Processing math: 2%

Różniczka zupełna

Uwaga 7.5.

Funkcja f:(a,b)Y o wartościach w przestrzeni unormowanej Y ma pochodną w punkcie x0(a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor y0Y taki, że

, czyli

\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0.

Dowód 7.5.

Jeśli iloraz różnicowy

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

zmierza do \displaystyle f'(a)\in Y w normie przestrzeni \displaystyle Y , to

\displaystyle \bigg\|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\bigg\|\to 0, \text{ gdy } h\to 0,

czyli

\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0,

gdy \displaystyle y_0=f'(x_0 ) . Z kolei z istnienia wektora \displaystyle y_0\in Y takiego, że istnieje

\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}= 0

wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego

\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

i jest równa \displaystyle y_0 , a więc \displaystyle f'(x_0)=y_0 , gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma granicę określoną jednoznacznie.

Zauważmy, że funkcja

\displaystyle \mathbb{R} \ni h\mapsto h y_0\in Y

jest liniowa. Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia pojęcia pochodnej funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na przestrzeni unormowanej \displaystyle X o wartościach w przestrzeni unormowanej \displaystyle Y .

Niech \displaystyle X oraz \displaystyle Y będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio \displaystyle \|\cdot\|_X oraz \displaystyle \|\cdot\|_Y . Niech \displaystyle U będzie podzbiorem otwartym przestrzeni \displaystyle X .

Definicja 7.6.

Mówimy, że funkcja \displaystyle f: U\mapsto Y jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie \displaystyle a\in U (lub krótko: jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle a ), jeśli istnieje odwzorowanie \displaystyle L liniowe i ciągłe przestrzeni \displaystyle X w \displaystyle Y takie, że \displaystyle \|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}=o(\|h\|_X) , to znaczy

\displaystyle \frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}}{\|h\|_X}\to 0, \text{ gdy }\to 0.

Odwzorowanie liniowe i ciągłe \displaystyle L nazywamy różniczką zupełną (lub różniczką (w sensie) Frecheta, bądź pochodną (w sensie) Frecheta) funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle a i oznaczamy symbolem \displaystyle d_a f bądź \displaystyle f'(a) . Wartość różniczki funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle a na wektorze \displaystyle h\in X oznaczamy symbolem \displaystyle d_a f(h) lub \displaystyle d_a f.h albo też \displaystyle f'(a).h

Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym, przywykliśmy do faktu, że

Uwaga 7.7.

Każde odwzorowanie liniowe \displaystyle f:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m określone na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe.

Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego \displaystyle L w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.

Uwaga 7.8.

Niech \displaystyle X,Y będą przestrzeniami unormowanymi. Niech \displaystyle L: X\mapsto Y będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i jednorodnym). Następujące warunki są równoważne

1) \displaystyle L jest ciągłe,

2) \displaystyle L jest ciągłe w zerze,

3) \displaystyle L jest ograniczone, tzn. \displaystyle \sup_{x\neq 0}\frac{\|L x\|}{\|x\|} < \infty.

Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym wymiarze.

Przykład 7.9.

Zbiór \displaystyle X wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym \displaystyle [0,1] o wartościach w \displaystyle \mathbb{R} z normą

\displaystyle \|x\|=\sup \{|x(t)|, t\in [0,1]\}

stanowi przestrzeń Banacha, gdyż jest przestrzenią unormowaną z normą \displaystyle \|\cdot \| (co łatwo sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica (w podanej normie) ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Rozważmy odwzorowanie \displaystyle L: f\mapsto f' , które funkcji ciągłej \displaystyle f i różniczkowalnej w \displaystyle X przyporządkowuje jej pochodną \displaystyle f' . Z własności pochodnej wynika, że odwzorowanie \displaystyle L jest

-- addytywne, tj. \displaystyle L(f_1+f_2)=Lf_1 +Lf_2 , dla dowolnych funkcji różniczkowalnych \displaystyle f_1 , \displaystyle f_2 ,

-- jednorodne, tj. \displaystyle L(\lambda f)=\lambda L(f) , dla dowolnej funkcji różniczkowalnej \displaystyle f i stałej \displaystyle \lambda ,

jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest ograniczone. Weźmy na przykład ciąg jednomianów \displaystyle x^n :

\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} : \|x^n\|=1.

Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez \displaystyle 1 . Gdyby odwzorowanie \displaystyle L było ciągłe, normy \displaystyle L(x^n ) byłyby ograniczone,

lecz nie są gdyż

\displaystyle \|L(x^n)\|=\|nx^{n-1}\|=n\to\infty, \text{ gdy }n\to\infty.

Wynika stąd, że \displaystyle L: f\mapsto f' nie jest ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.

Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki Frecheta.

Twierdzenie 7.10.

Niech \displaystyle X, Y będą przestrzeniami Banacha.

a) Odwzorowanie afiniczne

\displaystyle F: X\ni x\mapsto x_0 +\Lambda(x)\in Y, \ \text{ gdzie } \Lambda \in L(X,Y),

jest różniczkowalne w sensie Frecheta w dowolnym punkcie \displaystyle x\in X , a jego różniczką w każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego \displaystyle F , tzn.

\displaystyle \forall x\in X \ \exists d_x F=\Lambda.

W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest tym samym odwzorowaniem:

\displaystyle d_x \Lambda =\Lambda, \ \Lambda \in L(X, Y).

b) Zestawienie funkcji

\displaystyle F: X\ni x\mapsto F(x)=\big(f_1(x), f_2(x)\big)\in Y_1\times Y_2

jest różniczkowalne w punkcie \displaystyle a\in X wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie \displaystyle a są składowe \displaystyle f_1: X\mapsto Y_1 oraz \displaystyle f_2: X\mapsto Y_2 . Zachodzi wówczas równość

\displaystyle d_a F=(d_a f_1, d_a f_2). Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku, gdy

\displaystyle F: X\ni x\mapsto \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big)\in \mathbb{R}^n,

mamy równość

\displaystyle d_a F=(d_a f_1, d_a f_2, \dots, d_a f_n).

c) Suma funkcji różniczkowalnych \displaystyle f: X\mapsto Y , \displaystyle g:X\mapsto Y w punkcie \displaystyle a jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma różniczek, tzn.

\displaystyle d_a(f+g)=d_a f+d_a g.

d) Iloczyn stałej \displaystyle C i funkcji różniczkowalnej \displaystyle f: X\mapsto Y w punkcie \displaystyle a\in X jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy czym

\displaystyle d_a (C\,f)=C \, d_a f.

Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.

e) Jeśli funkcja \displaystyle f: X\mapsto Y jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie \displaystyle a , to w tym punkcie jest ciągła.

Dowód 7.10.

Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.

Szczegółowe uzasadnienia pomijamy.

Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.

Twierdzenie 7.11.

Niech \displaystyle X, Y, Z będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja \displaystyle f: X\mapsto Y jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle a , a funkcja \displaystyle g:Y\mapsto Y jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle f(a) , to złożenie \displaystyle g\circ f : X\mapsto Z jest różniczkowalne w punkcie \displaystyle a i zachodzi równość:

\displaystyle d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f.

Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich różniczek.

Dowód 7.11.

Funkcja \displaystyle f jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle a , a funkcja \displaystyle g -- w punkcie \displaystyle y=f(a) , więc

\displaystyle \begin{align*} & \|f(a+h)-f(a)-d_a f(h)\|_Y & =o(\|h\|_X) \\ & \|g(y+k)-g(y)-d_y g(k)\|_Z & =o(\|k\|_Y). \end{align*}

Stąd wobec ograniczoności różniczek \displaystyle d_a f oraz \displaystyle d_y g dostajemy

\displaystyle \|g(f(a+h))-g(f(a))-(d_y g\circ d_a f)(h)\|_Z=o(\|h\|_X), \text{ gdzie }y=f(a),

co dowodzi różniczkowalności złożenia \displaystyle g\circ f w punkcie \displaystyle a oraz równości \displaystyle d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f. Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).

Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.

Twierdzenie 7.12.

Niech \displaystyle f:X\supset U\ni x\mapsto f(x) \in Y będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze \displaystyle U przestrzeni Banacha \displaystyle X o wartościach w przestrzeni Banacha \displaystyle Y .

Jeśli w pewnym otoczeniu \displaystyle U_1 punktu \displaystyle a\in X funkcja \displaystyle f ma ciągłą różniczkę

\displaystyle U_1\ni x\mapsto d_x f\in L(X, Y)

oraz różniczka \displaystyle d_a f\in L(X,Y) jest izomorfizmem przestrzeni \displaystyle X i \displaystyle Y , to

1) w pewnym otoczeniu \displaystyle U_2\subset U_1 punktu \displaystyle a funkcja \displaystyle f: U_2\mapsto Y jest różnowartościowa;

2) funkcja odwrotna \displaystyle g: Y\supset f(U_2)\mapsto U_2\subset X do funkcji \displaystyle f (zacieśnionej do zbioru \displaystyle U_2 ) jest ciągła;

3) funkcja odwrotna \displaystyle g jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle f(a) i zachodzi równość

\displaystyle d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1}.

Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.

Dowód 7.12.

(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że jeśli funkcja \displaystyle g jest odwrotna do \displaystyle f , to złożenie \displaystyle g(f(x))=x , dla każdego \displaystyle x\in X , tzn. \displaystyle g\circ f: X \mapsto X jest identycznością na przestrzeni \displaystyle X . Ponieważ \displaystyle \mathrm{id}\,: X\mapsto X odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest \displaystyle \mathrm{id}\, . Stąd na mocy twierdzenia o różniczce złożenia mamy

\displaystyle d_{f(a)}g\circ d_a f = d_a (g\circ f)=d_a\mathrm{id}\, =\mathrm{id}\,.

Wobec założenia o izomorficzności \displaystyle d_a f\in L(X,Y) istnieje odwzorowanie odwrotne \displaystyle (d_a f)^{-1} \in L(Y,X) , które jest różniczką funkcji odwrotnej \displaystyle g w punkcie \displaystyle f(a) , czyli \displaystyle d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1} .

Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania lub twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie.