Niech $\displaystyle X,Y, Z$ będą przestrzeniami Banacha i niech $\displaystyle U\subset X\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję

$\displaystyle F: X\times Y\supset U\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in Z$

oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór

$\displaystyle \{F=0\}=\{(x,y)\in U: F(x,y)=0\}.$

Ustalmy pewien punkt $\displaystyle P=(a,b)\in \{F=0\}$, $\displaystyle a\in X$, $\displaystyle b\in Y$, na tej poziomicy.

Definicja 9.1.

Mówimy, że punkt $\displaystyle P\in \{F=0\}$ jest punktem regularnym zbioru $\displaystyle \{F=0\}$, jeśli różniczka $\displaystyle d_P F$ jest suriekcją przestrzeni $\displaystyle X\times Y$ na przestrzeń $\displaystyle Z$. Punkt poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$, który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.

Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:

Uwaga 9.2.

W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze $\displaystyle X=\mathbb{R}^n$, $\displaystyle Y=\mathbb{R}^m$ odwzorowanie liniowe $\displaystyle L:X\times Y\mapsto Y$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania $\displaystyle L$ jest maksymalny, tj. równy $\displaystyle m$.

Przykład 9.3.

Niech $\displaystyle X=Y=\mathbb{R}$. Rozważmy $\displaystyle F(x,y)=x^2+y^2-1$ i poziomicę zerową tej funkcji

$\displaystyle \{F=0\}=\{x^2+y^2=1\},$

czyli okrąg o środku w punkcie $\displaystyle (0,0)$ i promieniu jednostkowym. Różniczka

$\displaystyle \begin{align*} d_{(x_0, y_0)}F & =\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy \\ & =2x_0 dx+2y_0 dy\end{align*}$

w dowolnym punkcie $\displaystyle (x_0, y_0)\in\{F=0\}$ ma rząd maksymalny. Rząd różniczki $\displaystyle d_{(x_0, y_0)}F$ nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}$ zerują się, czyli gdy

$\displaystyle \left\{\begin{align*} 2x_0=0 \\ 2y_0=0,\end{align*}\right.$

ale punkt $\displaystyle (0,0)$ nie leży na okręgu $\displaystyle \{F=0\}$.

Przykład 9.4.

Niech $\displaystyle X=Y=\mathbb{R}$ i niech $\displaystyle F(x,y)=x^3+y^3-3xy$. Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji

$\displaystyle \{F=0\}=\{x^3+y^3=3xy\}$

jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka

$\displaystyle d_{(x_0, y_0)}F=3(x_0^2-y_0)dx+3(y_0^2-x_0)dy$

nie ma maksymalnego rzędu, gdy

$\displaystyle \left\{\begin{align*}x_0^2-y_0=0 \\ y_0^2-x_0=0,\end{align*}\right.$

czyli w punktach $\displaystyle (0,0)$ i $\displaystyle (1, 1)$. Stąd punkt $\displaystyle (0,0)$ jest punktem nieregularnym

liścia Kartezjusza. Drugi punkt $\displaystyle (1,1)$ nie leży na poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$.

Przykład 9.5.

Niech $\displaystyle X=Y=\mathbb{R}$ i niech $\displaystyle F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$. Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą

$\displaystyle \{F=0\}=\{(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\}$

nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka

$\displaystyle \begin{align*} d_{(x_0,y_0)}F & =(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0)dx+(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0)dy \\ & =4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\end{align*}$

nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy

$\displaystyle \left\{\begin{align*} x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0 \\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\end{align*}\right.$

czyli w trzech punktach $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (-1, 0)$ i $\displaystyle (1,0)$, spośród których tylko pierwszy $\displaystyle (0,0)$ leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.

Przykład 9.6.

Poziomicą zerową funkcji

$\displaystyle F:\mathbb{R}^3\ni(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\in\mathbb{R}$

jest sfera o środku w początku układu współrzędnych $\displaystyle (0,0,0)$ i promieniu jednostkowym:

$\displaystyle \{F=0\}=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}.$

Różniczka odwzorowania $\displaystyle F$ dana wzorem

$\displaystyle \begin{align*} d_{(x,y,z)}F & =\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)dz \\ & = 2xdx+2ydy+2zdz\end{align*}$

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\displaystyle \mathbb{R}^3$ do $\displaystyle \mathbb{R}$ i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach $\displaystyle \mathbb{R}^3$ poza początkiem układu współrzędnych $\displaystyle (0,0,0)$, w którym rząd ten wynosi zero. Punkt $\displaystyle (0,0,0)$ nie należy jednak do sfery $\displaystyle \{F=0\}$, stąd każdy jej punkt jest regularny.

Przykład 9.7.

Niech $\displaystyle F:\mathbb{R}^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)\in \mathbb{R}^2$. Wówczas poziomicą zerową funkcji $\displaystyle F$ jest zbiór

$\displaystyle \{F=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3, x^2+z^2=1, y^2+z^2=1\},$

który powstaje z przecięcia walca $\displaystyle x^2+z^2=1$ o osi obrotu $\displaystyle OY$ z walcem $\displaystyle y^2+z^2=1$ o osi obrotu $\displaystyle OX$. Zauważmy, że różniczka

$\displaystyle d_{(x,y,z)} F=(2x dx+0dy+2z dz, 0dx+2ydy+2zdz)$

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\displaystyle \mathbb{R}^3$ do $\displaystyle \mathbb{R}^2$. Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników

$\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2x & 0 & 2z \\ 0 & 2y & 2z \end{array} \right]$

wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy $\displaystyle A$ wynosi zero, gdy $\displaystyle x=y=z=0$ (punkt $\displaystyle (0,0,0)$ nie należy do poziomicy zerowej $\displaystyle \{F=0\}$). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy

$\displaystyle \begin{align*} & & x=y=0, z\neq0 \\ & \text{lub} & \\ & & x=z=0, y\neq0 \\ & \text{lub} & \\ & & y=z=0,x\neq0,\end{align*}$

co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$, a mianowicie w punktach $\displaystyle (0,0, 1)$ oraz $\displaystyle (0,0, -1)$. Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki $\displaystyle d_{(x, y, z)} F$ w pozostałych punktach poziomicy jest maksymalny (tj. wynosi $\displaystyle 2$).

Wykres

Przykład 9.8.

Niech $\displaystyle F: \mathbb{R}^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2-3xyz\in \mathbb{R}.$ Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu

$\displaystyle \{(x,y,z)=\{(x, y,z)\in \mathbb{R}^3: (x^2+y^2+z^2)^2=3xyz\}.$

Różniczka $\displaystyle d_{(x, y, z)} F=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\displaystyle \mathbb{R}^3$ do $\displaystyle \mathbb{R}$, nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach $\displaystyle (x, y, z)$, w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial F}{\partial y}=0, \frac{\partial F}{\partial z}=0$, tzn. gdy

$\displaystyle \left\{\begin{align*} 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz \\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz \\ 4z(x^2+y^2+z^2)=3xy.\end{align*}\right .$

Układ ten spełnia punkt o współrzędnych $\displaystyle (0,0,0)$, a także punkty o współrzędnych $\displaystyle (x,y,z)$, które spełniają układ

$\displaystyle \left\{\begin{align*} x^2 & =y^2 \\ y^2 & =z^2 \\ z^2 & =x^2,\end{align*}\right.$

czyli $\displaystyle |x|=|y|=|z|$. Spośród punktów poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$ warunek ten spełniają poza punktem $\displaystyle (0,0,0)$ także punkty $\displaystyle (a,a,a)$, $\displaystyle (-a,-a,a)$, $\displaystyle (-a,a,-a)$, $\displaystyle (a,-a,-a)$, gdzie $\displaystyle a=\frac{1}{3}$. Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$ pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania $\displaystyle F$ ma w nich rząd maksymalny (równy $\displaystyle 1$).

wykres

Poziomica zerowa funkcji $\displaystyle f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2-3xyz$