Przedziały. Kresy

DEFINICJA 1.1.
Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych

$\displaystyle \overline{\mathbb{R}}$ nazywamy zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi elementami plus nieskończoność

$\displaystyle +\infty$ oraz minus nieskończoność

$\displaystyle -\infty$ tak, że w zbiorze liczb rzeczywistych zachowany jest naturalny porządek zadany przez relację nierówności, natomiast element plus nieskończoność następuje po każdej liczbie rzeczywistej, a element minus nieskończoność poprzedza dowolną liczbę rzeczywistą.

DEFINICJA 1.2.

Niech $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ będą dowolnymi elementami zbioru $\displaystyle \overline{\mathbb{R}}$ . Jeśli $\displaystyle a < b,$ to każdy ze zbiorów:

$\begin{array}{rll} \displaystyle [a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a\leq x\leq b\} \\ (a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a < x < b \} \\ [a, b) & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a \leq x < b \} \\ (a, b] & := & \{x\in \overline{\mathbb{R}}:a < x\leq b \} \end{array}$

nazywamy przedziałem o końcach $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , przedziałem - odpowiednio - domkniętym, otwartym, lewostronnie domkniętym, prawostronnie domkniętym.

Niech $\displaystyle A$ będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru $\displaystyle \overline{\mathbb{R}}$ .

DEFINICJA 1.3.

Ograniczeniem górnym zbioru $\displaystyle A$ nazywamy dowolny element zbioru $\displaystyle \overline{\mathbb{R}}$ nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru $\displaystyle A$ .

DEFINICJA 1.4.

Ograniczeniem dolnym zbioru $\displaystyle A$ nazywamy dowolny element zbioru $\displaystyle \overline{\mathbb{R}}$ nie większy od dowolnego elementu zbioru $\displaystyle A$ .

DEFINICJA 1.5.

Najmniejsze ograniczenie górne zbioru $\displaystyle A\subset \overline{\mathbb{R}}$ nazywamy kresem górnym zbioru $\displaystyle A$ (lub: supremum zbioru $\displaystyle A$ ) i oznaczamy symbolem $\displaystyle \sup A$ .

DEFINICJA 1.6.

Największe ograniczenie dolne zbioru $\displaystyle A\subset \overline{\mathbb{R}}$ nazywamy kresem dolnym zbioru $\displaystyle A$ (lub: infimum zbioru $\displaystyle A$ ) i oznaczamy symbolem $\displaystyle \inf A$ .