Całka krzywoliniowa

Niech $\displaystyle K$ będzie krzywą klasy $\displaystyle C^1$:

$\displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\},$

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła $\displaystyle f\colon K\ni M\longmapsto f(M)\in\mathbb{R},$ to znaczy funkcja, która każdemu punktowi $\displaystyle M$ krzywej $\displaystyle K$ przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą $\displaystyle f(M).$ Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji $\displaystyle f$ po krzywej $\displaystyle K.$

rycina

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.$

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) $\displaystyle K$ zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie $\displaystyle M(x,y)$ danej funkcją ciągłą $\displaystyle \displaystyle\varrho(M),$ to masa tego pręta wyraża się wzorem

$\displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds.$

Współrzędne środka ciężkości pręta $\displaystyle \displaystyle (x_0,y_0)$ możemy policzyć ze wzorów

$\displaystyle \begin{align*} x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds, \\ x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds. \end{align*}$

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego $\displaystyle K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=R^2,\ y\ge 0\}$ o gęstości $\displaystyle \displaystyle\varrho(x,y)=y^2.$

Masa krzywej o gęstości $\displaystyle \displaystyle\varrho$ dana jest wzorem

$\displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds.$

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

$\displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t \\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} . \right. \ \qquad t\in[0,\pi],$

mamy

$\begin{array}{lll} \displaystyle m & = & \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt \\ & = & R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}.\end{array}$

Odpowiedź:

Masa pręta wynosi $\displaystyle \displaystyle \frac{R^3\pi}{2}$.

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka $\displaystyle K$ łączącego punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ z punktem $\displaystyle \displaystyle (1,1)$ o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej $\displaystyle \displaystyle\sqrt{2}$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (1,1).$

Skoro gęstość $\displaystyle \displaystyle\varrho$ jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi $\displaystyle \displaystyle\sqrt{2}$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (1,1),$ to

$\displaystyle \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad$ oraz $\displaystyle \quad \varrho(1,1)=c\sqrt{2}=\sqrt{2},$

stąd $\displaystyle c=1.$ Parametryzacją odcinka jest na przykład

$\displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t \\ y=\psi(t)=t \end{array} . \right. \ \qquad t\in[0,1],$

zatem masa wynosi

$\displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1.$

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

$\displaystyle x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}.$

Z symetrii zadania wynika, że $\displaystyle y_0=\frac{2}{3}.$