W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy \( \displaystyle C^1. \) Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).
Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.
Uwaga 15.19.
Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:
\( \displaystyle y=f_1(x) \quad \) i \( \displaystyle \quad y=f_2(x) \quad x\in[a,b], \)
to pole tego trapezu wynosi:
\( \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx \)
Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.
Twierdzenie 15.20.
Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} ., \right. \ \qquad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta], \)
wynosi
\( \displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt. \)
Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.
Twierdzenie 15.21.
Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami \( \displaystyle OA \) i \( \displaystyle OB \) (gdzie \( \displaystyle O=(0,0) \)) oraz krzywą \( \displaystyle AB \) daną w postaci biegunowej
\( \displaystyle r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2], \)
to pole tego obszaru wynosi:
\( \displaystyle |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. \)
Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku
Oznaczając przez \( \displaystyle P_{ABC} \) pole trójkąta krzywoliniowego, mamy
\( \displaystyle P_{ABC} \approx \frac{1}{2}\cdot g(\vartheta)\cdot g(\vartheta)\cdot\sin\Delta\vartheta \approx \frac{1}{2} g(\vartheta)^2\Delta\vartheta \)
(dla małych kątów \( \displaystyle \displaystyle\Delta\vartheta \) zachodzi \( \displaystyle \displaystyle\Delta\sin\vartheta\approx\Delta\vartheta \)). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.
Twierdzenie 15.22.
(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej
\( \displaystyle K:\ y=f(x), \quad \) dla \( \displaystyle \ x\in[a,b] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. \)
Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.
(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. \)
Twierdzenie 15.23.
(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\ y=f(x), \quad \) dla \( \displaystyle \ x\in[a,b] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx. \)
Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \):
\( \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n \ =\ b \)
oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji \( \displaystyle y=f(x) \) dla \( \displaystyle x\in[x_{i-1},x_i]. \) Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy \( \displaystyle f(x_i) \) i wysokości \( \displaystyle \displaystyle\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \) czyli \( \displaystyle \displaystyle\pi f(x_i)^2\Delta x_i. \) Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.
(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta] \)
wokół osi \( \displaystyle Ox \):
\( \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt. \)
Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.
Twierdzenie 15.24.
(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\ y=f(x) \quad \) dla \( \displaystyle x\in[a,b] \)
wokół osi \( \displaystyle Oy \):
\( \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx. \)
Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka \( \displaystyle \displaystyle [a,b] \):
\( \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n \ =\ b \)
oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji \( \displaystyle y=f(x) \) dla \( \displaystyle x\in[x_{i-1},x_i] \) wokół osi \( \displaystyle Oy. \) Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa \( \displaystyle 2\pi x_i f(x_i)-2\pi x_{i-1}f(x_i)=2\pi\Delta x_i f(x_i). \) Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na \( \displaystyle |V_y|. \)
(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"
\( \displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad \) dla \( \displaystyle \ t\in[\alpha,\beta] \)
wokół osi \( \displaystyle Oy \):
\( \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt. \)
Przykład 15.25.
Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła
\( \displaystyle x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0 < r < a) \)
wokół osi \( \displaystyle Ox. \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx \\ & \stackrel{(★)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array} \)
gdzie wykorzystano następującą całkę:
\( \displaystyle \begin{align*} (★)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \end{align*} \)
\( \displaystyle I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c. \)
Teraz liczymy całkę \( \displaystyle I \) inaczej:
\( \begin{array}{lll} \displaystyle I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części} \\ =\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx \\ & = & x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array} \)
Porównując to z \( \displaystyle \displaystyle (★), \) otrzymujemy:
\( \displaystyle r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2, \)
stąd
\( \displaystyle 2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2}, \)
zatem
\( \displaystyle I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}. \)
Wstawiając do \( \displaystyle \displaystyle (★), \) otrzymujemy:
\( \displaystyle \begin{align*} I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \end{align*} \)