Przestrzenie metryczne

Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej. Prezentujemy definicję metryki i przykłady przestrzeni metrycznych. Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i średnicę zbioru. Następnie wprowadzamy pojęcia zwartości i spójności w przestrzeniach metrycznych. Dowodzimy, że przedział domknięty i ograniczony jest zbiorem zwartym w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} \) oraz charakteryzujemy zbiory spójne w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}. \)
Jedną z najistotniejszych idei matematyki jest idea aproksymacji. Z aproksymacją mamy do czynienia wtedy, gdy pewien obiekt \( \displaystyle T \) (liczbę, funkcję, zbiór) przedstawiamy jako granicę (w odpowiednim sensie) ciągu obiektów \( \displaystyle T_n \). Możemy wtedy wnioskować o własnościach "mniej znanego" obiektu \( \displaystyle T \) z własności "bardziej znanych" obiektów \( \displaystyle T_n \). Każdy z nas zetknął się z aproksymacją, chociażby w stwierdzeniu "\( \displaystyle \pi \) wynosi mniej więcej \( \displaystyle 3.14 \)" (tu przybliżamy liczbę niewymierną ciągiem liczb wymiernych). Na wykładzie poświęconym ciągom funkcyjnym dowiemy się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele różnych rodzajów zbieżności (czyli przejść granicznych) potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna, a zarazem prosta teoria przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy się działem teorii przestrzeni metrycznych - przestrzeniami unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na wektorach.