W praktyce większość funkcji elementarnych, którymi posługujemy się, jest różniczkowalna. Wyznaczmy pochodne kilku z nich, posługując się definicją i znanymi wzorami.
Przykład 9.5.
a) Funkcja stała \( \displaystyle x\mapsto c \) określona w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału i ma pochodną równą zeru, gdyż iloraz różnicowy \( \displaystyle \frac{c-c}{h}, \) będąc stale równy zeru, zmierza do zera.
b) Jeśli \( \displaystyle c \) jest stałą i istnieje \( \displaystyle f'(x) \), to istnieje pochodna iloczynu \( \displaystyle (c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x) \) (innymi słowy: stałą można wyłączyć przed znak pochodnej). Mamy bowiem
\( \displaystyle \frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\to c \cdot f'(x), \) przy \( \displaystyle h\to 0 \).
c) Jednomian \( \displaystyle f(x)= x^n \) jest różniczkowalny w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \) i \( \displaystyle f'(x)=n x^{n-1} \). Na mocy wzoru dwumianowego Newtona mamy bowiem
\( \displaystyle \begin{align*}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} & =\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+ \binom{n}{3}x^{3}h^2+\dots+\binom{n}{n-1}x h^{n-2}+\binom{n}{n}h^{n-1} \\ & \to nx^{n-1}+0+0+\dots+0+0, \text{ gdy }h\to 0.\end{align*} \)
d) Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \sin x \) jest różniczkowalna w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \), ponieważ iloraz różnicowy
\( \displaystyle \begin{align*} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} & =\frac{2\sin\frac{x+h-x}{2}\cos\frac{x+h+x}{2}}{h} \\ & =\cos(x+\frac{h}{2})\cdot \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\end{align*} \)
zmierza do \( \displaystyle \cos x \), gdyż \( \displaystyle \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\to 1 \) oraz \( \displaystyle \cos (x+\frac{h}{2})\to \cos x \) przy \( \displaystyle h\to 0 \).
e) Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \cos x \) jest różniczkowalna w każdym punkcie\( \displaystyle x\in \mathbb{R} \), ponieważ iloraz różnicowy
\( \displaystyle \begin{align*} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} & =\frac{-2\sin\frac{x+h-x}{2}\sin\frac{x+h+x}{2}}{h} \\ & =-\sin(x+\frac{h}{2})\cdot \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\end{align*} \)
zmierza do \( \displaystyle -\sin x \), gdyż \( \displaystyle \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\to 1 \) oraz \( \displaystyle \sin (x+\frac{h}{2})\to \sin x \) przy \( \displaystyle h\to 0 \).
Zwróćmy uwagę, że dotychczas nie podaliśmy precyzyjnych definicji funkcji sinus oraz cosinus, bazując na własnościach tych funkcji, poznanych w szkole w oparciu o własności liczb \( \displaystyle \sin \varphi \), \( \displaystyle \cos\varphi \), gdy \( \displaystyle \varphi \) jest kątem trójkąta. W szczególności skorzystaliśmy ze znanego faktu, że istnieje granica \( \displaystyle \lim_{\varphi\to 0}\frac{\sin \varphi}{\varphi}=1 \). Formalnie istnienie tej granicy należy wykazać po podaniu definicji funkcji sinus.
Wykażemy teraz szereg prostych uwag, pozwalających efektywnie wyznaczać pochodną.
Twierdzenie 9.6.
Niech \( \displaystyle f, g \) będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym \( \displaystyle (a,b) \). Niech \( \displaystyle x \in (a,b) \). Jeśli istnieją pochodne \( \displaystyle f'(x) \) oraz \( \displaystyle g'(x) \), to
\( \displaystyle \begin{align*} & a) & \exists & (f+g)'(x) & = & f'(x )+g'(x), & \\ & b) & \exists & (f\cdot g)'(x) & = & f'(x)g(x)+f(x )g'(x ), & \\ & c) & \exists & \bigg( \frac{1}{g} \bigg)'(x) & = & \frac{-g'(x)}{g^2 (x )}, & \text{ o ile } g(x)\neq 0, \\ & d) & \exists & \bigg( \frac{f}{g} \bigg)'(x) & = & \frac{f'(x )g(x)-f(x )g'(x)}{g^2 (x)}, & \text{ o ile } g(x)\neq 0.\end{align*} \)
Dowód 9.6.
a) Wobec założenia o istnieniu \( \displaystyle f'(x) \) oraz \( \displaystyle g'(x) \) iloraz różnicowy
\( \displaystyle \frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}=\frac{(f)(x+h)-(f)(x)}{h}+\frac{(g)(x+h)-(g)(x)}{h} \)
- na mocy twierdzenia o granicy sumy - ma granicę i jest ona równa \( \displaystyle f'(x)+g'(x ). \)
b) Funkcja \( \displaystyle g \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x \), gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc \( \displaystyle \displaystyle \exists \lim_{h\to 0}g(x+h)=g(x) \). Wobec istnienia pochodnych \( \displaystyle f'(x_0) \) oraz \( \displaystyle g'(x_0) \) iloraz różnicowy
\( \displaystyle \frac{(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \)
zmierza przy \( \displaystyle t\to 0 \) do granicy \( \displaystyle f'(x)g(x)+f(x )g'(x ) \).
c) Jeśli tylko \( \displaystyle g(x)\neq 0 \), to - wobec ciągłości funkcji \( \displaystyle g \) w punkcie \( \displaystyle x \) i istnienia \( \displaystyle g'(x) \) - iloraz różnicowy
\( \displaystyle \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}=-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)} \)
zmierza do granicy \( \displaystyle \displaystyle\frac{-g'(x)}{g^2 (x)} \) przy \( \displaystyle h\to 0 \).
d) Zauważmy, że \( \displaystyle \displaystyle \frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g} \). Na podstawie wykazanego już twierdzenia o pochodnej iloczynu i pochodnej odwrotności istnieje pochodna
\( \displaystyle \bigg(f\cdot \frac{1}{g}\bigg)'(x)=f'(x)\frac{1}{g(x)}+f(x) \bigg(\frac{1}{g}\bigg)'(x)= \frac{f'(x)}{g(x)}-f(x) \frac{g'(x)}{g^2 (x)}=\frac{f'(x )g(x)-f(x )g'(x)}{g^2 (x)}. \)
Zastosujmy powyższe twierdzenie do wyznaczenia pochodnych kolejnych funkcji elementarnych.
Przykład 9.7.
a) Pamiętając, że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa, możemy łatwo wyznaczyć pochodną funkcji tangens:
\( \displaystyle \begin{align*} (\mathrm{tg}\, x)' & =\bigg(\frac{\sin x}{\cos x}\bigg)'=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ & =\frac{1}{\cos^2 x}=1+\mathrm{tg}\,^2 x .\end{align*} \)
b) W podobny sposób wyznaczamy pochodną funkcji cotangens:
\( \displaystyle \begin{align*} (\mathrm{ctg}\, x)' & =\bigg(\frac{\cos x}{\sin x}\bigg)'=\frac{-\sin x\sin x-\cos x \cos x}{\sin^2 x} \\ & =\frac{-1}{\sin^2 x}=-1-\mathrm{ctg}\,^2 x .\end{align*} \)
c) Niech \( \displaystyle w(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2 +\dots +a_n x^n \) będzie funkcją wielomianową. Na mocy uwagi o pochodnej jednomianu i twierdzenia o pochodnej sumy w każdym punkcie zbioru \( \displaystyle \mathbb{R} \) istnieje pochodna
\( \displaystyle w'(x)=a_1 + 2 a_2 x +3 a_3 x^2 +\dots+na_nx^{n-1}. \)
Niech \( \displaystyle f:(a,b)\mapsto \mathbb{R} \) i \( \displaystyle g: Y\mapsto\mathbb{R} \) będą funkcjami takimi, że zbiór \( \displaystyle Y \) zawiera obraz przedziału \( \displaystyle (a,b) \) przez funkcję \( \displaystyle f \).
Twierdzenie 9.8.
Jeśli istnieje pochodna \( \displaystyle f'(x_0) \) i istnieje pochodna \( \displaystyle g'(y_0) \), gdzie \( \displaystyle y_0=f(x_0 ) \), to istnieje pochodna złożenia \( \displaystyle (g\circ f)'(x_0) \) i jest równa iloczynowi pochodnych, tzn. \( \displaystyle (g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)\cdot f'(x_0). \)
Dowód 9.8.
Niech \( \displaystyle y_1=f(x_1) \), gdzie \( \displaystyle x_1\in (a,b) \). Wobec ciągłości funkcji \( \displaystyle f \) w punkcie \( \displaystyle x_0 \) mamy zbieżność \( \displaystyle y_1\to y_0 \), gdy \( \displaystyle x_1\to x_0 \). Iloraz różnicowy
\( \displaystyle \frac{g(f(x_1))-g(f(x_0))}{x_1 - x_0}=\frac{g(y_1)-g(y_0)}{y_1 - y_0}\cdot \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1 - x_0} \)
zmierza więc do
\( \displaystyle g'(y_0)\cdot f'(x_0 ) \) przy \( \displaystyle x_1\to x_0 \), gdyż \( \displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1 - x_0}\to f'(x_0) \), gdy \( \displaystyle x_1\to x_0 \), zaś \( \displaystyle \frac{g(y_1)-g(y_0)}{y_1 - y_0}\to g'(y_0) \), gdy \( \displaystyle y_1\to y_0 \).
Twierdzenie 9.9.
Niech \( \displaystyle g \) będzie funkcją odwrotną do funkcji \( \displaystyle f:(a,b)\mapsto \mathbb{R} \). Niech \( \displaystyle x_0 \in (a,b) \). Jeśli istnieje pochodna \( \displaystyle f'(x_0)\neq 0 \), to funkcja \( \displaystyle g \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle y_0 =f(x_0) \) i zachodzi równość:
\( \displaystyle g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}. \)
Dowód 9.9.
Niech \( \displaystyle x_0, x \in (a,b) \) i niech \( \displaystyle y_0=f(x_0) \), \( \displaystyle y=f(x) \). Funkcja \( \displaystyle f \) jest ciągła w punkcie \( \displaystyle x_0 \), gdyż jest w tym punkcie różniczkowalna, więc \( \displaystyle y\to y_0 \), gdy \( \displaystyle x\to x_0 \). Stąd istnieje granica ilorazu różnicowego
\( \displaystyle \frac{g(y_0)-g(y)}{y_0 -y}=\frac{x_0-x}{f(x_0)-f(x)} =\frac{1}{\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}} \to\frac{1}{f'(x_0)}, \text{ gdy }x\to x_0. \)
Przykład 9.10.
Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x \) jest odwrotna do funkcji \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{tg}\, x \), stąd - na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej - mamy
\( \displaystyle \frac{d}{dx}\mathrm{arctg}\, x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\mathrm{tg}\, y}=\frac{1}{1+\mathrm{tg}\,^2 y}=\frac{1}{1+\mathrm{tg}\,^2(\mathrm{arctg}\, x)}=\frac{1}{1+x^2}. \)