Niech f:X↦Y będzie funkcją klasy Cm+1 określoną na otwartym podzbiorze U przestrzeni Banacha X o wartościach w przestrzeni Banacha Y. Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej zachodzi następujące
Twierdzenie 8.1. [twierdzenie Taylora]
Dla dowolnych punktów a oraz a+h zbioru U takich, że odcinek
{a+th, t∈[0,1]}⊂U,
zachodzi równość
f(a+h)=f(a)+daf(h)+12!d2af(h,h)+13!d3af(h,h,h)+⋯+1m!dmaf(h,h,…,h)⏟m wektorów h+Rmf(a,h),
gdzie
‖
Definicja 8.2.
Funkcję \displaystyle \begin{align*} X\in h\mapsto T_a^m f(h) & = f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2 _a f(h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m _a f\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{m \text{ razy }} \\ & = \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}d^k_a\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{k \text{ razy }}\in Y\end{align*}
nazywamy wielomianem Taylora rzędu \displaystyle m funkcji \displaystyle f o środku w punkcie \displaystyle a .
Uwaga 8.3.
Zauważmy, że jeśli \displaystyle X=\mathbb{R}^n i \displaystyle Y=\mathbb{R} , to wielomian Taylora funkcji \displaystyle f: \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R} rzędu \displaystyle m o środku w punkcie \displaystyle a można wyrazić za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji \displaystyle f w następujący sposób:
\displaystyle \begin{align*} T_a^m f(h) & =\sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}\sum_{|\alpha|=k}\binom{k}{\alpha}\frac{\partial^k}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha \\ & =\sum_{k=0}^m \sum_{|\alpha|=k}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^k}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha \\ & = \sum_{|\alpha|\leq m}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha ,\end{align*}
gdzie \displaystyle \alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\in \mathbb{N}_0^n jest \displaystyle n -wskaźnikiem o długości \displaystyle |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n . (Oznaczenia: \displaystyle \alpha! , \displaystyle h^\alpha , \displaystyle \frac{\partial^k }{\partial x^\alpha} wprowadziliśmy przy omawianiu różniczek wyższego rzędu). W szczególnym (ale bardzo często spotykanym) przypadku funkcji \displaystyle f: \mathbb{R}^2\ni (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)\in \mathbb{R} dwóch zmiennych \displaystyle x_1, x_2 wielomian Taylora o środku w punkcie \displaystyle a=(a_1, a_2)\in \mathbb{R}^2 przyjmuje postać
\displaystyle \begin{align*} T_a ^m f(h) & =\sum_{k=0}^m \sum_{\alpha_1+\alpha_2=k} \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !}\frac{\partial^k f(a)}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2} \\ & =\sum_{\alpha_1+\alpha_2\leq m} \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !}\frac{\partial^{\alpha_1+\alpha_2} f(a)}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2},\end{align*}
gdzie \displaystyle h=(h_1, h_2)\in \mathbb{R}^2 .
Dowód 8.3.
Twierdzenie Taylora wykażemy w szczególnym przypadku, gdy \displaystyle f: X\supset U\mapsto \mathbb{R} jest funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną na otwartym podzbiorze \displaystyle U przestrzeni Banacha \displaystyle X . Niech, zgodnie z założeniem, \displaystyle a oraz \displaystyle a+h będą takimi
punktami zbioru \displaystyle U , że odcinek \displaystyle \{a+th, 0\leq t\leq 1\}\subset U . Rozważmy funkcję
\displaystyle g:(0-\epsilon, 1+\epsilon)\ni t\mapsto f(a+th)\in\mathbb{R}
określoną w pewnym otoczeniu otwartym odcinka \displaystyle [0,1] . Funkcja \displaystyle g jest w tym zbiorze klasy \displaystyle C^{m+1} , gdyż \displaystyle f jest tej klasy w otoczeniu odcinka \displaystyle \{a+th, \ 0\leq t\leq 1\}\subset U . Ponadto z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji mamy dla dowolnej liczby \displaystyle 0\leq t\leq 1 równość
\displaystyle \frac{d^k}{dt^k}g(0)=d^k_a f\circ \underbrace{(d_0 (a+th), d_0 (a+th), \dots, d_0 (a+th))}_{k \text{ razy}} =d^k_a f\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{k \text{ razy}}.
Ze twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej \displaystyle g oraz z powyższej równości mamy
\displaystyle \begin{align*} f(a+h)= & g(0+1) \\ & =g(0)+g'(0)1+\frac{1}{2!}g''(0)1^2+\dots+\frac{1}{m!}g^{(m)}(0)1^m+\frac{1}{(m+1)!}g^{(m+1)}(0+\theta \cdot 1)1^{m+1} \\ & =f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2_a f(h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m_a f(h,h,\dots, h)+\frac{1}{(m+1)!}d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h),\end{align*}
gdzie \displaystyle \theta\in (0,1) jest pewnym punktem pośrednim. Stąd mamy też oszacowanie reszty we wzorze Taylora:
\displaystyle |R_m f (a,h)|=\bigg|\frac{1}{(m+1)!}d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h\bigg|\leq \frac{1}{(m+1)!}\sup\{|d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h)|, 0\leq \theta\leq 1\}.