Informatyka MIMUW

Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny

DEFINICJA 1.7.

Ciąg o wyrazach $\displaystyle a_n=a_0 +n r,$ gdzie $\displaystyle n=0, 1, 2, 3, \ldots$ nazywamy ciągiem arytmetycznym opoczątkowym wyrazie $\displaystyle a_0$ i różnicy $\displaystyle r.$

DEFINICJA 1.8.

Niech $\displaystyle a_0\neq 0$ i $\displaystyle q\neq 0.$ Ciąg o wyrazach $\displaystyle a_n=a_0q^n$, gdzie $\displaystyle n=0, 1, 2, 3, ...$ nazwyamy ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie $a_0$ i ilorazie $q$.

Przypomnijmy, że

Uwaga 1.9.

Jeśli $\displaystyle a_n$ jest ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie $\displaystyle a_0$ i różnicy $\displaystyle r$, to

$\displaystyle a_0 +a_1 +a_2 +\ldots+a_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n ) \ =\ \frac{n+1}{2}(2a_0+nr).$

Uwaga 1.10.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $\displaystyle q\neq 1$ i dowolnej liczby naturalnej $\displaystyle n=1, 2, 3, \ldots$ zachodzi równość

$\displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

(Jeśli $\displaystyle q=1$, mamy oczywistą równość $\displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n=1+1+1+\ldots +1=n+1.$)

WNIOSEK 1.11.

Jeśli $\displaystyle a_n$ jest ciągiem geometrycznym o początkowym wyrazie $\displaystyle a_0$ i ilorazie $\displaystyle q\neq 1$, to

$\displaystyle a_0 +a_1 +a_2+\ldots +a_n \ =\ a_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

PRZYKŁAD 1.12.

Rozważmy zbiór $\displaystyle S:=\{1+q+q^2+\ldots +q^n, n=1, 2,3, \ldots \}$ skończonych sum kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $\displaystyle 1$ i nieujemnym ilorazie $\displaystyle q$. Zauważmy, że jeśli $\displaystyle 0 \leq q < 1$, to

$\displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \ =\ \frac{1}{1-q}-\frac{q^{n+1}}{1-q} < \frac{1}{1-q},$

gdyż $\displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q}>0$. Stąd zarówno liczba $\displaystyle \frac{1}{1-q}$ jak i każda liczba większa od niej są ograniczeniami górnymi zbioru $\displaystyle S$. Najmniejszym z ograniczeń górnych zbioru $\displaystyle S$ jest liczba $\displaystyle \frac{1}{1-q}$, gdyż wartość ułamka $\displaystyle \frac{q^{n+1}}{1-q}$ może być dowolnie mała i bliska zeru dla dużych liczb naturalnych $\displaystyle n$. Jeśli natomiast iloraz $\displaystyle q\geq 1$, to jedynym ograniczeniem górnym każdej z sum $\displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n \geq 1+1+1+\ldots +1=n+1$ jest plus nieskończoność. Wówczas też kresem górnym zbioru sum $\displaystyle S$ jest plus nieskończoność.

Do rozważań dotyczących ciągów i nieskończonych sum składników (szeregów) powrócimy w kolejnych modułach.

Odnotujmy jednak jeszcze następującą uwagę.

Uwaga 1.13.

Jeśli $\displaystyle |q| < 1$, to suma nieskończenie wielu składników $\displaystyle q^n$, $\displaystyle n=0, 1, 2, 3,\ldots ,$ jest równa $\displaystyle \frac{1}{1-q}$, co zapisujemy: $\displaystyle 1+q+q^2+\ldots +q^n+\ldots=\frac{1}{1-q}.$