wykres i rycina

Przypomnijmy, że funkcję $\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba $\displaystyle T>0$ taka, że dla wszystkich $\displaystyle x\in R$

$\displaystyle f(x+T)=f(x).$

Przykład 5.14.

Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus. Patrz rysunek obok.

Innym przykładem funkcji okresowej jest mantysa, czyli funkcja $\displaystyle m(x):=x-[x]$ (patrz rysunek poniżej).

Funkcję okresową możemy także otrzymać, biorąc na przykład następującą sumę:

$\displaystyle f(x) \ =\ \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x).$

Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę

$\displaystyle s(x)=\sum_{j=1}^n a_j\cos{jx}+b_j\sin{jx},$

ze stałymi (rzeczywistymi) współczynnikami $\displaystyle a_j$ i $\displaystyle b_j$, dostaniemy funkcję okresową.

wykres

$\displaystyle m(x)=x-[x]$

$\displaystyle f(x)= \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x)$

Problem:
Można zatem zadać sobie pytanie: czy biorąc dowolną funkcję okresowa, możemy ją przedstawić w postaci takiej sumy jak powyżej?

Okazuje się, że jest to dla dużej ilości funkcji możliwe, jeśli zamiast sum skończonych będziemy rozważać sumy nieskończone, czyli szeregi.

Konstrukcja:
Weźmy zatem funkcję okresową $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Załóżmy, że ma ona okres $\displaystyle 2\pi$, i że na przedziale $\displaystyle [-\pi,\pi]$ funkcja jest całkowalna.

Przykłady funkcji spełniających te założenia są na rysunku poniżej:

wykresy

Funkcja okresowa o okresie $2\pi$

Funkcja okresowa o okresie $2\pi$

Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać $\displaystyle f$ jako sumę szeregu zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami $\displaystyle a_n$ i $\displaystyle b_n$:

$\displaystyle (★) \quad\quad f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),$

Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na współczynniki $\displaystyle a_n$ i $\displaystyle b_n$. Aby znaleźć $\displaystyle a_0$, scałkujmy obie strony wzoru $(★)$ od $\displaystyle -\pi$ do $\displaystyle \pi$. Dostaniemy wtedy:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0dx+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx).$

Zauważmy, że

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0,$

oraz

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=-\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0.$

Dostajemy zatem:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ 2\pi a_0,$

czyli

$\displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx.$

Aby wyliczyć $\displaystyle a_m, m=1,2,3,\ldots$, pomnóżmy obie strony wzoru $(★)$ przez $\displaystyle \cos(mx)$ i, tak jak powyżej, całkujmy od $\displaystyle -\pi$ do $\displaystyle \pi$.

Dostaniemy wtedy

$\begin{array}{lll} \displaystyle (★ ★)\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx & = & \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0\cos(mx)dx \\ & + & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx). \end{array}$

Teraz

$\displaystyle a_0\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \ =\ a_0\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=0.$

Dla $\displaystyle m\neq n$ dostaniemy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusów $\displaystyle a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx,$ a korzystając ze wzoru na sumę sinusów, mamy

$\displaystyle b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx.$

Obliczając, dostajemy $\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx \ =\ 0$

oraz

$\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx \ =\ 0.$

Natomiast gdy $\displaystyle m=n$ dostajemy

$\displaystyle a_m\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx \ =\ \pi a_m.$

Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru $(★ ★)$ znikają wszystkie całki, poza całką o współczynniku $\displaystyle a_m$, a zatem otrzymujemy wzór:

$\displaystyle a_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx.$

Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru $(★)$ przez $\displaystyle \sin(mx)$, wyznaczamy wzory na współczynniki $\displaystyle b_m$:

$\displaystyle b_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx.$

(pozostawiamy to jako ćwiczenie).

Możemy teraz wypisać definicję.

rycina

Dla funkcji okresowej $\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, o okresie $\displaystyle 2\pi$, i całkowalnej na $\displaystyle [-\pi,\pi]$ tworzymy szereg

$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),$

ze współczynnikami

$\displaystyle \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx, \\ a_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx, \ m=1,2,..., \\ b_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx\ m=1,2... \end{align*}$

Szereg ten nazywamy szeregiem Fouriera funkcji $\displaystyle f$. Wzory na współczynniki nazywają się wzorami Eulera-Fouriera.

Powyższa konstrukcja pokazuje, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie.

wykres

Wykres funkcji oraz sumy jej szeregu Fouriera

Stwierdzenie 5.16.

Jeśli funkcję $\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, okresową, o okresie $\displaystyle 2\pi$, całkowalną na $\displaystyle [-\pi,\pi]$, możemy zapisać w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu:

$\displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),$

to współczynniki $\displaystyle a_n$ i $\displaystyle b_n$ wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera. (Tak więc przy powyższych założeniach mamy jednoznaczne przedstawienie $\displaystyle f$ w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)

Uwaga 5.17.

Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze $(★)$ zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję $\displaystyle f$, ale nie mamy danego szeregu $\displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$, tym bardziej nic nie wiemy o jego zbieżności.

Zauważmy jednak, że zawsze możemy wypisać formalnie szereg Fouriera dla danej funkcji (oczywiście dla funkcji spełniającej nasze założenia, czyli okresowej i całkowalnej).

Piszemy wówczas:

$\displaystyle f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),$

gdzie współczynniki $\displaystyle a_n$ i $\displaystyle b_n$ są wyliczone ze wzorów Eulera-Fouriera. Utworzyliśmy zatem szereg Fouriera funkcji $\displaystyle f$, ale pozostaje pytanie, kiedy i do czego ten szereg jest zbieżny. Zaznaczmy, że suma szeregu Fouriera danej funkcji wcale nie musi być równa tej funkcji.

Na rysunku obok widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).

Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje poniższe kryterium Dirichleta (które podajemy bez dowodu):

Twierdzenie 5.18. [Kryterium Dirichleta]

Załóżmy, że funkcja $\displaystyle f(x)$ o okresie $\displaystyle 2\pi$ jest przedziałami monotoniczna w $\displaystyle [-\pi,\pi]$ (to znaczy, że przedział $\displaystyle [-\pi,\pi]$ można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości. Wówczas w każdym punkcie ciągłości $\displaystyle x_0$

$\displaystyle f(x_0) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx_0)+b_n\sin(nx_0).$

Co więcej, dla każdego punktu nieciągłości $\displaystyle y_0$

$\displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny_0)+b_n\sin(ny_0) \ =\ \frac{f(y_0^+)+f(y_0^-)}{2},$

gdzie zapis $\displaystyle f(y_0^-)$ oznacza lewostronną granicę funkcji w punkcie $\displaystyle y_0$ a zapis $\displaystyle f(y_0^+)$ - granicę prawostronną.

Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej (wykres funkcji jest zielony, a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony).

wykres

Funkcja $f(x)=x$  rozszerzona okresowo

Uwaga 5.19.

W zastosowaniach często mamy do czynienia z funkcjami nieokresowymi, zadanymi w przedziale $\displaystyle (-\pi, \pi]$. W takich przypadkach musimy funkcję $\displaystyle f$ na całe $\displaystyle \mathbb{R}$ rozszerzyć okresowo.

Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg Fouriera funkcję $\displaystyle f$ okresową, ale o okresie $\displaystyle 2T$ (a nie $\displaystyle 2\pi$). Stosujemy wówczas podstawienie $\displaystyle x=\frac{Ty}{\pi}$ i dostajemy wzory na współczynniki:

$\displaystyle \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})dy, \\ a_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\cos(my)dy, \ m=1,2,\ldots \\ b_m & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\sin(my)dy\ m=1,2,\ldots \end{align*}$

Dostajemy zatem rozwinięcie

$\displaystyle f(\frac{Ty}{\pi})=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny)+b_n\sin(ny),$

czyli wracając do zmiennej $\displaystyle x$:

$\displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{T})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{T}).$

Przykład 5.20.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję $\displaystyle f(x)=x^2$ zadaną na przedziale $\displaystyle [-\pi,\pi]$.

Liczymy współczynniki:

$\displaystyle \begin{align*} a_0 & = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3}, \\ a_n & = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx \\ & = \frac{2}{\pi}x^2\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}- \frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx \\ & = \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}. \end{align*}$

Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki $\displaystyle b_n$ są równe zero.

Tak więc, skoro nasza funkcja spełnia warunki powyższego kryterium zbieżności, możemy napisać:

$\displaystyle x^2 \ =\ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}.$

Podstawiając w tym wzorze $\displaystyle x=\pi$ i pamiętając, że $\displaystyle \cos(n\pi)=(-1)^n$, otrzymujemy

$\displaystyle \pi^2 \ = \ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2},$

czyli

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},$

zatem nie tylko wykazaliśmy zbieżność szeregu $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$, ale nawet policzyliśmy jego sumę.

Rysunek obok oraz rysunki poniżej pokazują, jak kolejne sumy częściowe szeregu Fouriera „zbliżają się” do granicy.