Funkcje wypukłe

wykres

Pojęcie wypukłości jest nam znane z geometrii. Mówimy, że podzbiór $\displaystyle A$ przestrzeni wektorowej $\displaystyle X$ jest wypukły, jeśli dowolny odcinek o końcach należących do zbioru $\displaystyle A$ jest zawarty w tym zbiorze. Innymi słowy:

$\displaystyle \forall x, y\in A \ \forall t\in [0,1] \ : \ (1-t)x+ty\in A.$

Zbiór

$\displaystyle \{(1-t)x+ty, \ 0\leq t\leq 1\}$

jest odcinkiem o końcach $\displaystyle x$, $\displaystyle y$. Punkty $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ uzyskamy, gdy w kombinacji liniowej $\displaystyle (1-y)x+ty$ parametr $\displaystyle t$ przyjmie odpowiednio wartość $\displaystyle 0$ lub $\displaystyle 1$. Gdy $\displaystyle t=\frac{1}{2}$, otrzymujemy punkt $\displaystyle \frac{1}{2}(x+y)$, który jest środkiem odcinka łączącego punkty $\displaystyle x$ oraz $\displaystyle y$. Zauważmy też, że zbiory

$\displaystyle \{(1-t)x+ty, \ t\leq 1\}$

oraz

$\displaystyle\{(1-t)x+ty, \ 0\leq t\}$

to - odpowiednio - półprosta o początku $\displaystyle x$ przechodząca przez punkt $\displaystyle y$ oraz półprosta o początku $\displaystyle y$ przechodząca przez punkt $\displaystyle x.$

Definicję funkcji wypukłej opieramy na intuicji geometrycznej.

Definicja 12.1.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:(a,b)\mapsto \mathbb{R}$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$, jeśli jej nadwykres

$\displaystyle \{(x, y) : a < x < b, \ y\geq f(x)\}$

jest zbiorem wypukłym, to znaczy

$\displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in [0,1] \ f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y).$

Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka $\displaystyle 0 < t < 1$), tzn.

$\displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in (0,1) \ f((1-t)x+ty) < (1-t)f(x)+tf(y),$

to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$.

Z kolei, jeśli zachodzą nierówności przeciwne, tj.

$\displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in [0,1] : \ f((1-t)x+ty)\geq (1-t)f(x)+tf(y)$

oraz odpowiednio

$\displaystyle \forall x, y\in (a,b) : x < y \ \forall t\in (0,1) : \ f((1-t)x+ty)> (1-t)f(x)+tf(y),$

to mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest wklęsła w przedziale $\displaystyle (a,b)$ oraz - odpowiednio - ściśle wklęsła.

Zwróćmy uwagę, że jeśli funkcja nie jest wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$, to nie oznacza to, że jest wklęsła w tym przedziale. Na przykład funkcja Dirichleta

$\displaystyle D(x)=\left\{\begin{align*} & 0, & \text{ dla } & x\in [0,1]\cap\mathbb{Q} \\ & 1, & \text{ dla } & x\in [0,1]\cap (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\end{align*} \right.$

nie jest wypukła w żadnym przedziale $\displaystyle (a,b)\subset [0,1]$, ale nie jest też wklęsła.

Zauważmy, że jeśli $\displaystyle x=(1-t)a+tb$, to nierówność

$\displaystyle f\big((1-t)a+tb\big)\leq (1-t)f(a)+tf(b),$

za pomocą której określiliśmy wypukłość funkcji w przedziale $\displaystyle (a,b)$, jest równoważna nierówności

$\displaystyle f(x)\leq\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)$

lub

$\displaystyle 0\leq (b-x)f(a)+(a-b)f(x)+(x-a)f(b),$

którą możemy również zapisać w postaci łatwej do zapamiętania za pomocą wyznacznika

$\displaystyle w_f(x):=\det [1 & a & f(a) \\ 1 & x & f(x) \\ 1 & b & f(b)] \geq 0.$

Uwaga 12.2.

Funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła, wklęsła, ściśle wklęsła) w przedziale $\displaystyle (a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $\displaystyle x\in(a,b)$ wyznacznik $\displaystyle w_f(x)\geq 0$ (odpowiednio: $\displaystyle w_f(x)> 0$, $\displaystyle w_f(x)\leq 0$, $\displaystyle w_f(x) < 0$).