Informatyka MIMUW

Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne

---

Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji $\displaystyle f: X \mapsto f(X)$ jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na $\displaystyle f(X)$ o wartościach w zbiorze $\displaystyle X$.

Definicja 2.1.

Niech $\displaystyle A\subset X$ i niech $\displaystyle f:X\mapsto Y$. Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji $\displaystyle f$ do zbioru $\displaystyle A$ nazywamy funkcję $\displaystyle f_{|A} : A\mapsto Y$ równą funkcji $\displaystyle f$ na zbiorze $\displaystyle A$, tzn. $\displaystyle \forall x\in A : f_{|A} (x)=f(x)$.

Definicja 2.2.

Niech $\displaystyle f:X\mapsto Y$ będzie funkcją. Mówimy, że funkcja $\displaystyle g:Y\mapsto X$ jest funkcją odwrotną do funkcji $\displaystyle f$, jeśli dla dowolnego elementu $\displaystyle x\in X$ zachodzi równość $\displaystyle g(f(x))=x$ i dla dowolnego elementu $\displaystyle y\in Y$ zachodzi równość $\displaystyle f(g(y))=y$.
Funkcję odwrotną do funkcji $\displaystyle f:X\mapsto Y$ będziemy oznaczać często symbolem $\displaystyle f^{-1}: Y\mapsto X$, o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji $\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}$ rozumiemy funkcję $\displaystyle \frac{1}{f}: X\ni x\mapsto \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{R}$.

Uwaga 2.3.

Niech $\displaystyle f, g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli $\displaystyle g$ jest funkcją odwrotną do $\displaystyle f$, to w prostokątnym układzie współrzędnych $\displaystyle XOY$ wykres funkcji $\displaystyle g$ jest obrazem wykresu funkcji $\displaystyle f$ w symetrii osiowej względem prostej $\displaystyle y=x$.

Definicja 2.4.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale $\displaystyle (a,b)$, jeśli

$\displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)\leq f(y)$

(odpowiednio: $\displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x) < f(y)$.

Definicja 2.5.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale $\displaystyle (a,b)$, jeśli
$\displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)\geq f(y)$
(odpowiednio: $\displaystyle \forall x, y\in (a,b) \ : \ x < y \Longrightarrow f(x)>f(y)$).

Definicja 2.6.

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Przykład 2.7.

Funkcja $\displaystyle x\mapsto \mathrm{tg}\, x$ rośnie w każdym z przedziałów postaci $\displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\bigg)$ nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów $\displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\bigg)\cup\bigg(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\bigg)$. Weźmy bowiem np. argumenty $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$, $\displaystyle y=\frac{3\pi}{4}$. Wówczas $\displaystyle x < y$, ale $\displaystyle \mathrm{tg}\, x=1>-1=\mathrm{tg}\, y$.

Uwaga 2.8.

Jeśli $\displaystyle g: (c,d)\mapsto (a,b)$ jest funkcją odwrotną do funkcji $\displaystyle f: (a,b)\mapsto (c,d)$, to

• jeśli $\displaystyle f$ jest rosnąca, to $\displaystyle g$ jest także rosnąca;
• jeśli $\displaystyle f$ jest malejąca, to $\displaystyle g$ jest również malejąca.

Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.