Definicja 2.1.
Niech \( \displaystyle A\subset X \) i niech \( \displaystyle f:X\mapsto Y \). Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji \( \displaystyle f \) do zbioru \( \displaystyle A \) nazywamy funkcję \( \displaystyle f_{|A} : A\mapsto Y \) równą funkcji \( \displaystyle f \) na zbiorze \( \displaystyle A \), tzn. \( \displaystyle \forall x\in A : f_{|A} (x)=f(x) \).
Definicja 2.2.
Niech \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) będzie funkcją. Mówimy, że funkcja \( \displaystyle g:Y\mapsto X \) jest funkcją odwrotną do funkcji \( \displaystyle f \), jeśli dla dowolnego elementu \( \displaystyle x\in X \) zachodzi równość \( \displaystyle g(f(x))=x \) i dla dowolnego elementu \( \displaystyle y\in Y \) zachodzi równość \( \displaystyle f(g(y))=y \).
Funkcję odwrotną do funkcji \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) będziemy oznaczać często symbolem \( \displaystyle f^{-1}: Y\mapsto X \), o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji \( \displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R} \) rozumiemy funkcję \( \displaystyle \frac{1}{f}: X\ni x\mapsto \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{R} \).
Uwaga 2.3.
Niech \( \displaystyle f, g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli \( \displaystyle g \) jest funkcją odwrotną do \( \displaystyle f \), to w prostokątnym układzie współrzędnych \( \displaystyle XOY \) wykres funkcji \( \displaystyle g \) jest obrazem wykresu funkcji \( \displaystyle f \) w symetrii osiowej względem prostej \( \displaystyle y=x \).
Definicja 2.4.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jeśli
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)\leq f(y) \)
(odpowiednio: \( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x) < f(y) \).
Definicja 2.5.
Mówimy, że funkcja \( \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} \) jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale \( \displaystyle (a,b) \), jeśli
\( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)\geq f(y) \)
(odpowiednio: \( \displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)>f(y) \)).
Definicja 2.6.
Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.
Przykład 2.7.
Funkcja \( \displaystyle x\mapsto \mathrm{tg}\, x \) rośnie w każdym z przedziałów postaci \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\bigg) \) nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów \( \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg)\cup\bigg(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\bigg) \). Weźmy bowiem np. argumenty \( \displaystyle x=\frac{\pi}{4} \), \( \displaystyle y=\frac{3\pi}{4} \). Wówczas \( \displaystyle x < y \), ale \( \displaystyle \mathrm{tg}\, x=1>-1=\mathrm{tg}\, y \).
Uwaga 2.8.
Jeśli \( \displaystyle g: (c,d)\mapsto (a,b) \) jest funkcją odwrotną do funkcji \( \displaystyle f: (a,b)\mapsto (c,d) \), to
Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.