Ostatnim pojęciem, jakie wprowadzimy na tym wykładzie, jest spójność zbioru w przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie spójność zbioru \( \displaystyle A \) oznacza, że składa się on z "jednego kawałka". Jednak, aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco bardziej skomplikowanej definicji.
Definicja 1.23. [zbiór spójny]
Niech \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) będzie przestrzenią metryczną \( \displaystyle A\subseteq X. \)
Zbiór \( \displaystyle A \) nazywamy spójnym, jeśli nie jest zawarty w sumie dwóch zbiorów otwartych, rozłącznych, z którymi ma niepuste przecięcie, to znaczy nie istnieją dwa zbiory \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) takie, że
\( \displaystyle \left \{ \begin{array} {l} A\subseteq U\cup V \\ A\cap U\ne\emptyset,\ A\cap V\ne\emptyset \\ U\cap V=\emptyset \\ U,V\ \textrm{ - są otwarte. } \displaystyle \end{array} \right. \)
Przykład 1.24.
Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny \( \displaystyle A. \) Jeśli dwa zbiory \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) są otwarte, rozłączne i mają niepuste przecięcie z \( \displaystyle A, \) to nie mogą w sumie zawierać całego \( \displaystyle A \) (to znaczy \( \displaystyle \displaystyle\exists x\in A:\ x\not\in U\cup V \)).
Zbiór \( \displaystyle B \) na kolejnym rysunku nie jest spójny, gdyż istnieją dwa zbiory \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) spełniające wszystkie cztery warunki z definicji spójności zbioru.
Zbiór spójnyZbiór który nie jest spójny
Twierdzenie 1.25.
Jeśli \( \displaystyle A\subseteq\mathbb{R} \), to \( \displaystyle A \) jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy \( \displaystyle A \) jest przedziałem.
Suma zbiorów spójnych o niepustym przecięciu
Dowód 1.25. [nadobowiązkowy]
[Szkic]
"\( \displaystyle \displaystyle\Longrightarrow \)"
Niech \( \displaystyle A \) będzie zbiorem spójnym. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że \( \displaystyle A \) nie jest przedziałem, to znaczy
\( \displaystyle \exists d\in A^c,\ \exists a,b\in A:\ a < d < b. \)
Zdefiniujmy
\( \displaystyle U\ \stackrel{df}{=}\ (-\infty,d),\quad V\ \stackrel{df}{=}\ (d,+\infty). \)
Wówczas \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) są zbiorami otwartymi (dlaczego?), \( \displaystyle U\cap A\ne\emptyset \) i \( \displaystyle V\cap A\ne\emptyset \) (bo \( \displaystyle a\in U\cap A \) i \( \displaystyle b\in V\cap A \)), \( \displaystyle A\subseteq U\cup V \) oraz \( \displaystyle U\cap V=\emptyset. \) Jest to sprzeczne ze spójnością zbioru \( \displaystyle A. \)
"\( \displaystyle \displaystyle\Longleftarrow \)" (Będziemy korzystali z faktu, że supremum zbioru otwartego w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R} \) nie jest elementem tego zbioru).
Niech \( \displaystyle A \) będzie przedziałem. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że \( \displaystyle A \) nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa niepuste zbiory otwarte \( \displaystyle U \) i \( \displaystyle V \) takie, że
\( \displaystyle U\cap V=\emptyset,\quad A\subseteq U\cup V. \)
oraz
\( \displaystyle \exists a,b\in A:\ a\in U,\ b\in V. \)
Bez straty ogólności możemy założyć, że \( \displaystyle a < b. \)
Zdefiniujmy \( \displaystyle z=\sup (U\cap [a,b]). \) Ponieważ \( \displaystyle b\in V \) i \( \displaystyle V \) jest otwarty, więc \( \displaystyle z < b. \) Gdyby \( \displaystyle z\in U, \) to z faktu, że \( \displaystyle U \) jest zbiorem otwartym wynikałoby, że \( \displaystyle z \) nie jest kresem górnym zbioru \( \displaystyle U\cap [a,b]. \) Zatem \( \displaystyle z\not\in U. \)
Ponieważ \( \displaystyle a\in U \) i \( \displaystyle U \) jest otwarty, więc \( \displaystyle a < z. \) Gdyby \( \displaystyle z\in V, \) to z faktu, że \( \displaystyle V \) jest otwarty wynikałoby, że \( \displaystyle z \) nie jest kresem górnym zbioru \( \displaystyle U\cap [a,b]. \) Zatem \( \displaystyle z\not\in V. \)
Pokazaliśmy, że \( \displaystyle z\not\in U\cap V. \) Ale \( \displaystyle z\in A, \) więc doszliśmy do sprzeczności z faktem, że \( \displaystyle A\subseteq U\cap V. \)
Pokazaliśmy zatem, że \( \displaystyle A \) jest zbiorem spójnym.
Kolejne twierdzenie (które podajemy bez dowodu) mówi, że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym, pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.
Twierdzenie 1.26.
Jeśli \( \displaystyle \displaystyle (X,d) \) jest przestrzenią metryczną, \( \displaystyle \displaystyle\{X_s\}_{s\in S} \) jest rodziną podzbiorów spójnych w \( \displaystyle X \) takich, że \( \displaystyle \displaystyle \bigcap_{s\in S}X_s\ne\emptyset, \) to zbiór \( \displaystyle \displaystyle \bigcup_{s\in S}X_s \) jest spójny.