Badanie wypukłości funkcji różniczkowalnej można sprowadzić do badania monotoniczności jej pochodnej.
Twierdzenie 12.7
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (a,b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna \( \displaystyle f' \) jest rosnąca.
Dowód 12.7.
Jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \), to dla dowolnych liczb \( \displaystyle a,b\in (\alpha, \beta) \), \( \displaystyle a < b \) oraz dla dowolnego punktu \( \displaystyle x\in (a,b) \) zachodzi nierówność:
\( \displaystyle 0\leq (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b), \)
którą możemy zapisać w równoważnej postaci:
\( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}. \)
Gdy \( \displaystyle x\to a \) lub \( \displaystyle x\to b \), wobec różniczkowalności \( \displaystyle f \), otrzymamy
\( \displaystyle f'(a)\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)
oraz
\( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'(b). \)
Stąd \( \displaystyle f'(a)\leq f'(b) \), a więc pochodna \( \displaystyle f' \) jest rosnąca w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \).
Załóżmy teraz z kolei, że pochodna \( \displaystyle f' \) jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej istnieją punkty \( \displaystyle \xi\in (a,x) \) oraz \( \displaystyle \eta\in (x,b) \) takie, że
\( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi) \)
oraz
\( \displaystyle \frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f'(\eta). \)
Pamiętamy, że \( \displaystyle a < \xi < x < \eta < b \). Skoro \( \displaystyle f' \) jest rosnąca w przedziale \( \displaystyle (\alpha, \beta) \), więc \( \displaystyle f'(\xi)\leq f'(\eta) \), czyli
\( \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}, \)
co wobec dowolności wyboru punktów \( \displaystyle a < x < b \) z przedziału \( \displaystyle (\alpha, \beta) \) oznacza, że funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła.
Pamiętamy, że monotoniczność funkcji różniczkowalnej jest ściśle związana ze znakiem jej pochodnej. Stąd monotoniczność pochodnej jest związana ze znakiem drugiej pochodnej funkcji.
Wniosek 12.8.
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją dwukrotnie
różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Jeśli w dowolnym punkcie \( \displaystyle x\in (a,b) \) druga pochodna \( \displaystyle f''(x)\geq 0 \) (odpowiednio: \( \displaystyle f''(x)\leq 0 \)), to funkcja \( \displaystyle f \) jest wypukła (odpowiednio: wklęsła) w tym przedziale.
Przykład 12.9.
a) Funkcja wykładnicza \( \displaystyle x\mapsto a^x \) jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, \infty) \), gdy \( \displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty) \), ponieważ jej druga pochodna \( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}a^x=(\ln a)^2 a^x \) jest dodatnia w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \). W przypadku, gdy \( \displaystyle a=1 \), funkcja stała \( \displaystyle f(x)=1^x=1 \) jest także wypukła, ale nie jest ściśle wypukła.
b) Funkcja logarytmiczna \( \displaystyle x\mapsto -\ln |x| \) jest ściśle wypukła w przedziałach \( \displaystyle (-\infty, 0) \) oraz \( \displaystyle (0, \infty) \), gdyż jej druga pochodna
\( \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(-\ln |x|)=\frac{1}{x^2} \)
jest dodatnia dla \( \displaystyle x\neq 0 \).
c) Jeśli \( \displaystyle f \) jest funkcją wypukłą, to również \( \displaystyle \exp f: x\mapsto e^{f(x)} \) jest funkcją wypukłą, gdyż jest złożeniem funkcji wypukłej \( \displaystyle f: x\mapsto f(x) \) i rosnącej funkcji wypukłej \( \displaystyle \exp: u\mapsto \exp u \).
Z twierdzenia o monotoniczności pochodnej funkcji wypukłej wynika również warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w przedziale \( \displaystyle (a,b) \).
Wniosek 12.10.
Niech \( \displaystyle f \) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale \( \displaystyle (a,b) \). Jeśli \( \displaystyle x_0\in (a,b) \) jest punktem przegięcia funkcji \( \displaystyle f \), to \( \displaystyle f''(x_0)=0 \).
Zwróćmy uwagę, że zerowanie drugiej pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia.
Każda z funkcji \( \displaystyle f(x)=x^{2n} \), gdy \( \displaystyle n\geq 2 \), ma zerową drugą pochodną w punkcie \( \displaystyle x=0 \), jednak punkt ten nie jest dla żadnej z nich punktem przegięcia, gdyż każda z tych funkcji jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, +\infty) \).
Badając przebieg zmienności funkcji musimy również pamiętać, aby skontrolować, czy funkcja nie ma punktów przegięcia, w których nie istnieje druga pochodna.
Przykład 12.12.
Funkcja
\( \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \sqrt{x}, \text{ dla } x\geq 0 \\ -\sqrt{-x}, \text{ dla } x < 0 \end{array} \right. \)
jest ściśle wypukła w przedziale \( \displaystyle (-\infty, 0) \) i ściśle wklęsła w przedziale \( \displaystyle (0, \infty) \). Jest określona w punkcie \( \displaystyle x=0 \), ma więc punkt przegięcia \( \displaystyle x=0 \), który nie jest miejscem zerowym drugiej pochodnej
\( \displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4}\mathrm{sgn}\, x |x|^{-\frac{3}{2}}, \)
która jest różna od zera w dowolnym punkcie swojej dziedziny, tj. gdy \( \displaystyle x\neq 0 \).