Niech \( \displaystyle X,Y, Z \) będą przestrzeniami Banacha i niech \( \displaystyle U\subset X\times Y \) będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję
\( \displaystyle F: X\times Y\supset U\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in Z \)
oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór
\( \displaystyle \{F=0\}=\{(x,y)\in U: F(x,y)=0\}. \)
Ustalmy pewien punkt \( \displaystyle P=(a,b)\in \{F=0\} \), \( \displaystyle a\in X \), \( \displaystyle b\in Y \), na tej poziomicy.
Definicja 9.1.
Mówimy, że punkt \( \displaystyle P\in \{F=0\} \) jest punktem regularnym zbioru \( \displaystyle \{F=0\} \), jeśli różniczka \( \displaystyle d_P F \) jest suriekcją przestrzeni \( \displaystyle X\times Y \) na przestrzeń \( \displaystyle Z \). Punkt poziomicy \( \displaystyle \{F=0\} \), który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.
Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:
Uwaga 9.2.
W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze \( \displaystyle X=\mathbb{R}^n \), \( \displaystyle Y=\mathbb{R}^m \) odwzorowanie liniowe \( \displaystyle L:X\times Y\mapsto Y \) jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania \( \displaystyle L \) jest maksymalny, tj. równy \( \displaystyle m \).
Przykład 9.3.
Niech \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \). Rozważmy \( \displaystyle F(x,y)=x^2+y^2-1 \) i poziomicę zerową tej funkcji
\( \displaystyle \{F=0\}=\{x^2+y^2=1\}, \)
czyli okrąg o środku w punkcie \( \displaystyle (0,0) \) i promieniu jednostkowym. Różniczka
\( \displaystyle \begin{align*} d_{(x_0, y_0)}F & =\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy \\ & =2x_0 dx+2y_0 dy\end{align*} \)
w dowolnym punkcie \( \displaystyle (x_0, y_0)\in\{F=0\} \) ma rząd maksymalny. Rząd różniczki \( \displaystyle d_{(x_0, y_0)}F \) nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe \( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} \), \( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} \) zerują się, czyli gdy
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} 2x_0=0 \\ 2y_0=0,\end{align*}\right. \)
ale punkt \( \displaystyle (0,0) \) nie leży na okręgu \( \displaystyle \{F=0\} \).
Przykład 9.4.
Niech \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) i niech \( \displaystyle F(x,y)=x^3+y^3-3xy \). Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji
\( \displaystyle \{F=0\}=\{x^3+y^3=3xy\} \)
jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka
\( \displaystyle d_{(x_0, y_0)}F=3(x_0^2-y_0)dx+3(y_0^2-x_0)dy \)
nie ma maksymalnego rzędu, gdy
\( \displaystyle \left\{\begin{align*}x_0^2-y_0=0 \\ y_0^2-x_0=0,\end{align*}\right. \)
czyli w punktach \( \displaystyle (0,0) \) i \( \displaystyle (1, 1) \). Stąd punkt \( \displaystyle (0,0) \) jest punktem nieregularnym
liścia Kartezjusza. Drugi punkt \( \displaystyle (1,1) \) nie leży na poziomicy \( \displaystyle \{F=0\} \).
Przykład 9.5.
Niech \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) i niech \( \displaystyle F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2) \). Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą
\( \displaystyle \{F=0\}=\{(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\} \)
nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka
\( \displaystyle \begin{align*} d_{(x_0,y_0)}F & =(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0)dx+(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0)dy \\ & =4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\end{align*} \)
nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0 \\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\end{align*}\right. \)
czyli w trzech punktach \( \displaystyle (0,0) \), \( \displaystyle (-1, 0) \) i \( \displaystyle (1,0) \), spośród których tylko pierwszy \( \displaystyle (0,0) \) leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.
Przykład 9.6.
Poziomicą zerową funkcji
\( \displaystyle F:\mathbb{R}^3\ni(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\in\mathbb{R} \)
jest sfera o środku w początku układu współrzędnych \( \displaystyle (0,0,0) \) i promieniu jednostkowym:
\( \displaystyle \{F=0\}=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}. \)
Różniczka odwzorowania \( \displaystyle F \) dana wzorem
\( \displaystyle \begin{align*} d_{(x,y,z)}F & =\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)dz \\ & = 2xdx+2ydy+2zdz\end{align*} \)
jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) do \( \displaystyle \mathbb{R} \) i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) poza początkiem układu współrzędnych \( \displaystyle (0,0,0) \), w którym rząd ten wynosi zero. Punkt \( \displaystyle (0,0,0) \) nie należy jednak do sfery \( \displaystyle \{F=0\} \), stąd każdy jej punkt jest regularny.
Przykład 9.7.
Niech \( \displaystyle F:\mathbb{R}^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)\in \mathbb{R}^2 \). Wówczas poziomicą zerową funkcji \( \displaystyle F \) jest zbiór
\( \displaystyle \{F=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3, x^2+z^2=1, y^2+z^2=1\}, \)
który powstaje z przecięcia walca \( \displaystyle x^2+z^2=1 \) o osi obrotu \( \displaystyle OY \) z walcem \( \displaystyle y^2+z^2=1 \) o osi obrotu \( \displaystyle OX \). Zauważmy, że różniczka
\( \displaystyle d_{(x,y,z)} F=(2x dx+0dy+2z dz, 0dx+2ydy+2zdz) \)
jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) do \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \). Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników
\( \displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2x & 0 & 2z \\ 0 & 2y & 2z \end{array} \right] \)
wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy \( \displaystyle A \) wynosi zero, gdy \( \displaystyle x=y=z=0 \) (punkt \( \displaystyle (0,0,0) \) nie należy do poziomicy zerowej \( \displaystyle \{F=0\} \)). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy
\( \displaystyle \begin{align*} & & x=y=0, z\neq0 \\ & \text{lub} & \\ & & x=z=0, y\neq0 \\ & \text{lub} & \\ & & y=z=0,x\neq0,\end{align*} \)
co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy \( \displaystyle \{F=0\} \), a mianowicie w punktach \( \displaystyle (0,0, 1) \) oraz \( \displaystyle (0,0, -1) \). Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki \( \displaystyle d_{(x, y, z)} F \) w pozostałych punktach poziomicy jest maksymalny (tj. wynosi \( \displaystyle 2 \)).
Przykład 9.8.
Niech \( \displaystyle F: \mathbb{R}^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2-3xyz\in \mathbb{R}. \) Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu
\( \displaystyle \{(x,y,z)=\{(x, y,z)\in \mathbb{R}^3: (x^2+y^2+z^2)^2=3xyz\}. \)
Różniczka \( \displaystyle d_{(x, y, z)} F=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz \) jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z \( \displaystyle \mathbb{R}^3 \) do \( \displaystyle \mathbb{R} \), nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach \( \displaystyle (x, y, z) \), w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe \( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial F}{\partial y}=0, \frac{\partial F}{\partial z}=0 \), tzn. gdy
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz \\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz \\ 4z(x^2+y^2+z^2)=3xy.\end{align*}\right . \)
Układ ten spełnia punkt o współrzędnych \( \displaystyle (0,0,0) \), a także punkty o współrzędnych \( \displaystyle (x,y,z) \), które spełniają układ
\( \displaystyle \left\{\begin{align*} x^2 & =y^2 \\ y^2 & =z^2 \\ z^2 & =x^2,\end{align*}\right. \)
czyli \( \displaystyle |x|=|y|=|z| \). Spośród punktów poziomicy \( \displaystyle \{F=0\} \) warunek ten spełniają poza punktem \( \displaystyle (0,0,0) \) także punkty \( \displaystyle (a,a,a) \), \( \displaystyle (-a,-a,a) \), \( \displaystyle (-a,a,-a) \), \( \displaystyle (a,-a,-a) \), gdzie \( \displaystyle a=\frac{1}{3} \). Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy \( \displaystyle \{F=0\} \) pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania \( \displaystyle F \) ma w nich rząd maksymalny (równy \( \displaystyle 1 \)).
Poziomica zerowa funkcji \( \displaystyle f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2-3xyz \)