Badanie funkcji wielu zmiennych (w szczególności znajdywanie punktów ekstremalnych) w wielu przypadkach nie wymaga wyznaczania ani pierwszej, ani drugiej różniczki funkcji. Można bowiem sprowadzić ich badanie do badania funkcji jednej zmiennej.
Rozważmy kilka przykładów, w których funkcja dwóch zmiennych jest w istocie funkcją jednej zmiennej, a mianowicie: jest funkcją odległości od początku układu współrzędnych.
Przykład 8.18.
Funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\exp(-x^2-y^2) \) jest funkcją promienia \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \), gdyż \( \displaystyle f(x,y)=e^{-r^2} \), gdzie \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \). Ponieważ funkcja \( \displaystyle r\mapsto e^{-r^2} \) osiąga wartość największą w punkcie \( \displaystyle r=0 \) i nie osiąga żadnych więcej ekstremów na półprostej \( \displaystyle 0\leq r < \infty \), więc jedynym ekstremum funkcji \( \displaystyle f(x,y)=\exp(-x^2-y^2) \) jest maksimum lokalne osiągane w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) (tj. \( \displaystyle r=0 \)). Wówczas \( \displaystyle f(0,0)=1 \).
Przykład 8.19.
Funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2+y^2) \) także jest funkcją promienia \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \). Zauważmy bowiem, że
\( \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2+y^2)=\sin(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi)=\sin(r^2) \)
osiąga ekstrema w tych samych punktach, co funkcja \( \displaystyle r\mapsto \sin (r^2) \), a więc osiąga maksima w punktach \( \displaystyle r^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi \) i minima w punktach \( \displaystyle r^2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \), gdzie \( \displaystyle k=0, 1,2,\dots \). Innymi słowy funkcja \( \displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y) \) osiąga maksima w punktach należących do okręgów o równaniach
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi\} \)
oraz w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) (wtedy \( \displaystyle r=0 \)), a minima w punktach należących do okręgów
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\}, \)
gdzie \( \displaystyle k \) jest dowolną liczbą całkowitą nieujemną.
Wykres funkcji \( \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2+y^2) \)
Przykład 8.20.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\cos(x^2+y^2)=\cos (r^2) \), \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \), osiąga maksima na okręgach o promieniach \( \displaystyle r \) takich, ze \( \displaystyle r^2=0+2k\pi \), czyli na okręgach
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=2k\pi\}, \)
natomiast minima na okręgach, których promień \( \displaystyle r \) spełnia równanie \( \displaystyle r^2=\pi+2k\pi \), tj. na okręgach
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=(2k+1)\pi\}, \)
gdzie \( \displaystyle k=0,1,2,\dots \) jest nieujemną liczbą całkowitą.
Przykład 8.21.
Także funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)=\ln(r^2 +1) \) jest funkcją promienia \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \). Ponieważ funkcja \( \displaystyle [0, \infty)\ni r\mapsto r^2+1\in \mathbb{R} \) jest ściśle rosnąca, osiąga minimum w punkcie \( \displaystyle r=0 \). Stąd także funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1) \) osiąga minimum w punkcie \( \displaystyle (x,y)=(0,0) \) (wówczas \( \displaystyle r=0 \)).
Również w wielu innych przykładach, gdy funkcja \( \displaystyle f \) nie jest funkcją promienia, można uniknąć stosowania rachunku różniczkowego do wyznaczenia ekstremów.
Przykład 8.22.
Funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2-y^2) \) osiąga maksima w punktach hiperbol
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi\}, \) a minima w punktach drugiej rodziny hiperbol
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\}, \)
gdzie \( \displaystyle k \) jest liczbą całkowitą.
Przykład 8.23.
Z kolei funkcja \( \displaystyle f(x,y)=\cos(x^2-y^2) \) osiąga maksima w punktach hiperbol
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=2k\pi\}, \)
a minima w punktach drugiej rodziny hiperbol
\( \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=(2k+1)\pi\}, \)
gdzie \( \displaystyle k \) jest liczbą całkowitą.
Uwaga 8.24.
Przypomnijmy także, że prosta obserwacja przebiegu poziomic pozwala stwierdzić, że
(a) funkcja \( \displaystyle f_1(x,y)=x^2+y^2 \) osiąga w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) minimum
(b) w tym samym punkcie funkcja \( \displaystyle f_2(x,y)=-x^2-y^2 \) osiąga maksimum
(c) a funkcja \( \displaystyle f_3(x,y)=x^2-y^2 \) nie osiąga w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) żadnego ekstremum, gdyż ma w tym punkcie wartość zero, a w dowolnie małym otoczeniu tego punktu osiąga wartości mniejsze jak i większe od zera.
Przykład 8.25.
Zauważmy, że każda z trzech funkcji a, b, c ma w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) zerową zarówno pierwszą jak i drugą różniczkę. Żadna z nich nie ma jednak w tym punkcie ekstremum, gdyż przyjmują w dowolnie małym otoczeniu punktu \( \displaystyle (0,0) \) zarówno wartości mniejsze jak i większe od zera.
(a) \( \displaystyle f_2(x,y)=-x^3-y^3 \)
(b) \( \displaystyle f_3(x,y)=x^3-y^3 \)
(c) \( \displaystyle f_1(x,y)=x^3+y^3 \)
Należy pamiętać o analizowaniu otoczenia punktów krytycznych funkcji, w których o istnieniu ekstremów nie rozstrzyga warunek wystarczający.
Przykład 8.26.
Funkcja \( \displaystyle f(x,y)=|x|^\frac{2}{3}+|y|^\frac{2}{3} \) jest ciągła na całej płaszczyźnie, nie jest jednak różniczkowalna w punktach należących do dwóch prostych: \( \displaystyle x=0 \) oraz \( \displaystyle y=0 \). Różniczka tej funkcji nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny, tj. poza obiema prostymi \( \displaystyle x=0 \), \( \displaystyle y=0 \). Stąd zbiorem punktów krytycznych jest suma obu prostych:
\( \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x=0 \text{ lub } y=0 \}. \)
Łatwo zauważyć, że jedynie w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) tego zbioru funkcja \( \displaystyle f \) osiąga ekstremum, a mianowicie minimum \( \displaystyle f(0,0)=0 \).