Z pojęciem pochodnej zetknęliśmy się po raz pierwszy w szkole na lekcjach fizyki. Wyznaczając prędkość średnią pewnego obiektu poruszającego się po prostej, dzielimy drogę, jaką przebył w określonym czasie, przez długość tego odcinka czasu:
\( \displaystyle v_{\text{średnia}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}, \)
gdzie \( \displaystyle \Delta x=x(t_2)-x(t_1) \) oznacza drogę, jaką obserwowany obiekt przebył w czasie \( \displaystyle \Delta t:=t_2 - t_1 \). Następnie spostrzegliśmy, że pomiar prędkości jest tym lepszy i bardziej adekwatny do stanu obiektu w określonej chwili, im odcinek czasu \( \displaystyle \Delta t \) pomiędzy kolejnymi chwilami \( \displaystyle t_1 \) a \( \displaystyle t_2 \) jest krótszy. Granicę ilorazu
\( \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x(t_1+\Delta t)-x(t_1 )}{\Delta t} \text{ przy }\Delta t \to 0 \)
nazywamy prędkością chwilową lub - krótko - prędkością obiektu w chwili \( \displaystyle t_1 \) i tradycyjnie oznaczamy symbolem \( \displaystyle v(t_1) \) lub
\( \displaystyle \frac{dx}{dt}(t_1 ), \ \ \frac{d}{dt}x(t_1 ), \ \ x'(t_1), \ \ \dot{x}(t_1). \) to ostatnie oznaczenie pochodnej jest często stosowane w równaniach różniczkowych. Niech \( \displaystyle f:(a,b)\mapsto \mathbb{R} \) będzie dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych określoną w przedziale otwartym \( \displaystyle (a, b) \).
Definicja 9.1.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0 \in (a,b) \), jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) i oznaczamy symbolem: \( \displaystyle f'(x_0 ) \) lub \( \displaystyle \frac{df}{dx}(x_0) \). Funkcję \( \displaystyle x\mapsto f'(x) \), która argumentowi \( \displaystyle x \) przyporządkowuje wartość pochodnej \( \displaystyle f'(x) \) funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x \) nazywamy funkcją pochodną funkcji \( \displaystyle f \) lub - krótko - pochodną funkcji \( \displaystyle f \). Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej \( \displaystyle x\mapsto f'(x) \) jest zawsze podzbiorem dziedziny funkcji \( \displaystyle x\mapsto f(x) \).
Uwaga 9.2.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle x_0\in (a,b) \), to jest w tym punkcie ciągła. Skoro iloraz różnicowy \( \displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \) ma granicę przy \( \displaystyle h\to 0 \), to licznik \( \displaystyle f(x_0+h)-f(x_0) \) musi zmierzać do zera, stąd \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0 \).
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Przykład 9.3.
Rozważmy funkcję \( \displaystyle f(x)=|x| \) określoną na \( \displaystyle \mathbb{R} \). Funkcja ta jest ciągła w każdym punkcie \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \). Natomiast nie jest różniczkowalna w jednym punkcie - w punkcie \( \displaystyle x=0 \), gdyż
\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=\left\{\begin{align*} 1, \text{ dla }x>0 \\ -1, \text{ dla }x < 0\end{align*} .\right. \)
Funkcja \( \displaystyle f(x)=|x| \) jest więc różniczkowalna w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktu \( \displaystyle x=0 \), gdyż nie istnieje granica ilorazu \( \displaystyle \frac{|0+h|-|0|}{h} \) przy \( \displaystyle h\to 0 \). W pozostałych punktach \( \displaystyle x\neq 0 \) mamy \( \displaystyle f'(x)=\mathrm{sgn}\, x \), gdzie
\( \displaystyle \mathrm{sgn}\, x=\frac{x}{|x|}=\left \{\begin{align*} 1, \text{ dla }x>0 \\ -1, \text{ dla }x < 0\end{align*} .\right. \)
oznacza funkcję signum (znak liczby). Dziedzina pochodnej \( \displaystyle f' \) jest podzbiorem właściwym dziedziny funkcji \( \displaystyle f(x)=|x| \),tj. \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f' ⊊ \mathrm{dom}\, f \) (to znaczy: \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f'\subset \mathrm{dom}\, f \) i \( \displaystyle \mathrm{dom}\, f'\neq \mathrm{dom}\, f \)).
Zwróćmy uwagę, że iloraz różnicowy
\( \displaystyle \frac{f( x_0 +h )-f(x_0 )}{h} \)
jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej wykresu funkcji \( \displaystyle f \) przechodzącej przez punkty \( \displaystyle (x_0, f(x_0)) \) oraz \( \displaystyle (x_0+h, f(x_0+h)) \), jest równy tangensowi kąta, jaki sieczna ta tworzy z osią rzędnych. Gdy \( \displaystyle h \) zmierza do zera, punkt \( \displaystyle (x_0+h, f(x_0+h)) \) zbliża się do punktu \( \displaystyle (x_0, f(x_0)) \). Jeśli istnieje pochodna \( \displaystyle f'(x_0) \), to prostą o równaniu
\( \displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), \)
będącą granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty \( \displaystyle (x_0, f(x_0)) \) oraz \( \displaystyle (x_0+h, f(x_0+h)) \), nazywamy styczną do wykresu funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (x_0, f(x_0)) \). Pochodna \( \displaystyle f'(x_0) \) jest więc współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle (x_0, f(x_0)) \).
Nietrudno podać przykład funkcji ciągłej, która nie jest różniczkowalna w skończonej liczbie punktów, np. w punktach \( \displaystyle x_1, x_2,\dots, x_n \). Wystarczy bowiem rozważyć np. sumę
\( \displaystyle f(x)= c_1 |x-x_1|+c_2 |x-x_2|+\dots+c_n |x-x_n|, \)
gdzie \( \displaystyle c_1, c_2, \dots, c_n \) są stałymi różnymi od zera. Pochodna
\( \displaystyle f'(x)=c_1 \mathrm{sgn}\,(x-x_1 )+c_2 \mathrm{sgn}\,(x-x_2 )+\dots+c_n\mathrm{sgn}\,(x-x_n ) \)
istnieje w każdym punkcie zbioru \( \displaystyle \mathbb{R}\setminus \{x_1, x_2,\dots, x_n\} \), czyli wszędzie poza zbiorem \( \displaystyle \{x_1, x_2,\dots, x_n\} \).
Skonstruujmy funkcję, która jest ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru liczb rzeczywistych.
Przykład 9.4.
Rozważmy wpierw funkcję \( \displaystyle x\mapsto f(x)=\arcsin(\cos x) \). Pamiętamy (zob. ćwiczenia do modułu drugiego), że funkcja ta jest określona na \( \displaystyle \mathbb{R} \), parzysta, okresowa o okresie \( \displaystyle 2\pi \), przy czym dla \( \displaystyle -\pi\leq x\leq \pi \) zachodzi równość \( \displaystyle \arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-|x| \). Można wykazać, że funkcja określona za pomocą nieskończonego szeregu
\( \displaystyle \begin{align*} g(x) & =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(4^k x)}{3^k } \\ & =f(x)+\frac{f(4 x)}{3}+\frac{f(16 x)}{9}+\frac{f(64 x)}{27}+\frac{f(256 x)}{81}+\dots\end{align*} \)
jest określona na \( \displaystyle \mathbb{R} \), parzysta i okresowa o okresie \( \displaystyle 2\pi \), ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie zbioru \( \displaystyle \mathbb{R} \).