Uwaga 7.5.
Funkcja f:(a,b)↦Y o wartościach w przestrzeni unormowanej Y ma pochodną w punkcie x0∈(a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor y0∈Y taki, że
‖, czyli
\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0.
Dowód 7.5.
Jeśli iloraz różnicowy
\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
zmierza do \displaystyle f'(a)\in Y w normie przestrzeni \displaystyle Y , to
\displaystyle \bigg\|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\bigg\|\to 0, \text{ gdy } h\to 0,
czyli
\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0,
gdy \displaystyle y_0=f'(x_0 ) . Z kolei z istnienia wektora \displaystyle y_0\in Y takiego, że istnieje
\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}= 0
wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego
\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
i jest równa \displaystyle y_0 , a więc \displaystyle f'(x_0)=y_0 , gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma granicę określoną jednoznacznie.
Zauważmy, że funkcja
\displaystyle \mathbb{R} \ni h\mapsto h y_0\in Y
jest liniowa. Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia pojęcia pochodnej funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na przestrzeni unormowanej \displaystyle X o wartościach w przestrzeni unormowanej \displaystyle Y .
Niech \displaystyle X oraz \displaystyle Y będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio \displaystyle \|\cdot\|_X oraz \displaystyle \|\cdot\|_Y . Niech \displaystyle U będzie podzbiorem otwartym przestrzeni \displaystyle X .
Definicja 7.6.
Mówimy, że funkcja \displaystyle f: U\mapsto Y jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie \displaystyle a\in U (lub krótko: jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle a ), jeśli istnieje odwzorowanie \displaystyle L liniowe i ciągłe przestrzeni \displaystyle X w \displaystyle Y takie, że \displaystyle \|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}=o(\|h\|_X) , to znaczy
\displaystyle \frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}}{\|h\|_X}\to 0, \text{ gdy }\to 0.
Odwzorowanie liniowe i ciągłe \displaystyle L nazywamy różniczką zupełną (lub różniczką (w sensie) Frecheta, bądź pochodną (w sensie) Frecheta) funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle a i oznaczamy symbolem \displaystyle d_a f bądź \displaystyle f'(a) . Wartość różniczki funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle a na wektorze \displaystyle h\in X oznaczamy symbolem \displaystyle d_a f(h) lub \displaystyle d_a f.h albo też \displaystyle f'(a).h
Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym, przywykliśmy do faktu, że
Uwaga 7.7.
Każde odwzorowanie liniowe \displaystyle f:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m określone na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe.
Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego \displaystyle L w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.
Uwaga 7.8.
Niech \displaystyle X,Y będą przestrzeniami unormowanymi. Niech \displaystyle L: X\mapsto Y będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i jednorodnym). Następujące warunki są równoważne
1) \displaystyle L jest ciągłe,
2) \displaystyle L jest ciągłe w zerze,
3) \displaystyle L jest ograniczone, tzn. \displaystyle \sup_{x\neq 0}\frac{\|L x\|}{\|x\|} < \infty.
Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym wymiarze.
Przykład 7.9.
Zbiór \displaystyle X wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym \displaystyle [0,1] o wartościach w \displaystyle \mathbb{R} z normą
\displaystyle \|x\|=\sup \{|x(t)|, t\in [0,1]\}
stanowi przestrzeń Banacha, gdyż jest przestrzenią unormowaną z normą \displaystyle \|\cdot \| (co łatwo sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica (w podanej normie) ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Rozważmy odwzorowanie \displaystyle L: f\mapsto f' , które funkcji ciągłej \displaystyle f i różniczkowalnej w \displaystyle X przyporządkowuje jej pochodną \displaystyle f' . Z własności pochodnej wynika, że odwzorowanie \displaystyle L jest
-- addytywne, tj. \displaystyle L(f_1+f_2)=Lf_1 +Lf_2 , dla dowolnych funkcji różniczkowalnych \displaystyle f_1 , \displaystyle f_2 ,
-- jednorodne, tj. \displaystyle L(\lambda f)=\lambda L(f) , dla dowolnej funkcji różniczkowalnej \displaystyle f i stałej \displaystyle \lambda ,
jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest ograniczone. Weźmy na przykład ciąg jednomianów \displaystyle x^n :
\displaystyle \forall n\in \mathbb{N} : \|x^n\|=1.
Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez \displaystyle 1 . Gdyby odwzorowanie \displaystyle L było ciągłe, normy \displaystyle L(x^n ) byłyby ograniczone,
lecz nie są gdyż
\displaystyle \|L(x^n)\|=\|nx^{n-1}\|=n\to\infty, \text{ gdy }n\to\infty.
Wynika stąd, że \displaystyle L: f\mapsto f' nie jest ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.
Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki Frecheta.
Twierdzenie 7.10.
Niech \displaystyle X, Y będą przestrzeniami Banacha.
a) Odwzorowanie afiniczne
\displaystyle F: X\ni x\mapsto x_0 +\Lambda(x)\in Y, \ \text{ gdzie } \Lambda \in L(X,Y),
jest różniczkowalne w sensie Frecheta w dowolnym punkcie \displaystyle x\in X , a jego różniczką w każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego \displaystyle F , tzn.
\displaystyle \forall x\in X \ \exists d_x F=\Lambda.
W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest tym samym odwzorowaniem:
\displaystyle d_x \Lambda =\Lambda, \ \Lambda \in L(X, Y).
b) Zestawienie funkcji
\displaystyle F: X\ni x\mapsto F(x)=\big(f_1(x), f_2(x)\big)\in Y_1\times Y_2
jest różniczkowalne w punkcie \displaystyle a\in X wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie \displaystyle a są składowe \displaystyle f_1: X\mapsto Y_1 oraz \displaystyle f_2: X\mapsto Y_2 . Zachodzi wówczas równość
\displaystyle d_a F=(d_a f_1, d_a f_2). Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku, gdy
\displaystyle F: X\ni x\mapsto \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big)\in \mathbb{R}^n,
mamy równość
\displaystyle d_a F=(d_a f_1, d_a f_2, \dots, d_a f_n).
c) Suma funkcji różniczkowalnych \displaystyle f: X\mapsto Y , \displaystyle g:X\mapsto Y w punkcie \displaystyle a jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma różniczek, tzn.
\displaystyle d_a(f+g)=d_a f+d_a g.
d) Iloczyn stałej \displaystyle C i funkcji różniczkowalnej \displaystyle f: X\mapsto Y w punkcie \displaystyle a\in X jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy czym
\displaystyle d_a (C\,f)=C \, d_a f.
Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.
e) Jeśli funkcja \displaystyle f: X\mapsto Y jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie \displaystyle a , to w tym punkcie jest ciągła.
Dowód 7.10.
Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.
Szczegółowe uzasadnienia pomijamy.
Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.
Twierdzenie 7.11.
Niech \displaystyle X, Y, Z będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja \displaystyle f: X\mapsto Y jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle a , a funkcja \displaystyle g:Y\mapsto Y jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle f(a) , to złożenie \displaystyle g\circ f : X\mapsto Z jest różniczkowalne w punkcie \displaystyle a i zachodzi równość:
\displaystyle d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f.
Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich różniczek.
Dowód 7.11.
Funkcja \displaystyle f jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle a , a funkcja \displaystyle g -- w punkcie \displaystyle y=f(a) , więc
\displaystyle \begin{align*} & \|f(a+h)-f(a)-d_a f(h)\|_Y & =o(\|h\|_X) \\ & \|g(y+k)-g(y)-d_y g(k)\|_Z & =o(\|k\|_Y). \end{align*}
Stąd wobec ograniczoności różniczek \displaystyle d_a f oraz \displaystyle d_y g dostajemy
\displaystyle \|g(f(a+h))-g(f(a))-(d_y g\circ d_a f)(h)\|_Z=o(\|h\|_X), \text{ gdzie }y=f(a),
co dowodzi różniczkowalności złożenia \displaystyle g\circ f w punkcie \displaystyle a oraz równości \displaystyle d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f. Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).
Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.
Twierdzenie 7.12.
Niech \displaystyle f:X\supset U\ni x\mapsto f(x) \in Y będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze \displaystyle U przestrzeni Banacha \displaystyle X o wartościach w przestrzeni Banacha \displaystyle Y .
Jeśli w pewnym otoczeniu \displaystyle U_1 punktu \displaystyle a\in X funkcja \displaystyle f ma ciągłą różniczkę
\displaystyle U_1\ni x\mapsto d_x f\in L(X, Y)
oraz różniczka \displaystyle d_a f\in L(X,Y) jest izomorfizmem przestrzeni \displaystyle X i \displaystyle Y , to
1) w pewnym otoczeniu \displaystyle U_2\subset U_1 punktu \displaystyle a funkcja \displaystyle f: U_2\mapsto Y jest różnowartościowa;
2) funkcja odwrotna \displaystyle g: Y\supset f(U_2)\mapsto U_2\subset X do funkcji \displaystyle f (zacieśnionej do zbioru \displaystyle U_2 ) jest ciągła;
3) funkcja odwrotna \displaystyle g jest różniczkowalna w punkcie \displaystyle f(a) i zachodzi równość
\displaystyle d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1}.
Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.
Dowód 7.12.
(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że jeśli funkcja \displaystyle g jest odwrotna do \displaystyle f , to złożenie \displaystyle g(f(x))=x , dla każdego \displaystyle x\in X , tzn. \displaystyle g\circ f: X \mapsto X jest identycznością na przestrzeni \displaystyle X . Ponieważ \displaystyle \mathrm{id}\,: X\mapsto X odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest \displaystyle \mathrm{id}\, . Stąd na mocy twierdzenia o różniczce złożenia mamy
\displaystyle d_{f(a)}g\circ d_a f = d_a (g\circ f)=d_a\mathrm{id}\, =\mathrm{id}\,.
Wobec założenia o izomorficzności \displaystyle d_a f\in L(X,Y) istnieje odwzorowanie odwrotne \displaystyle (d_a f)^{-1} \in L(Y,X) , które jest różniczką funkcji odwrotnej \displaystyle g w punkcie \displaystyle f(a) , czyli \displaystyle d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1} .
Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania lub twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie.