Uwaga 7.5.
Funkcja \( \displaystyle f: (a,b)\mapsto Y \) o wartościach w przestrzeni unormowanej \( \displaystyle Y \) ma pochodną w punkcie \( \displaystyle x_0\in (a,b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor \( \displaystyle y_0\in Y \) taki, że
\( \displaystyle \|f(x_0+h)-f(x_0)-hy_0\|=o(|h|) \), czyli
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0. \)
Dowód 7.5.
Jeśli iloraz różnicowy
\( \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \)
zmierza do \( \displaystyle f'(a)\in Y \) w normie przestrzeni \( \displaystyle Y \), to
\( \displaystyle \bigg\|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\bigg\|\to 0, \text{ gdy } h\to 0, \)
czyli
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0, \)
gdy \( \displaystyle y_0=f'(x_0 ) \). Z kolei z istnienia wektora \( \displaystyle y_0\in Y \) takiego, że istnieje
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}= 0 \)
wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego
\( \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \)
i jest równa \( \displaystyle y_0 \), a więc \( \displaystyle f'(x_0)=y_0 \), gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma granicę określoną jednoznacznie.
Zauważmy, że funkcja
\( \displaystyle \mathbb{R} \ni h\mapsto h y_0\in Y \)
jest liniowa. Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia pojęcia pochodnej funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na przestrzeni unormowanej \( \displaystyle X \) o wartościach w przestrzeni unormowanej \( \displaystyle Y \).
Niech \( \displaystyle X \) oraz \( \displaystyle Y \) będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio \( \displaystyle \|\cdot\|_X \) oraz \( \displaystyle \|\cdot\|_Y \). Niech \( \displaystyle U \) będzie podzbiorem otwartym przestrzeni \( \displaystyle X \).
Definicja 7.6.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f: U\mapsto Y \) jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie \( \displaystyle a\in U \) (lub krótko: jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle a \)), jeśli istnieje odwzorowanie \( \displaystyle L \) liniowe i ciągłe przestrzeni \( \displaystyle X \) w \( \displaystyle Y \) takie, że \( \displaystyle \|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}=o(\|h\|_X) \), to znaczy
\( \displaystyle \frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}}{\|h\|_X}\to 0, \text{ gdy }\to 0. \)
Odwzorowanie liniowe i ciągłe \( \displaystyle L \) nazywamy różniczką zupełną (lub różniczką (w sensie) Frecheta, bądź pochodną (w sensie) Frecheta) funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle a \) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle d_a f \) bądź \( \displaystyle f'(a) \). Wartość różniczki funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle a \) na wektorze \( \displaystyle h\in X \) oznaczamy symbolem \( \displaystyle d_a f(h) \) lub \( \displaystyle d_a f.h \) albo też \( \displaystyle f'(a).h \)
Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym, przywykliśmy do faktu, że
Uwaga 7.7.
Każde odwzorowanie liniowe \( \displaystyle f:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m \) określone na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe.
Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego \( \displaystyle L \) w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.
Uwaga 7.8.
Niech \( \displaystyle X,Y \) będą przestrzeniami unormowanymi. Niech \( \displaystyle L: X\mapsto Y \) będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i jednorodnym). Następujące warunki są równoważne
1) \( \displaystyle L \) jest ciągłe,
2) \( \displaystyle L \) jest ciągłe w zerze,
3) \( \displaystyle L \) jest ograniczone, tzn. \( \displaystyle \sup_{x\neq 0}\frac{\|L x\|}{\|x\|} < \infty. \)
Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym wymiarze.
Przykład 7.9.
Zbiór \( \displaystyle X \) wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym \( \displaystyle [0,1] \) o wartościach w \( \displaystyle \mathbb{R} \) z normą
\( \displaystyle \|x\|=\sup \{|x(t)|, t\in [0,1]\} \)
stanowi przestrzeń Banacha, gdyż jest przestrzenią unormowaną z normą \( \displaystyle \|\cdot \| \) (co łatwo sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica (w podanej normie) ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Rozważmy odwzorowanie \( \displaystyle L: f\mapsto f' \), które funkcji ciągłej \( \displaystyle f \) i różniczkowalnej w \( \displaystyle X \) przyporządkowuje jej pochodną \( \displaystyle f' \). Z własności pochodnej wynika, że odwzorowanie \( \displaystyle L \) jest
-- addytywne, tj. \( \displaystyle L(f_1+f_2)=Lf_1 +Lf_2 \), dla dowolnych funkcji różniczkowalnych \( \displaystyle f_1 \), \( \displaystyle f_2 \),
-- jednorodne, tj. \( \displaystyle L(\lambda f)=\lambda L(f) \), dla dowolnej funkcji różniczkowalnej \( \displaystyle f \) i stałej \( \displaystyle \lambda \),
jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest ograniczone. Weźmy na przykład ciąg jednomianów \( \displaystyle x^n \):
\( \displaystyle \forall n\in \mathbb{N} : \|x^n\|=1. \)
Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez \( \displaystyle 1 \). Gdyby odwzorowanie \( \displaystyle L \) było ciągłe, normy \( \displaystyle L(x^n ) \) byłyby ograniczone,
lecz nie są gdyż
\( \displaystyle \|L(x^n)\|=\|nx^{n-1}\|=n\to\infty, \text{ gdy }n\to\infty. \)
Wynika stąd, że \( \displaystyle L: f\mapsto f' \) nie jest ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.
Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki Frecheta.
Twierdzenie 7.10.
Niech \( \displaystyle X, Y \) będą przestrzeniami Banacha.
a) Odwzorowanie afiniczne
\( \displaystyle F: X\ni x\mapsto x_0 +\Lambda(x)\in Y, \ \text{ gdzie } \Lambda \in L(X,Y), \)
jest różniczkowalne w sensie Frecheta w dowolnym punkcie \( \displaystyle x\in X \), a jego różniczką w każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego \( \displaystyle F \), tzn.
\( \displaystyle \forall x\in X \ \exists d_x F=\Lambda. \)
W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest tym samym odwzorowaniem:
\( \displaystyle d_x \Lambda =\Lambda, \ \Lambda \in L(X, Y). \)
b) Zestawienie funkcji
\( \displaystyle F: X\ni x\mapsto F(x)=\big(f_1(x), f_2(x)\big)\in Y_1\times Y_2 \)
jest różniczkowalne w punkcie \( \displaystyle a\in X \) wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie \( \displaystyle a \) są składowe \( \displaystyle f_1: X\mapsto Y_1 \) oraz \( \displaystyle f_2: X\mapsto Y_2 \). Zachodzi wówczas równość
\( \displaystyle d_a F=(d_a f_1, d_a f_2). \) Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku, gdy
\( \displaystyle F: X\ni x\mapsto \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big)\in \mathbb{R}^n, \)
mamy równość
\( \displaystyle d_a F=(d_a f_1, d_a f_2, \dots, d_a f_n). \)
c) Suma funkcji różniczkowalnych \( \displaystyle f: X\mapsto Y \), \( \displaystyle g:X\mapsto Y \) w punkcie \( \displaystyle a \) jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma różniczek, tzn.
\( \displaystyle d_a(f+g)=d_a f+d_a g. \)
d) Iloczyn stałej \( \displaystyle C \) i funkcji różniczkowalnej \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) w punkcie \( \displaystyle a\in X \) jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy czym
\( \displaystyle d_a (C\,f)=C \, d_a f. \)
Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.
e) Jeśli funkcja \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie \( \displaystyle a \), to w tym punkcie jest ciągła.
Dowód 7.10.
Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.
Szczegółowe uzasadnienia pomijamy.
Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.
Twierdzenie 7.11.
Niech \( \displaystyle X, Y, Z \) będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja \( \displaystyle f: X\mapsto Y \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle a \), a funkcja \( \displaystyle g:Y\mapsto Y \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle f(a) \), to złożenie \( \displaystyle g\circ f : X\mapsto Z \) jest różniczkowalne w punkcie \( \displaystyle a \) i zachodzi równość:
\( \displaystyle d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f. \)
Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich różniczek.
Dowód 7.11.
Funkcja \( \displaystyle f \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle a \), a funkcja \( \displaystyle g \) -- w punkcie \( \displaystyle y=f(a) \), więc
\( \displaystyle \begin{align*} & \|f(a+h)-f(a)-d_a f(h)\|_Y & =o(\|h\|_X) \\ & \|g(y+k)-g(y)-d_y g(k)\|_Z & =o(\|k\|_Y). \end{align*} \)
Stąd wobec ograniczoności różniczek \( \displaystyle d_a f \) oraz \( \displaystyle d_y g \) dostajemy
\( \displaystyle \|g(f(a+h))-g(f(a))-(d_y g\circ d_a f)(h)\|_Z=o(\|h\|_X), \text{ gdzie }y=f(a), \)
co dowodzi różniczkowalności złożenia \( \displaystyle g\circ f \) w punkcie \( \displaystyle a \) oraz równości \( \displaystyle d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f. \) Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).
Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.
Twierdzenie 7.12.
Niech \( \displaystyle f:X\supset U\ni x\mapsto f(x) \in Y \) będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze \( \displaystyle U \) przestrzeni Banacha \( \displaystyle X \) o wartościach w przestrzeni Banacha \( \displaystyle Y \).
Jeśli w pewnym otoczeniu \( \displaystyle U_1 \) punktu \( \displaystyle a\in X \) funkcja \( \displaystyle f \) ma ciągłą różniczkę
\( \displaystyle U_1\ni x\mapsto d_x f\in L(X, Y) \)
oraz różniczka \( \displaystyle d_a f\in L(X,Y) \) jest izomorfizmem przestrzeni \( \displaystyle X \) i \( \displaystyle Y \), to
1) w pewnym otoczeniu \( \displaystyle U_2\subset U_1 \) punktu \( \displaystyle a \) funkcja \( \displaystyle f: U_2\mapsto Y \) jest różnowartościowa;
2) funkcja odwrotna \( \displaystyle g: Y\supset f(U_2)\mapsto U_2\subset X \) do funkcji \( \displaystyle f \) (zacieśnionej do zbioru \( \displaystyle U_2 \)) jest ciągła;
3) funkcja odwrotna \( \displaystyle g \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle f(a) \) i zachodzi równość
\( \displaystyle d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1}. \)
Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.
Dowód 7.12.
(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że jeśli funkcja \( \displaystyle g \) jest odwrotna do \( \displaystyle f \), to złożenie \( \displaystyle g(f(x))=x \), dla każdego \( \displaystyle x\in X \), tzn. \( \displaystyle g\circ f: X \mapsto X \) jest identycznością na przestrzeni \( \displaystyle X \). Ponieważ \( \displaystyle \mathrm{id}\,: X\mapsto X \) odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest \( \displaystyle \mathrm{id}\, \). Stąd na mocy twierdzenia o różniczce złożenia mamy
\( \displaystyle d_{f(a)}g\circ d_a f = d_a (g\circ f)=d_a\mathrm{id}\, =\mathrm{id}\,. \)
Wobec założenia o izomorficzności \( \displaystyle d_a f\in L(X,Y) \) istnieje odwzorowanie odwrotne \( \displaystyle (d_a f)^{-1} \in L(Y,X) \), które jest różniczką funkcji odwrotnej \( \displaystyle g \) w punkcie \( \displaystyle f(a) \), czyli \( \displaystyle d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1} \).
Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania lub twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie.