Uwaga 13.26.
Aby policzyć całkę
∫R(sinx,cosx,tgx)dx,
stosujemy podstawienie
tgx2=t
i mamy
sinx=2tgx21+tg2x2=2t1+t2, cosx=1−tg2x21+tg2x2=1−t21+t2,tgx=2tgx21−tg2x2=2t1−t2
oraz
x = 2arctgt, zatem dx=2dt1+t2. Po podstawieniu dostajemy całkę
∫R(2t1+t2,1−t21+t2,2t1−t2)2dt1+t2.
Przykład 13.27.
Obliczyć całkę ∫dx2+cosx. W całce tej stosujemy podstawienie tgx2=t, wówczas x=2arctgt i dx=2dt1+t2. Zatem
∫dx2+cosx=∫2dt1+t22+1−t21+t2 = 2∫dtt2+3 = 23∫dt(t√3)2+1 = |t√3=sdt=√3ds|=2√3∫√3dss2+1 = 2arctgs+c = 2arctg(tgx2√3)+c.
Uwaga 13.28.
Aby policzyć całkę
∫R(sin2x,cos2x,sinxcosx)dx,
stosujemy podstawienie
tgx=t
i mamy
sin2x=tg2x1+tg2x=t21+t2,cos2x=11+tg2x=11+t2,sinxcosx=tgx1+tg2x=t1+t2
oraz
x = arctgt,dx=dt1+t2.
Zatem po podstawieniu dostajemy całkę
∫R(t21+t2,11+t2,t1+t2)dt1+t2.
Przykład 13.29.
Obliczyć całkę ∫dx1+2cos2xdx.
W całce tej stosujemy podstawienie tgx=t, wówczas cos2x=11+t2 i dx=dt1+t2. Zatem
∫dx1+2cos2xdx = ∫11+t21+21+t2dt = ∫dtt2+3.
Zauważmy, że całkę tę liczyliśmy w przykładzie 13.27. Zatem
∫dx1+2cos2xdx = arctg(tgx√3)+c.