Pochodna: interpretacja fizyczna i geometryczna

Z pojęciem pochodnej zetknęliśmy się po raz pierwszy w szkole na lekcjach fizyki. Wyznaczając prędkość średnią pewnego obiektu poruszającego się po prostej, dzielimy drogę, jaką przebył w określonym czasie, przez długość tego odcinka czasu:

$\displaystyle v_{\text{średnia}}=\frac{\Delta x}{\Delta t},$

gdzie $\displaystyle \Delta x=x(t_2)-x(t_1)$ oznacza drogę, jaką obserwowany obiekt przebył w czasie $\displaystyle \Delta t:=t_2 - t_1$. Następnie spostrzegliśmy, że pomiar prędkości jest tym lepszy i bardziej adekwatny do stanu obiektu w określonej chwili, im odcinek czasu $\displaystyle \Delta t$ pomiędzy kolejnymi chwilami $\displaystyle t_1$ a $\displaystyle t_2$ jest krótszy. Granicę ilorazu

$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1 )}{\Delta t} \text{ przy }\Delta t \to 0$

nazywamy prędkością chwilową lub - krótko - prędkością obiektu w chwili $\displaystyle t_1$ i tradycyjnie oznaczamy symbolem $\displaystyle v(t_1)$ lub

$\displaystyle \frac{dx}{dt}(t_1 ), \ \ \frac{d}{dt}x(t_1 ), \ \ x'(t_1), \ \ \dot{x}(t_1).$ to ostatnie oznaczenie pochodnej jest często stosowane w równaniach różniczkowych. Niech $\displaystyle f:(a,b)\mapsto \mathbb{R}$ będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych określoną w przedziale otwartym $\displaystyle (a, b)$.

wykres

Definicja 9.1.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0 \in (a,b)$, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_0$ i oznaczamy symbolem: $\displaystyle f'(x_0 )$ lub $\displaystyle \frac{df}{dx}(x_0)$. Funkcję $\displaystyle x\mapsto f'(x)$, która argumentowi $\displaystyle x$ przyporządkowuje wartość pochodnej $\displaystyle f'(x)$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x$ nazywamy funkcją pochodną funkcji $\displaystyle f$ lub - krótko - pochodną funkcji $\displaystyle f$. Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej $\displaystyle x\mapsto f'(x)$ jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji $\displaystyle x\mapsto f(x)$.

Uwaga 9.2.

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle x_0\in (a,b)$, to jest w tym punkcie ciągła. Skoro iloraz różnicowy $\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ ma granicę przy $\displaystyle h\to 0$, to licznik $\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0)$ musi zmierzać do zera, stąd $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_0$.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Przykład 9.3.

Rozważmy funkcję $\displaystyle f(x)=|x|$ określoną na $\displaystyle \mathbb{R}$. Funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie $\displaystyle x\in\mathbb{R}$. Natomiast nie jest różniczkowalna w jednym punkcie - w punkcie $\displaystyle x=0$, gdyż

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=\left\{\begin{align*} 1, \text{ dla }x>0 \\ -1, \text{ dla }x < 0\end{align*} .\right.$

Funkcja $\displaystyle f(x)=|x|$ jest więc różniczkowalna w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu $\displaystyle x=0$, gdyż nie istnieje granica ilorazu $\displaystyle \frac{|0+h|-|0|}{h}$ przy $\displaystyle h\to 0$. W pozostałych punktach $\displaystyle x\neq 0$ mamy $\displaystyle f'(x)=\mathrm{sgn}\, x$, gdzie

$\displaystyle \mathrm{sgn}\, x=\frac{x}{|x|}=\left \{\begin{align*} 1, \text{ dla }x>0 \\ -1, \text{ dla }x < 0\end{align*} .\right.$

oznacza funkcję signum (znak liczby). Dziedzina pochodnej $\displaystyle f'$ jest podzbiorem właściwym dziedziny funkcji $\displaystyle f(x)=|x|$,tj. $\displaystyle \mathrm{dom}\, f' ⊊ \mathrm{dom}\, f$ (to znaczy: $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'\subset \mathrm{dom}\, f$ i $\displaystyle \mathrm{dom}\, f'\neq \mathrm{dom}\, f$).

wykres

Zwróćmy uwagę, że iloraz różnicowy

$\displaystyle \frac{f( x_0 +h )-f(x_0 )}{h}$

jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej wykresu funkcji $\displaystyle f$ przechodzącej przez punkty $\displaystyle (x_0, f(x_0))$ oraz $\displaystyle (x_0+h, f(x_0+h))$, jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna ta tworzy z osią rzędnych. Gdy $\displaystyle h$ zmierza do zera, punkt $\displaystyle (x_0+h, f(x_0+h))$ zbliża się do punktu $\displaystyle (x_0, f(x_0))$. Jeśli istnieje pochodna $\displaystyle f'(x_0)$, to prostą o równaniu

$\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0),$

będącą granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty $\displaystyle (x_0, f(x_0))$ oraz $\displaystyle (x_0+h, f(x_0+h))$, nazywamy styczną do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (x_0, f(x_0))$. Pochodna $\displaystyle f'(x_0)$ jest więc współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (x_0, f(x_0))$.

Nietrudno podać przykład funkcji ciągłej, która nie jest różniczkowalna w skończonej liczbie punktów, np. w punktach $\displaystyle x_1, x_2,\dots, x_n$. Wystarczy bowiem rozważyć np. sumę

$\displaystyle f(x)= c_1 |x-x_1|+c_2 |x-x_2|+\dots+c_n |x-x_n|,$

gdzie $\displaystyle c_1, c_2, \dots, c_n$ są stałymi różnymi od zera. Pochodna

$\displaystyle f'(x)=c_1 \mathrm{sgn}\,(x-x_1 )+c_2 \mathrm{sgn}\,(x-x_2 )+\dots+c_n\mathrm{sgn}\,(x-x_n )$

istnieje w każdym punkcie zbioru $\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{x_1, x_2,\dots, x_n\}$, czyli wszędzie poza zbiorem $\displaystyle \{x_1, x_2,\dots, x_n\}$.

Skonstruujmy funkcję, która jest ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru liczb rzeczywistych.

Przykład 9.4.

Rozważmy wpierw funkcję $\displaystyle x\mapsto f(x)=\arcsin(\cos x)$. Pamiętamy (zob. ćwiczenia do modułu drugiego), że funkcja ta jest określona na $\displaystyle \mathbb{R}$, parzysta, okresowa o okresie $\displaystyle 2\pi$, przy czym dla $\displaystyle -\pi\leq x\leq \pi$ zachodzi równość $\displaystyle \arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-|x|$. Można wykazać, że funkcja określona za pomocą nieskończonego szeregu

$\displaystyle \begin{align*} g(x) & =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(4^k x)}{3^k } \\ & =f(x)+\frac{f(4 x)}{3}+\frac{f(16 x)}{9}+\frac{f(64 x)}{27}+\frac{f(256 x)}{81}+\dots\end{align*}$

jest określona na $\displaystyle \mathbb{R}$, parzysta i okresowa o okresie $\displaystyle 2\pi$, ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru $\displaystyle \mathbb{R}$.