Niech \( \displaystyle f:X\mapsto Y \) będzie funkcją klasy \( \displaystyle C^{m+1} \) określoną na otwartym podzbiorze \( \displaystyle U \) przestrzeni Banacha \( \displaystyle X \) o wartościach w przestrzeni Banacha \( \displaystyle Y \). Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej zachodzi następujące
Twierdzenie 8.1. [twierdzenie Taylora]
Dla dowolnych punktów \( \displaystyle a \) oraz \( \displaystyle a+h \) zbioru \( \displaystyle U \) takich, że odcinek
\( \displaystyle \{a+th, \ t\in [0,1]\}\subset U, \)
zachodzi równość
\( \displaystyle f(a+h)=f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2_a f(h,h)+\frac{1}{3!}d^3_a f(h,h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m_a f\underbrace{(h,h,\dots, h)}_{m \text{ wektorów } h} +R_m f(a, h), \)
gdzie
\( \displaystyle \|R_m f(a,b)\|_{y}\leq \frac{1}{(m+1)!}\sup\{|d^{m+1} _{a+th}(h,h, \dots, h)|, \ t\in[0,1]\}. \)
Definicja 8.2.
Funkcję \( \displaystyle \begin{align*} X\in h\mapsto T_a^m f(h) & = f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2 _a f(h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m _a f\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{m \text{ razy }} \\ & = \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}d^k_a\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{k \text{ razy }}\in Y\end{align*} \)
nazywamy wielomianem Taylora rzędu \( \displaystyle m \) funkcji \( \displaystyle f \) o środku w punkcie \( \displaystyle a \).
Uwaga 8.3.
Zauważmy, że jeśli \( \displaystyle X=\mathbb{R}^n \) i \( \displaystyle Y=\mathbb{R} \), to wielomian Taylora funkcji \( \displaystyle f: \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R} \) rzędu \( \displaystyle m \) o środku w punkcie \( \displaystyle a \) można wyrazić za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji \( \displaystyle f \) w następujący sposób:
\( \displaystyle \begin{align*} T_a^m f(h) & =\sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}\sum_{|\alpha|=k}\binom{k}{\alpha}\frac{\partial^k}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha \\ & =\sum_{k=0}^m \sum_{|\alpha|=k}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^k}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha \\ & = \sum_{|\alpha|\leq m}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}f(a)h^\alpha ,\end{align*} \)
gdzie \( \displaystyle \alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\in \mathbb{N}_0^n \) jest \( \displaystyle n \)-wskaźnikiem o długości \( \displaystyle |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n \). (Oznaczenia: \( \displaystyle \alpha! \), \( \displaystyle h^\alpha \), \( \displaystyle \frac{\partial^k }{\partial x^\alpha} \) wprowadziliśmy przy omawianiu różniczek wyższego rzędu). W szczególnym (ale bardzo często spotykanym) przypadku funkcji \( \displaystyle f: \mathbb{R}^2\ni (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)\in \mathbb{R} \) dwóch zmiennych \( \displaystyle x_1, x_2 \) wielomian Taylora o środku w punkcie \( \displaystyle a=(a_1, a_2)\in \mathbb{R}^2 \) przyjmuje postać
\( \displaystyle \begin{align*} T_a ^m f(h) & =\sum_{k=0}^m \sum_{\alpha_1+\alpha_2=k} \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !}\frac{\partial^k f(a)}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2} \\ & =\sum_{\alpha_1+\alpha_2\leq m} \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !}\frac{\partial^{\alpha_1+\alpha_2} f(a)}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2},\end{align*} \)
gdzie \( \displaystyle h=(h_1, h_2)\in \mathbb{R}^2 \).
Dowód 8.3.
Twierdzenie Taylora wykażemy w szczególnym przypadku, gdy \( \displaystyle f: X\supset U\mapsto \mathbb{R} \) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną na otwartym podzbiorze \( \displaystyle U \) przestrzeni Banacha \( \displaystyle X \). Niech, zgodnie z założeniem, \( \displaystyle a \) oraz \( \displaystyle a+h \) będą takimi
punktami zbioru \( \displaystyle U \), że odcinek \( \displaystyle \{a+th, 0\leq t\leq 1\}\subset U \). Rozważmy funkcję
\( \displaystyle g:(0-\epsilon, 1+\epsilon)\ni t\mapsto f(a+th)\in\mathbb{R} \)
określoną w pewnym otoczeniu otwartym odcinka \( \displaystyle [0,1] \). Funkcja \( \displaystyle g \) jest w tym zbiorze klasy \( \displaystyle C^{m+1} \), gdyż \( \displaystyle f \) jest tej klasy w otoczeniu odcinka \( \displaystyle \{a+th, \ 0\leq t\leq 1\}\subset U \). Ponadto z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji mamy dla dowolnej liczby \( \displaystyle 0\leq t\leq 1 \) równość
\( \displaystyle \frac{d^k}{dt^k}g(0)=d^k_a f\circ \underbrace{(d_0 (a+th), d_0 (a+th), \dots, d_0 (a+th))}_{k \text{ razy}} =d^k_a f\underbrace{(h, h, \dots, h)}_{k \text{ razy}}. \)
Ze twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej \( \displaystyle g \) oraz z powyższej równości mamy
\( \displaystyle \begin{align*} f(a+h)= & g(0+1) \\ & =g(0)+g'(0)1+\frac{1}{2!}g''(0)1^2+\dots+\frac{1}{m!}g^{(m)}(0)1^m+\frac{1}{(m+1)!}g^{(m+1)}(0+\theta \cdot 1)1^{m+1} \\ & =f(a)+d_a f(h)+\frac{1}{2!}d^2_a f(h,h)+\dots+\frac{1}{m!}d^m_a f(h,h,\dots, h)+\frac{1}{(m+1)!}d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h),\end{align*} \)
gdzie \( \displaystyle \theta\in (0,1) \) jest pewnym punktem pośrednim. Stąd mamy też oszacowanie reszty we wzorze Taylora:
\( \displaystyle |R_m f (a,h)|=\bigg|\frac{1}{(m+1)!}d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h\bigg|\leq \frac{1}{(m+1)!}\sup\{|d^{m+1}_{a+\theta h} f(h,h,\dots, h, h)|, 0\leq \theta\leq 1\}. \)