Wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji poprzedziliśmy przypomnieniem dwóch wielkości fizycznych: prędkości średniej i prędkości chwilowej w ruchu prostoliniowym. Zwróćmy uwagę na to, że w otaczającym nas świecie ruch po prostej jest rzadkością, gdyż większość obiektów, które obserwujemy, porusza się po drodze na płaszczyźnie dwuwymiarowej, bądź w przestrzeni trójwymiarowej. Wprowadźmy więc pojęcie pochodnej, które odpowiada m.in. potrzebie opisu ruchu w realnym świecie.
Niech f:(a,b)∋t↦f(t)∈Y będzie funkcją określoną na przedziale otwartym o wartościach w przestrzeni unormowanej Y. Możemy mieć na myśli na przykład przestrzeń unormowaną Y=Rn, w której długość wektora y=(y1,y2,…,yn) wyraża norma ‖.
Definicja 7.1.
Mówimy, że funkcja \displaystyle f: (a,b)\mapsto Y jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle t_0\in (a,b) , jeśli istnieje wektor \displaystyle y_0\in Y taki, że iloraz różnicowy \displaystyle \frac{1}{h}\big(f(t_0+h)-f(t_0)\big) zmierza do \displaystyle y_0 w normie przestrzeni \displaystyle Y , to znaczy
\displaystyle \bigg\|\frac{1}{h}\big(f(t_0+h)-f(t_0)\big)-y_0\bigg\|\to 0, \text{ gdy }h\to 0 . Wektor \displaystyle y_0\in Y nazywamy pochodną funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle t_0 i oznaczamy symbolem \displaystyle \frac{d}{dt}f(t_0) lub \displaystyle f'(t_0) .
Uwaga 7.2.
W szczególnym przypadku, gdy \displaystyle Y=\mathbb{R}^n , funkcja
\displaystyle f:(a,b)\ni t \mapsto f(t)=\big(f_1 (t), f_2(t), \dots, f_n(t)\big)\in \mathbb{R}^n
jest zestawieniem \displaystyle n funkcji \displaystyle f_k : (a,b) \ni t\mapsto f_k(t)\in \mathbb{R} o wartościach liczbowych. Stąd istnienie pochodnej \displaystyle \frac{d}{dt}f(t_0) jest równoważne istnieniu pochodnych wszystkich składowych funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle t_0 . Wówczas też pochodna \displaystyle f jest zestawieniem pochodnych swoich składowych, tzn.
\displaystyle \frac{d}{dt}f(t_0)=\big(\frac{d}{dt}f_1(t_0), \frac{d}{dt}f_2(t_0), \dots, \frac{d}{dt}f_n(t_0)\big).
Przykład 7.3.
Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:
\displaystyle \left\{\begin{align*} x(t)=a\cos t \\ y(t)=b \sin t\end{align*} \right. \ \ \ \ \text{ gdzie }a\geq b>0.
Jak łatwo zauważyć punkt porusza się po elipsie o równaniu
\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1,
gdyż (na podstawie jedynki trygonometrycznej) mamy równość
\displaystyle \displaystyle \frac{x(t)^2}{a^2}+ \frac{y(t)^2}{b^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Ruch ten jest okresowy, wystarczy więc ograniczyć zbiór wartości parametru \displaystyle t do przedziału \displaystyle [0, 2\pi] . Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych
\displaystyle v(t)=\big(\frac{d}{dt} x(t) , \frac{d}{dt}y(t)\big) =(-a \sin t, b\cos t).
Długość wektora prędkości \displaystyle v(t) jest pierwiastkiem z sumy kwadratów składowych tego wektora:
\displaystyle |v(t)|=\sqrt{a^2 \sin^2 t+b^2\cos^2 t}=\sqrt{(a^2-b^2) \sin^2 t+b^2}
i jest największa wówczas, gdy funkcja \displaystyle t\mapsto \sin^2 t przyjmuje wartość największą (równą jedności), a więc w przedziale \displaystyle 0\leq t\leq 2\pi w chwili \displaystyle t=\frac{\pi}{2} oraz \displaystyle t=\frac{3\pi}{2} , tj. w punktach \displaystyle (0,b) oraz \displaystyle (0, -b) elipsy. Z kolei prędkość \displaystyle |v(t)| jest najmniejsza wówczas, gdy funkcja \displaystyle t\mapsto \sin^2 t osiąga wartość najmniejszą (równą zeru). W przedziale \displaystyle 0\leq t\leq 2\pi zachodzi to w chwili \displaystyle t=0 oraz \displaystyle t=\pi , co odpowiada położeniu w punktach \displaystyle (a,0) oraz \displaystyle (-a,0) . Rozwiązanie zadania jest intuicyjnie oczywiste: chcąc bezpiecznie pokonać ostrzejszy zakręt, musimy zwolnić. Na łagodnym łuku (na łuku o małej krzywiźnie) można przyśpieszyć.
Przykład 7.4.
Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:
\displaystyle \left\{\begin{align*} x(t)=\cos^3 t \\ y(t)= \sin^3 t\end{align*} \right.\ .
Punkt ten porusza się po krzywej zwanej asteroidą o równaniu
\displaystyle |x|^\frac{2}{3}+|y|^\frac{2}{3}=1,
gdyż (na mocy jedynki trygonometrycznej) mamy równość \displaystyle \displaystyle |x(t)|^\frac{2}{3}+|y(t)|^\frac{2}{3}=\cos^2 t+\sin^2 t=1 . Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych
\displaystyle v(t)=\big(\frac{d}{dt} x(t) , \frac{d}{dt}y(t)\big) =(-3\cos^2 t \sin t, 3\sin^2 t\cos t).
Długość wektora prędkości \displaystyle v(t) jest pierwiastkiem z sumy kwadratów jego składowych:
\displaystyle \begin{align*} |v(t)| & =\sqrt{9\cos^4 t\sin^2 t+9\sin^4 \cos^2t} \\ & =\sqrt{9\cos^2 t\sin^2 t(\cos^2 t+\sin^2 t)}=3|\cos t\sin t|=\frac{3}{2}|\sin 2t|.\end{align*}
Podobnie jak w poprzednim przykładzie ruch ten jest okresowy o okresie \displaystyle 2\pi , wystarczy więc zbadać go w przedziale \displaystyle 0\leq t\leq 2\pi . Zauważmy, że w opisanym ruchu prędkość jest największa wówczas, gdy \displaystyle t\mapsto |\sin 2t| przyjmuje największą wartość (równą jedności), co w przedziale \displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ma miejsce w czterech chwilach: gdy \displaystyle t=\frac{\pi}{4} , \displaystyle t=\frac{3\pi}{4} , \displaystyle t=\frac{5\pi}{4} , \displaystyle t=\frac{7\pi}{4} . Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z punktów \displaystyle (a,a) , \displaystyle (-a,a) , \displaystyle (-a,-a) , \displaystyle (a, -a) , gdzie \displaystyle a=\frac{1}{2\sqrt{2}} , które -- jak nietrudno zauważyć -- leżą w środku łagodnego łuku asteroidy. Z kolei w chwili \displaystyle t=0 , \displaystyle t=\frac{\pi}{2} , \displaystyle t={\pi} , \displaystyle t=\frac{3\pi}{2} funkcja \displaystyle t\mapsto |\sin 2t| osiąga wartość najmniejszą równą zeru. Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z ostrzy asteroidy: w punkcie \displaystyle (1,0) , \displaystyle (0,1) , \displaystyle (-1,0) lub \displaystyle (0, -1) . Zerowa prędkość punktu w tych położeniach jest również intuicyjnie oczywista: chcąc gładko pokonać tak ostry zakręt, na którym wręcz trzeba zawrócić, należy się na chwilę zatrzymać.
W ramach kursu Analizy matematycznej I określiliśmy pojęcie pochodnej w punkcie \displaystyle a funkcji \displaystyle f jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych, a na początku tego wykładu rozszerzyliśmy pojęcie pochodnej na przypadek funkcji jednej zmiennej o wartościach w dowolnej przestrzeni wektorowej \displaystyle Y za pomocą granicy ilorazu różnicowego
\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
którą (o ile istnieje) oznaczamy symbolem \displaystyle f'(x_0) lub \displaystyle \frac{d}{dt}f(x_0) . Zwróćmy uwagę, że w przypadku, gdy funkcja \displaystyle f:\mathbb{R}\supset (a,b)\mapsto Y osiąga wartości w przestrzeni wektorowej \displaystyle Y , pochodna \displaystyle f'(x_0)\in Y jest wektorem.