

Największe ograniczenie dolne zbioru \( \displaystyle A\subset \overline{\mathbb{R}} \) nazywamy kresem dolnym zbioru \( \displaystyle A \) (lub: infimum zbioru \( \displaystyle A \)) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle \inf A \).