Nierówność Jensena

Szereg ważnych nierówności, m.in. klasyczna nierówność między średnią arymetyczną, geometryczną a harmoniczną liczb

nieujemnych $\displaystyle a$, $\displaystyle b$:

$\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}(a+b)$

jest konsekwencją wypukłości pewnych funkcji. Można je wyprowadzić z nierówności Jensena.

Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$, to zachodzi nierówność:

$\displaystyle f(t_1 x_1 +t_2 x_2 +\dots +t_n x_n)\leq t_1 f(x_1) +t_2 f(x_2)+\dots +t_n f(x_n),$

dla dowolnych liczb nieujemnych $\displaystyle t_1, t_2, \dots, t_n$ takich, że

$\displaystyle t_1+t_2+\dots +t_n =1$

oraz dla dowolnych $\displaystyle x_1, x_2, \dots , x_n$ z przedziału $\displaystyle (a,b)$.

Dowód 12.13.

Gdy $\displaystyle n=2$ nierówność z tezy twierdzenia

$\displaystyle f(t_1 x_1 +t_2 x_2)\leq t_1 f(x_1)+t_2 f(x_2),$

gdy $\displaystyle t_1 +t_2=1, \ t_1, t_2\geq 0$, wynika z definicji wypukłości. Następnie dowodzimy dla $\displaystyle k\geq 2$ implikacji

$\displaystyle \begin{align*} \forall t_1, t_2, \dots, t_k\geq 0, \ t_1+t_2+\dots +t_k=1 \ \forall x_1, x_2, \dots, x_k \in (a,b): \\ \ f(t_1 x_1 +t_2 x_2 +\dots +t_k x_k)\leq t_1 f(x_1) +t_2 f(x_2)+\dots +t_k f(x_k)\end{align*}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle \begin{align*} \forall s_1, s_2, \dots, s_{k+1}\geq 0, \ s_1+s_2+\dots +s_{k+1}=1 \ \forall y_1, y_2, \dots, y_{k+1} \in (a,b): \\ \ f(s_1 y_1 +s_2 y_2 +\dots +s_{k+1} y_{k+1})\leq s_1 f(y_1) +s_2 f(y_2)+\dots +s_{k+1} f(y_{k+1})\end{align*}$

(szczegóły zawarte są w ćwiczeniach do tego modułu). Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość twierdzenia.

Warunek $\displaystyle t_1+t_2+\dots+t_n=1$ spełniają liczby postaci $\displaystyle t_i=\frac{p_i}{p_1+p_2+\dots+p_n}$, gdzie $\displaystyle p_1, p_2, \dots, p_n$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Oznaczmy przez $\displaystyle \sum p_i=p_1+p_2+\dots+p_n$ sumę liczb $\displaystyle p_i$ i analogicznie przez $\displaystyle \sum p_ix_i=p_1x_1+p_2x_2+\dots+p_nx_n$ sumę iloczynów $\displaystyle p_i x_i$. Nierówność Jensena możemy również sformułować następująco:

Wniosek 12.14.

Jeśli $\displaystyle f$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$, to zachodzi nierówność

$\displaystyle f\bigg(\frac{\sum x_i p_i}{\sum p_i}\bigg)\leq \frac{\sum p_i f(x_i)}{\sum p_i},$

czyli

$\displaystyle f\bigg(\frac{ x_1 p_1+x_2p_2+\dots +x_np_n}{p_1+p_2+\dots +p_n}\bigg)\leq \frac{ p_1 f(x_1)+p_2 f(x_2)+\dots+p_nf(x_n)}{p_1+p_2+\dots+p_n}$

dla dowolnych liczb $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$ z przedziału $\displaystyle (a,b)$ i dla dowolnych liczb dodatnich $\displaystyle p_1, p_2, \dots, p_n$.

Przykład 12.15.

Funkcja $\displaystyle x\mapsto \exp x$ jest wypukła, więc podstawiając w nierówności Jensena $\displaystyle t_i=\ln x_i$, gdzie $\displaystyle x_i$ są dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz $\displaystyle p_i=1$ otrzymujemy

$\displaystyle \exp\big(\frac{1}{n}(\ln x_1+\ln x_2 +\dots +\ln x_n)\big)\leq \frac{1}{n}\big(\exp \ln x_1+\exp \ln x_2+\dots+\exp \ln x_n\big)$

$\displaystyle \big(\exp(\ln x_1)\exp(\ln x_2)\dots \exp(\ln x_n)\big)^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\big(\exp \ln x_1+\exp \ln x_2+\dots+\exp \ln x_n\big)$

$\displaystyle (x_1 x_2 \dots x_n)^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n),$

nierówność pomiędzy średnią geometryczną $\displaystyle (x_1 x_2 \dots x_n)^\frac{1}{n}$ a średnią arytmetyczną $\displaystyle \frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$ liczb dodatnich $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$.

Podstawiając z kolei w otrzymanej nierówności $\displaystyle x_i=\frac{1}{y_i}$, otrzymamy

$\displaystyle \bigg(\frac{1}{y_1} \frac{1}{y_2} \dots \frac{1}{y_n}\bigg)^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}(\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\dots+\frac{1}{y_n})$

czyli

$\displaystyle (y_1 y_2 \dots y_n)^\frac{1}{n}\geq \frac{n}{y_1^{-1}+y_2^{-1}+\dots+y_n^{-1}}$

nierówność między średnią geometryczną $\displaystyle (y_1 y_2 \dots y_n)^\frac{1}{n}$ a średnią harmoniczną $\displaystyle \displaystyle \frac{n}{y_1^{-1}+y_2^{-1}+\dots+y_n^{-1}}$ liczb dodatnich $\displaystyle y_1, y_2, \dots, y_n$.

Wykazaliśmy w ten sposób nierówność pomiędzy średnią harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną.

wykres

Rysunek do uwagi 12.17.

Wniosek 12.16.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$ zachodzi nierówność

$\displaystyle H(x_1, x_2, \dots, x_n)\leq G(x_1, x_2, \dots, x_n)\leq A(x_1, x_2, \dots, x_n),$

gdzie

$\displaystyle \begin{align*} H(x_1, x_2, \dots, x_n) & :=\frac{n}{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots+x_n^{-1}} \\ G(x_1, x_2, \dots, x_n) & :=(x_1 x_2 \dots x_n)^\frac{1}{n} \\ A(x_1, x_2, \dots, x_n) & :=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n) \end{align*}$

są odpowiednio średnimi: harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną liczb dodatnich $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$.

Uwaga 12.17.

W przypadku dwóch liczb dodatnich $\displaystyle 0 < a < b$ otrzymana nierówność ma klarowną interpretację geometryczną. Mając dane dwie proste prostopadłe $\displaystyle k$, $\displaystyle l$, przecinające się w punkcie $\displaystyle O$, odkładamy na jednej z nich, np. na prostej $\displaystyle l$ odcinki długości $\displaystyle a$ oraz $\displaystyle b$ tak, aby $\displaystyle OA=a$, $\displaystyle OB=b$ i $\displaystyle A\in \overline{OB}$. Niech $\displaystyle S$ będzie środkiem odcinka $\displaystyle \overline{AB}$. Kreślimy okrąg o środku $\displaystyle S$ i promieniu $\displaystyle r=SA$. Niech $\displaystyle P$ będzie punktem styczności stycznej poprowadzonej do okręgu z punktu $\displaystyle O$. Łatwo spostrzec, że $\displaystyle OS=\frac{1}{2}(a+b)$ jest średnią arytmetyczną odcinków $\displaystyle OA=a$ i $\displaystyle OB=b$. Nietrudno też dowieść (stosując twierdzenie Pitagorasa do boków trójkąta prostokątnego $\displaystyle \triangle OSP$), że odcinek stycznej $\displaystyle OP=\sqrt{ab}$ jest średnią geometryczną danych odcinków. Warto też dostrzec podobieństwo trójkątów prostokątnych $\displaystyle \triangle OSP$ i $\displaystyle \triangle OPQ$, gdzie $\displaystyle Q$ jest rzutem prostopadłym punktu $\displaystyle P$ na prostą $\displaystyle k$. Odcinek $\displaystyle PQ=\frac{2}{a^{-1}+b^{-1}}$ jest średnią harmoniczną danych odcinków $\displaystyle a$, $\displaystyle b$. Z interpretacji tej jasno wynika, że w przypadku, gdy $\displaystyle 0 < a < b$ w nierówności między średnimi mamy zawsze nierówność ostrą:

$\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{1}{2}(a+b).$

Gdy punkt $\displaystyle A$ zmierza do $\displaystyle B$ (czyli, gdy $\displaystyle a$ zmierza do $\displaystyle b$), promień $\displaystyle r\to 0$ i punkt $\displaystyle P$ zmierza do $\displaystyle S$. W granicznym przypadku, gdy $\displaystyle a=b$, mamy $\displaystyle r=0$ oraz $\displaystyle P=S=A=B$ i rezultacie trzy średnie: harmoniczna, geometryczna i arytmetyczna są równe.
Jeśli ustalimy $\displaystyle b$, natomiast punkt $\displaystyle A$ zmierza do $\displaystyle O$, to $\displaystyle r\to\frac{b}{2}$, punkt $\displaystyle P$ zmierza do $\displaystyle O$ i w ten sposób średnia geometryczna i średnia harmoniczna liczb $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ zmierzają do zera, a średnia arytmetyczna do $\displaystyle \frac{b}{2}$.

Jeśli ustalimy punkt $\displaystyle A$, a punkt $\displaystyle B$ będzie oddalał się w prawo po prostej $\displaystyle k$ do nieskończoności, to $\displaystyle r\to\infty$, punkt $\displaystyle P$ będzie również oddalał się nieograniczenie od punktu $\displaystyle O$ i w rezultacie trzy średnie będą zmierzały do nieskończoności.

Jako wniosek z nierówności Jensena w ramach ćwiczeń dowodzimy nierówności Höldera i nierówności Minkowskiego.

Twierdzenie 12.18. [nierówność Höldera]

Jeśli $\displaystyle p$, $\displaystyle q$ są liczbami dodatnimi spełniającymi równość $\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $\displaystyle x_1,...,x_n,y_1,...,y_n$ zachodzi nierówność

$\displaystyle \sum_{k=1}^n|x_ky_k|\leq \left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p \right)^\frac1p \left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q \right)^\frac1q,$

gdzie $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną.

Twierdzenie 12.19. [nierówność Minkowskiego]

Jeśli $\displaystyle p\geq 1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, to dowolnych liczb rzeczywistych $\displaystyle x_1,...,x_n,y_1,...,y_n$ zachodzi nierówność

$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^n |x_k+y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}\leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right )^{\frac{1}{p}}+ \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right )^{\frac{1}{p}},$

gdzie $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną.