Niech \( \displaystyle K \) będzie krzywą klasy \( \displaystyle C^1 \):
\( \displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\}, \)
Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła \( \displaystyle f\colon K\ni M\longmapsto f(M)\in\mathbb{R}, \) to znaczy funkcja, która każdemu punktowi \( \displaystyle M \) krzywej \( \displaystyle K \) przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą \( \displaystyle f(M). \) Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji \( \displaystyle f \) po krzywej \( \displaystyle K. \)
Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_K f(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. \)
Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).
Jeśli mamy daną krzywą (pręt) \( \displaystyle K \) zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie \( \displaystyle M(x,y) \) danej funkcją ciągłą \( \displaystyle \displaystyle\varrho(M), \) to masa tego pręta wyraża się wzorem
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds. \)
Współrzędne środka ciężkości pręta \( \displaystyle \displaystyle (x_0,y_0) \) możemy policzyć ze wzorów
\( \displaystyle \begin{align*} x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds, \\ x_0 & = & \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K y\cdot \varrho(x,y)\,ds. \end{align*} \)
Przykład 15.17.
Obliczyć masę pręta półkolistego \( \displaystyle K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^2+y^2=R^2,\ y\ge 0\} \) o gęstości \( \displaystyle \displaystyle\varrho(x,y)=y^2. \)
Masa krzywej o gęstości \( \displaystyle \displaystyle\varrho \) dana jest wzorem
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_K y^2\,ds. \)
Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:
\( \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t \\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} . \right. \ \qquad t\in[0,\pi], \)
mamy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle m & = & \displaystyle\int\limits_0^{\pi}R^2\sin^2 t\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt \ =\ R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt \\ & = & R^3\bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\bigg]_0^{\pi} \ =\ \frac{R^3\pi}{2}.\end{array} \)
Odpowiedź:
Masa pręta wynosi \( \displaystyle \displaystyle \frac{R^3\pi}{2} \).
Przykład 15.18.
Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka \( \displaystyle K \) łączącego punkt \( \displaystyle \displaystyle (0,0) \) z punktem \( \displaystyle \displaystyle (1,1) \) o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej \( \displaystyle \displaystyle\sqrt{2} \) w punkcie \( \displaystyle \displaystyle (1,1). \)
Skoro gęstość \( \displaystyle \displaystyle\varrho \) jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi \( \displaystyle \displaystyle\sqrt{2} \) w punkcie \( \displaystyle \displaystyle (1,1), \) to
\( \displaystyle \varrho(x,t) \ =\ c\sqrt{x^2+y^2} \quad \) oraz \( \displaystyle \quad \varrho(1,1)=c\sqrt{2}=\sqrt{2}, \)
stąd \( \displaystyle c=1. \) Parametryzacją odcinka jest na przykład
\( \displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=t \\ y=\psi(t)=t \end{array} . \right. \ \qquad t\in[0,1], \)
zatem masa wynosi
\( \displaystyle m \ =\ \displaystyle\int\limits_K\sqrt{x^2+y^2}\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{t^2+t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1t\,dt \ =\ t^2\bigg|_0^1 \ =\ 1. \)
Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru
\( \displaystyle x_0 \ =\ \frac{1}{m}\displaystyle\int\limits_K x\cdot \varrho(x,y)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 t\cdot\sqrt{2t^2}\sqrt{2}\,dt \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^1 t^2\,dt \ =\ \frac{2}{3}t^3\bigg|_0^1 \ =\ \frac{2}{3}. \)
Z symetrii zadania wynika, że \( \displaystyle y_0=\frac{2}{3}. \)