Processing math: 100%

Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne


Uwaga 13.26.

Aby policzyć całkę

R(sinx,cosx,tgx)dx,

stosujemy podstawienie

tgx2=t

i mamy

sinx=2tgx21+tg2x2=2t1+t2, cosx=1tg2x21+tg2x2=1t21+t2,tgx=2tgx21tg2x2=2t1t2

oraz

x = 2arctgt,  zatem dx=2dt1+t2. Po podstawieniu dostajemy całkę

R(2t1+t2,1t21+t2,2t1t2)2dt1+t2.

Przykład 13.27.

Obliczyć całkę dx2+cosx. W całce tej stosujemy podstawienie tgx2=t, wówczas x=2arctgt i dx=2dt1+t2. Zatem

dx2+cosx=2dt1+t22+1t21+t2 = 2dtt2+3 = 23dt(t3)2+1 = |t3=sdt=3ds|=233dss2+1 = 2arctgs+c = 2arctg(tgx23)+c.

Uwaga 13.28.

Aby policzyć całkę

R(sin2x,cos2x,sinxcosx)dx,

stosujemy podstawienie

tgx=t

i mamy

sin2x=tg2x1+tg2x=t21+t2,cos2x=11+tg2x=11+t2,sinxcosx=tgx1+tg2x=t1+t2

oraz

x = arctgt,dx=dt1+t2.

Zatem po podstawieniu dostajemy całkę

R(t21+t2,11+t2,t1+t2)dt1+t2.

Przykład 13.29.

Obliczyć całkę dx1+2cos2xdx.

W całce tej stosujemy podstawienie tgx=t, wówczas cos2x=11+t2 i dx=dt1+t2. Zatem

dx1+2cos2xdx = 11+t21+21+t2dt = dtt2+3.

Zauważmy, że całkę tę liczyliśmy w przykładzie 13.27. Zatem

dx1+2cos2xdx = arctg(tgx3)+c.