Elementarne własności funkcji wypukłych

Sformułujmy parę uwag, które wynikają bezpośrednio z definicji wypukłości funkcji.

Uwaga 12.3.

a) Jeśli $\displaystyle f$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$, to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale $\displaystyle (a_1, b_1)$ zawartym w $\displaystyle (a,b).$

b) Funkcja $\displaystyle x\mapsto f(x)$ jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła) w przedziale $\displaystyle (a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $\displaystyle x\mapsto -f(x)$ jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym przedziale.

c) Jeśli $\displaystyle C>0$ jest stałą dodatnią, to funkcja $\displaystyle x\mapsto C f(x)$ jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle f$ jest wypukła.

d) Jeśli $\displaystyle C$ jest dowolną stałą, to funkcja $\displaystyle x\mapsto C+ f(x)$ jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle f$ jest wypukła.

e) Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.

Kolejne elementarne własności funkcji wypukłych podaje

Twierdzenie 12.4.

a) Złożenie $\displaystyle g\circ f$ funkcji wypukłych $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ jest funkcją wypukłą, jeśli $\displaystyle g$ jest funkcją rosnącą.

b) Funkcja $\displaystyle g$ odwrotna do funkcji $\displaystyle f$ wypukłej rosnącej jest wklęsła rosnąca.

c) Funkcja ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (a,b)$ nie osiąga maksimum w żadnym punkcie tego przedziału.

d) Funkcja ściśle wklęsła w przedziale $\displaystyle (a,b)$ nie osiąga minimum w żadnym punkcie tego przedziału.

Dowód 12.4.

a) Funkcja $\displaystyle f$ jest wypukła w $\displaystyle (a,b)$, więc

$\displaystyle f\big((1-t)x+ty\big)\leq (1-t)f(x)+tf(y)$

dla dowolnych $\displaystyle x,y\in (a,b)$, $\displaystyle t\in [0,1]$. Mamy następnie nierówność

$\displaystyle g\bigg(f\big((1-t)x+ty\big)\bigg)\leq g\big((1-t)f(x)+tf(y)\big),$

ponieważ funkcja $\displaystyle g$ jest rosnąca. Zuwagi na wypukłość $\displaystyle g$ mamy

$\displaystyle g\big((1-t)f(x)+tf(y)\big)\leq (1-t)g(f(x))+tg(f(y)),$

czyli

$\displaystyle (g\circ f)\big((1-t)x+ty\big)\leq (1-t)(g\circ f )(x)+t(g\circ f )(y)$

dla dowolnych $\displaystyle x,y\in (a,b)$ i $\displaystyle 0\leq t\leq 1$. Stąd złożenie $\displaystyle g\circ f$ jest funkcją wypukłą.

b) Niech $\displaystyle a < x_1 < x_2 < b$ i niech $\displaystyle y_1=f(x_1)$, $\displaystyle y_2=f(x_2)$. Wówczas $\displaystyle g(y_1)=x_1$ oraz $\displaystyle g(y_2)=x_2$. Funkcja odwrotna do rosnącej jest rosnąca, gdyż

$\displaystyle \begin{align*} x_1 & < x_2 & & \Leftrightarrow \ \ f(x_1) < f(x_2) \\ & & \Updownarrow & \\ g(y_1) & < g(y_2) & & \Leftrightarrow \ \ y_1 < y_2.\end{align*}$

Z wypukłości funkcji $\displaystyle f$ mamy

$\displaystyle f\big((1-t)x_1 +t x_2\big) \leq (1-t)f(x_1)+tf(x_2) \ \ \text{ dla } t\in [0,1],$

co jest równoważne nierównościom

$\displaystyle \begin{align*} & g\bigg(f\big((1-t)x_1 +t x_2\big)\bigg) & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \\ & (1-t)x_1 +t x_2 & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \\ & (1-t)g(y_1) +t g(y_2) & \leq & g\big((1-t)y_1+ty_2\big) & \text{ dla } t\in [0,1], \end{align*}$

czyli $\displaystyle g$ jest wklęsła.

c) Przypuśćmy wbrew tezie, że funkcja $\displaystyle f$ osiąga maksimum w pewnym punkcie $\displaystyle x_0\in(a,b)$. Funkcja $\displaystyle f$ nie jest stała, istnieje więc liczba $\displaystyle h>0$ taka, że $\displaystyle f(x_0-h) < f(x_0)$ oraz $\displaystyle f(x_0+h) < f(x_0)$. Wobec tego

$\displaystyle \frac{1}{2}f(x_0-h)+\frac{1}{2}f(x_0+h) < f(x_0)=f\big(\frac{1}{2}(x_0-h)+\frac{1}{2}(x_0+h)\big)$

co oznacza, że funkcja $\displaystyle f$ nie jest wypukła w przedziale $\displaystyle (x_0-h, x_0+h)$. Sprzeczność.

d) Dowód przebiega podobnie do dowodu własności c).

wykres

Definicja 12.5.

Jeśli dla pewnej liczby $\displaystyle h>0$ funkcja $\displaystyle f$, określona w przedziale $\displaystyle (a-h, a+h)$, jest

• ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (a-h,a)$ i ściśle wklęsła w przedziale $\displaystyle (a, a+h)$

albo na odwrót:

• ściśle wklęsła w przedziale $\displaystyle (a-h,a)$ i ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (a, a+h)$,

to mówimy, że punkt $\displaystyle a$ jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji $\displaystyle f$.

Przykład 12.6.

a) Funkcja stała $\displaystyle f(x)=C$ jest wypukła w przedziale $\displaystyle (-\infty, \infty)$; nie jest ściśle wypukła.

b) Funkcja $\displaystyle f(x)=|x|$ jest wypukła w każdym przedziale $\displaystyle (-\infty, \infty)$; nie jest ściśle wypukła.

c) Funkcja $\displaystyle f(x)=x^{2n}$ jest ściśle wypukła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy wykładnik $\displaystyle 2n$ jest dowolną parzystą liczbą dodatnią. Gdy $\displaystyle 2n$ jest parzystą liczbą ujemną, to $\displaystyle f$ jest ściśle wypukła w obu przedziałach $\displaystyle (-\infty, 0)$ oraz $\displaystyle (0, \infty)$.

d) Gdy wykładnik $\displaystyle 2n+1$ jest nieparzystą liczbą dodatnią lub ujemną, funkcja $\displaystyle f(x)=x^{2n+1}$ jest ściśle wypukła w przedziale $\displaystyle (0,\infty)$ i jest ściśle wklęsła w przedziale $\displaystyle (-\infty, 0)$. Punkt $\displaystyle 0$ jest więc punktem przegięcia funkcji $\displaystyle f(x)=x^{2n+1}$, gdy wykładnik jest dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Gdy wykładnik $\displaystyle 2n+1$ jest liczbą ujemną, liczba $\displaystyle 0$ nie należy do dziedziny funkcji $\displaystyle f$, nie jest więc punktem przegięcia funkcji $\displaystyle f$.

e) Funkcja $\displaystyle f(x)=\sin x$ jest ściśle wypukła w każdym z przedziałów $\displaystyle (-\pi+2k\pi, 0+2k\pi)$ i jest ściśle wklęsła w każdym z przedziałów $\displaystyle (0+2k\pi, \pi+2k\pi)$, $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$. Stąd każdy punkt $\displaystyle k \pi$, $\displaystyle k\in\mathbb{Z}$, jest punktem przegięcia tej funkcji.