Pamiętamy, że jeśli funkcja jednej zmiennej \( \displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} \) jest różniczkowalna w punkcie \( \displaystyle a \), to jej wykres ma styczną w punkcie \( \displaystyle (a, f(a)) \) o równaniu \( \displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a) \). Innymi słowy pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie \( \displaystyle (a, f(a)) \).
Uwaga 7.27.
Jeśli \( \displaystyle f:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R} \) jest funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie \( \displaystyle (a,b)\in \mathbb{R}^2 \), to powierzchnia o równaniu \( \displaystyle z=f(x,y) \), która jest wykresem funkcji \( \displaystyle f \), ma płaszczyznę styczną w punkcie \( \displaystyle (a,b, f(a,b)) \) o równaniu
\( \displaystyle z-f(a,b)=\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f(a,b)}{\partial y}(y-b). \)
Przykład 7.28.
Płaszczyzna styczna do paraboloidy
\( \displaystyle P=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : z=x^2+y^2\} \)
w punkcie \( \displaystyle (a,b, a^2+b^2)\in P \) ma równanie
\( \displaystyle z-(a^2+b^2) = 2(x-a)+2(y-b). \)