Wypukłość funkcji a monotoniczność jej pochodnej

Badanie wypukłości funkcji różniczkowalnej można sprowadzić do badania monotoniczności jej pochodnej.

Twierdzenie 12.7

Niech $\displaystyle f$ będzie funkcją różniczkowalną w przedziale $\displaystyle (a,b)$. Funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna $\displaystyle f'$ jest rosnąca.

Dowód 12.7.

Jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (\alpha, \beta)$, to dla dowolnych liczb $\displaystyle a,b\in (\alpha, \beta)$, $\displaystyle a < b$ oraz dla dowolnego punktu $\displaystyle x\in (a,b)$ zachodzi nierówność:

$\displaystyle 0\leq (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b),$

którą możemy zapisać w równoważnej postaci:

$\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x}.$

Gdy $\displaystyle x\to a$ lub $\displaystyle x\to b$, wobec różniczkowalności $\displaystyle f$, otrzymamy

$\displaystyle f'(a)\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

oraz

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'(b).$

Stąd $\displaystyle f'(a)\leq f'(b)$, a więc pochodna $\displaystyle f'$ jest rosnąca w przedziale $\displaystyle (\alpha, \beta)$.

Załóżmy teraz z kolei, że pochodna $\displaystyle f'$ jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej istnieją punkty $\displaystyle \xi\in (a,x)$ oraz $\displaystyle \eta\in (x,b)$ takie, że

$\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi)$

oraz

$\displaystyle \frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f'(\eta).$

Pamiętamy, że $\displaystyle a < \xi < x < \eta < b$. Skoro $\displaystyle f'$ jest rosnąca w przedziale $\displaystyle (\alpha, \beta)$, więc $\displaystyle f'(\xi)\leq f'(\eta)$, czyli

$\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x},$

co wobec dowolności wyboru punktów $\displaystyle a < x < b$ z przedziału $\displaystyle (\alpha, \beta)$ oznacza, że funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła.

Pamiętamy, że monotoniczność funkcji różniczkowalnej jest ściśle związana ze znakiem jej pochodnej. Stąd monotoniczność pochodnej jest związana ze znakiem drugiej pochodnej funkcji.

Wniosek 12.8.

Niech $\displaystyle f$ będzie funkcją dwukrotnie

różniczkowalną w przedziale $\displaystyle (a,b)$. Jeśli w dowolnym punkcie $\displaystyle x\in (a,b)$ druga pochodna $\displaystyle f''(x)\geq 0$ (odpowiednio: $\displaystyle f''(x)\leq 0$), to funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła (odpowiednio: wklęsła) w tym przedziale.

wykres

Przykład 12.9.

a) Funkcja wykładnicza $\displaystyle x\mapsto a^x$ jest ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (-\infty, \infty)$, gdy $\displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty)$, ponieważ jej druga pochodna $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}a^x=(\ln a)^2 a^x$ jest dodatnia w każdym punkcie $\displaystyle x\in \mathbb{R}$. W przypadku, gdy $\displaystyle a=1$, funkcja stała $\displaystyle f(x)=1^x=1$ jest także wypukła, ale nie jest ściśle wypukła.

b) Funkcja logarytmiczna $\displaystyle x\mapsto -\ln |x|$ jest ściśle wypukła w przedziałach $\displaystyle (-\infty, 0)$ oraz $\displaystyle (0, \infty)$, gdyż jej druga pochodna

$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(-\ln |x|)=\frac{1}{x^2}$

jest dodatnia dla $\displaystyle x\neq 0$.

c) Jeśli $\displaystyle f$ jest funkcją wypukłą, to również $\displaystyle \exp f: x\mapsto e^{f(x)}$ jest funkcją wypukłą, gdyż jest złożeniem funkcji wypukłej $\displaystyle f: x\mapsto f(x)$ i rosnącej funkcji wypukłej $\displaystyle \exp: u\mapsto \exp u$.

Z twierdzenia o monotoniczności pochodnej funkcji wypukłej wynika również warunek konieczny istnienia punktu przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

Wniosek 12.10.

Niech $\displaystyle f$ będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale $\displaystyle (a,b)$. Jeśli $\displaystyle x_0\in (a,b)$ jest punktem przegięcia funkcji $\displaystyle f$, to $\displaystyle f''(x_0)=0$.

Zwróćmy uwagę, że zerowanie drugiej pochodnej nie jest warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia.

Każda z funkcji $\displaystyle f(x)=x^{2n}$, gdy $\displaystyle n\geq 2$, ma zerową drugą pochodną w punkcie $\displaystyle x=0$, jednak punkt ten nie jest dla żadnej z nich punktem przegięcia, gdyż każda z tych funkcji jest ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (-\infty, +\infty)$.

Badając przebieg zmienności funkcji musimy również pamiętać, aby skontrolować, czy funkcja nie ma punktów przegięcia, w których nie istnieje druga pochodna.

Przykład 12.12.

Funkcja

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \sqrt{x}, \text{ dla } x\geq 0 \\ -\sqrt{-x}, \text{ dla } x < 0 \end{array} \right.$

jest ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (-\infty, 0)$ i ściśle wklęsła w przedziale $\displaystyle (0, \infty)$. Jest określona w punkcie $\displaystyle x=0$, ma więc punkt przegięcia $\displaystyle x=0$, który nie jest miejscem zerowym drugiej pochodnej

$\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4}\mathrm{sgn}\, x |x|^{-\frac{3}{2}},$

która jest różna od zera w dowolnym punkcie swojej dziedziny, tj. gdy $\displaystyle x\neq 0$.