rycina

Niech $\displaystyle X, Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $\displaystyle f: U\mapsto Y$ będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym $\displaystyle U\subset X$. Załóżmy, że w każdym punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje różniczka $\displaystyle d_a f\in L(X,Y)$, która -- przypomnijmy -- jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\displaystyle X$ do $\displaystyle Y$.

Definicja 7.29.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f: U\mapsto Y$ jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$, jeśli różniczkowalna jest w punkcie $\displaystyle a$ funkcja $\displaystyle d. f: U\ni x\mapsto d_x f\in L(X, Y)$. Różniczkę funkcji $\displaystyle d. f$ w punkcie $\displaystyle a$, która jest elementem przestrzeni $\displaystyle L(X, L(X, Y))$, nazywamy drugą różniczką funkcji $\displaystyle f$ (lub różniczką rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$) w punkcie $\displaystyle a$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle d_a ^2 f$.

Uwaga 7.30.

W ramach algebry liniowej dowodzi się, że przestrzenie $\displaystyle L(X, L(X,Y))$ oraz $\displaystyle L^2 (X,Y)$ (czyli przestrzeń odwzorowań dwuliniowych ciągłych na $\displaystyle X$ o wartościach w $\displaystyle Y$) są izomorficzne. Stąd też często mówimy, że różniczka rzędu drugiego jest odwzorowaniem dwuliniowym ciągłym na $\displaystyle X$ o wartościach w $\displaystyle Y$.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, nazwijmy różniczką rzędu zerowego funkcji $\displaystyle f$ samą funkcję $\displaystyle f$, tzn. $\displaystyle d^0 f=f$. Ponadto, aby uprościć zapis i wypowiedzi twierdzeń, przyjmijmy, że $\displaystyle L^0 (X,Y):=Y$.
Załóżmy, że w każdym punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje $\displaystyle d^k _a f$ różniczka rzędu $\displaystyle k$ funkcji $\displaystyle f: U\mapsto Y$, $\displaystyle k\geq 0$, która jest elementem przestrzeni $\displaystyle L^k (X, Y)$ odwzorowań $\displaystyle k$ liniowych ciągłych na $\displaystyle X$ o wartościach w przestrzeni $\displaystyle Y$.

>Definicja 7.31.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest $\displaystyle k+1$ krotnie różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a\in U$, jeśli w punkcie tym różniczkowalna jest funkcja $\displaystyle d.^{k}f : U\ni x\mapsto d^{k}_x f\in L^k (X, Y)$. Różniczkę funkcji $\displaystyle d.^k f$ w punkcie $\displaystyle a$, która jest elementem przestrzeni (izomorficznej w przestrzenią) $\displaystyle L(X, L^k (X, Y))$, będziemy oznaczać symbolem $\displaystyle d^{k+1} _a f$ i będziemy nazywać różniczką rzędu $\displaystyle k+1$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ (lub krócej:

$\displaystyle k+1$ różniczką funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$).

Uwaga 7.32.

Dowodzi się, że także przestrzenie $\displaystyle L(X, L^k (X, Y))$ oraz $\displaystyle L^{k+1} (X, Y)$ (czyli przestrzeń odwzorowań $\displaystyle k+1$ liniowych i ciągłych na $\displaystyle X$ o wartościach w przestrzeni $\displaystyle Y$) są izomorficzne, więc często różniczkę rzędu $\displaystyle k+1$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ będziemy nazywać odwzorowaniem $\displaystyle k+1$ liniowym i ciągłym na $\displaystyle X$ o wartościach w $\displaystyle Y$.

Pamiętamy, że jeśli $\displaystyle X=\mathbb{R}^n$ i $\displaystyle Y=\mathbb{R}$, to wartość różniczki $\displaystyle d_a f\in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ na wektorze $\displaystyle h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\in\mathbb{R}^n$ wyraża suma

$\displaystyle d_a f(h)=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1} h_1 + \frac{\partial f(a)}{\partial x_2} h_2+ \dots +\frac{\partial f(a)} {\partial x_n} h_n.$

Sumę tę można także wyrazić bez argumentu $\displaystyle h$

$\displaystyle d_a f=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f(a)}{\partial x_2} dx_2+ \dots +\frac{\partial f(a)} {\partial x_n} dx_n,$

gdzie

$\displaystyle dx_i :\mathbb{R}^n \ni h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\mapsto dx_i (h)=h_i\in\mathbb{R}$

jest rzutowaniem na $\displaystyle i$-tą współrzędną.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej definiujemy funkcje klasy $\displaystyle C^k$.

Definicja 7.33.

Mówimy, że $\displaystyle f: X\supset U\mapsto Y$ jest klasy $\displaystyle C^k$ w zbiorze $\displaystyle U$ ($\displaystyle k=0,1,2,\dots$), jeśli w każdym punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje różniczka rzędu $\displaystyle k$ funkcji $\displaystyle f$ i odwzorowanie $\displaystyle U\ni a\mapsto d^k _a f\in L^k (X,Y)$ jest ciągłe.

Wniosek 7.34.

Jeśli $\displaystyle f$ jest klasy $\displaystyle C^2 (U)$, to w każdym punkcie tego zbioru pochodne cząstkowe mieszane są równe, tzn. zachodzi równość

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f (a)= \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j }f(a)$

dla dowolnych $\displaystyle i, j\in\{1,2,\dots, n\}$ w dowolnym punkcie $\displaystyle a\in U$.

Innymi słowy: druga różniczka $\displaystyle d^2 _a f$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym.

Załóżmy, że $\displaystyle f\in C^m (U)$, gdzie $\displaystyle U\subset \mathbb{R}^n$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni skończenie wymiarowej $\displaystyle \mathbb{R}^n$. Wówczas różniczkę rzędu $\displaystyle m$ można wyrazić efektywnie za pomocą pochodnych cząstkowych rzędu $\displaystyle m$.

Twierdzenie 7.35.

Jeśli $\displaystyle f\in C^m (U)$, to w dowolnym punkcie $\displaystyle a\in U$ wartość różniczki rzędu $\displaystyle m$ na $\displaystyle m$-ce jednakowych wektorów $\displaystyle h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\in \mathbb{R}^n$ wyraża suma

$\displaystyle d^m _a f\underbrace{(h,h, \dots, h)}_{m \text{ wektorów }h} =\sum_{|\alpha|=m} {m \choose \alpha} \frac{\partial ^m}{\partial x^\alpha} f(a)h^\alpha,$

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich

możliwych wielowskaźnikach ($\displaystyle n$-wskaźnikach)

$\displaystyle \alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\in \mathbb{N}_0^n$

o długości

$\displaystyle |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n= m,$

natomiast

$\displaystyle {m \choose \alpha}:=\frac{m!}{(m-|\alpha|)!\,\alpha!},$

jest uogólnieniem symbolu Newtona, w którym silnię wielowskaźnika $\displaystyle \alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ definiujemy za pomocą iloczynu silni jego współrzędnych, tj.

$\displaystyle \alpha !=\alpha_1 !\, \alpha_2 ! \dots \alpha_n !$

oraz

$\displaystyle h^\alpha =h_1 ^{\alpha_1} \, h_2 ^{\alpha_2} \dots h_n ^{\alpha_n}.$

Uwaga 7.36.

Wzór $\displaystyle d^m _a f(h, h, \dots, h) =\sum_{|\alpha|=m} {m \choose \alpha} \frac{\partial ^m}{\partial x^\alpha} f(a)h^\alpha,$

który podaliśmy w tezie twierdzenia czasem zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w następującej postaci

$\displaystyle d^m _a f =\sum_{|\alpha|=m} {m \choose \alpha} \frac{\partial ^m f(a)}{\partial x^\alpha} dx^\alpha$

lub

$\displaystyle d^m_. f =\sum_{|\alpha|=m} {m \choose \alpha} \frac{\partial ^m f}{\partial x^\alpha} dx^\alpha,$

gdzie $\displaystyle dx^\alpha : \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}$

definiujemy na wektorze $\displaystyle h\in \mathbb{R}^n$ wzorem

$\displaystyle dx^\alpha (h):=h^\alpha=h_1^{\alpha_1} h_2^{\alpha_2} \dots h_n^{\alpha_n} \in \mathbb{R}.$

Dowód 7.36.

Wykażemy podany wzór w przypadku funkcji dwóch zmiennych, aby uprościć notację. W ogólnym przypadku uzasadnienie jest podobne. Jeśli $\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \supset U\ni (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)$ jest różniczkowalna, to wartość jej różniczki w punkcie $\displaystyle a\in U$ na wektorze $\displaystyle h=(h_1, h_2)$ wyraża suma

$\displaystyle d_a f (h)=\frac{\partial }{\partial x_1} f(a) h_1+\frac{\partial }{\partial x_2} f(a)h_2.$

Jeśli $\displaystyle f$ jest dwukrotnie różniczkowalna, to

$\displaystyle \begin{align*} d^2 f & =d\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\bigg) \\ & =\frac{\partial }{\partial x_1} \bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\bigg)dx_1 +\frac{\partial }{\partial x_2}\big(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\big)dx_2 \\ & = \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_1}dx_1dx_1+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial x_1}dx_2dx_1+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}dx_1dx_2+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial x_2}dx_2dx_2 \\ & = \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}dx_1^2+2\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}dx_1dx_2+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}dx_2^2 \\ & = \binom{2}{0}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}dx_1^2+\binom{2}{1}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}dx_1dx_2+\binom{2}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}dx_2^2 \\ & =\sum_{|\alpha|=2}\binom{2}{\alpha}\frac{\partial^\alpha f}{\partial x^\alpha}dx^\alpha,\end{align*}$

gdyż pochodne cząstkowe mieszane $\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}$ oraz $\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial x_1}$ są równe wobec założenia o klasie funkcji $\displaystyle f$. Następnie zakładając,

że wzór zachodzi dla różniczki rzędu $\displaystyle 2\leq k < m$, dowodzimy go dla różniczki rzędu $\displaystyle k+1$. Szczegółowe przekształcenia pomijamy.