Informatyka MIMUW

Niech $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $\displaystyle F: U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym $\displaystyle U\subset X\times Y$. Niech $\displaystyle (a,b)\in\{F=0\}$ będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $\displaystyle F$, gdzie $\displaystyle a\in X, b\in Y$. Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę $\displaystyle \{F=0\}$ w otoczeniu punktu $\displaystyle (a,b)$ można przedstawić jako wykres pewnej funkcji $\displaystyle f: X\mapsto Y$ takiej, że $\displaystyle F(x, f(x))=0$ w pewnym otoczeniu otwartym punktu $\displaystyle a\in X$.

Rozważmy dwa proste przykłady.

Przykład 9.9.

Niech $\displaystyle (a,b)$ będzie punktem okręgu $\displaystyle x^2+y^2=1$, który stanowi poziomicę zerową funkcji

$\displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R} \ni (x,y)\mapsto F(x,y)=x^2+y^2-1\in\mathbb{R}.$

Jeśli $\displaystyle b>0$, to w otoczeniu punktu $\displaystyle a\in (-1,1)$ można określić funkcję

$\displaystyle f_1: x\mapsto f_1(x)=\sqrt{1-x^2}$

taką, że

$\displaystyle F(x,f_1(x))=x^2+(\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b.$

Z kolei, jeśli $\displaystyle b < 0$, to w otoczeniu punktu $\displaystyle a\in (-1,1)$ znajdziemy funkcję

$\displaystyle f_2: x\mapsto f_2(x)=-\sqrt{1-x^2}$

taką, że

$\displaystyle F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_2(a)=b.$

Jedynymi punktami $\displaystyle (a,b)$ okręgu $\displaystyle x^2+y^2=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $\displaystyle f: x\mapsto f(x)$ takiej, że $\displaystyle f(a)=b$ i $\displaystyle F(x, f(x))=0$, są punkty $\displaystyle (-1,0)$ oraz

$\displaystyle (1,0)$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}$.

Przykład 9.10.

Niech $\displaystyle a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2$, $\displaystyle b\in \mathbb{R}$. Niech $\displaystyle (a,b)\in \mathbb{R}^3$ będzie punktem sfery $\displaystyle x_1^2+x_2^2+z^2=1$, która stanowi poziomicę zerową funkcji $\displaystyle F(x_1, x_2 , z)=x_1^2+x_2^2+z^2-1$. Jeśli $\displaystyle b>0$, to w otoczeniu punktu $\displaystyle a=(a_1, a_2)$ wewnątrz okręgu $\displaystyle x_1^2+x_2^2 < 1$ można określić funkcję

$\displaystyle f_1: (x_1, x_2)\mapsto f_1(x_1,x_2)=\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$

taką, że

$\displaystyle F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b.$

Z kolei, jeśli $\displaystyle b < 0$ znajdziemy funkcję

$\displaystyle f_2: (x_1, x_2)\mapsto f_1(x_1, x_2)=-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$

taką, że

$\displaystyle F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } \ f_2(a)=b.$

Jedynymi punktami $\displaystyle (a,b)$ sfery $\displaystyle x_1^2+x_2^2+z^2=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $\displaystyle f: (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)$ takiej, że $\displaystyle f(a)=b$ i $\displaystyle F(x_1, x_2, f(x_1,x_2))=0$, są punkty okręgu $\displaystyle x_1^2+x_2^2=1$ zawartego w płaszczyźnie $\displaystyle z=0$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}=2z$.

Uogólnijmy to spostrzeżenie, formułując

Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]

Niech $\displaystyle F:U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym $\displaystyle U\subset X\times Y$. Niech $\displaystyle (a,b)\in \{F=0\}$ (gdzie $\displaystyle a\in X, b\in Y$) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $\displaystyle F$ takim, że zacieśnienie różniczki $\displaystyle d_{(a,b)}F_{|Y}$ do podprzestrzeni $\displaystyle Y\subset X\times Y$ jest izomorfizmem. Wówczas

1) istnieje pewne otoczenie otwarte $\displaystyle V\subset X$ punktu $\displaystyle a$ oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu $\displaystyle f:V\mapsto Y$ taka, że $\displaystyle f(a)=b$ oraz $\displaystyle F(x, f(x))=0$ dla dowolnego $\displaystyle x\in V$. Ponadto

2) funkcja $\displaystyle f$ jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze $\displaystyle V$ daną wzorem

$\displaystyle d_x f=-\big(d_{(x,y)}F_{|Y} \big)^{-1}\circ \big(d_{(x,y)}F_{|X}\big),$

gdzie $\displaystyle y=f(x)$, natomiast

$\displaystyle d_{(x,y)}F_{|X}$ oznacza zacieśnienie różniczki $\displaystyle d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $\displaystyle X\subset X\times Y$ a $\displaystyle (d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}$ jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki $\displaystyle d_{(x,y)}F_{|Y}$.
Dowód 9.11.

[Szkic] Pominiemy dowód istnienia funkcji $\displaystyle f$. Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy wpierw jednak, że

Uwaga 9.12.

Jeśli $\displaystyle Y=\mathbb{R}^n$, to odwzorowanie liniowe $\displaystyle L:Y\mapsto Y$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. $\displaystyle \det L\neq 0$.

Przypadek I. Niech $\displaystyle X=Y=\mathbb{R}$ i niech $\displaystyle F: \mathbb{R}^2\ni(x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb{R}.$ Jeśli funkcja $\displaystyle f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ spełnia równanie $\displaystyle F(x, f(x))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość

$\displaystyle 0=\frac{d}{dx}F(x, f(x))=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\frac{df}{dx}(x), \text{ gdzie } y=f(x).$

Stąd

$\displaystyle -\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial,F}{\partial y}(x,y)\frac{df}{dx}(x).$

Z założenia zacieśnienie różniczki $\displaystyle d_{(x,y)}F_{|Y}$ jest izomorfizmem przestrzeni $\displaystyle \mathbb{R}$ do $\displaystyle \mathbb{R}$, co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}\neq 0$. Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem

$\displaystyle \frac{df}{dx}(x)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}(x,y), \text{ gdzie } y=f(x).$

Przypadek II. Niech $\displaystyle F: \mathbb{R}^3\ni(x_1, x_2, y)\mapsto F(x_1, x_2, y)\in \mathbb{R}.$ Jeśli funkcja $\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}$ spełnia równanie $\displaystyle F(x_1, x_2, f(x_1,x_2))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach $\displaystyle (x_1, x_2, y)$ poziomicy $\displaystyle \{F=0\}$

$\begin{array}{lll}\displaystyle 0=\frac{\partial }{\partial x_1}F\big(x_1, x_2, f(x_1, x_2)\big) & = & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_1} \\ & = & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x_1}+0+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_1} \end{array}$

oraz

$\begin{array}{lll}\displaystyle 0=\frac{\partial }{\partial x_2}F\big(x_1, x_2, f(x_1, x_2)\big) & = & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_2} \\ & = & \displaystyle 0+\frac{\partial F}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_2} \end{array}$

Izomorficzność zawężenia różniczki $\displaystyle d_{(x_1, x_2, y)}F_{|Y}$ również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\neq 0$. Wówczas z powyższych równości dostajemy

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}(x_1, x_2, y)$

oraz

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, x_2)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_2}(x_1, x_2, y),$

gdzie $\displaystyle y=f(x_1, x_2)$. Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych, można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}$

oraz

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_2}.$

Przypadek III. Niech $\displaystyle X=\mathbb{R}$, $\displaystyle Y=\mathbb{R}^2$ i niech

$\displaystyle F: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^2 \ni (x, y_1, y_2)\mapsto F(x, y_1, y_2)=(F_1(x, y_1, y_2), F_2(x, y_1, y_2))\in \mathbb{R}^2.$

Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna

$\displaystyle f: \mathbb{R}\ni x\mapsto (f_1(x), f_2(x))\in\mathbb{R}^2$

taka, że

$\displaystyle 0=F(x,f(x))=\left(F_1\big(x, f_1(x), f_2(x)\big), \ F_2\big(x, f_1(x), f_2(x)\big)\right),$

to znaczy

$\displaystyle \left\{\begin{align*} 0 & =F_1(x, f_1(x), f_2 (x)) \\ 0 & =F_1(x, f_1(x), f_2 (x)).\end{align*} \right.$

Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy

$\displaystyle \begin{align*} 0=\frac{d}{dx}F_1(x, f_1(x), f_2 (x)) & =\frac{\partial F_1}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\frac{df_2}{dx} \\ & = \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\end{align*}$

oraz

$\displaystyle \begin{align*} 0=\frac{d}{dx}F_2(x, f_1(x), f_2 (x)) & =\frac{\partial F_2}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\frac{df_2}{dx} \\ & = \frac{\partial F_2}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2'.\end{align*}$

Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi $\displaystyle f_1'$, $\displaystyle f_2'$, które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej $\displaystyle f=(f_1, f_2)$:

$\displaystyle \left\{\begin{align*} -\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2' \\ -\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' \end{align*}\right.$

Zapiszmy ten układ w formie macierzowej

$\displaystyle \displaystyle -\left[\begin{array}{r}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array}\right ] =\left[ \begin{array}{rr}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right] \left[\begin{array}{r} f_1' \\ f_2 '\end{array}\right ].$

W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki $\displaystyle d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $\displaystyle Y\subset X\times Y$ oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje $\displaystyle d_{(x,y)F_{|Y}}$:

$\displaystyle \left[ \begin{array}{rr}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y_2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right]$

jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa

$\displaystyle \left[\begin{array}{r}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array}\right ]$

reprezentuje zacieśnienie różniczki $\displaystyle d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $\displaystyle X\subset X\times Y$. Macierz niewiadomych $\displaystyle f_1'$, $\displaystyle f_2'$:

$\displaystyle \left[\begin{array}{r} f_1' \\ f_2'\end{array} \right]$

reprezentuje różniczkę $\displaystyle d_x f$ funkcji uwikłanej $\displaystyle f=(f_1, f_2)$. Stąd układ równań z niewiadomymi $\displaystyle f_1'$, $\displaystyle f_2'$ przedstawia równanie

$\displaystyle -d_{(x,y)}F_{|X}=d_{(x,y)}F_{|Y}\circ d_x f, \ \ \ \ \ \text{ gdzie }y=f(x),$

w którym niewiadomą jest różniczka $\displaystyle d_x f$. Izomorficzność zacieśnienia $\displaystyle d_{(x,y)}F_{|Y}$ gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego $\displaystyle (d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}$, dzięki czemu otrzymujemy

$\displaystyle d_xf=-(d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}.$

W języku algebry nieosobliwość macierzy

$\displaystyle \left[\begin{array}{rr}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right]$

gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania

$\displaystyle \displaystyle-\left[\begin{array}{r}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array}\right ] \left [\begin{array}{r} f_1' \\ f_2 '\end{array} \right]$

jest

$\displaystyle \displaystyle\left[\begin{array}{r} f_1' \\ f_2 '\end{array} \right] =-\left(\left[ \begin{array} {rr}\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y_2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_1} & \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right]\right)^{-1} \left[\begin{array}{r} \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array}\right ]$

lub równoważnie:

$\displaystyle d_x f=-(d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}.$