Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy $\displaystyle C^1.$ Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).

wykres

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

$\displaystyle y=f_1(x) \quad$ i $\displaystyle \quad y=f_2(x) \quad x\in[a,b],$

to pole tego trapezu wynosi:

$\displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\big[f_1(x)-f_2(x)\big]\,dx$

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

$\displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} ., \right. \ \qquad$ dla $\displaystyle \ t\in[\alpha,\beta],$

wynosi

$\displaystyle |P| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\varphi'(t)\,dt.$

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

wykresy

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami $\displaystyle OA$ i $\displaystyle OB$ (gdzie $\displaystyle O=(0,0)$) oraz krzywą $\displaystyle AB$ daną w postaci biegunowej

$\displaystyle r \ =\ g(\vartheta), \quad \vartheta\in[\vartheta_1,\vartheta_2],$

to pole tego obszaru wynosi:

$\displaystyle |P| \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{\vartheta_1}^{\vartheta_2}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta.$

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez $\displaystyle P_{ABC}$ pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

$\displaystyle P_{ABC} \approx \frac{1}{2}\cdot g(\vartheta)\cdot g(\vartheta)\cdot\sin\Delta\vartheta \approx \frac{1}{2} g(\vartheta)^2\Delta\vartheta$

(dla małych kątów $\displaystyle \displaystyle\Delta\vartheta$ zachodzi $\displaystyle \displaystyle\Delta\sin\vartheta\approx\Delta\vartheta$). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

$\displaystyle K:\ y=f(x), \quad$ dla $\displaystyle \ x\in[a,b]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

$\displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b \big[f(x)\big] \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx.$

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

$\displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad$ dla $\displaystyle \ t\in[\alpha,\beta]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

$\displaystyle |P| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \big[\psi(t)\big] \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.$

wykres

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$\displaystyle K:\ y=f(x), \quad$ dla $\displaystyle \ x\in[a,b]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

$\displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_a^b f(x)^2\,dx.$

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$:

$\displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n \ =\ b$

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $\displaystyle y=f(x)$ dla $\displaystyle x\in[x_{i-1},x_i].$ Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy $\displaystyle f(x_i)$ i wysokości $\displaystyle \displaystyle\Delta x_i=x_i-x_{i-1},$ czyli $\displaystyle \displaystyle\pi f(x_i)^2\Delta x_i.$ Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$\displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad$ dla $\displaystyle \ t\in[\alpha,\beta]$

wokół osi $\displaystyle Ox$:

$\displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt.$

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

wykres

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$\displaystyle K:\ y=f(x) \quad$ dla $\displaystyle x\in[a,b]$

wokół osi $\displaystyle Oy$:

$\displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b x\,f(x)\,dx.$

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$:

$\displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n \ =\ b$

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji $\displaystyle y=f(x)$ dla $\displaystyle x\in[x_{i-1},x_i]$ wokół osi $\displaystyle Oy.$ Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa $\displaystyle 2\pi x_i f(x_i)-2\pi x_{i-1}f(x_i)=2\pi\Delta x_i f(x_i).$ Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na $\displaystyle |V_y|.$

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

$\displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \quad$ dla $\displaystyle \ t\in[\alpha,\beta]$

wokół osi $\displaystyle Oy$:

$\displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt.$

wykres

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

$\displaystyle x^2+(y-a)^2 \ \le\ r^2 \qquad (0 < r < a)$

wokół osi $\displaystyle Ox.$

$\begin{array}{lll} \displaystyle |V_x| & = & \pi\displaystyle\int\limits_{-r}^r \bigg[\big(a+\sqrt{r^2-x^2}\big)^2 -\big(a-\sqrt{r^2-x^2}\big)^2\bigg]\,dx \ =\ 4\pi a\displaystyle\int\limits_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx \\ & \stackrel{(★)}{=} & 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}\bigg]_{-r}^r =\ 4\pi a \bigg[\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{r^2}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\bigg] \ =\ 4\pi a\frac{r^2\pi}{2} \ =\ 2\pi^2 ar^2, \end{array}$

gdzie wykorzystano następującą całkę:

$\displaystyle \begin{align*} (★)\quad I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ =\ \int\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx \ =\ r^2\underbrace{\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_1} -\underbrace{\int\frac{x^2 dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}_{I_2}. \end{align*}$

$\displaystyle I_1 \ =\ \arcsin\frac{x}{|r|}+c.$

Teraz liczymy całkę $\displaystyle I$ inaczej:

$\begin{array}{lll} \displaystyle I & = & \int\sqrt{r^2-x^2}\,dx \ \begin{array}{c}\textrm{części} \\ =\end{array} x\sqrt{r^2-x^2} -\int x\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}dx \\ & = & x\sqrt{r^2-x^2} +\underbrace{\int\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\,dx}_{=I_2}= x\sqrt{r^2-x^2}+I_2. \end{array}$

Porównując to z $\displaystyle \displaystyle (★),$ otrzymujemy:

$\displaystyle r^2I_1-I_2 \ =\ x\sqrt{r^2-x^2}+I_2,$

stąd

$\displaystyle 2I_2 \ =\ r^2I_1-x\sqrt{r^2-x^2} \ =\ r^2\arcsin\frac{x}{r} -x\sqrt{r^2-x^2},$

zatem

$\displaystyle I_2 \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} -\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}.$

Wstawiając do $\displaystyle \displaystyle (★),$ otrzymujemy:

$\displaystyle \begin{align*} I & = & r^2\arcsin\frac{x}{r} -\frac{1}{2}r^2\arcsin\frac{x}{r} +\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c \ =\ \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} +\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}+c. \end{align*}$