Informatyka MIMUW

Całkowanie funkcji niewymiernych

Zacznijmy od rozważenia następującej całki:

$\displaystyle \int\frac{W_n(x)}{\sqrt{px^2+qx+r}}\,dx,$

gdzie $\displaystyle W_n$ jest dowolnym wielomianem (stopnia $\displaystyle n$). Okazuje się, że istnieje ogólna metoda obliczania tego typu całek. Opiera się ona na twierdzeniu, które mówi, iż mamy następującą równość

$\displaystyle \int\frac{W_n(x)}{\sqrt{px^2+qx+r}}\,dx \ =\ Q_{n-1}(x)\sqrt{px^2+qx+r} +A\int\frac{dx}{\sqrt{px^2+qx+r}},$

gdzie $\displaystyle Q_{n-1}(x)$ jest wielomianem stopnia $\displaystyle n-1.$ Współczynniki wielomianu $\displaystyle Q_{n-1}$ oraz stałą $\displaystyle \lambda$ znajdujemy, licząc pochodną z obu stron powyższej równości (pamiętamy, że pochodna z całki to funkcja podcałkowa!) i mnożąc potem obie strony przez $\displaystyle \sqrt{px^2+qx+r}.$ Dostaniemy wtedy:

$\displaystyle W(x)=Q_{n-1}'(x)(px^2+qx+r)+Q_{n-1}(x)(px+\frac{q}{2})+\lambda,$

skąd, porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $\displaystyle x,$ znajdujemy współczynniki wielomianu $\displaystyle Q_{n-1}$ oraz stałą $\displaystyle \lambda.$

Pozostaje jeszcze do obliczenia

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{px^2+qx+r}},$

którą przez odpowiednie podstawienie sprowadzamy do jednej z całek

$\displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \quad\ $ lub $\quad \int\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$

(patrz twierdzenie 13.8.).

Policzymy teraz pewną całkę, którą w przyszłości będziemy wielokrotnie wykorzystywać.

Przykład 13.21.

Policzyć

$\displaystyle \int\sqrt{R^2-x^2}\,dx,$

gdzie $\displaystyle R$ jest stałą dodatnią. Aby użyć metody współczynników nieoznaczonych, zapiszmy

$\displaystyle \int\frac{R^2-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx.$

Wielomian $\displaystyle R^2-x^2$ jest stopnia $\displaystyle 2$, zatem

$\displaystyle \int\frac{R^2-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx \ =\ (ax+b)\sqrt{R^2-x^2}+\lambda\int\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx.$

Stąd

$\displaystyle R^2-x^2 \ =\ a(R^2-x^2)-x(ax+b)+\lambda=-2ax^2-bx+aR^2+\lambda,$

skąd dostajemy układ równań

$\displaystyle -2a=-1,\quad b=0, \quad aR^2+\lambda=R^2,$

zatem

$\displaystyle a=\frac{1}{2},\quad b=0, \quad \lambda=\frac{1}{2}R^2.$

Pozostaje do policzenia $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx.$ Podstawiając $\displaystyle \frac{x}{R}=t$ (zatem $\displaystyle \frac{dx}{R}=dt$), mamy

$\begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx & = & \displaystyle \int\frac{\frac{dx}{R}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}} \\ & = & \displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin t+c=\arcsin \frac{x}{R} +c. \end{array}$

Reasumując, mamy

$\displaystyle \int\sqrt{R^2-x^2}\,dx \ =\ \frac{x}{2}\sqrt{R^2-x^2}+\frac{R^2}{2}\arcsin \frac{x}{R} +c.$

Kolejne twierdzenie zawiera warunek konieczny i wystarczający istnienia pierwotnej elementarnej dla funkcji postaci $\displaystyle f(x)=x^r(a+bx^s)^p$ oraz podaje sposób policzenia całki nieoznaczonej, jeśli pierwotna jest funkcją elementarną. Dowód twierdzenia pomijamy.

Twierdzenie 13.22.

Funkcja

$\displaystyle f(x) \ =\ x^r(a+bx^s)^p, \quad \ $ gdzie $\ a,b\in\mathbb{R},\ p,r,s\in\mathbb{Q},$

ma pierwotną elementarną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z przypadków:
(1) $\displaystyle p\in\mathbb{Z}$ (robimy podstawienie $\displaystyle x=z^N,$ gdzie $\displaystyle N$ jest wspólnym mianownikiem ułamków $\displaystyle r$ i $\displaystyle s$);
(2) $\displaystyle \frac{r+1}{s}\in\mathbb{Z}$ (robimy podstawienie $\displaystyle a+bx^s=z^N,$ gdzie $\displaystyle N$ jest mianownikiem ułamka $\displaystyle p$);
(3) $\displaystyle \frac{r+1}{s}+p\in\mathbb{Z}$ (robimy podstawienie $\displaystyle ax^{-s}+b=z^N,$ gdzie $\displaystyle N$ jest mianownikiem ułamka $\displaystyle p$).

Przykład 13.23.

Które z funkcji mają pierwotną elementarną? Sprowadzić całki z funkcji, które mają pierwotną elementarną do całek z funkcji wymiernych.
(1) $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}.$
(2) $\displaystyle f(x)=\sqrt[4]{1+x^2}.$
(3) $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{1+\sqrt{x^3}}.$

Uwaga 13.24. [Podstawienia Eulera]

Do policzenia całki postaci

$\displaystyle \int R\big(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\big)\,dx,$ gdzie $\displaystyle R=R(x,\xi)$ jest funkcją wymierną, $\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R},a\ne 0$ można zastosować następujące podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):

• Niech $\displaystyle a>0.$ Podstawiamy

$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x.$

• Niech $\displaystyle c>0.$ Podstawiamy

$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}.$

• Niech trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki $\displaystyle \mu,\lambda,$ to znaczy $\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-\lambda)(x-\mu).$ Podstawiamy

$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\lambda).$

Przykład 13.25.

Całkę

$\displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}$

sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, stosując pierwsze podstawienie Eulera. Podstawiamy

$\displaystyle \sqrt{x^2-x+1}=t-x,$

skąd

$\displaystyle x \ =\ \frac{t^2-1}{2t-1}$

oraz

$\displaystyle dx \ =\ \frac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2}\,dt.$ Podstawiając, dostajemy

$\displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}=2\int\frac{t^2-t+1}{t(2t-1)^2}\,dt,$

czyli całkę z funkcji wymiernej, którą już umiemy policzyć.

Teraz tę samą całkę $\displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}$ sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, używając drugiego podstawienia Eulera. Podstawiamy

$\displaystyle \sqrt{x^2-x+1}=tx-1,$

skąd

$\displaystyle x \ =\ \frac{1-2t}{1-t^2} \quad dx=-2\frac{t^2-t+1}{(1-t^2)^2}\,dt.$

Podstawiając, dostajemy

$\displaystyle \int\frac{\,dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}} \ =\ -2\int\frac{t^2-t+1}{t(t-1)(t+1)^2}\,dt,$

czyli też całkę z funkcji wymiernej - co prawda nieco bardziej skomplikowaną niż poprzednia.