Przypomnijmy, że funkcję \( \displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba \( \displaystyle T>0 \) taka, że dla wszystkich \( \displaystyle x\in R \)
\( \displaystyle f(x+T)=f(x). \)
Przykład 5.14.
Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus. Patrz rysunek obok.
Innym przykładem funkcji okresowej jest mantysa, czyli funkcja \( \displaystyle m(x):=x-[x] \) (patrz rysunek poniżej).
Funkcję okresową możemy także otrzymać, biorąc na przykład następującą sumę:
\( \displaystyle f(x) \ =\ \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x). \)
Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę
\( \displaystyle s(x)=\sum_{j=1}^n a_j\cos{jx}+b_j\sin{jx}, \)
ze stałymi (rzeczywistymi) współczynnikami \( \displaystyle a_j \) i \( \displaystyle b_j \), dostaniemy funkcję okresową.
\( \displaystyle m(x)=x-[x] \)
\( \displaystyle f(x)= \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x) \)
Problem:
Można zatem zadać sobie pytanie: czy biorąc dowolną funkcję okresowa, możemy ją przedstawić w postaci takiej sumy jak powyżej?
Okazuje się, że jest to dla dużej ilości funkcji możliwe, jeśli zamiast sum skończonych będziemy rozważać sumy nieskończone, czyli szeregi.
Konstrukcja:
Weźmy zatem funkcję okresową \( \displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \). Załóżmy, że ma ona okres \( \displaystyle 2\pi \), i że na przedziale \( \displaystyle [-\pi,\pi] \) funkcja jest całkowalna.
Przykłady funkcji spełniających te założenia są na rysunku poniżej:
Funkcja okresowa o okresie \( 2\pi \)
Funkcja okresowa o okresie \( 2\pi \)
Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać \( \displaystyle f \) jako sumę szeregu zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami \( \displaystyle a_n \) i \( \displaystyle b_n \):
\( \displaystyle (★) \quad\quad f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), \)
Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na współczynniki \( \displaystyle a_n \) i \( \displaystyle b_n \). Aby znaleźć \( \displaystyle a_0 \), scałkujmy obie strony wzoru \( (★) \) od \( \displaystyle -\pi \) do \( \displaystyle \pi \). Dostaniemy wtedy:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0dx+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx). \)
Zauważmy, że
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0, \)
oraz
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=-\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0. \)
Dostajemy zatem:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ 2\pi a_0, \)
czyli
\( \displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx. \)
Aby wyliczyć \( \displaystyle a_m, m=1,2,3,\ldots \), pomnóżmy obie strony wzoru \( (★) \) przez \( \displaystyle \cos(mx) \) i, tak jak powyżej, całkujmy od \( \displaystyle -\pi \) do \( \displaystyle \pi \).
Dostaniemy wtedy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle (★ ★)\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx & = & \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0\cos(mx)dx \\ & + & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx). \end{array} \)
Teraz
\( \displaystyle a_0\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \ =\ a_0\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=0. \)
Dla \( \displaystyle m\neq n \) dostaniemy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusów \( \displaystyle a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx, \) a korzystając ze wzoru na sumę sinusów, mamy
\( \displaystyle b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx. \)
Obliczając, dostajemy \( \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx \ =\ 0 \)
oraz
\( \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx \ =\ 0. \)
Natomiast gdy \( \displaystyle m=n \) dostajemy
\( \displaystyle a_m\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx \ =\ \pi a_m. \)
Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru \( (★ ★) \) znikają wszystkie całki, poza całką o współczynniku \( \displaystyle a_m \), a zatem otrzymujemy wzór:
\( \displaystyle a_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx. \)
Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru \( (★) \) przez \( \displaystyle \sin(mx) \), wyznaczamy wzory na współczynniki \( \displaystyle b_m \):
\( \displaystyle b_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx. \)
(pozostawiamy to jako ćwiczenie).
Możemy teraz wypisać definicję.
Dla funkcji okresowej \( \displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} \), o okresie \( \displaystyle 2\pi \), i całkowalnej na \( \displaystyle [-\pi,\pi] \) tworzymy szereg
\( \displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), \)
ze współczynnikami
\( \displaystyle \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx, \\ a_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx, \ m=1,2,..., \\ b_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx\ m=1,2... \end{align*} \)
Szereg ten nazywamy szeregiem Fouriera funkcji \( \displaystyle f \). Wzory na współczynniki nazywają się wzorami Eulera-Fouriera.
Powyższa konstrukcja pokazuje, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie.
Wykres funkcji oraz sumy jej szeregu Fouriera
Stwierdzenie 5.16.
Jeśli funkcję \( \displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} \), okresową, o okresie \( \displaystyle 2\pi \), całkowalną na \( \displaystyle [-\pi,\pi] \), możemy zapisać w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu:
\( \displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), \)
to współczynniki \( \displaystyle a_n \) i \( \displaystyle b_n \) wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera. (Tak więc przy powyższych założeniach mamy jednoznaczne przedstawienie \( \displaystyle f \) w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)
Uwaga 5.17.
Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze \( (★) \) zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję \( \displaystyle f \), ale nie mamy danego szeregu \( \displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) \), tym bardziej nic nie wiemy o jego zbieżności.
Zauważmy jednak, że zawsze możemy wypisać formalnie szereg Fouriera dla danej funkcji (oczywiście dla funkcji spełniającej nasze założenia, czyli okresowej i całkowalnej).
Piszemy wówczas:
\( \displaystyle f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), \)
gdzie współczynniki \( \displaystyle a_n \) i \( \displaystyle b_n \) są wyliczone ze wzorów Eulera-Fouriera. Utworzyliśmy zatem szereg Fouriera funkcji \( \displaystyle f \), ale pozostaje pytanie, kiedy i do czego ten szereg jest zbieżny. Zaznaczmy, że suma szeregu Fouriera danej funkcji wcale nie musi być równa tej funkcji.
Na rysunku obok widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).
Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje poniższe kryterium Dirichleta (które podajemy bez dowodu):
Twierdzenie 5.18. [Kryterium Dirichleta]
Załóżmy, że funkcja \( \displaystyle f(x) \) o okresie \( \displaystyle 2\pi \) jest przedziałami monotoniczna w \( \displaystyle [-\pi,\pi] \) (to znaczy, że przedział \( \displaystyle [-\pi,\pi] \) można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości. Wówczas w każdym punkcie ciągłości \( \displaystyle x_0 \)
\( \displaystyle f(x_0) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx_0)+b_n\sin(nx_0). \)
Co więcej, dla każdego punktu nieciągłości \( \displaystyle y_0 \)
\( \displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny_0)+b_n\sin(ny_0) \ =\ \frac{f(y_0^+)+f(y_0^-)}{2}, \)
gdzie zapis \( \displaystyle f(y_0^-) \) oznacza lewostronną granicę funkcji w punkcie \( \displaystyle y_0 \) a zapis \( \displaystyle f(y_0^+) \) - granicę prawostronną.
Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej (wykres funkcji jest zielony, a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony).
Funkcja \( f(x)=x \) rozszerzona okresowo
Uwaga 5.19.
W zastosowaniach często mamy do czynienia z funkcjami nieokresowymi, zadanymi w przedziale \( \displaystyle (-\pi, \pi] \). W takich przypadkach musimy funkcję \( \displaystyle f \) na całe \( \displaystyle \mathbb{R} \) rozszerzyć okresowo.
Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \( \displaystyle f \) okresową, ale o okresie \( \displaystyle 2T \) (a nie \( \displaystyle 2\pi \)). Stosujemy wówczas podstawienie \( \displaystyle x=\frac{Ty}{\pi} \) i dostajemy wzory na współczynniki:
\( \displaystyle \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})dy, \\ a_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\cos(my)dy, \ m=1,2,\ldots \\ b_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\sin(my)dy\ m=1,2,\ldots \end{align*} \)
Dostajemy zatem rozwinięcie
\( \displaystyle f(\frac{Ty}{\pi})=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny)+b_n\sin(ny), \)
czyli wracając do zmiennej \( \displaystyle x \):
\( \displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{T})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{T}). \)
Przykład 5.20.
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \( \displaystyle f(x)=x^2 \) zadaną na przedziale \( \displaystyle [-\pi,\pi] \).
Liczymy współczynniki:
\( \displaystyle \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3}, \\ a_n & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx \\ & = \frac{2}{\pi}x^2\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}- \frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx \\ & = \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}. \end{align*} \)
Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki \( \displaystyle b_n \) są równe zero.
Tak więc, skoro nasza funkcja spełnia warunki powyższego kryterium zbieżności, możemy napisać:
\( \displaystyle x^2 \ =\ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}. \)
Podstawiając w tym wzorze \( \displaystyle x=\pi \) i pamiętając, że \( \displaystyle \cos(n\pi)=(-1)^n \), otrzymujemy
\( \displaystyle \pi^2 \ = \ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2}, \)
czyli
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}, \)
zatem nie tylko wykazaliśmy zbieżność szeregu \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \), ale nawet policzyliśmy jego sumę.
Rysunek obok oraz rysunki poniżej pokazują, jak kolejne sumy częściowe szeregu Fouriera „zbliżają się” do granicy.