Informatyka MIMUW

Definicja 2.9.
Niech $\displaystyle a,b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję $\displaystyle x\mapsto ax+b$ nazywamy funkcją afiniczną.

Uwaga 2.10.

• Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
• Funkcja $\displaystyle f(x)=ax+b$ jest ściśle rosnąca, gdy $\displaystyle a>0$ i ściśle malejąca, gdy $\displaystyle a < 0$. Jest bijekcją zbioru $\displaystyle \mathbb{R}$ na zbiór $\displaystyle \mathbb{R}$, gdy $\displaystyle a\neq0$.
• Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
• Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech $\displaystyle a,b,c,d$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że $\displaystyle ad-bc\neq 0$. Funkcję $\displaystyle x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.

Uwaga 2.12.

• Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
• Wykresem funkcji homograficznej $\displaystyle f$ jest prosta (jeśli $\displaystyle f$ jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli $\displaystyle f$ nie jest afiniczna).
• Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
• Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech $\displaystyle a$ będzie stałą, niech $\displaystyle n=0,1,2,3,...$ będzie liczbą całkowitą nieujemną, a $\displaystyle x$ - zmienną. Wyrażenie algebraiczne $\displaystyle a x^n$ nazywamy jednomianem zmiennej $\displaystyle x$. Jeśli $\displaystyle a\neq 0$,to liczbę $\displaystyle n$ nazywamy stopniem jednomianu $\displaystyle a x^n$. Sumę $\displaystyle w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x_n$ skończonej liczby jednomianów zmiennej $\displaystyle x$ nazywamy wielomianem zmiennej $\displaystyle x$. Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

Definicja 2.14.

Funkcję $\displaystyle x\mapsto w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x_n$ nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.

• Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
• Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu $\displaystyle x\mapsto (1+x)^n$ za pomocą funkcji afinicznej $\displaystyle x\mapsto 1+nx$.

Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $\displaystyle n=0,1,2,3, ...$ i dowolnej liczby rzeczywistej $\displaystyle x\geq -1$ zachodzi nierówność

$\displaystyle (1+x)^n\geq \ +nx,$

przy czym dla $\displaystyle n> 1$ równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla $\displaystyle x=0$.

Dowód 2.16.

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla $\displaystyle n=0$ i $\displaystyle n=1$. Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej $\displaystyle k\geq 1$prawdziwa jest implikacja

$\displaystyle \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^k\geq 1+kx\bigg] \Longrightarrow \bigg[\forall x>-1 : (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x\bigg].$

Mamy bowiem:

$\displaystyle \begin{align*} (1+x)^{k+1} & =(1+x)(1+x)^k \\ & \geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^2 \\ & \geq 1+(1+k)x.\end{align*}$

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $\displaystyle n=0, \ 1,\ 2,\ 3,\ ...$. Zauważmy, że składnik $\displaystyle x\mapsto kx^2$ dla $\displaystyle k\geq 1$ zeruje się wyłącznie w punkcie $\displaystyle x=0$, stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla $\displaystyle x=0$ zachodzi równość w tej nierówności.

Definicja 2.17.

Niech $\displaystyle n\in\{2,3,4,...\}$ będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną $\displaystyle y$ nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $\displaystyle n$ z liczby nieujemnej $\displaystyle x$, jeśli $\displaystyle x^n=y.$ Pierwiastek stopnia $\displaystyle n$ z liczby $\displaystyle x\geq 0$ oznaczamy symbolem $\displaystyle \root{n}\of{x}$.

Uwaga 2.18.

• Funkcja $\displaystyle x\mapsto x^n$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle n$ jest liczbą nieparzystą.
• Jeśli $\displaystyle n>0$ jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji $\displaystyle f(x)=x^n$ do przedziału $\displaystyle [0, \infty)$ jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia $\displaystyle n g(x)=\root{n}\of{x}$ określona na przedziale $\displaystyle [0,\infty)$ o wartościach w $\displaystyle [0,\infty)$.
• Jeśli $\displaystyle n>0$ jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja $\displaystyle f(x)=x^n$ jest różnowartościowa na przedziale $\displaystyle (-\infty,+\infty)$. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja

$\displaystyle g(x) \ =\left \{ \begin{array}{I} \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0 \\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x < 0 \end{array} . \right.$

Uwaga 2.19.

Jeśli $\displaystyle n$ jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji $\displaystyle f(x)=x^n$ i oznacza się ją krótko $\displaystyle g(x)=\root{n}\of{x}$, przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.