Badanie funkcji wielu zmiennych (w szczególności znajdywanie punktów ekstremalnych) w wielu przypadkach nie wymaga wyznaczania ani pierwszej, ani drugiej różniczki funkcji. Można bowiem sprowadzić ich badanie do badania funkcji jednej zmiennej.

Rozważmy kilka przykładów, w których funkcja dwóch zmiennych jest w istocie funkcją jednej zmiennej, a mianowicie: jest funkcją odległości od początku układu współrzędnych.

Przykład 8.18.

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=\exp(-x^2-y^2)$ jest funkcją promienia $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$, gdyż $\displaystyle f(x,y)=e^{-r^2}$, gdzie $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$. Ponieważ funkcja $\displaystyle r\mapsto e^{-r^2}$ osiąga wartość największą w punkcie $\displaystyle r=0$ i nie osiąga żadnych więcej ekstremów na półprostej $\displaystyle 0\leq r < \infty$, więc jedynym ekstremum funkcji $\displaystyle f(x,y)=\exp(-x^2-y^2)$ jest maksimum lokalne osiągane w punkcie $\displaystyle (0,0)$ (tj. $\displaystyle r=0$). Wówczas $\displaystyle f(0,0)=1$.

wykres

Przykład 8.19.

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=\sin(x^2+y^2)$ także jest funkcją promienia $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$. Zauważmy bowiem, że

$\displaystyle f(x,y)=\sin(x^2+y^2)=\sin(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi)=\sin(r^2)$

osiąga ekstrema w tych samych punktach, co funkcja $\displaystyle r\mapsto \sin (r^2)$, a więc osiąga maksima w punktach $\displaystyle r^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ i minima w punktach $\displaystyle r^2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$, gdzie $\displaystyle k=0, 1,2,\dots$. Innymi słowy funkcja $\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)$ osiąga maksima w punktach należących do okręgów o równaniach

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi\}$

oraz w punkcie $\displaystyle (0,0)$ (wtedy $\displaystyle r=0$), a minima w punktach należących do okręgów

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\},$

gdzie $\displaystyle k$ jest dowolną liczbą całkowitą nieujemną.

wykres

Wykres funkcji $\displaystyle f(x,y)=\sin(x^2+y^2)$

Przykład 8.20.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie funkcja $\displaystyle f(x,y)=\cos(x^2+y^2)=\cos (r^2)$, $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$, osiąga maksima na okręgach o promieniach $\displaystyle r$ takich, ze $\displaystyle r^2=0+2k\pi$, czyli na okręgach

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=2k\pi\},$

natomiast minima na okręgach, których promień $\displaystyle r$ spełnia równanie $\displaystyle r^2=\pi+2k\pi$, tj. na okręgach

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=(2k+1)\pi\},$

gdzie $\displaystyle k=0,1,2,\dots$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

Przykład 8.21.

Także funkcja $\displaystyle f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)=\ln(r^2 +1)$ jest funkcją promienia $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$. Ponieważ funkcja $\displaystyle [0, \infty)\ni r\mapsto r^2+1\in \mathbb{R}$ jest ściśle rosnąca, osiąga minimum w punkcie $\displaystyle r=0$. Stąd także funkcja $\displaystyle f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)$ osiąga minimum w punkcie $\displaystyle (x,y)=(0,0)$ (wówczas $\displaystyle r=0$).

wykres

Również w wielu innych przykładach, gdy funkcja $\displaystyle f$ nie jest funkcją promienia, można uniknąć stosowania rachunku różniczkowego do wyznaczenia ekstremów.

Przykład 8.22.

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=\sin(x^2-y^2)$ osiąga maksima w punktach hiperbol

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=\frac{\pi}{2}+2k\pi\},$ a minima w punktach drugiej rodziny hiperbol

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\},$

gdzie $\displaystyle k$ jest liczbą całkowitą.

wykres

Przykład 8.23.

Z kolei funkcja $\displaystyle f(x,y)=\cos(x^2-y^2)$ osiąga maksima w punktach hiperbol

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=2k\pi\},$

a minima w punktach drugiej rodziny hiperbol

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2-y^2=(2k+1)\pi\},$

gdzie $\displaystyle k$ jest liczbą całkowitą.

wykres

Uwaga 8.24.

Przypomnijmy także, że prosta obserwacja przebiegu poziomic pozwala stwierdzić, że

(a) funkcja $\displaystyle f_1(x,y)=x^2+y^2$ osiąga w punkcie $\displaystyle (0,0)$ minimum

wykres

(b) w tym samym punkcie funkcja $\displaystyle f_2(x,y)=-x^2-y^2$ osiąga maksimum

wykres

(c) a funkcja $\displaystyle f_3(x,y)=x^2-y^2$ nie osiąga w punkcie $\displaystyle (0,0)$ żadnego ekstremum, gdyż ma w tym punkcie wartość zero, a w dowolnie małym otoczeniu tego punktu osiąga wartości mniejsze jak i większe od zera.

Przykład 8.25.

Zauważmy, że każda z trzech funkcji a, b, c ma w punkcie $\displaystyle (0,0)$ zerową zarówno pierwszą jak i drugą różniczkę. Żadna z nich nie ma jednak w tym punkcie ekstremum, gdyż przyjmują w dowolnie małym otoczeniu punktu $\displaystyle (0,0)$ zarówno wartości mniejsze jak i większe od zera.

(a) $\displaystyle f_2(x,y)=-x^3-y^3$

wykres

(b) $\displaystyle f_3(x,y)=x^3-y^3$

wykres

(c) $\displaystyle f_1(x,y)=x^3+y^3$

wykres

Należy pamiętać o analizowaniu otoczenia punktów krytycznych funkcji, w których o istnieniu ekstremów nie rozstrzyga warunek wystarczający.

Przykład 8.26.

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=|x|^\frac{2}{3}+|y|^\frac{2}{3}$ jest ciągła na całej płaszczyźnie, nie jest jednak różniczkowalna w punktach należących do dwóch prostych: $\displaystyle x=0$ oraz $\displaystyle y=0$. Różniczka tej funkcji nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny, tj. poza obiema prostymi $\displaystyle x=0$, $\displaystyle y=0$. Stąd zbiorem punktów krytycznych jest suma obu prostych:

$\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x=0 \text{ lub } y=0 \}.$

Łatwo zauważyć, że jedynie w punkcie $\displaystyle (0,0)$ tego zbioru funkcja $\displaystyle f$ osiąga ekstremum, a mianowicie minimum $\displaystyle f(0,0)=0$.

wykres