Informatyka MIMUW

Pamiętamy, że jeśli funkcja jednej zmiennej $\displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$, to jej wykres ma styczną w punkcie $\displaystyle (a, f(a))$ o równaniu $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$. Innymi słowy pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie $\displaystyle (a, f(a))$.

Uwaga 7.27.

Jeśli $\displaystyle f:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}$ jest funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie $\displaystyle (a,b)\in \mathbb{R}^2$, to powierzchnia o równaniu $\displaystyle z=f(x,y)$, która jest wykresem funkcji $\displaystyle f$, ma płaszczyznę styczną w punkcie $\displaystyle (a,b, f(a,b))$ o równaniu

$\displaystyle z-f(a,b)=\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f(a,b)}{\partial y}(y-b).$

Przykład 7.28.

Płaszczyzna styczna do paraboloidy

$\displaystyle P=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : z=x^2+y^2\}$

w punkcie $\displaystyle (a,b, a^2+b^2)\in P$ ma równanie

$\displaystyle z-(a^2+b^2) = 2(x-a)+2(y-b).$